Números reales. Operaciones

Transcripción

1 Números reales. Operacioes Matemáticas I 1 Números reales. Operacioes Números racioales. Caracterizació. Recuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma a b (siedo el deomiador b 0 ). Cada úmero racioal puede represetarse por u úico úmero decimal (eacto, co u úmero fiito de decimales o co ifiitas cifras decimales periódicas) o por ifiitas fraccioes. # Ejemplo: 0,...= 1 = 9. Covertir ua epresió fraccioaria e epresió decimal si r = a b, para covertir r e decimal, basta co que efectuemos la divisió decimal a : b. # Ejemplo: =2, =2, 478 Todo úmero racioal se escribir e forma decimal periódica. De la epresió fraccioaria a la epresió decimal Cualquier úmero decimal periódico (icluedo úmeros eactos o co u úmero de decimales limitado) se puede epresar e forma de fracció u v. F Si D es u úmero racioal escrito e forma decimal, es decir de la forma D=a, b p p p... ; co a, b, p úmero eteros. 1) Si p=0, decimos que D es u úmero decimal co u úmero fiito de decimales. D= u v = D. 10m 10 m, siedo m el úmero de dígitos de v. # Ejemplo: 1,12= 1,12.10 = ) Si p 0 b= p, decimos que D es periódico puro de periodo p. D= u v = D.10 D 10 1 = D.10 D , siedo el úmero de dígitos de p. # Ejemplo: 714, = 714, , =

2 Números reales. Operacioes Matemáticas I 2 ) Si p 0 b p, decimos que D es periódico mito de periodo p. de b el úmero de dígitos de p. D= u v = D.10m D.10 m = D.10m D.10 m 10 m 10 m m siedo m el úmero de dígitos # Ejemplo: 21, = 21, , = Números irracioales. Caracterizació. Los úmeros irracioales (que represetamos por I) so aquellos que o se puede epresar e forma de fracció, o de forma equivalete su epresió decimal tiee ifiitas cifras decimales o periódicas. # Ejemplo: a=0, es u úmero irracioal. Además, eiste úmeros que habitualmete utilizamos e todas las ramas cietíficas que so irracioales, que por su importacia tiee u ombre propio, como =, Actividades para el aula: Clasificar los siguietes úmeros decimales e racioales o irracioales a) 0, , b) 0, c) 0, d) 0, Solució: a) Racioal b) Irracioal. c) Irracioal. d) Racioal. Números reales. Aproimació error Recuerda que N Z Q, dode N es el cojuto de los úmeros aturales = { 0,1,2,,4, }. Z es el cojuto de los úmeros eteros = {,, 2, 1,0,1, 2,, }. Q es el cojuto de los úmeros racioales = { a b :a,b Z,b 0 } El cojuto de los úmeros reales es R=Q I, además se cumple Q I = Aproimació de úmeros irracioales. Errores. Decimos que u úmero a es aproimado de A, cuado A a 0.

3 Números reales. Operacioes Matemáticas I # Ejemplo.- 1 es aproimado por defecto de 2, 1, es aproimado por eceso de 2 1,41 es aproimado por defecto de 2. Si a es u úmero aproimado de A, deomiamos Error absoluto a = A a Error relativo a = A = A a A # Ejemplo.- Si A= 10 a=,, teemos = 10, = = = 1 0 = 1/0 10/ = 00 Si el úmero eacto A es racioal solemos utilizar fraccioes. Si el úmero eacto A es irracioal, o se puede utilizar i fracció, i forma decimal eacta o periódica, a que el úmero irracioal tiee ifiitas cifras decimales o periódicas. E este caso, solemos utilizar cotas de error. # Ejemplo.- Si A= a=,1, como,14,1 es,1,1,14 =,1 =,1,1,14=0,01= a = a a,14 =0,01,14 = 1 14 = a Habitualmete, represetamos las cotas de error absoluto relativo de u úmero aproimado a, mediate la otació a a respectivamete. Números reales: operacioes Cuado efectuamos operacioes co úmeros racioales, es coveiete utilizar fraccioes, para coseguir u resultado eacto. Si embargo, cuado operamos co úmeros irracioales es coveiete dejar dicha operació simplificada e idicada, por ejemplo: 8 =2 2, Si embargo, cuado ecesitamos coocer ua aproimació de ua operació de úmeros reales, teemos que teer e cueta, que al efectuar operacioes co úmeros aproimados, el error que se comete depede de la operació. Para el cálculo de errores e las operacioes co úmeros aproimados, aplicamos diversos métodos para calcular ua cota de error. # Ejemplo.- si a=1,4142 es u úmero aproimado de 2 b=,141 de, como 1, ,141,1416, se cumple 1,4142, ,414,1416 Y ua cota de error de a+ b es a b = 1,414,1416 1,4142,141, es decir

4 Números reales. Operacioes Matemáticas I 4 = 2 a b 0,0002= a b Además a b = 2 1,414,1416 = 0,0002 4,9 0, Propiedades de la suma producto de úmeros reales. Recuerda que la suma producto de úmeros reales, cumple las mismas propiedades que los úmeros racioales. Es decir, si a, b c so tres úmeros cualesquiera, se cumple Propiedades de suma de úmeros a b c = a b c a b=b a propiedad asociativa propiedad comutativa a 0=a eistecia de elemeto eutro o ulo 0 a a =0 eistecia de elemeto opuesto de a Propiedades de suma de úmeros a bc = a b c a b=b a propiedad asociativa propiedad comutativa a1=a eistecia de elemeto eutro o uidad 1 a a 1 =1 eistecia de elemeto iverso de a Propiedades de producto suma a b c =a b a c propiedad distributiva Números reales: radicales. Si r R es u úmero real, se cumple r= =r. que r=, Además, Si r Q es u úmero racioal tal que o eiste igú racioal r es u úmero irracioal. Q tal # Ejemplo.- Demostrar que 2 es u úmero irracioal. La demostració se hace por reducció al absurdo, es decir supoiedo que es cierto lo cotrario llegado a ua cotradicció. Si supoemos que 2 es racioal, eistirá dos úmeros eteros primos a b tal que 2= a b, elevado al cuadrado ambos miembros de la ecuació, se obtiee

5 Números reales. Operacioes Matemáticas I Luego, se cumple 2= a2 b 2 2.b 2 =a 2 2 divide al úmero a 2.b 2 = 2.k 2 b 2 =2. k 2 2 divide al úmero b Es decir, m.c.d. a,b 1, e cotra de lo supuesto (a b so primos etre si), por tato llegamos a ua cotradicció. Luego 2 es u úmero irracioal. Propiedades de operacioes co radicales. a. b= a.b a b = a b a m = a m m a= m. a Además, dados dos úmeros aturales m, si p es u úmero atural cualquiera q u úmero que divide a, se cumple # Ejemplo.-.p a m.p = / p a m/ p Números reales: potecias = = = = Si r s, deomiamos potecia de base r epoete s al úmero r s. E el caso particular de que s Q, decimos que r^s es ua potecia fraccioaria. Además, e para todo m úmeros aturales, se cumple r m =r m. # Ejemplo.- 7 =7 Si s es u úmero irracioal, utilizamos úmeros aproimados. Propiedades de potecias. r p. a q =r p q 2 # Ejemplo =7 1 1 r p p q =r q r 2 # Ejemplo =7 19 1

6 Números reales. Operacioes Matemáticas I 6 r p q =r p. q # Ejemplo =7 2 r p. s p = r.s p # Ejemplo.- 7. =21 r p s = r p p s # Ejemplo.- 7 = 7 Números reales: logaritmos. El logaritmo e base a de es u úmero tal que = a = Cuado a = 10 lo deomiamos logaritmo decimal (log) cuado a = e = 2,71828 lo deomiamos logaritmo eperiao (l) # Ejemplo.- log 2 4= 2 Propiedades de logaritmos.. = # Basta teer e cueta. =a.. =a. a =a # Ejemplo.- log 9. =log 9 log =2 1 2 = 2 = # Basta teer e cueta =aloga =aloga a =a loga loga log a # Ejemplo.- log 9 =log 9 log =2 1 2 = 2 =. # Basta teer e cueta =. 1 =. 2 =. = =.

7 Números reales. Operacioes Matemáticas I 7 Los logaritmos se puede obteer e cualquier base a a partir de los logaritmos decimales o eperiaos de las calculadoras, a que de la fórmula del cambio de base de lo logaritmos, para cualquier bases a b se cumple = log b log b a E particular si b =10 o b = e, se cumple = log = l l a