Optimising a two-echelon capacity-constrained material requirement manufacturing system using a linear programming model

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1 INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 30 No. 1, ABRIL DE 2010 ( ) Apliaión de un modelo de programaión lineal en la optimizaión de un sistema de planeaión de requerimientos de materiales (MRP) de dos esalones on restriiones de apaidad Optimising a two-ehelon apaity-onstrained material requirement manufaturing system using a linear programming model Liliana Delgado Hidalgo 1 y Hétor Hernán Toro Díaz 2 RESUMEN Se implementa un modelo de programaión lineal entera mixta que representa un sistema de manufatura de dos esalones, on la intenión de determinar deisiones óptimas de aprovisionamiento de materias primas o omponentes. El modelo se programa usando software de modelaión algebraia y se integra a una herramienta omputaional desde la ual se administra el ingreso de los parámetros y la obtenión de resultados. El modelo es validado en un ambiente real de manufatura, observando que además de representar fielmente el sistema se obtienen deisiones de aprovisionamiento que minimizan el osto total, objetivo del modelo, y a las uales no se llegaría usando el esquema de álulo propuesto por el MRP. Palabras lave: planeaión de requerimientos de materiales (MRP), lanzamiento de órdenes de produión/ompra, manufatura de dos esalones. ABSTRACT A mixed integer linear programming model representing a two-ehelon manufaturing system was implemented. Optimal deisions ould be made about raw material/omponent provisioning by using the model. The model was programmed by using an algebrai modeller whih was then integrated into a omputational tool from whih defining parameters ould be managed as well as onsulting the results one the model had been exeuted. The model was validated on a real manufaturing system; besides providing good representation of the system, optimal provisioning deisions were also reahed. The artile emphasises that suh deisions annot be made by using usual MRP reasoning. Keywords: material requirement planning (MRP), prodution/prourement lot sizing, two-ehelon manufaturing system. Reibido: febrero 16 de 2009 Aeptado: marzo 1 de 2010 Introduión La planeaión de requerimientos de materiales (MRP por las siglas de Materials Requirement Planning), fue formalizada en el trabajo pionero de Orliky (1975). Segerstedt (1996) presentó una formulaión algebraia de las operaiones subyaentes en el álulo de un MRP. Varios trabajos han sugerido la ombinaión de las ideas del MRP on ténias de optimizaión, de modo que no se obténgan simplemente planes de produión fatibles sino también eonómiamente atrativos. Se pueden itar los trabajos de Billington et ál. (1983), Chu (1995), Rota (1997), Clark (2003) y Yenisey (1998, 2005), en tal direión. Mula et ál. (2006) y Esudero y Kamesam (1993) estudiaron la optimizaión de un MRP en un panorama de inertidumbre, los primeros usando una aproximaión Fuzzy, en tanto que Esudero y Kamesan usaron la generaión de esenarios. Para un sistema produtivo en el ual el tamaño de orden es una onstante, Golhar y Sarker (1992) probaron un modelo generalizado de ontrol de inventarios, en el ual el tiempo de produión y los tiempos de alistamiento son múltiplos enteros del intervalo entre envíos. La funión de osto total es onvexa, aunque on intervalos lineales, y se muestra que, bajo iertas ondiiones el osto total se redue en onjunto on la disminuión del tamaño de envío. Jamal y Sarker (1993) investigaron un sistema justo a tiempo (JIT) en el ual las polítias de ordenamiento de las materias primas y el tamaño de lote de ellas fueron inluidas en un modelo. Sarker y Parija (1994, 1996) extendieron el trabajo de Golhar y Sarker (1992), introduiendo el álulo de polítias de aprovisionamiento de materias primas para un ambiente de múltiples órdenes de produión ativas, en un ambiente de manufatura de dos esalones. Se estudió el efeto de los ostos fijos y la soluión final propuesta es la aproximaión de la versión entera del problema. Chu (1995) desarrolló un modelo de programaión lineal sujeto a restriiones de suministro, demanda total y disponibilidad de reursos, representativo de una situaión en donde se deben seueniar las operaiones finales de un proeso de produión. El modelo optimizó la funión de utilidad e hizo énfasis en una estrategia de 1 Ingeniera Industrial, Universidad del Valle, Colombia. Asistente de Doenia, Esuela de Ingeniería Industrial y Estadístia, Faultad de Ingeniería, Universidad del Valle, Colombia. lidehi@gmail.om 2 Ingeniero industrial, Espeialista en Logístia y M.S., en Ingeniería, Universidad del Valle, Colombia. Profesor Asistente, Departamento de Cienias de la Ingeniería y la Produión, Pontifiia Universidad Javeriana, Colombia. htoro@javerianaali.edu.o 168

2 DELGADO, TORO optimalidad agregada del sistema, en ontraste on la optimizaión loal. Nori y Sarker (1996) adaptaron el modelo de Sarker y Parija (1996), analizando el aso de osto fijo de alistamiento y el aso en el ual este osto fijo varía a lo largo del tiempo. Segerstedt (1996) presentó las fórmulas que subyaen en los álulos de un MRP; sin embargo, la formulaión suministrada no propone optimizaión, al ontrario del modelo desarrollado por Chu (1995). Yenisey (1998) brindó un primer estudio de la red de optimizaión del MRP, pero el estudio tiene algunas defiienias para expresar todos los aspetos de un sistema MRP, por lo ual, en su nueva investigaión (2005) se desarrolla un modelo de optimizaión mejorado. Diho modelo se basa en el enfoque de red de flujo, on araterístias de optimizaión. El modelo se onstruye de modo que exprese la estrutura de árbol de produto (BOM Bill of Materials) omo algunas restriiones. Inluye los tiempos de suministro de omponentes y de materia prima. Yenisey onsidera que el MRP tiene una falla referente a tamaños de lote fijos, el modelo disutido en sus investigaiones trata diha falla apliando la polítia lote a lote. Clark (2003) propone tres modelos de programaión entera mixta para un sistema de manufatura, y demuestra que los modelos de red de flujo se pueden soluionar más rápido y efiientemente que los desarrollados en forma lineal. El presente trabajo reporta la implementaión de un modelo de programaión lineal que representa un ambiente real de manufatura de dos esalones. El modelo inluye restriiones de apaidad y deisiones de aumulaión de inventario. La implementaión se hae desarrollando una herramienta omputaional para usuarios finales. Un ambiente de manufatura de dos esalones ha de entenderse omo un sistema en el ual los árboles de produto (lista de materiales) se omponen úniamente de dos niveles: un primer nivel para el produto final propiamente diho, y un segúndo nivel en el ual están todas las materias primas/omponentes requeridos en iertas proporiones para la elaboraión de una unidad de produto final. En tal sentido, este sistema puede ser apliado de manera que la entrada sean materias primas y la salida omponentes, o que la entrada sean omponentes y materias primas y la salida los produtos terminados. La araterístia de dos esalones no resta generalidad, pues omo se meniona e ilustra en el trabajo de Billington et ál. (1983), es posible reduir los árboles de produto para haer que los modelos sean más tratables omputaionalmente, sin que ello signifique pérdida de representatividad. El modelo de programaión lineal se implementa en un lenguaje de alto nivel para modelaión algebraia (ILOG OPL 3.7), y se desarrolla una herramienta omputaional a partir de software de diseño de bases de datos donde se rea interfaz de usuario final mediante formularios de ingreso y aeso a datos, así omo a los resultados obtenidos. Cabe resaltar la importania de la onexión heha entre la base de datos desarrollada en Mirosoft Aess 2003 y el modelo matemátio, pues mediante módulos del software ha sido posible rear una interfaz gráfia que simplifia el ingreso de parámetros, ejeuión y visualizaión de resultados. La i- dea es mostrar que mediante el uso de tenologías de omputaión que ada vez son más fáiles de enontrar en el merado empresarial, es posible automatizar tareas y apoyar el proeso de toma de deisiones, en el mejor de los asos, terminando on deisiones óptimas. A ontinuaión se aborda la formulaión del modelo matemátio y la programaión e integraión de éste en la herramienta de base de datos. Posteriormente se presentan los resultados del modelo apliado a un aso de estudio y se disute aera de ellos. Al final se ofreen las onlusiones y perspetivas futuras de investigaión. Desarrollo del modelo matemátio Se asume onoer el valor de requerimiento de produtos finales, omo resultado de un plan maestro de produión (PMP); el osto de mantenimiento de inventario (CMI ) empleado en los parámetros del modelo es el produto entre el fator osto del valor unitario del ítem C ($/unidad) y el osto de llevar el inventario expresado en %/año o en $/($*año); el modelo es multiproduto; se permite el almaenamiento de inventario de omponentes/materia prima y se asumen ostos fijos en el tiempo, tanto de adquisiión omo de ordenar; el lead time, bien sea de produión o de suministro, se da por onoido on erteza y que además orresponde a un número entero de periodos de planeaión onsiderados en el modelo. Funión objetivo CMP CO Y i + CF A i + C X ij + CMI CMP j > i, P ( j i LT ) + X ij CMI II : j i+ LT CMP CMP j; j i Restriiones impuestas al modelo ( X i P : j> i UR ij + invini ) = DC, j P, CMP j j (1) invini j (2) inv _ ini X X CAPA s P j P j s j + sj + ij, ;( > ) ; j> s; LT = 0 i< s, ;( i+ LT ) s (4) CMP < LT X CMP ;( j> i) invini X ij i CMP j ij II CMP CAPP, i P DCj Yi, i P, CMP Y CPM A, i P i 0( i, j ), invini j 0( j, ),, { 0,1 } X ij, i (5) (6) (7) (8) (3) Y (9) i A i Donde P se refiere al onjunto de periodos, usando los índies i, j, s; PDT es el onjunto de produtos, y usa el índie p; y CMP es el onjunto de omponentes, on índie. Definiión de parámetros LT = Valor esperado del tiempo de produión/entrega del omponente [días] C = Costo de produión/ompra del omponente [$ / omponente] CMI = Costo de mantenimiento de inventario del omponente [$ / omponente * día] CO = Costo de ordenar el omponente [$ / orden] UR = Volumen oupado por el omponente [unidad de volumen / omponente] INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 30 No. 1, ABRIL DE 2010 ( ) 169

3 APLICACIÓN DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN LA OPTIMIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES (MRP) CAPA = Capaidad de almaenamiento de la bodega [unidad de volumen] CAPP i = Capaidad de produión en el periodo i [horas] CF = Costo fijo de ordenar [$] UCP p = Unidades requeridas del omponente para fabriaión del produto p [unidades de omponente / unidad de produto] D pj = Demanda de produto p para el periodo j [unidades de produto p] DC j = Es un parámetro indireto, pues el usuario ingresa la demanda del produto final y la lista de materiales y on base en esta última la herramienta alula la demanda de omponente en el periodo j usada en el modelo [unidades de omponente] II = inventario iniial del omponente en el periodo de iniio del horizonte de planeaión [unidades de omponente] Variables de deisión X ij = antidad del omponente a produir/omprar en el periodo i para abasteer la demanda del periodo j [unidades de omponente] Y i = variable binaria asoiada a ordenar el omponente en el periodo i, igual a 1 si se realiza la orden de diho omponente en diho periodo e igual a 0 (ero) en aso ontrario. A i = variable binaria asoiada a ordenar en el periodo i, igual a 1 si se efetúa una orden en diho periodo e igual a 0 (ero) en aso ontrario. invini j = antidad del inventario iniial del omponente tipo que será usado para satisfaer la demanda del periodo j. Las euaión (1) representa los ostos fijos asoiados a ordenar y ostos variables de produión/ompra. El primer término hae referenia al osto marginal de una orden por inluir omponentes tipo, mientras que el segundo onsidera el osto fijo por el solo heho de ejerer la aión de ordenar independientemente del tipo de omponente. El terer término hae referenia al osto de produir/omprar todo tipo de omponentes en ualquier periodo para ser usado en ualquier otro periodo posterior. En vista de que el modelo onsidera la opión de omprar o produir omponentes en periodos anteriores a aquellos en que se requiere, estos omponentes se almaenarían omo inventario, por lo ual existe un osto asoiado a ello, onsiderado en la euaión (2), que resulta de la multipliaión del osto de los omponentes a ordenar por el osto de mantener diho inventario durante un periodo, multipliado por el número de periodos que estaría almaenado, es deir, la diferenia de tiempo entre el periodo en que se usará y el periodo en que se ordenó. La segunda parte de esta euaión hae referenia al osto del almaenamiento de las unidades del inventario iniial que van quedando luego del uso que se le haya dado a éste en periodos anteriores. La restriión (3) asegura que la demanda de un omponente para un periodo j debe ser satisfeha a partir de la antidad del omponente ordenado en periodos anteriores, en onjunto on la antidad de omponentes del inventario iniial que se haya destinado para usar en diho periodo j. Nótese que en la anterior e- uaión no se ha formulado el retraso de la demanda de omponentes on respeto al LT, pues omo se expliará más adelante el parámetro D j se retrasa un periodo igual al LT mediante la herramienta omputaional. La restriión (4) implia que la apaidad de almaenamiento en un periodo dado debe ser mayor o i- gual a lo oupado por los omponentes que estén en almaenamiento en ese momento. La restriión (5) establee que la apaidad de produión (o apaidad de suministro, si fuera el aso de ompra) en unidades de tiempo en un periodo dado i, debe ser mayor o igual al tiempo usado en la produión de omponentes en diho periodo. Esta restriión ha de entenderse omo la limitante de la apaidad de produión o de la apaidad del proveedor. La restriión (6) garantiza la onordania de la distribuión que se realiza del inventario iniial para satisfaer la demanda de los diferentes periodos. En la restriión lógia (euaión 7) nótese que si el modelo determina que no se debe ordenar el omponente tipo en el periodo i, la variable binaria Y i tomará el valor ero, lo ual implia que la antidad a ordenar del omponente en el periodo i para satisfaer ualquier periodo también debe ser igual a ero. De otro modo, si la variable binaria Y i toma el valor 1, la restriión implia que la antidad máxima a ordenar en un periodo dado i será la sufiiente para abasteer la totalidad de la demanda en el horizonte de planeaión futuro. La restriión (8) es del mismo tipo que la restriión 7, y ontrola la posibilidad o no de ordenar (ualquier omponente) en un periodo dado i. El máximo valor que tomará la sumatoria de binarias será el total de número de omponentes, por lo ual se usa la ardinalidad del onjunto de omponentes. Por último, se enuentran las restriiones de dominio sobre las variables de deisión (restriión 9). Herramienta de gestión del modelo Se ha diseñado en Mirosoft Aess 2003 tanto la base de datos que administra los parámetros y resultados del modelo, omo la interfaz gráfia de usuario. En ella pueden enontrarse: 1) formularios que permiten el ingreso de parámetros que perteneen a un únio onjunto; 2) el proedimiento que retrasa la demanda del produto final ingresada por el usuario on respeto al tiempo de suministro; 3) el proedimiento que realiza la explosión de materiales alulando la demanda de omponentes en ada periodo, originado a partir de la demanda (retrasada on el tiempo de suministro) de los produtos y de la lista de materiales; 4) el proedimiento que ejeuta el modelo programado en OPL desde la base de datos de Aess; 5) una onsulta que permite la adiión de nuevos elementos a los onjuntos prinipales; y, por último, 6) formularios que reportan los resultados de las variables prinipales del modelo. El siguiente diagrama de flujo ilustra el esquema de funionamiento de la herramienta. Análisis de resultados del aso de estudio Se trabaja on la adaptaión de un aso de estudio reportado en la tesis de maestría de Gutiérrez (2006). El ontexto de este aso es el de una empresa del setor de alimentos de onsumo masivo, dediada a la produión y distribuión de produtos alimentiios a base de maíz, plátano y arroz. El aso de estudio uenta on un onjunto de 20 produtos y 21 omponentes, y se modela un horizonte de planeaión de 30 días. El modelo resultante para este aso de estudio onsta de variables de deisión de naturaleza ontinua, 660 variables binarias y restriiones. Se realiza la validaión del modelo y la herramienta haiendo variaiones en algunos de los parámetros on el fin de onoer su respuesta ante tales ambios. La tabla 1 muestra los ambios on 170 INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 30 No. 1, ABRIL DE 2010 ( )

4 DELGADO, TORO su respetiva inidenia en el valor de la funión objetivo y en la estrutura de la soluión. en la variable X), y omplementar la demanda de este periodo haiendo uso de la antidad en exedente de inventario (reflejado en la variable invini) on el fin de evitar inurrir en un osto adiional por motivo del almaenamiento de dihas unidades. Tabla 2. Análisis de resultados de algunas de las variables X en el primer periodo Figura 1. Estrutura de la herramienta omputaional Tabla 1. Efeto en los resultados del modelo a ausa de la variaión de algunos parámetros Parámetro Variaión Resultado Reduirlo a una antidad inferior a la requerida para satisfaer la Afeta la fatibilidad del modelo. demanda durante el tiempo de suministro. Inventario iniial El modelo prefiere usar el inventario Aumentarlo a una iniial para satisfaer la demanda antidad durante todo el horizonte de signifiativamente planeaión, antes que inurrir en un grande. osto adiional por ordenar. Capaidad de produión Reduirla a ero. Afeta la fatibilidad del modelo. Tiempo de suministro Costo de ordenar por omponente Costo de almaenamiento de inventario Aumentarlo a un tiempo mayor al horizonte de planeaión. Si es ero o muy bajo. Si es extremadamente alto. Si es ero. Si es signifiativamente alto. Afeta la fatibilidad del modelo. El modelo prefiere ordenar ada periodo lo de la demanda requerida, teniendo en uenta el tiempo de suministro. El modelo prefiere ordenar en el periodo iniial y satisfaer la demanda a partir de esa orden durante todo el horizonte de planeaión. El modelo prefiere ordenar en el periodo iniial y satisfaer a partir de esa orden la demanda durante todo el horizonte de planeaión. El modelo prefiere ordenar ada periodo lo de la demanda requerida, teniendo en uenta el tiempo de suministro. Igualmente, se realiza la oniliaión de los parámetros de demanda de omponentes durante su tiempo de suministro y el inventario iniial de ada omponente on el fin de evaluar la fatibilidad del modelo, pues durante el tiempo de suministro la únia forma que se tendría para responder a la demanda es por medio del inventario. Como resultado de esta oniliaión puede observase que para la mayoría de omponentes (exepto MP15) es neesario ordenar en el periodo 1, ya que el exedente en inventario no es sufiiente para satisfaer la demanda del periodo LT + 1 (Tabla 2). Debido a lo anterior, el modelo está obligado a inurrir en el osto de ordenar en el primer periodo para satisfaer la demanda del periodo LT + 1, y de heho se ordena la diferenia entre lo requerido por la demanda y el exedente del inventario iniial (reflejado MP LT Demanda durante LT Inventario Exedente Iniial en invini D j ; j = LT+1 Exedente en invini - Demanda Xij; i=1, j = LT + invini ij ; j = LT +1 1 MP MP MP MP MP MP MP MP MP MP MP Para el aso partiular de la materia prima MP15 era de esperarse que la variable a ordenar en el primer periodo fuera igual a ero, ya que el exedente en inventario iniial (205 unidades) es superior a la demanda del periodo LT + 1; de heho este exedente alanza a ubrir la demanda de los oho periodos siguientes al tiempo de suministro (periodos 5 al 12). En un MRP tradiional, bajo la ténia de lote a lote, la deisión sobre uánto ordenar sería la antidad exata requerida on base en la explosión de materiales, teniendo en uenta el nivel de inventario; y uándo ordenar sería la diferenia entre el momento en el ual se requieran los omponentes y su tiempo de suministro. Como puede observarse, este esquema no onsidera el almaenamiento de omponentes omo una posible alternativa para reduir ostos, al haer uso de las ventajas que traen onsigo las eonomías de esala. Es ierto que on otras ténias de tamaño de lote se da la posibilidad de almaenamiento; sin embargo estas ténias no optimizan ostos, pues no se analiza el sistema omo un todo sino que se debe realizar la ténia por ada omponente, lo ual, además de no minimizar ostos, también aumenta la omplejidad del proeso. En ontraposiión a lo anterior, tal omo lo muestran los resultados de las variables a ordenar para los omponentes MP13, MP18 y MP3 (la soluión de la MP3 se muestra en la tabla 3), el uso del modelo y la herramienta permite el aprovisionamiento de omponentes/materia prima en periodos anteriores a los requeridos (on base tan sólo en el tiempo de suministro), on el fin de optimizar el osto asoiado a este proeso, analizando todas las posibles opiones y ombinaiones de orden y almaenamiento en los diferentes periodos. Es preisamente esa araterístia la que hae de esta herramienta una mejor opión en el proeso de determinaión de órdenes de ompra/produión de materia prima/omponentes, en ontraste on el MRP tradiional. La soluión propuesta disminuye de heho el osto total relevante. En el aso espeífio, el motivo por el ual el modelo prefiere ordenar previamente y haer uso de la opión de almaenamiento de los omponentes MP13, MP18 y MP3, es porque para éstos e- xiste un osto por orden adiional que depende del omponente en partiular, por lo ual si son ordenados en diversas oasiones el osto total asoiado a este proeso se verá inrementado signifiativamente, pues supera el osto asoiado a su almaenamiento. Este osto de ordenar por omponente partiular se interpreta omo INGENIERÍA E INVESTIGACIÓN VOL. 30 No. 1, ABRIL DE 2010 ( ) 171

5 APLICACIÓN DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN LA OPTIMIZACIÓN DE UN SISTEMA DE PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES (MRP) un alistamiento más ompliado que para el resto de los omponentes (es la situaión del aso real en estudio) o omo un osto fijo derivado de una relaión ontratual on un proveedor. Este último aso se presenta uando los proveedores de diho material son muy poos. Tabla 3. Soluión de la variable X del omponente MP3 Este proyeto puede ser ampliado al uso de algunas araterístias estoástias, por ejemplo, la inlusión de una funión de osto que dependa de variables aleatorias. Otra área de investigaión para este estudio sería el uso de otras ténias de tamaño de lote. En este aso se ha utilizado el aeramiento de tipo lote a lote (L x L); sin embargo, diversas ténias podrían probarse desde el punto de vista de la efiaia eonómia agregada. El enfoque de optimizaión usado para el desarrollo de la herramienta permite saar proveho a oportunidades que bajo un esquema de MRP lásio, on ténia lote a lote, no se tienen en uenta, ya que on este último la respuesta a uándo ordenar estaría dada simplemente por un desplazamiento haia atrás en el tiempo, teniendo en uenta el periodo de suministro, busando oinidir on el momento en que se requieren los omponentes. Esta aión umple on el plan de satisfaión de demanda pero no tiene en uenta un potenial ahorro marginal en los ostos debido al aprovisionamiento de materias primas o omponentes más allá del retardo del tiempo de reposiión o de produión. Con la araterístia adiional de optimizaión se logra tener en uenta este ahorro, ya que la agrupaión de unidades de varios periodos logra la disminuión de los ostos de mantener y ordenar, reduiendo on ello el osto total. Bibliografía Otra posibilidad que podría ourrir en ambientes del mundo real onsiste en que los ostos, tanto de adquisiión omo de ordenar, varíen a lo largo del tiempo, por razones omo tasa de ambio, o en el aso de que las materias primas se ompren en merados subastados, donde de un día a otro la otizaión puede ambiar, y aunque la herramienta trabaja bajo el supuesto de ostos fijos en el tiempo, las modifiaiones al modelo serían mínimas para representar tal esenario. Con mayor razón, en un ambiente de ostos variables, abría esperarse que la araterístia de optimizaión identifique los mejores periodos de lanzamiento de órdenes, balaneando un bajo osto de adquisiión/produión, ontra los ostos fijos y de almaenamiento. Conlusiones El presente trabajo se suma a otros esfuerzos aadémios y prátios que han abordado la modelaión de sistemas de manufatura en los que el MRP es una herramienta de planeaión usual de produión. Se logra representar un sistema real de manufatura de dos esalones mediante un modelo matemátio sujeto a las restriiones de apaidad del entorno de fabriaión y las ondiiones propias del tipo de produto o empresa. Además, se logran derivar soluiones de produión/ompra que minimizan el osto de satisfaión de la demanda, en ontraste on las soluiones que atualmente se implementan, las uales se oupan sólo de la fatibilidad de los planes de produión. La herramienta omputaional de gestión también permite avanzar en el panorama en que la programaión automatizada de la produión pueda ser desarrollada sin neesidad de que el personal enargado tenga onoimiento en modelaión matemátia, pues en ello se desarrolla una interfaz de usuario para lograr un a- eramiento a la herramienta y uso del modelo matemátio, on failidad en el manejo y reoleión de datos. Es deir, para efetos prátios los planeadores de produión seguirían usando su misma interfaz atual de MRP. Billington, P. J., MClain, J. O., Thomas, L. 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