Deflexión DE vigas. Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Unidad de Estudios Básicos Área de Matemáticas Asignatura: Matemáticas IV

Transcripción

1 Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Unidad de Estudios Básicos Área de Matemáticas Asignatura: Matemáticas IV Deflexión DE vigas Profesor: Cristian Castillo Realizado por: Barrios, Yasnahir Campos, Joseyvis Gruber, Luindy Sección 01 Marzo, 2010

2 Deflexión de vigas Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, siendo ésta barras prismáticas y largas que están diseñadas para soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo de ellas. No obstante, debido a la distribución de las cargas o fuerzas a las que se encuentran sometidas y la manera en que están apoyadas, las vigas se pueden desviar o distorsionar por acción de su propio peso, la influencia de cargas externas o una combinación de ambas. Esta desviación se conoce como deflexión y se puede determinar por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden, relativamente sencilla. Construcción de la Ecuación Diferencial de la Deflexión de una Viga Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene una sección transversal uniforme en toda su longitud como se muestra en la Figura 1.1 (a). Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de las secciones transversales es una recta que se llama eje de simetría. Si a la viga se le aplica una carga perpendicular al eje de simetría, debido a su elasticidad, puede distorsionarse como se observa en la Figura 1.1 (b), y el eje de simetría distorsionado resultante se llama curva de desviación, curva elástica o simplemente elástica, que es lo que se conoce como la deflexión de la viga. (a) Eje de simetría (b) Curva elástica Figura 1.1

3 Supongamos que el eje coincide con el eje de simetría, tomado como positivo a la derecha y con origen en 0; y que la desviación representada por el desplazamiento de la curva elástica, es positiva si es hacia abajo. Sea el momento flexionante en un punto a lo largo de la viga, por la teoría de la elasticidad se demuestra que se relaciona con la carga por unidad de longitud mediante la ecuación (1) Como y son dos funciones con la misma variable independiente pero distintas variables dependientes, para que ambas queden expresadas en términos de sabemos que el momento flexionante es proporcional a la curvatura de la elástica: (2) Donde e son constantes, es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e es el momento de inercia de la sección transversal de ésta; y el producto de se denomina rigidez a la flexión. Ahora, según el cálculo diferencial, también sabemos que. Cuando la desviación es pequeña, la pendiente de la curva elástica es tan pequeña que su cuadrado es despreciable comparado con 1, de modo que, por lo tanto como la ecuación se transforma en, obteniendo así que la segunda derivada de sea (3) la cual al ser sustituida en la ecuación (1), vemos que la desviación diferencial de cuarto orden satisface la ecuación (4) que al ser una ecuación diferencial no homogénea de orden superior se puede resolver de la forma acostumbrada: se determina teniendo en cuenta que es una raíz de multiplicidad cuatro de la ecuación auxiliar, para después hallar una solución particular por el método de coeficientes indeterminados; o simplemente integramos la ecuación cuatro veces sucesivas.

4 Si es una viga en voladizo, empotrada en un extremo y libre en el otro, la desviación satisfacer las dos condiciones siguientes: debe Para el extremo empotrado en : porque no hay desviación en ese lugar y porque la curva de desviación es tangente al eje x (en otras palabras, la pendiente de la curva de desviación es cero en ese punto). Para el extremo libre en : porque el momento flexionante es cero porque la fuerza cortante es cero Si es una viga simplemente apoyada, con apoyos en ambos extremos, se debe cumplir que y en éstos.

5 EJEMPLO ILUSTRATIVO 1. Viga empotrada Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene una carga constante,, uniformemente distribuida en su longitud; esto es,,. SOLUCIÓN Según lo que acabamos de plantear, la desviación satisface a Puesto que la viga está empotrada en su extremo izquierdo y en su extremo derecho, no hay desviación vertical y la curva elástica es horizontal en esos puntos. Así, las condiciones en la frontera son,,, Como resolveremos integrando cuatro veces sucesivas, podemos expresar ecuación diferencial de variables separables, de modo que como una 1º Integración

6 2º Integración 3º Integración 4º Integración Solución General Ahora bien, para aplicar las condiciones iniciales derivamos la solución general de la ecuación y se obtiene que Sustituyendo las condiciones y tenemos

7 mientras que las condiciones restantes, y, originan las siguientes ecuaciones (1) (2) Como y, el sistema se reduce a (1) (2) Al resolver este sistema mediante eliminación, multiplicando la ecuación (2) por se tiene (1) (2) (3) despejando de la ecuación (3) nos queda que

8 y sustituyendo en la ecuación (1) (4) finalmente despejamos de la ecuación (4) Por lo tanto, la desviación es Para conocer el valor de la máxima desviación producida en la viga, sabemos que ésta ocurre en el punto en que, de modo que la ecuación que me dará la máxima desviación es la cual se puede expresar como es decir, y se despeja el valor de, utilizando la ecuación de segundo grado donde

9 como el menor valor de es, la máxima deflexión ocurre en este punto. Menor valor

10 EJEMPLO ILUSTRATIVO 2. Viga en voladizo Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene una carga constante,, uniformemente distribuida en su longitud; esto es,,. SOLUCIÓN Puesto que la viga está empotrada en su extremo izquierdo no hay desviación vertical y la curva elástica es horizontal en ese punto, mientras que en su extremo derecho como esta libre, la desviación tiende a producirse allí, de modo que la fuerza cortante y el momento flexionante son iguales a cero. Así, las condiciones en la frontera son,,, Igualmente, resolvemos integrando cuatro veces sucesivas, de modo que la solución general de la ecuación es Solución General Ahora bien, para aplicar las condiciones iniciales es necesario derivar tres veces la solución general de la ecuación y se obtiene que Sustituyendo las condiciones y tenemos

11 mientras que las condiciones restantes, y, originan las siguientes ecuaciones (1) (2) despejando de la ecuación (2) nos queda y sustituyendo en la ecuación (1) (3) finalmente despejamos Por lo tanto, la desviación es Y la ecuación que expresa el valor de la máxima desviación producida es

12 la cual se puede expresar como es decir, y se despeja el valor de, utilizando la ecuación de segundo grado donde Como el valor de la raíz es negativo el resultado de serán números imaginarios, lo que significa que no hay extremos relativos (máximos y mínimos) en la pendiente de la curva. Por lo tanto, evaluamos los extremos de la viga para verificar que ocurre en ellos y se obtiene que cuando no hay desviación, pero cuando la desviación máxima ocurre en ese extremo.