3. Cinemática de la partícula: Sistemas de referencia

Transcripción

1 3. Cinemática de la partícula: Sistemas de referencia Cinemática de la partícula Coordenadas intrínsecas y polares Algunos casos particulares de especial interés

2 3.1.- Cinemática de la partícula Definición de cinemática Sistemas de referencia Posición, velocidad y aceleración Cambios de sistema de referencia

3 Definición de cinemática Cinemática: descripción del movimiento (sin tener en cuenta las causas que lo producen) Elementos básicos de la cinemática: Espacio: Se admite la existencia de un espacio absoluto, donde ocurren los fenómenos físicos. Todas las leyes se cumplen rigurosamente en todas las regiones del espacio Tiempo: Se admite la existencia de un tiempo absoluto, que trascurre del mismo modo en todas las regiones del Universo Móvil. El más simple va a ser el punto material o partícula (es una idealización de los cuerpos de la naturaleza)

4 Sistemas de referencia Un sistema de referencia o referencial va a describir el movimiento de la partícula en el espacio en función del tiempo. Un sistema de referencia va a quedar definido por: Un origen O, un punto en el espacio físico Una base vectorial del espacio asociado a dicho espacio físico

5 Sistema de coordenadas cartesianas En el espacio 3D, elegimos un punto cualquiera como origen (O) y una base vectorial formada por los vectores unitarios ortogonales {i, j, k} (Se elige un triedro directo). Una partícula se encuentra en movimiento respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo Si la posición no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial

6 P

7 P Q

8 Posición, velocidad y aceleración - Posición Consideremos un cierto instante t: P P r

9 r(t) : vector posición r(t)= x(t)i + y(t)j +z(t)k Ecuación vectorial x= x(t) y= y(t) z= z(t) Ecuaciones paramétricas s = O O P trayectoria (curva indicatriz de r(t)) s =s(t) Ecuación intrínseca Eliminando el tiempo de las ecuaciones paramétricas: (Intersección de superficies, pérdida de información) f 1 (x, z) = 0 f 2 (y, z) = 0 Ecuación geométrica

10 Problema 3.1 Una partícula se mueve recorriendo una circunferencia de radio r (movimiento en 2 dimensiones), de forma que el ángulo que recorre varía en función del tiempo (t) como θ=ω.t, siendo ω constante. Describir el movimiento de la partícula a través de la ecuación vectorial del movimiento, ecuaciones paramétricas, ecuación intrínseca y ecuación geométrica.

11 - Velocidad Consideremos los instantes t y t+ t: P Q t t+ t

12 s Z r P r s Q t PQ = s arco PQ = r desplazamiento X O r(t+ t)=r+ r Y OQ = r + r Velocidad media < v > = r t Dirección y sentido secante a la trayectoria Depende de t: poca información

13 Velocidad instantánea v r dr = lim = = r t > 0 t dt Notemos que v es un vector tangente a la trayectoria v = v = r s lím t s ds et = v e dt t 0 t = lím s 0 r s lím t 0 s t e t vector unitario tangente a la trayectoria Celeridad: módulo de la velocidad v = v e t

14 En coordenadas cartesianas (vectores unitarios constantes) r=xi+yj+zk v = dr dt = dx dt i + dy dt j + dz dt k = v x i + v y j + v z k Componentes cartesianas del vector velocidad ds 2 2 v = = vx + vy + dt v 2 z

15 - Aceleración Aceleración media a = v t Aceleración instantánea a = lím t 0 v dv = = t dt La aceleración tiene la misma dirección que el cambio instantáneo de velocidad apunta hacia la concavidad de la curva d 2 dt r 2 a a v v a v

16 Z v 2 v 3 Indicatriz de la posición trayectoria NOTA. Indicatriz de una función vectorial: curva resultante de unir los extremos de dicha función vectorial v 1 a = a = a = r 1 r 2 r 3 r 4 O X Y En coordenadas cartesianas (vectores unitarios constantes): dv dv dvy x dv z = i + j + k = a dt dt dt dt d r d x d y d z = i + j + k dt dt dt dt a 2 x + a 2 y + a 2 z v 4 x i + a y j + a z k v 1 v 2 v 3 v 4 a 4 a 3 a 1 a 2 Indicatriz de la velocidad (también llamada hodógrafa)

17 Problema 3.2 Una partícula se mueve recorriendo una circunferencia de radio r (movimiento en 2 dimensiones), de forma que el ángulo que recorre varía en función del tiempo (t) como θ=ω.t, siendo ω constante. Determinar los vectores v y a de la partícula en coordenadas cartesianas {X,Y}. Y X

18 Problema 3.3 La posición de un punto material que se mueve a lo largo de una recta viene dado por: x=2t 3-24t+6 donde x se mide en metros, desde un origen conveniente, y t, en segundos. Determinar: a) el tiempo que emplea el punto en adquirir una velocidad de 72 m/s; b) la aceleración del punto cuando v=30 m/s; c) el desplazamiento del punto en el intervalo de t=1 s a t=4 s; d) la distancia total recorrida en dicho intervalo de tiempo.

19 Cambios de sistemas de referencia Un cierto vector tendrá unas determinadas componentes en un sistema de referencia. Puesto que el S.R. no es único, si elegimos otros S.R., las coordenadas (la descripción) del vector cambia. Debemos saber relacionar este tipo de cambios. Y Por ejemplo, en 2D: r(t)= x(t)i + y(t)j y j a b i r x X Cómo escribir r en la base {a,b}? Lo más sencillo es escribir a y b en términos de i y j, y hacer las transformaciones Veremos a continuación otros sistemas de referencia posibles para la descripción del movimiento de las partículas.

20 3.2.- Coordenadas intrínsecas y polares Coordenadas intrínsecas (tangencial y normal) Coordenadas polares planas

21 Coordenadas intrínsecas (tangencial y normal) Las componentes de los vectores de movimiento dirigidas según la tangente t y según la normal n a la trayectoria curva en la posición instantánea del punto móvil proporcionan la descripción más corriente y útil del movimiento curvilíneo. El sentido positivo de t se toma en la dirección de avance, y el sentido positivo de n se toma hacia el centro de curvatura O de la trayectoria.

22 Notemos que: = v v e t Derivando la expresión de la velocidad: a dv d dv = = ( v et) = et + v dt dt dt de t dt Trayectoria rectilínea: e t = cte a // de t = dt e t Trayectoria curvilínea: de t dt 0 0 Aceleración: no necesariamente paralela a la velocidad

23 La velocidad v de una partícula a lo largo de la trayectoria tiene siempre dirección tangencial y su módulo es: v dθ = ρ = ρθ dt = ρω donde ρ es el radio de curvatura de la trayectoria en la posición considerada. La aceleración se obtiene derivando la velocidad, y en este sistema tenemos: dv a = en + et = an + ρ dt v 2 a t La componente normal nos da la variación de la dirección de la velocidad en el tiempo, mientras que la componente tangencial nos da la variación del módulo de la velocidad (celeridad) en el tiempo.

24 Problema 3.4 Una partícula se mueve recorriendo una circunferencia de radio r (movimiento en 2 dimensiones), de forma que el ángulo que recorre varía en función del tiempo (t) como θ=ω.t, siendo ω constante. Determinar los vectores v y a de la partícula en coordenadas intrínsecas. Y X

25 Problema 3.5 El vector de posición de una partícula P es r=3ti-t 2 j+8k en unidades del sistema internacional. Hallar: a) la velocidad de la partícula a los 2 minutos de iniciado el movimiento; b) las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria a los 2 s.

26 Coordenadas polares planas Las coordenadas polares planas (r, θ) se definen de la siguiente forma: La coordenada r es la distancia del punto P al punto O. Puede variar entre los valores 0 y. La coordenada θ es el ángulo que forma el vector de posición con el eje OX. Puede variar entre los valores 0 y 2π. La base vectorial en este sistema de coordenadas viene dada por los vectores unitarios {e r, e θ } (sentidos positivos en la dirección radial y en la dirección de avance de ángulos)

27 La relación entre las componentes cartesianas y polares de un vector viene dada por: x y = = rcos θ rsen θ r = θ = x 2 + arctg y y x 2 La derivación del vector de posición r en este sistema conduce a las expresiones de velocidad y aceleración: v = r e r + rθ e θ a ( θ 2 r r ) e r + ( r θ + 2r θ) e θ =

28 Problema 3.6 Una partícula se mueve recorriendo una circunferencia de radio r (movimiento en 2 dimensiones), de forma que el ángulo que recorre varía en función del tiempo (t) como θ=ω.t, siendo ω constante. Determinar los vectores v y a de la partícula en coordenadas polares planas. Y X

29 Cartesianas Intrínsecas Polares planas

30 Cartesianas Intrínsecas Polares planas

31 Problema 3.7 La guía con la ranura horizontal asciende por el borde vertical de la placa fija con celeridad constante v y =2 m/s hasta invertir el sentido de su movimiento en y=18 cm. El pasador P está obligado a moverse en las ranuras horizontal y circular. Calcular la aceleración angular de la linea OP en el instante en que y=10 cm.

32 3.3.- Algunos casos particulares de especial interés Movimiento rectilíneo Movimiento parabólico

33 Movimiento rectilíneo Movimiento rectilíneo uniforme v=cte x=x 0 +vt Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado at x = x0 + v0t at a = cte v = v +

34 Movimiento rectilíneo uniforme v = cte = v0 a v e x = x0 + v0t t t t Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado v = v0 + a.t a v e x = x 0 + v 0 t a.t 2 t t t

35 Movimiento parabólico No hace falta aprenderse las ecuaciones. Es la superposición en dos ejes perpendiculares de un movimiento rectilíneo uniforme (eje X) y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (eje Y).

36 Problema 3.8 Determinar las constantes de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, si el móvil tiene una velocidad de 17 m/s a los 4 s de empezar a contar el tiempo y en los tiempos t 1 =2 s y t 2 =4 s las posiciones son 12 y 40 m respectivamente. Representar las gráficas s-t, v-t y a-t del movimiento.

37 Problema 3.9 Un jugador de frontón situado a 3 metros de la pared, lanza contra la misma la pelota desde una altura respecto al suelo de 2 m y con una velocidad inicial v o =8i+8j. Al chocar la pelota contra la pared del frontón la componente horizontal de la velocidad se invierte y la componente vertical no varía. Determinar la distancia de la pared del frontón al punto en que caerá la pelota al suelo.

38 Problema 3.10 El movimiento de una partícula está definido por: x=2t 3-15t 2 +24t+4 donde x y t se expresan en metros y segundos respectivamente. Hallar: a) cuándo es nula la velocidad; b) la posición y distancia total recorrida cuando es nula la aceleración; c) la posición y distancia recorrida cuando t=5 s.

39 Problema 3.11 Un pequeño objeto se lanza pendiente abajo en la forma indicada. Calcular la celeridad inicial u.

40 Problema 3.12 El pasador P está obligado a moverse en las guías ranuradas, las cuales se desplazan perpendicularmente entre sí. En el instante representado, A tiene una velocidad hacia la derecha de 20 cm/s que decrece a razón de 75 cm/s cada segundo. Al mismo tiempo, B se mueve hacia abajo con una velocidad de 15 cm/s decreciente a razón de 50 cm/s cada segundo. Calcular para este instante el radio de curvatura de la trayectoria seguida por P.