Aplicación del Procesamiento en Paralelo en Modelación Computacional. Robert A. Yates Instituto de Geofísica

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Marcos González Vera
hace 8 años
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1 Aplicación del Procesamiento en Paralelo en Modelación Computacional Robert A. Yates Instituto de Geofísica

2 (algunos) Problemas de Interés Prognóstico del Clima Reservas Petroleras Rendering [Hollywood] Diseño de Aviones Turbulencia Explosiones Atómicas [Los Alamos]

3 Problemas de Medios Contínuos Lu= f en Ω u ejemplo: Lu= a u+ ( bu) + cu t 3 Dimensiones Espaciales con malla de NxNxN L x = b x, b de tamaño N 3 L de tamaño N 5

4 MHz clock 160 Mflops peak Enfriamiento por liquido Asiento del amor mas caro del mundo Fuente de poder y enfriamento debajo del asieto and cooling under the seat Disponible en rojo, azul, negro, Sin sistema operativa Cray-1

poder y enfriamento debajo del asieto and cooling under

5 Cray C Gflop por procesador 8 or mas procesadores

6 Earth Simulator 2002 Nec 640 nodos 8 vector procesadores vectoriales por nodo, 5120 en total 8 Gflops por procesador, 40 Tflops total 16 GB memoria/nodo, 10 TB total 2800 km de cables 320 gabinetes (2 nodes/cu) Costo: $ 350 million dls

procesador, 40 Tflops total 16 GB memoria/nodo, 10 TB

8 Teraflops 1 Flop = operación aritmética en punto flotante [notación cientifica] Teraflop = 1,000,000,000,000 flops (10^12) Earth Simulator = 35 Tflops/s [NEC] [640 nodos, 8 proc/nodo, 8 Gflops/proc] ASCII White 12 Tflops/s [IBM] SON MUY LENTAS!

(10^12) Earth Simulator = 35 Tflops/s [NEC] [640 nodos, 8

9 Amdahl s Law T(1) 1 1 S(speedup)= = < T(N) 1 s 1 s s+ s+ + f( N) N N s = parte(proporción) del la tarea necesariamente en serie f( N)="bookkeeping overhead"

10 Un Procesador Ley de Moore Velocidad de la luz =.3mm/ps =300microns/ps Disipación = f x voltaje^2 Tecnología actual.13 microns 2 Gflops/s [Pentium IV] Tiempo a RAM 100nseg

11 Algoritmos Paralelizables Objetivo: Con nueve mujeres producir un niño en un mes Objetivo: Con 100 aviones cruzar el Atlántico en 4 minutos

12 Técnicas Dividir y Conquistar Eli Whitney 1806 [contrato de rifles] Algoritmos de Sort/merge, FFT y Descomposición de Dominio Linea de Asamblea [Henry Ford] Pipeline

13 Pipeline Fetch Decode Load Execute Write Fetch Decode Load Execute Write Fetch Decode Load Execute Write Fetch Decode Load Execute Write Fetch Decode Load Execute Write Fetch Decode Load Execute Write

Execute Write Fetch Execute Write Fetch Decode

14 Proceso Vectorial for i= 1, n xi ( ) = c* ai ( ) + bi ( ) a b c x Unidad Multip Unidad Suma temp memoria registros

15 Memoria Compartida CPU CPU CPU Cache Cache Cache Bus o Crossbar MEMORIA IO

16 CLUSTER Memoria No-Compartida CONEXION CPU CPU CPU Memoria Memoria Memoria IO IO IO CONEXION

17 LOCKs S Memoria < PROCESO PROCESO S=S+S1 S=S+S2

18 Pide y Obtiene Recurso Deadlocks Pide y Espera A B Pide y Espera Recurso Pide y Obtiene

19 Dificultades Algoritmos/problemas difíciles de paralelizar Transferencia lenta entre memoria [RAM] y procesadores Locks y deadlocks Mensajería entre nodos en cluster Como utilizar el procesamiento disponible

y procesadores Locks y deadlocks Mensajería entre

20 Modelos Contínuos Diferencias Finitas (ejemplo) i, j 0 0 u = f 2 D u = u( x + ih, y + jh) 1 1 ui, j= ( u 2 i, j ( ui+ 1, j+ ui, j+ 1 + ui, j 1 + ui 1, j)) + O( h) h 4 (i,j+1) (i-1,j) (i,j) (i+1,j) (i,j-1)

21 Discretización u= f u f u2 f u3 f u4 4 f4 = u 5 h f u n f n Lu = f

22 Metodos Iterativos Au = b A = M K ( I M K) u = M b = u k ( I M K) ( M K) Krylov space = k = 1 n+ 1 n+ 1 1 k 0 n 1 n+ 1 0 u = ( M K) u = u + ( M K) u k= 0 n 1 n = u + M ( b Au )

23 Descomposición de Dominio Ω Σ Ω ij Ω Ω i

24 Descomposición de Dominio Schwarz Ω Ω 1 1 Ω Ω 2 2 Lu = f en Ω Lu = f en Ω y Lu = f en Ω

25 Descomposición de Dominio Schwarz L 0 u f L u = f L u f Lu f Lu n+ 1 = n Lu f L u n+ 1 = n

26 Descomposición de Dominio Complemento de Schur Ω I Σ I Ω ij I I Ω i I I I I

27 Descomposición de Dominio Complemento de Schur L L u f ΣΣ ΣI Σ Σ = L L u f IΣ II I I 1 ΣΣ ΣI II IΣ S = L L L L = 1 Σ Σ ΣI II I Su f L L f

28 n+ 1 n u F u b Descomposición de Dominio Complemento de Schur N t ( i) SuΣ = RiS Ri uσ = g i= 1 N 1 = i i i i = i= 1 Lu Método del Gradiente Conjugado (L simétrico, positivo definido) = = (, ) involucra una multiplicación por L Lp R L p donde L u q problema intermedio b

29 Resumen Schwarz [dominios que traslapan] Schur [dominios ajenos substructuring] FETI Block-Cyclic [FFT] Multigrid

30 Referencias Domain Decomposition, 1996, Smith, Bjorstad, Grupp, Cambridge Press Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations 1999, Quarteroni, Valli, Oxford Science Applied Numerical Linear Algebra, 1997, Demmel, Siam The Finite Element Method, 1987, Hughes, Dover Publications General Theory of Domain Decomposition, 2002, Herrera, Yates, Diaz, Numerical Methods for Partial Differential Equations Vol 18 No.3, Wiley

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