Funciones Reales de Varias Variables

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Mecánica Curso: Cálculo Vectorial Funciones Reales de Varias Variables Pro: Hermes Pantoja C.

2 NOTA HISTORICA. Mar Faira Somerville ( ). Somerville se interesó por el problema de crear modelos geométricos de unciones de varias variables. Su libro más conocido The Mechanics o the Heavens se publicó en Gran divulgadora de los resultados de Laplace.

3 NOTA HISTORICA. Sona Kovalevsk ( ). Gran parte de la terminología usada para deinir limites continuidad de una unción de dos o tres variables la introdujo el matemático alemán Karl Weierstrass ( ). El enoque riguroso de Weierstrass a los límites a otros temas en cálculo le valió la reputación de padre del análisis moderno. Weierstrass era un maestro ecelente. Una de sus alumnas ue la matemática rusa Sona quien aplicó muchas de las técnicas de Weierstrass a problemas de la ísica matemática se convirtió en una de las primeras mujeres aceptada como investigadora matemática.

4 Funciones de dos variables La temperatura T en un punto en la supericie terrestre en cualquier tiempo depende de la latitud la longitud del punto. Podemos considerar T=()

5 El volumen V de un cilindro circular depende de su radio r de su altura h V=(rh)= r h

6 Deinición: Una unción de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales () de un conjunto D un número real único denotado Por ()

7 Función real de n variables

8 Dominio: Ejemplo: Hallar el dominio de la siguiente unción: ( ) ln( ) Solución: Dom( ) {( ) R / }

9 Rango: Ejemplo: Hallar el rango de la siguiente unción: 9 ) ( Solución: [03] ) ( ) ( Rang

10 Gráica de una unción: : U R n R deinimos la gráica de como el conjunto: {( ) / U ( )} Ejemplo: Hallar la gráica de la siguiente unción: ( ) 9

11 Curvas de Nivel Suponga que la supericie z = ( ) se intersecta con el plano z = c que la curva de intersección se proecta sobre el plano XY. Esta curva proectada tiene a ( ) = c como su ecuación la curva se denomina curva de nivel de la unción en c. Cada punto de la curva de nivel corresponde a sólo un punto de la supericie que se encuentra a c unidades de ella.

12 Ejemplo: Graicar las curvas de nivel de la unción: z ( ) sin( )

13 Algebra de Funciones Sean :UR n R; g:vr n R Con dominios U V respectivamente; deinimos: 1. (g)(x)=(x) g(x) Dom(g)=UV. (.g)(x)=(x).g(x) Dom(.g)=UV 3. (/g)(x)=(x)/g(x) Dom(/g)=UV-{/g(X)=0}

14 Límite de una unción: Sea una unción de dos variables deinidas en un disco abierto centrado en ) ecepto posiblemente en 0 ) sea L un número real. Entonces ( 0 0 lim ( ) ( 0 0 ) ( 0 ( ) L Si para cada > 0 eiste un >0 tal que 0 ( ) ( 0 0) ( ) L

15 Teorema Si ()L1 cuando () (ab) por una traectoria C1 ()L cuando () (ab) por otra traectoria C donde L1 L entonces lim no eiste ( ) ( ) ( a b) L Ejemplo: Sea ( ) calcule lim ( ) ( ) (00) si es que eiste

16 Continuidad de Funciones

17 Interpretación Geométrica Ejemplo:

18 Derivadas Parciales Las derivadas parciales eisten siempre que sus límites eistan Notación:

19 Interpretación Geométrica ) ( ; : ) ( ; : 1 z a C z b C ) ( 1 b a D Es la pendiente de la recta tangente a C1 en P ) ( b a D Es la pendiente de la recta tangente a C en P

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21 Ejemplo:

22 Derivada Parcial para n variables k n k n k k n k k D k ) ( ) ( lim ) ( Siempre que el límite eista

23 Derivada Parcial de orden superior

24 Deinición: Ejemplo:

25 Dierenciabilidad Deinición: Sea una unción de variables () entonces el incremento de en El punto ( 0 0 ) se denota por ( 0 0 ) ( 0 0) ( 0 0 ) ( 0 0)

26 Deinición: Si el incremento de una unción se puede epresar como D D ) ( ) ( ) ( donde: (00) ) ( 1 (00) ) ( ) ( ) ( Lim Lim Entonces es dierenciable en ( 0 0 )

27 Ejemplo: Hallar una aproimación del valor: Solución: ) ( 3 1 (0.04) ) (4 3 1 (49) 4 3 (49) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( D D D D D D

28 Ejercicio:

29 Solución:

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32 Teorema: Si () es dierenciable en el punto entonces eiste un plano tangente a la supericie z=() en tiene por ecuación donde

33 Regla de la Cadena Sea u=() donde es una unción dierenciable de e. Si =g(rs) =h(rs) son tales que las derivadas parciales de primer orden s r s r Entonces eisten están dadas por u u

34 Ejemplo: Si z e sin donde st s t encuentre z z s t Solución:

35 La Derivada Direccional Deinición: La derivada direccional de en la dirección dada por el vector unitario u está dada por: D u ( hu hu ( ) lim 1 h 0 h ) - ( ) si el límite eiste.

36 Derivada direccional Si es una unción dierenciable de e su derivada direccional en la dirección del vector unitario u cos i sen j Denotada por: D u ( ) se deine como D u ( ) lim t0 ( t cos t t sen ) ( ) siempre que ese límite eista.

37 La Derivada Direccional

38 Interpretación geométrica de la derivada direccional ) ( ) / ( z z C ) ( b a b a z z sen t b t a cos : u

39 Derivada direccional Si es una unción dierenciable de e su derivada direccional en la dirección del vector unitario u cos i sen j es: D u ( ) ( )cos ( ) sen

40 Derivada Direccional Parcial

41 Teorema: Si tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u : D u ( ) ( )u 1 ( ) u

42 Teorema Si es una unción dierenciable de e entonces la derivada direccional de en la dirección del vector u=(cossin) u D u ). ( )sin ( )cos ( ) (

43 Ejemplo: Hallar la derivada direccional de () = -+ en la dirección del vector v = (1). D u ( ) ( 1) 1 5 (1) 5

44 Ejemplo: Encuentre la derivada direccional de la unción Solución: 3 ( ) 4 En el punto (-1) en la dirección del vector v=i+5j u D u ( ) ( 1) v v ( ( 1) ( ( 48) 5 ) 9 4) ( 1). u 3 9

45 Gradiente: z ( ) ( ) i ( ) j ( ) ( )

46 Gradiente de una unción de dos variables Sea z= ( ) una unción de e tal que eisten. Se llama gradiente de al vector ( ) ( ) i ( ) j Se lee delta de Otra notación grad ( ) ( ) Es un vector del plano

47 Forma alternativa de la derivada direccional Si es una unción dierenciable de e su derivada direccional en la dirección del vector unitario es: u D u cos i ( ) sen j ( ) u

48 Propiedades del Gradiente Sea z= ( ) una unción dierenciable en el punto ( ) Si ( ) 0 entonces D u ( ) 0 para todo u La dirección dada por de máimo ( ). El valor máimo de D u crecimiento ( ) es de ( ) viene

49 Derivada Direccional en término del D u ( ) ( ) u Ejemplo :Sea ( ) a)encuentre () represéntelo geométrica mente. b)halle D u () en la dirección de P() a Q(3)

50 Teorema a) El valor máimo de D u ( 0 0 ) se alcanza en la dirección ( 0 0 ). b) La tasa máima de crecimiento de en ( 0 0 ) es ( 0 0 ).

51 Corolario a) El valor mínimo de D u ( 0 0 ) se alcanza en la dirección de - ( 0 0 ) b) La tasa mínima de crecimiento de en ( 0 0 ) es - ( 0 0 ).

52 Derivada direccional para unciones de tres variables Si es una unción dierenciable de z su derivada direccional en la dirección del vector unitario es: u ai b j c k u 1 D u ( z) a ( z) b ( z) c ( z) z

53 Propiedades del gradiente de una unción de tres variables Si ( z) 0 entonces D u ( z) 0 para todo u La dirección dada por de máimo ( z). El valor máimo de D u crecimiento ( z) es de ( viene z) Sea u= ( z) una unción dierenciable en el punto ( 0 0 z 0 ) z ) 0 entonces 0 que pasa por ( 0 0 z 0 ) ( ( 0 z0) es normal a la supericie de nivel

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55 Propiedades del Gradiente Sea dierenciable en el punto () 1. Si ( ) 0 entonces D u ( ) 0 para todo u. La dirección de máimo incremento de está dada por ( ) El valor máimo de D u ( ) es ( ) 3. La dirección de mínimo incremento de está dada por ( ) El valor mínimo de D u ( ) es ( )

56 Ejemplo: La temperatura en grados Celsius en la supericie de una placa metálica es T ( ) 0 4 Donde e se miden en centímetros. En qué dirección a partir de (-3) aumenta más rápido la temperatura?. Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento? Solución: T ( ) ( 8 ) T ( 3) ( 166) dirección de máimo incremento Tasa o ritmo de incremento: T( 3) o por centimetro

57 Etremo de Funciones Deinición de etremos de unciones de varias variables. Una unción deinida en un dominio D abierto presenta un mínimo (máimo) local en (ab) D si eiste un entorno U de (ab) tal que ( ) (ab) ( ) U ( ( ) (ab)). Diremos (ab) es un etremo local o relativo de si es un mínimo o máimo local. El punto (ab) D abierto es un punto crítico de : D R R si es dierenciable en (ab) [i.e: continua con derivadas parciales en (ab)] (ab) = (00).

58 Teorema Si es dierenciable en el punto (ab) D abierto además dicho punto es un etremo local entonces (ab) es un punto crítico de ; i.e: (ab) = (00). Este teorema pone de maniiesto que para encontrar etremos locales sólo tenemos que determinar los puntos críticos. Un punto crítico que no es un etremo local se denomina punto de silla.

59 Matriz Hessiana La matriz ormada por todas las derivadas parciales de segundo orden se llama matriz hessiana. La construcción de esta matriz se hace según el siguiente cuadro: PROPIEDAD (Teorema de Schwartz): La matriz hessiana siempre es simétrica si las derivadas parciales de segundo orden son continuas.

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61 Criterio de la Segunda Derivada Parcial

62 Ejemplo: Determine los etremos si eisten de la unción F deinida 3 F( ) Solución: F ()=9-9 F ()=+4 Puntos Criticos (1-); (-1-) H(1-)=36>0; F (1-)=18>0 F(1-)=-10 es un mínimo local H(-1-)=36>0; F (1-)=-36<0 F(1-)=-18 es un punto de silla