De factores fijos. Mixto. Con interacción Sin interacción. No equilibrado. Jerarquizado

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1 Análss de la varanza con dos factores. Introduccón Hasta ahora se ha vsto el modelo de análss de la varanza con un factor que es una varable cualtatva cuyas categorías srven para clasfcar las meddas de otra varable cuanttatva en grupos cuyas medas se desea comparar. Así, podremos comparar el peso medo de aves agrupándolas por especes, la varable de clasfcacón o factor es la espece y la varable dependente es el peso. En el tema actual se amplará el modelo para nclur dos factores en lugar de uno solo. Por ejemplo, cuando se pretenda comparar el peso medo de aves agrupándolas por espece y por sexo. La nclusón de un factor más no es trval, el problema de la comparacón de las medas de grupos nducdos por dos factores cualtatvos no se resuelve por la smple amplacón del modelo de un factor a uno más, pues es posble que ambos factores sean fjos (Modelo I), ambos aleatoros (Modelo II) o uno fjo y otro aleatoro (Modelo III), pero además es posble que ambos factores actúen de modo ndependente o que la accón combnada de ambos factores potence o nhba la accón de cada uno por separado, en este segundo caso dremos que exste nteraccón, por lo que podremos hablar de modelo con o sn nteraccón. Tambén es posble que el dseño sea equlbrado (todos los grupos son representados con un número gual de meddas) o que no lo sea. Una últma posbldad es que todas las categorías de un factor puedan ser combnadas con todas las del otro factor, entonces hablaremos de un dseño cruzado, (que en el caso de nclur nteraccón se denomna modelo factoral), o que las categorías de uno de los factores solamente puedan aparecer para determnados nveles del otro, en este caso decmos que el prmer nvel está jerarquzado en el segundo o que el dseño es jerarquzado. En resumen, un análss de la varanza de dos factores puede ser: Según el tpo de factores Según la nterferenca entre los factores Según el número de observacones en cada categoría Según las posbles combnacones de nveles de ambos factores De factores fjos De factores aleatoros Mxto Con nteraccón Sn nteraccón Equlbrado No equlbrado Cruzado Jerarquzado Por supuesto, cada una de estas clasfcacones se puede combnar con cualquera de las otras, así podremos encontrar, por ejemplo, un análss de la varanza de dos factores fjos, con nteraccón, equlbrado y cruzado. En el caso del dseño jerarquzado no es posble determnar (al menos por los métodos convenconales) el efecto de la nteraccón de ambos factores.

2 Modelo de análss de la varanza con dos factores. En lo que sgue y salvo que se ndque lo contraro, trataremos sempre con modelos equlbrados. Sean dos factores, que denomnaremos A, con t nveles y B, con r nveles, s el dseño es cruzado tendremos tr clases en total, s además es equlbrado, con n observacones en cada clase, el número total de observacones es N = trn. El modelo de análss de la varanza con dos factores sn nteraccón se puede escrbr como: X = µ + A + B + ε j j j Donde X j es una varable aleatora que representa al conjunto de valores posbles de la varable dependente correspondente al nvel -ésmo del factor A y al nvel j-ésmo del factor B, µ es la meda general, A es el efecto adtvo que sobre esa meda produce el nvel -ésmo del factor A, B j el correspondente al nvel j-ésmo del factor B y ε j es el error o resduo del modelo. Los dstntos elementos que componen el modelo se defnen como: A = µ µ, sendo µ la meda poblaconal del nvel -ésmo del factor A, sn consderar el factor B. B j = µ j µ sendo µ j la meda poblaconal del nvel j-ésmo del factor B, sn consderar el factor A. ε = X µ µ + µ j j j En el caso de que se consdere la nteraccón, el modelo se formula como: X = µ + A + B + + ε jk j j j Donde j es el efecto de la combnacón del nvel -ésmo del factor A con el j-ésmo del factor B no contemplado por dchos nveles ndvdualmente. En este caso, s defnmos µ j = µ + A + B j + j como la meda total correspondente a los nveles - ésmo de A y j-ésmo de B, el modelo se puede expresar como: X = µ + ε, con lo que el resduo es jk j j ε = X µ, y la nteraccón: j j j = X µ A B ε = µ µ µ + µ j j j j j j Vemos que el modelo sn nteraccón está ncludo en el modelo con nteraccón, sn más que consderar en este últmo caso que j es cero, por ello, en lo que sgue se consdera sempre modelo con nteraccón, procedendo a anular dcho térmno en el caso de que no lo haya.

3 Análss de la varanza de dos factores fjos cruzados. Cuando los factores son fjos, los dstntos nveles de cada uno de ellos son todos los posbles (o todos los que nteresa estudar), en ese caso cada uno de los térmnos A B j j son constantes, verfcándose además que ΣA = 0, ΣB j =0, = 0 y que j = 0. j Sea cual sea el carácter de los factores, se consdera que los térmnos ε j son todos varables aleatoras Normales e ncorreladas, de meda cero y varanza gual para todos los grupos. El contraste de análss de la varanza se plantea como: H 0 : todos los A, los B j y los j son cero. H 1 : alguno de ellos no es cero. La hpótess nula supone que s todos los efectos de todos los nveles de los factores son nulos, todas las medas de todos los grupos consderados son guales entre sí e guales a la meda general y no hay nteraccón. Para resolver el contraste se toma una muestra aleatora de cada una de las combnacones de categorías de los factores consderados, s el dseño es equlbrado todas estas muestras son de gual tamaño n, por lo tanto, como se djo al prncpo, s A tene t nveles, B tene r nveles y s el dseño es cruzado tendremos tr clases en total, s además es equlbrado, con n observacones en cada clase, el número total de observacones es N = trn = n Fnalmente, se estma el modelo con las observacones obtendas y sus correspondentes medas: x = x + a + b + ab + e, sendo: jk j j jk x jk la k-ésma (k toma valores entre 1 y n) observacón correspondente al nvel -ésmo ( entre 1 y t) del factor A y el j-ésmo (j entre 1 y r) nvel del factor B. x es la meda de todos los datos consderados como una sola muestra. a = x x la estmacón del efecto del nvel -ésmo del factor A, con x la meda de todos los datos ncludos dentro del nvel -ésmo del factor (rn datos). b = x j x la estmacón del efecto del nvel j-ésmo del factor B, con x j la meda de todos los datos ncludos dentro del nvel j-ésmo del factor (tn datos). abj = xj x x j + x, con xj la meda de todos los datos meddos para la combnacón j de los nveles de los factores. ejk = xjk x j los resduos o dferencas de cada observacón a la meda de los datos correspondentes a la combnacón j de los factores. Pasando al prmer membro el térmno x, elevando al cuadrado y sumando, tenendo en cuenta que todos los dobles productos se anulan al sumar, queda: j

4 ( xjk x ) = ( x x ) + ( x j x ) + ( xj x x j + x ) + ( xjk x ) Que es la expresón para dos factores del teorema de descomposcón de la varanza. Los grados de lbertad de cada uno de los sumandos son: N-1 = trn-1 para la suma de cuadrados total t-1 para la suma de cuadrados de A r-1 para la suma de cuadrados de B (t-1)(r-1) para la suma de cuadrados de la nteraccón. N-tr = tr(n-1) para la suma de cuadrados del error. Abrevadamente, este teorema se expresa: SC = + + SC + Además cada uno de los térmnos es una varable aleatora Ch cuadrado con sus respectvos grados de lbertad e ndependentes entre sí. El paso sguente es determnar la meda de cuadrados, dvdendo cada suma de cuadrados entre sus correspondentes grados de lbertad. La esperanza matemátca de cada una de las medas de cuadrados son las sguentes. A E(MCA) = E = + 1 rn t t 1 j B E(MCB) = E = + 1 tn r r 1 SC E(MC) = E = + n E(MCE) = E = N tr ( t 1)( r 1) ( t 1) ( r 1) Por lo tanto, s es certo H 0, todas las medas de cuadrados estman la msma cantdad, la varanza de común, mentras que s alguno de los nveles de algún factor o la nteraccón no son nulos, su meda de cuadrados será mayor que la meda de cuadrados del error, el contraste, que se resuelve de modo unlateral, termna por comparar el cocente entre cada meda de cuadrados y la meda de cuadrados del error con el cuantl correspondente de la dstrbucón F de Snedecor con los grados de lbertad respectvos del numerador y del denomnador. Se resume todo en una tabla como la sguente: j

5 Fuente de varacón Grados de lbertad Suma de cuadrados Meda de cuadrados Factor A t-1 1 x = x rn N t 1 Factor B rt-1 1 x = x j tn N r 1 Interaccón (t-1)(r-1) 1 x SC SC= xj n N (t 1)(r 1) Error N-tr 1 = xjk xj jk n j j N tr Esperanza M. C. A + rn t 1 B j j F exp + tn r 1 j SC + n (t 1 )(r 1 ) En las fórmulas de la anteror tabla, las equs cuyos subíndces han sdo susttudos por puntos ndcan la suma de todo los valores de la varable dependente correspondentes a los subíndces susttudos. Los sumatoros con más de un subíndce ndcan dobles o trples sumatoros para todos los posbles valores de los subíndces.

6 Análss de la varanza de dos factores aleatoros con nteraccón. Dseño cruzado y equlbrado. En este caso, los nveles de los factores A y B, y por tanto los de su nteraccón son una muestra aleatora de todos los nveles posbles de ambos factores, que se consderan nfntos. En este caso, los efectos producdos por dchos nveles son varables aleatoras Normales, ndependentes, de meda cero y varanzas respectvas A, B,, gual para todos los nveles. Por su parte, el error es una varable aleatora Normal, ndependente de las anterores, de meda cero y varanza gual para todas las combnacones de nveles. El contraste a realzar es: H 0 : Las varanzas de los factores y la nteraccón son nulas. H 1 : Alguna de ellas no lo es. La hpótess nula supone que todos los factores son constantes y no nducen varabldad en la varable dependente, por lo que las medas de todas las combnacones de factores han de ser guales. el planteamento del modelo es déntco al de dos factores fjos, y la descomposcón en sumas de cuadrados tambén, pero la esperanza de las meda de cuadrados ya no son guales, por lo que las F expermentales no se calculan del msmo modo. Los resultados son los sguentes: E(MCA) = E = n rn A t E(MCB) = E = n tn B r SC E(MC) = E = + ( 1) ( 1) n t r E(MCE) = E = N tr Por tanto, s hay nteraccón pero los factores de modo ndvdual no tenen nfluenca, las medas de cuadrados de los factores son mayores que la meda de cuadrados del error, pero serán aproxmadamente guales que la meda de cuadrados de la nteraccón. S la nteraccón no afecta, su meda de cuadrados será parecda a la meda de cuadrados del error. Así, para realzar el contraste sobre los factores, se calculan los cocentes de sus medas de cuadrados entre la meda de cuadrados de la nteraccón y se comparan con una F de Snedecor con los grados de lbertad correspondentes, mentras que para realzar el contraste sobre la nteraccón se dvde su meda de cuadrados entre la del error y se compara con la adecuada F de Snedecor. Análss de la varanza de dos factores cruzados. Modelo mxto equlbrado. Sn pérdda de generaldad, supondremos que el factor A es el fjo, mentras que el B es aleatoro.

7 Ahora, los efectos de A son constantes de suma nula, mentras que los de B y la nteraccón son varables aleatoras de meda cero y varanzas respectvas B y, gual para todos los nveles. Por su parte, el error es una varable aleatora Normal, ndependente de las anterores, de meda cero y varanza gual para todas las combnacones de nveles. El contraste se planteará: H 0 : Los A son todos nulos. Las varanzas del factor B y de la nteraccón, tambén. H 1 : Alguna de ellas no lo es. Se resuelve planteando un modelo gual que el que ya vsto, con déntca descomposcón en suma de cuadrados y grados de lbertad, pero nuevamente, las esperanzas de las medas de cuadrados son dstntas, ahora son: A E(MCA) = E = n rn t t 1 E(MCB) = E = + 1 tn B r SC E(MC) = E = + ( 1) ( 1) n t r E(MCE) = E = N tr Ahora, la meda de cuadrados del factor fjo A se comparará con la meda de cuadrados de la nteraccón, mentras que la meda de cuadrados del factor aleatoro y la de la nteraccón se han de comparar con la meda de cuadrados del error. La tabla sguente resume todos los casos:

8 Fuente varacón de Grados de lbertad Esperanza Meda de Cuadrados F exp Suma de cuadrados Meda de cuadrados Fjo Aleatoro Mxto (A es Fjo) Fjo Aleatoro Mxto Factor A t-1 1 x = x rn N t 1 Factor B rt-1 1 x = x j tn N r 1 Interaccón (t-1)(r-1) 1 x SC SC= xj n N (t 1)(r 1) Error N-tr 1 = xjk xj jk n j j N tr A + rn + n + rn A t 1 B j j + tn + n + tn B r 1 j + n n (t 1 )(r 1 ) + A + n + rn t 1 + tn B + n SC SC SC SC SC SC

9 Realzacón de contrastes de análss de la varanza con dos factores medante SPSS. Para realzar estos contrastes se tendrá que desplegar el menú Statstcs-General Lnear Model-GLM Factoral, que nos lleva a un cuadro de dálogo como el sguente: Donde se puede selecconar la varable dependente y los factores, tanto fjos como aleatoros. Por defecto se realzará un modelo con nteraccón. S se desea realzar un modelo sn nteraccón, se puede pulsar el botón Model que nos lleva a un nuevo cuadro de dálogo: En el que se puede selecconar los factores que entran en el modelo, pulsando en el botón Custom y arrastrándolos desde el recuadro Factor & Covarates al recuadro Model. Los factores que nteractúan se pueden selecconar pulsando el cuadro desplegable Interacton. El cuadro de verfcacón Include ntercept n Model permte consderar la meda general como parte del modelo o consderarla en el prmer membro con lo cual estará ncluda en la suma de cuadrados total. Ejercco: Abrr el fchero Gastos famlares.sav y analzar la varable Consumo como s ambos factores fuesen fjos, como s ambos fuesen aleatoros o como s uno fuese aleatoro y el otro fjo.

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