Comunicaciones por Satélite Ramón Martínez Rodríguez-Osorio, Miguel Calvo Ramón OBTENCIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA ÓRBITA GENÉRICA

Transcripción

1 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón OBTENCIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA ÓRBITA GENÉRICA A continuación, calculaeos la ecuación e la tayectoia e un satélite aleeo e un laneta (esta situación se a o ejelo, ente el Sol y la Tiea, ente la Tiea y la Luna, y ente la Tiea y un satélite e counicaciones). Patios e las iótesis aas o Newton, bajo las cuales se eifican las leyes e Kele: ) La asa el satélite es eseciable en coaación con la asa e la Tiea M; y ) El oiiento ocue en esacio libe, esto es, los únicos cueos esentes son la Tiea y el satélite. El sistea e cooenaas que aos a elea aa estuia la tayectoia el satélite es el enoinao sistea obital o eifocal, y se uesta en la Figua. El lano (x, y ) el sistea ecoge el lano en el cual el satélite escibe su tayectoia, y el oigen el iso se encuenta situao en el cento e la Tiea. Paa escibi el oiiento el satélite, suele elease las cooenaas olaes (,, z). y o ˆ $ z o x o Figua. Sistea e cooenaas obital o eifocal. Paa eteina la ecuación el oiiento el satélite aleeo e la Tiea, se igualan las fuezas que actúan sobe el satélite. Dicas fuezas son, o un lao, la atacción que la tiea ace sobe el satélite, y o oto, la fueza centífuga ebia al oiiento angula el satélite. La iea e ellas se obtiene e la Ley e la Gaitación Uniesal (Newton, 667), y se exesa coo: F g ( ˆ ), Ec. Mecánica obital

2 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón Sieno la istancia el cento e la Tiea al satélite y G es la Constante e Gaitación Uniesal, aa o: G [ 3 /( g )] seg. Ec. La fueza inecial que actúa sobe el satélite ebia a su oiiento aleeo e la Tiea iene aa o: F c a ( ˆ ). Ec. 3 Igualano abas fuezas aa establece la ecuación funaental e la Dináica ( La esultante e toas las fuezas que actúan sobe una atícula -satélite- es igual al oucto e su asa o la aceleación absoluta que exeienta ) en nuesto sistea, se obtiene la ecuación que escibe el oiiento el satélite aleeo e la Tiea: one es la enoinaa constante e Kele: F g F c Ec. 4 + ˆ, Ec [ 3 /( g seg )] [ g] 4[ 3 / seg ]. Ec. 6 Si ultilicaos ectoialente la Ec. 5 o el ecto e osición, se tiene que: + ˆ. Ec. 7 Si calculaos el alo e, esulta que: + (o Ec. 7). Ec. 8 y, o tanto: constante. Ec. 9 El téino se enoina oento angula obital el satélite (o unia e asa), y es constante. Se tata e un ecto eenicula al lano que foan los ectoes y. Paa que el ecto sea constante, la óbita escita o el satélite aa o ebe Mecánica obital

3 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón encontase en un lano. La Figua uesta la elación ente el oento angula y la elocia y osición el satélite. y o x o Figua. Moento angula el satélite. Así ues, la iea conclusión iotante que oeos euci es que el oiiento tiiensional el satélite uee analizase coo el oiiento en un lano (oblea en os iensiones), cuya oientación se esconoce y eucieos en los óxios áafos. Paa exesa la osición el satélite coniene usa las cooenaas olaes (,). El ecto elocia es tangente a la tayectoia, y uee escoonese en sus coonentes aial ( ) y tansesal ( ): ˆ + ˆ, Ec. coo se uesta en la Figua 3. O Figua 3. Descoosición e la elocia en sus coonentes aial y tansesal. Mecánica obital 3

4 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón Dao que se cule que: ˆ ˆ y ˆ ˆ, Ec. se tiene que: ˆ ˆ ˆ y ˆ ˆ ˆ Ec. Intoucieno estas igualaes en la exesión el ecto elocia : ( ˆ ) ˆ ˆ + { ˆ + { ˆ Ec. 3 Si sustituios la exesión anteio e la elocia en la Ec. 9, se tiene que: ( ˆ ) + ( ˆ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ constante Ec. 4 Nota que con el sistea e cooenaas efinio en la Figua, el oento angula tiene iección ˆ ˆ ẑ ẑ. Po tanto, uee escibise: constante. Ec. 5 Obseano la Figua 4, se euce que el ifeencial e áea baia o el aioecto e osición el satélite, A, uee exesase coo: A, Ec. 6 one se a aoxiao A o el tiángulo ectángulo ostao en la figua. Y calculano el áea baia o unia e tieo (o elocia e áea), uee concluise que: A constante. Ec. 7 De la Ec. 7 se euce la Ley e las Áeas o Seguna Ley e Kele, que se enuncia coo: Las áeas baias o el aioecto en tieos iguales son iguales. Mecánica obital 4

5 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón y o A x o Figua 4. Cálculo el ifeencial e áea baia o el aioecto e osición el satélite (Ley e las Áeas). A ati e la Ec. 3, oeos calcula la aceleación el satélite a en cooenaas olaes coo: a ˆ + ˆ + ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ + ( + ) ˆ a a Ec. 8 Un sistea coo el escito equiale al oiiento e una atícula bajo la acción e una fueza cental. En Mecánica esacial, ica fueza cental es la atacción gaitatoia e la Tiea, que sólo tiene coonente aial y asa o el oigen e cooenaas el sistea, que es el cento e la Tiea (unto O en la Figua 3). Paa eteina la tayectoia el satélite, sustituios la exesión e la aceleación en la Ec. 3 y en la Ec. 4 igualaos las coonentes aial y tansesal, e lo que esulta: Ec. 9 + Ec. Coonente aial: ( ) Fg Coonente tansesal: ( ) Si eiaos con esecto al tieo la Ec. 5, se tiene: ( ) + +, Ec. con lo que la coonente tansesal e la iguala Ec. uee exesase coo: Coonente tansesal:. Ec. Tenieno en cuenta la Ec., se uee calcula el téino coo: Mecánica obital 5

6 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón Mecánica obital 6 Ec. 3 Sustituyeno la exesión e en Ec. 9 y oeano, se tiene: 4 Ec. 4 Y acieno el cabio e aiable u quea: u u Ec. 5 Po tanto, la ecuación que escibe el oiiento el satélite en téinos e la aiable u iene aa o: u u +, Ec. 6 Que es una ecuación ifeencial e seguno oen. Su solución se obtiene suano la solución aticula, u, a la solución geneal e la ecuación oogénea, ( ) cos C u, sieno C una constante. Si escogeos el eje ola e anea que (osición el eigeo e la óbita) y esaceos el cabio e aiable, se tiene la exesión e la tayectoia el satélite en su lano obital: ( ) cos C cos C u + +. Ec. 7 La Ec. 7 es la exesión e una sección cónica en cooenaas olaes (,), estano uno e los focos en el oigen el sistea e cooenaas escogio. La ecuación geneal e esta failia e cuas es e la foa: [ ] cos e +. Ec. 8 El aáeto e es la enoinaa excenticia e la cónica, y eenieno e su alo, se obtienen ifeentes failias e cuas. En el sistea que estaos estuiano, uee

7 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón eostase tas eoena la Ec. 7 que los os aáetos que aaecen en la Ec. 8 (e y ) toan los aloes: e, Ec. 9 C C. Ec. 3 Los ifeentes aloes que uee toa e son:. Si e >, o C > /, ay os aloes e y - el ángulo ola efinio o cos / C aa los cuales el aio e la cónica se ace infinito. La sección cónica esultante es, o tanto, una iébola.. Si e, o C /, el aioecto se ace infinito aa 8º, esultano una aábola. 3. Si e <, o C < /, el aioecto eanece finito aa cualquie alo el ángulo. La sección cónica esultante es una elise. En el caso aticula e que e C, la longitu el aioecto es constante y la sección cónica es un cículo. De los casos anteioes, el único que nos inteesa aa los satélites e counicaciones es el últio, e <, uesto que es el único que esone a una tayectoia ceaa el satélite aleeo e la Tiea. El esto e casos, se tata e tayectoias que no obeecen a la atacción teeste, en las que el satélite se uee libeente (es el caso, o ejelo, e las sonas esaciales, coetas, eteoitos). Po tanto, uee enunciase la Piea Ley e Kele coo sigue: El satélite escibe una tayectoia elítica en un lano aleeo e la Tiea, eanecieno ésta en uno e los focos. Los aloes e los aáetos que efinen la tayectoia y e ueen ase tabién en función e las constantes el oblea, a sabe: el aáeto, la osición inicial (, ) y la elocia inicial el satélite ( ). Habitualente, suele toase coo instante inicial, que, en el caso e tayectoia elítica se coesone con el eigeo e la óbita. En este caso: + e ( ). Ec. 3 Los aloes e e y en función e los aáetos iniciales son:, Ec. 3 e. Ec. 33 Mecánica obital 7

8 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón En el caso e tayectoias elíticas, el esto e aáetos e inteés lo constituyen los seiejes ayo (a) y eno (b) e la elise, en función e la excenticia e y el aáeto. Coo se esene la Figua 5, existen os untos e inteés en la tayectoia. Uno e ellos es el eigeo (Ec. 3), que es unto e la tayectoia ás cecano a la Tiea (foco e la elise). El oto unto e inteés es el aogeo, o unto one el aioecto tiene una longitu áxia. Este unto se obtiene e la Ec. 8 acieno - π: a e ( π ). Ec. 34 Y Aogeo b a C ae M X Peigeo a(+e) a(-e) Figua 5. Tayectoia elítica. De la Figua 5, se tiene: Seieje ayo: a + a a ; Ec. 35 e Seieje eno: b a c b a a e a ( e ) a. Ec. 36 De la isa foa, uee coobase o las oieaes e la elise que el seieje ayo (a) uee calculase coo la eia aitética e las istancias áxia y ínia a uno e los focos, y el seieje eno (b) coo la eia geoética e abas istancias. La elocia inicial uee obtenese a ati e la conseación e la enegía el satélite o unia e asa. La enegía el satélite en cualquie unto e la óbita uee calculase coo la sua e la enegía otencial y la enegía cinética: E constante E constante'. Ec. 37 Mecánica obital 8

9 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón Dao que la enegía se consea en toa la tayectoia, oeos calculala en el instante inicial: E ( e ) ( e) a( e) a a. Ec. 38 a Y esejano, esulta: E +. Ec. 39 a Un aáeto iotante e la tayectoia obital es el eioo obital T, o tieo que taa el satélite en escibi una óbita coleta. Su alo uee obtenese igualano el áea total baia o el satélite (áea e una elise) con el tieo total inetio (eioo obital). A ati e la Ec. 7 se tiene: A A π a b T. Ec. 4 T T Sustituyeno los aloes e y b e acueo con las Ec. 3 y Ec. 36, esectiaente, y esejano T (aa una tayectoia elítica), se tiene: π a b π a a a3 / T π, Ec. 4 / e one se esene la Tecea Ley e Kele: Los cuaaos e los eioos obitales e os satélites tienen la isa elación que los cubos e los seiejes ayoes e sus óbitas. La elocia angula eia el satélite en su óbita η se calcula coo: η π T. Ec. 4 a3 Ota elación iotante que uee eiase ente las coniciones iniciales e elocia y osición (, ). De las Ec. 7 a Ec. 3 se ueen euci que en el caso e la óbita aabólica las siguientes elaciones: C. Ec. 43 esc Un alo ayo e la elocia inicial, coesone a una tayectoia iebólica, ientas que un alo eno, nos a una tayectoia elítica. Po tanto, el aáeto esc, enoinao elocia e escae, nos inica el alo as equeño e la elocia Mecánica obital 9

10 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón inicial aa el cual el eículo esacial no egesa a su unto e atia. Este aáeto tiene gan iotancia cuano se aboa el estuio el lanzaiento y uesta en óbita e satélites. En el caso aticula e que el aáeto C, uee obtenese la elocia inicial el satélite cuano su tayectoia es cicula: C cic. Ec. 44 Mecánica obital

11 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón DETERMINACIÓN DE LA POSICIÓN DEL SATÉLITE EN SU ÓRBITA EN FUNCIÓN DEL TIEMPO. ANOMALÍAS A ati e aoa tabajaos con tayectoias elíticas, que son las que nos inteesan aa el estuio e satélites e counicaciones. Lo que eos obtenio asta aoa es la ecuación e la tayectoia. Sin ebago, no conoceos cuál es la osición el satélite en la óbita en función el tieo. Paa eteinala, es eciso lantea una ecuación ifeencial, que se lantea ecueano la aiable tieo e la exesión e ecogia en la Ec. 5 y lleano el esultao a la ecuación e la elise () (Ec. 8), e caa a obtene la exesión buscaa e. Sustituyeno en las ecuaciones encionaas se obtienen las siguientes exesiones: De Ec. 5 y Ec. 9:. Ec. 45 De Ec. 8: cos + e cos. e Ec. 46 Deiano la Ec. 46 esecto el tieo se obtiene: sen e e e e [ ( e ) ] e [ e ( ) ] Sustituyeno el alo e la excenticia según la Ec. 35, se tiene:. Ec. 47 a a a ( ) [ a + a] a [ a ( e ) + a] [ a e a + a]. Ec. 48 Y, finalente: [ a e ( a ) ]. Ec. 49 a Mecánica obital

12 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón Paa esole esta ecuación, aos a consiea la geoetía e la Figua 6, one la óbita se encuenta cicunscita en una cicunfeencia e aio a (seieje eno e la elise), y one se efinen los siguientes ángulos: anoalía excéntica, E, y anoalía eia, M. Y b E M ae a a(-e) X Figua 6. Geoetía aa la eteinación el satélite en la óbita. Definición e anoalías. De la oia figua, se euce que: a cos E ae + cos c + cos, Ec. 5 De one tenieno en cuenta las Ec. 8 y Ec. 35, se eia una exesión aa el cálculo e la anoalía excéntica E: a( e ) cos a cos E ae + + e cos e( + e cos ) + ( e ) cos e + cos cos E + e cos + e cos. Ec. 5 De la isa foa, uee calcula la anoalía eaea y el aioecto a ati e E: a cos E cos E e cos. cos E Ec. 5 cos E e ae + a( e cos E). cos E Ec. 53 Mecánica obital

13 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón Intoucieno la Ec. 53 en la ecuación ifeencial aa ecogia en la Ec. 49, se E obtiene una exesión aa : ae sene E E a aa e aa ( e cos E) sene a ( e cos E) E [ a e ( ae cos E) ] ± esene e cos, Ec. 54 ( e cos E) E, Ec. 55 a3 e cos E a3 E esene ( t t ). Ec. 56 a3 El aáeto t eesenta el instante e aso o el eigeo, oento en el que E. Po la existencia e os aíces, existen os soluciones e la anteio ecuación: el signo negatio e la aíz coesone a un satélite giano en sentio contaio. Puee efinise la anoalía eia M coo el ángulo que foaía con el seieje el eigeo un satélite ficticio que se oiea a elocia constante o la cicunfeencia e aio a en la que se inscibe la óbita elítica. Po tanto, el alo e M uee obtenese a ati e la elocia angula eia η coo sigue: M ( t ) η. Ec. 57 t Es inteesante aeás calcula M a ati e la anoalía excéntica E. Paa ello, lanteaos la geoetía e la Figua 7. En el intealo (t-t ), el áea baia o el aioecto e osición el satélite,, es el áea el tiángulo FPB. Coo bae áeas iguales en tieos iguales (Seguna Ley e Kele), la facción e áea que bae el satélite es una facción el áea e la elise aa o: Áea FPB ( t t) ( t t) Áea elise πab. Ec. 58 T T Si nos fijaos en el tiángulo FP B, el áea baia en el iso intealo (t-t ) iene aa o: Áea FP' B ( t t) ( t t) Áea cículo πa. Ec. 59 T T Po oto lao, el áea el tiángulo FP B uee calculase coo el áea el secto cicula OP B enos el tiángulo OP F: Áea FP'B Áea Áea, Ec. 6 OP'B OP'F Mecánica obital 3

14 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón ( t t) T E π a πa ae asene Ea a e sene, Ec. 6 π ( t t) π a Ea a e sene. Ec. 6 T Multilicano abos iebos e la Ec. 57 o /a, y ecoano la efinición e anoalía eia M aa en la Ec. 57, se eia la elación buscaa ente E y M coo: M E esene, Ec. 63 exesión conocia coo ecuación e Kele. De la Ec. 56, se tiene que la anoalía eia aía linealente con el tieo e acueo con la exesión: M a3, Ec. 64 coo se euce aeás e la efinición en Ec. 57. P P O E F B Figua 7. Geoetía aa el cálculo e la anoalía eia (M) en función e la anoalía excéntica (E). Po tanto, conocieno la excenticia e la óbita (e), el seieje ayo e la elise (a) y el tieo e aso o el eigeo (t ), se uee obtene la osición el satélite en la óbita e la siguiente foa: º Se calcula la elocia angula eia η según la Ec. 4. Mecánica obital 4

15 Counicaciones o Satélite Raón Matínez Roíguez-Osoio, Miguel Calo Raón º Se eteina la anoalía excéntica E según la Ec. 63 o étoos iteatios coo el algoito e Newton-Rason: f ( E) ( E) f' E esene M f E E e cos E f' ( E) ( E) ( E cos E sene) M e e cos E. Ec. 65 Los aloes iniciales e E aa coenza la iteación ueen seleccionase coo: a) EM: se gaantiza una áia conegencia si e<.99; b) Eπ: siee conege, aunque e anea ás lenta. 3º Se eteinan las cooenaas olaes eiante las ecuaciones siguientes: a( e cos E), Ec. 66 a( e ) cos. Ec. 67 e 4º Las cooenaas catesianas el satélite en el sistea e cooenaas obitales se obtienen e anea iecta coo sigue: x y cos, Ec. 68 sen, Ec. 69 z. Ec. 7 Una ez eteinaa la osición el satélite ento e la óbita, el siguiente aso es calcula la oientación e la óbita esecto a la Tiea. Paa ello, es eciso efini las tansfoaciones e cooenaas ente el sistea eifocal ostao en la Figua (x, y, z ) y un sistea e cooenaas e un usuaio o estación sobe la sueficie e la Tiea. Mecánica obital 5