1. Cálculo de límites para funciones de dos variables

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1. Cálculo de límites para funciones de dos variables"

Transcripción

1 . Cálculo de límites para funciones de dos variables Los límites de funciones de dos variables exigen, en general, un proceso de cálculo difícil. En el presente apartado se hará un análisis sobre los siguientes aspectos:.-límites según subconjuntos. 2.-Límites reiterados. 3.-Desarrollo de estrategias a partir de las gráficas para la determinación de la existencia o no, del límite. 4.- Aproximaciones numéricas. 5.- Cálculo de límites pasando a coordenadas polares. Se acaba el apartado haciendo ejercicios en los que se utilizan todos los métodos explicados en los distintos subapartados. ü.. Límites según subconjuntos A continuación se desarrolla un procedimiento para hallar límites según subconjuntos, de forma muy general. La idea es encontrar un algoritmo que calcule lim fhx, yl para curvas y= f(x) generales y que pasen por el punto (a,f(a)). y->fhxl x->a Es decir, si se trabaja en el punto (a,b) debe cumplirse que f(a)= b. En el caso en que los subconjuntos sean rectas, los límites se denominan límites direccionales. En este caso: y =f(x) = b + m (x - a) El límite de la función f (x,y) en el punto (a,b) según el subconjunto elegido se puede calcular a través de la siguiente instrucción, que utiliza el comando de Mathematica Limit, y que será de utilidad en todo este epígrafe: φ_d := yd ê. 8y > x > ad NOTA: La función f[x] que describe el conjunto elegido debe ser declarada previamente. NOTA: La función f[x,y] debe siempre denotarse con la letra f para que el procedimiento funcione. La no existencia del límite doble puede demostrarse encontrando dos subconjuntos para los cuales el límite según esos subconjuntos sea distinto. Ejemplo...- Hallar los límites direccionales en el origen de coordenadas de la función fhx, yl = Para resolver el problema se define la función x y. x 2 +y 2 y_d := x 2 +y 2 Luego se introduce la familia de subconjuntos, que en este caso es la familia de rectas y = m x. := mx Se ejecuta entonces la instrucción que proporciona el límite según dichos subconjuntos en a =.

2 2 Untitled- = φd m +m 2 Así, por ejemplo, si m = 2 y m = 5, se obtiene: Como el límite depende de la pendiente m, los límites direccionales son distintos. NO existe límite de la función en el origen de coordenadas. Ejemplo..2.- Hallar el límite de la función f (x,y) = pasen por el origen de coordenadas. x 2 y en el punto (,), mediante rectas y parábolas cuyo eje es el eje OY y que x 4 2 +y Se procede como antes. Se introduce la función y_d := x2 y x 4 +y 2 Se introduce la familia de rectas y = m x que pasan por el origen: := mx Ahora ejecutamos la instrucción general para calcular el límite direccional: φd am a 2 +m 2 Se evalúa en a= : φd Observamos entonces que los límites direccionales son todos iguales, pues el límite no depende de m. Este hecho, sin embargo, no permite afirmar nada sobre la existencia del límite doble. NOTA: El límite direccional según la dirección del eje OY cuya ecuación es x =, corresponde al valor m =. Mathematica no tiene en cuenta esta peculiaridad aunque, en sentido estricto se debería calcular para hallar dicho límite direccional. yd ê. 8x <, y D Se introduce ahora la familia de parábolas cuyo eje es el eje OY, que pasan por el origen de coordenadas, cuya ecuación es y = m x 2 := mx 2

3 Untitled- 3 Se evalúa el límite, para a =, según estos subconjuntos, que será, en general, una función de m. = φd m +m 2 Si m= se obtiene: 2 Y si m=2 2 5 Como el límite depende de m no todos los límites son iguales. Por tanto, podemos afirmar que el límite doble en el origen de coordenadas NO existe. ü.2. Límites reiterados. Los límites reiterados, iterados o sucesivos de la función f Hx, yl en el punto (a,b) se definen como: lim x->a (lim y->b fhx, yl ) y lim y->b (lim x->a fhx, yl ). Si ambos límites son distintos, dado que el límite, si existe, debe ser único, se concluye que no existe el límite doble (véase página 44 ). A continuación se desarrollará un algoritmo para calcular los límites reiterados de cualquier función f Hx, yl en el punto (a,b). Un límite reiterado es, de acuerdo con la definición: b_d := yd, x > ad, y > bd El otro límite reiterado se obtiene cambiando el orden de las variables. b_d := yd, y > bd, x > ad Y ahora no habrá más que comparar los dos límites anteriores en cualquier punto. NOTA: La función siempre deberá ser definida previamente como f [x_,y_]. Ejemplo.2..- Hallar los límites reiterados de la función f(x,y)= x y Se define la función: en el origen de coordenadas.(es la función del ejemplo..) x 2 2 +y y_d := x 2 +y 2

4 4 Untitled- Se calcula un límite reiterado en el origen. D El otro límite reiterado será: D Los límites reiterados son iguales. Sin embargo, este hecho no basta para afirmar la existencia del límite doble. De hecho, dicho límite no existe como se ha visto en el ejemplo.. anterior. Ejemplo Calcular los límites reiterados de la función f(x,y)= x y -x + y x + y en el origen de coordenadas. Se declara la función y_d := x+y x +y Se calcula un límite reiterado en el origen. D El otro límite será: D Como los límites reiterados son distintos, podemos afirmar que no existe el límite doble. Ejemplo Calcular los límites reiterados de la función f(x,y)= e2 x y -x - y - x + y-2 en el punto (,). Se declara la función y_d := 2 x y x + y 2 Se calcula un límite reiterado en el punto pedido (,). D El otro límite será: D A pesar de que los límites reiterados son iguales, no se puede garantizar la existencia de límite doble.

5 Untitled- 5 Ejemplo Estudiar la existencia de límite de la funciones: a) f(x,y)= x2 -y 2 b) g(x,y)= x2 y 2 en el origen de coordenadas x 2 2 +y en el origen de coordenadas x 2 2 +y c) f(x,y) = ei-x+ym en el punto (,-). x y Apartado a): y_d := x^2 y^2 x^2 +y^2 Se calcula un límite reiterado en el punto pedido (,). D El otro límite será: D Como son distintos, se puede garantizar la NO existencia de límite doble. Apartado b): y_d := x^2y^2 x^2 +y^2 Llamamos a la función f, aunque en el enunciado aparezca como g, para posibilitar la aplicación de nuestro algoritmo. Se calcula un límite reiterado en el punto pedido (,). D El otro límite será: D La igualdad de los límites reiterados no permite afirmar nada sobre la existencia del límite doble. Hay que seguir aplicando otras técnicas. No es difícil, sin embargo, comprobar, utilizando la técnica del paso a coordenadas polares, que dicho límite existe y vale (véase el ejemplo.5.2) Apartado c): y_d := x+yd Se calcula un límite reiterado en el punto pedido (,-).

6 6 Untitled- D 3 El otro límite será: D 3 La igualdad de los límites reiterados no permite afirmar nada sobre la existencia del límite doble. Pero es fácil comprobar que el límite doble existe y coincide con este valor común, porque la función no tiene ninguna indeterminación en dicho punto. Ejemplo Estudiar la existencia de límite y de los límites reiterados de la función f(x,y)=x sen( ) en el origen de coordenadas Se declara la función y_d := xsinb F Se calcula un límite reiterado en el origen D LimitBLimitBxSinB F, x F, y F El otro límite será: D LimitBLimitBxSinB F, y F, x F En ambos casos Mathematica devuelve resultados extraños. No sabe hacer esos límites. Probamos mediante subconjuntos, como en el apartado anterior, utilizando el procedimiento lim sobre las rectas que pasan por el origen de coordenadas := mx φd LimitBxSinB x F mx2f, Y Mathematica tampoco lo sabe resolver. Sin embargo, es fácil ver que limre[,] es y el otro no existe. Como alguno de los límites laterales no existe no se puede garantizar la existecia de límite doble. Sin embargo, podemos decidir sobre la existencia de límite utilizando el siguiente argumento: Como»sen( )», es decir, está acotado, la función f(x,y)=x sen( ) verifica que -x f(x,y) x, y, por tanto, el límite pedido es cero, lo que corroboran las siguiente gráficas, en las que se representa la función en cuadrados de lados cada vez menores :

7 Untitled- 7 Plot3DBxSinB F, 8x,.5,.5<, 8y,.5,.5<F; Plot3DBxSinB F, 8x,.,.<, 8y,.,.<F; ü.3. Desarrollando estrategias a partir de las gráficas Las gráficas asociadas a una función de dos variables, ya sea de la propia función o de sus curvas de nivel pueden ser de gran utilidad para analizar su comportamiento en un punto. Una posibilidad es analizar el comportamiento de la función "cerca" del punto, representándola en un rectángulo de lados cada vez menores, que contengan al punto. Es como analizar el comportamiento de la función a través de un zoom. Otra posibilidad es representar las curvas de nivel de la función, ya que su forma, discontinuidades, intensidad, etc. puede permitir deducir características de la función. Ejemplo.3..- "Comprobar gráficamente" que la función f(x,y)= x y no tiene límite en el origen. Para ello representar la función y x 2 2 +y hallar sus curvas de nivel en dos cuadrados de lados y. respectivamente.(es la función del ejemplo...)

8 8 Untitled- La representación de la función, utilizando el comando Plot3D, en dos cuadrados de lados y. es: En el cuadrado de lado : Plot3DB 8x,.5,.5<, 8y,.5,.5<F; x 2 +y2, En el cuadrado de lado.: Plot3DB 8x,.5,.5<, 8y,.5,.5<F; x 2 +y2, La salida es "aparentemente" la misma aunque la segunda gráfica corresponde a un cuadrado de lado menor. La función "oscila" entre -.5 y.5, lo cual "corrobora" la no existencia de límite. Se representan ahora sus curvas de nivel mediante el comando ContourPlot. En el cuadrado de lado :

9 Untitled- 9 ContourPlotB 8x,.5,.5<, 8y,.5,.5<F; x 2 +y2, En el cuadrado de lado.: ContourPlotB 8x,.5,.5<, 8y,.5,.5<F; x 2 +y2, De nuevo la gráfica es la misma, lo cual no es sorprendente ya que la función es constante a lo largo de rectas. Es posible representar ambas gráficas en una sola celda de modo que se facilite el estudio de la gráfica. Una posibilidad es usar el comando GraphicsArray empleado de la siguiente forma: Primero se define la función y el origen de coordenadas: y_d = xo = ; yo = ; x 2 +y2; Las siguientes instrucciones permitirán representar la función en el cuadrado de lados [xo- e, xo+e] x [yo-e,yo+e], así como sus curvas de nivel.

10 Untitled- := yd, 8x, xo ε, xo + ε<, 8y, yo ε, yo + ε<, DisplayFunction IdentityD; := yd, 8x, xo ε, xo + ε<, 8y, yo ε, yo + ε<, ColorFunction Hue, Contours 7, DisplayFunction IdentityD; Y ahora se pueden representar juntas usando el comando Show Se varía el marco de representación, pero se observa que el resultado es el mismo: Ejemplo "Comprobar gráficamente" si la función f(x,y)=x sen( ) tiene límite en el origen. Para ello representar la función y hallar sus curvas de nivel en dos cuadrados de lados y. respectivamente.(es la función del ejemplo.2.5.) Representamos la función, utilizando el comando Plot3D, en dos cuadrados de lados y. igual que en el ejemplo anterior: y_d := xsinb F En el cuadrado de lado :

11 Untitled- yd, 8x,.5,.5<, 8y,.5,.5<D; En el cuadrado de lado.: yd, 8x,.5,.5<, 8y,.5,.5<D; Y se observa gráficamente en ambos casos que el límite es. Se representan ahora sus curvas de nivel mediante el comando ContourPlot. En el cuadrado de lado :

12 2 Untitled- yd, 8x,.5,.5<, 8y,.5,.5<D; En el cuadrado de lado.: yd, 8x,.5,.5<, 8y,.5,.5<D; Y de nuevo se observa que el límite existe y vale. Representamos ambas curvas en una sola celda de modo que se facilite el estudio de la gráfica, siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior, representándolas juntas usando el comando Show. y_d := xsinb F; xo = ; yo = ; NOTA: Obsérvese que, tal y como se han definido los procedimientos a utilizar, la función ha de ser z[x_,y_].

13 Untitled Se varía el marco de representación, pero se observa que el resultado es el mismo: ü.4. Evaluación numérica Otra posible forma de obtener información útil de una función en las proximidades de un punto es mediante evaluaciones numéricas. Consiste en definir una tabla de valores en torno al punto donde se calcula al límite y observar los resultados. Ejemplo.4..- Calcular el límite en el origen de coordenadas de la función f (x,y)= Se define la función: Ix 2 +y 2 M utilizando una evaluación numérica. y_d := x 2 +y 2 Se declaran los valores de a,b,n y h, que se corresponden con las coordenadas del punto donde se calcula el límite (a,b), el número de puntos por eje que tomamos n y la longitud de paso entre los citados puntos h. En este caso, estos valores se

14 4 Untitled- eligen teniendo en cuenta que a=b=, ya que evaluamos el límite en el origen, mientras que el valor de n y de h es por elección. a = ; b = ; n = 5; h =.; Con el comando Table se genera una tabla de valores en torno al origen. +jh, b +khd, 8j,, n<, 8k,, n<d 88.5,.4,.3, ,.9238<, 8.4,.5,.46538,.4, <, 8.3,.46538,.5,.48,.4476<, ,.4,.48,.5,.48785<, , ,.4476,.48785,.5<< Con el comando TableForm colocamos los valores en columnas. +jh, b +khd, 8j,, n<, 8k,, n<dd Dado que los valores no se "agrupan" en torno a un valor fijo, pensamos inicialmente que no existe el límite doble. Probamos de nuevo modificando los valores de n y h. Al aumentar n y disminuir h, el número de resultados es mayor y la información más precisa. a = ; b = ; n = ; h =.; +jh, b +khd, 8j,, n<, 8k,, n<dd Observamos de nuevo la no existencia del límite, dado que los valores no se "agrupan" en torno a un valor fijo. Si se quiere saber a qué valor de la función corresponde cada uno de los resultados hay que utilizar el comando ToString. NOTA:La utilización de dicho comando para generar una tabla de valores de la función en forma "clásica" no es evidente sino que requiere conocimientos avanzados de Mathematica. +jhd >"," > +khd >"D = " +jh, b +khdd, 8j,, n<, 8k,, n<dd =.5 =.4 =.3 =.4 =.5 = =.3 = =.5 = =.4 =.48 =.9238 = =.4476 =.6262 =.3 =.4 =.4 =.2645 = =.2377 = = =.9756 =.2765 =.3 =.9999 =.9238 =

15 Untitled- 5 Se utiliza el comando Flatten para que aparezcan los resultados en una única columna, ya que dado el número de puntos elegido no se ven bien todos los valores en la misma pantalla: +jhd >"," > +khd >"D = " +jh, b +khdd, 8j,, n<, 8k,, n<ddd =.5 =.4 =.3 = =.9238 =.6262 =.4 =.2377 =.9756 =.9999 =.4 =.5 = =.4 = =.3 =.2645 = =.2765 =.9238 =.3 = =.5 =.48 =.4476 =.4 = = =.3 = = =.4 =.48 =.5 = = = =.4 =.3734 = =.9238 = =.4476 = =.5 =.4983 = = = =.4 =.6262

16 6 Untitled- =.3 =.4 = =.4983 =.5 =.4948 =.48 = =.4476 =.4 =.2645 = = = =.4948 =.5 = = = =.2377 = = =.4 = =.48 = =.5 = = =.9756 =.2765 =.3 =.3734 = = = = =.5 = =.9999 =.9238 = = =.4 =.4476 = = = =.5 Como los valores oscilan en torno al origen, NO existe límite. Ejemplo senhx yl Conseguir el valor del límite en el origen de coordenadas de la función f (x,y)= utilizando una evaluación numérica. x y

17 Untitled- 7 Se define la función: y_d := Se declaran los valores de a,b,n y h con el mismo significado que antes. Estos valores se eligen teniendo en cuenta que a=b=, ya que evaluamos el límite en el origen, mientras que el valor de n y de h es por elección. a = ; b = ; n = 5; h =.; Con el comando Table se genera una tabla de valores entorno al origen. +jh, b +khd, 8j,, n<, 8k,, n<d , ,.99985, , <, , ,.9994, , <, ,.9994,.99865,.99762, <, , ,.99762, , <, , , , ,.98966<< A la vista de los resultados, el límite parece valer. Probamos modificando los valores de n y h. n = ; h =.; +jh, b +khd, 8j,, n<, 8k,, n<d 88.,.,.,.,.,.,.,.,.,.<, 8.,.,.,.,.,.,.,., , <, 8.,.,.,.,., , , , , <, 8.,.,.,., , , , , , <, 8.,.,., , , , , , , <, 8.,., , , , , , , , <, 8.,., , , , , , , , <, 8.,., , , , , , ,.99999, <, 8., , , , , , ,.99999, , <, 8., , , , , , , , , << Si se quieren representar los datos de un modo más claro: +jhd >"," > +khd >"D = " +jh, b +khdd, 8j,, n<, 8k,, n<ddd =. =. =. =. =. =. =. =. =. =. =. =. =. =. =. =.

18 8 Untitled- =. =. = = =. =. =. =. =. = = = = = =. =. =. =. = = = = = = =. =. =. = = = = = = = =. =. = = = = = = = = =. =. = = = = = = = = =. =.

19 Untitled- 9 = = = = = = = = =. = = = = = = = = = =. = = = = = = = = = Lo cual nos permite decir que el límite es. Ejemplo Calcular el límite en el punto (,-2) de la función f (x,y)= x3 seniy 2-4M Hy+2L senx Se define la función: utilizando una evaluación numérica. y_d := x 3 SinAy 2 4E Hy + 2L Se define el punto (a,b) donde se calcula el límite, la longitud de paso, por ejemplo, h=. y el número de puntos en cada eje, n=5. NOTA: Tanto la longitud de paso como el número de puntos en cada eje, de nuevo, es una elección. a = ; b = 2; n = 5; h =.; Se genera una tabla con los valores de la función en torno al punto (,-2). +jh, b +khd, 8j,, n<, 8k,, n<d ,.34535,.29964, ,.9726<, ,.3877,.2226,.99899,.79246<, ,.3474, ,.22646,.7982<, ,.5663,.49687,.4736, <, ,.8988, , ,.537<<

20 2 Untitled- Se observa que los valores oscilan en un entorno del, luego no estamos seguros si existe el límite. Se varían los valores iniciales. a = ; b = 2; n = 5; h =.; +jh, b +khd, 8j,, n<, 8k,, n<d , ,.39669, , <, ,.5943,.58435,.57749,.56985<, , ,.35659, , <, , , ,.6322,.62867<, , ,.99568, ,.9852<< Ahora los valores están muy próximos al ; podemos decir que el límite existe y su valor es. Si se quieren representar los datos de un modo más claro: +jhd >"," > +khd >"D = " +jh, b +khdd, 8j,, n<, 8k,, n<ddd =.3989 = = = = = =.5943 = = = = = = = = =.6384 = = =.6322 = = = = = =.9852 Representamos, la función y sus curvas de nivel para "corroborar" gráficamente lo deducido, siguiendo el proceso descrito en el ejemplo.3.: y_d := x 3 SinAy 2 4E ; xo = ; yo = 2; Hy := yd, 8x, xo ε, xo + ε<, 8y, yo ε, yo + ε<, DisplayFunction IdentityD; := yd, 8x, xo ε, xo + ε<, 8y, yo ε, yo + ε<, ColorFunction Hue, Contours 7, DisplayFunction IdentityD;

21 Untitled ü.5. Pasando a coordenadas polares Uno de los métodos "positivos" para el cálculo de límites dobles consiste en pasar a coordenadas polares con origen en el punto (a,b) (véase la NOTA 3 de la página 45 del libro). Dicho cambio de coordenadas está dado por las ecuaciones: x= a + rcos(q), y= b + rsen(q). En esas condiciones, y con la notación del libro, se tiene que limf Hx, yl Hx,yL Ha,bL =limf Hr, θl, siempre que el segundo límite exista y sea independiente de la r. La situación más común que garantiza la existencia de límite es que podamos escribir F(r,q) =g(r) h(r,q) con g(r) tendiendo a cero y h(r,q) acotada. Se puede expresar la función en coordenadas polares mediante la instrucción: r a_, b_d := yd ê. 8x > a y > b Obsérvese la útil presencia del comando Simplify, pues dada la naturaleza del cambio a coordenadas polares, es conveniente utilizar expresiones trigonométricas lo más sencillas posibles. Veamos cómo nos ayuda Mathematica en este cálculo. Ejemplo.5..- Calcular el límite en el origen de coordenadas de la función f (x,y)= x2 y 2 Se define entonces la función: Ix 2 +y 2 M 3 2 y_d := x 2 y 2 Ix 2 +y 2 M 3 2 Se le aplica la "función de cambio", que la transforma en coordenadas polares: D r De acuerdo con la estrategia teórica, véase NOTA 3 página 45 del libro, la función g(r) = la función h(r,q)=coshql 2 senhql 2 se mantiene acotada (véase la gráfica en un intervalo de longitud 2p) r 2 tiende a cero, mientras que

22 22 Untitled- 2 2, 8θ,, 2 π<e; por lo que se puede concluir que el límite doble es cero, resultado que viene confirmado ejecutando la instrucción D, r D Ejemplo Calcular el límite de la función f(x,y)= x2 y 2 Se declara la función en el origen de coordenadas. x 2 2 +y y_d := x^2y^2 x^2 +y^2 Se repiten las instrucciones del ejemplo anterior D r De acuerdo con la estrategia teórica, dado que la función g(r) = r 2 tiende a cero, mientras que la función h(r,q)=coshql 2 senhql 2 se mantiene acotada (véase la gráfica en un intervalo de longitud 2p del ejemplo anterior).se puede concluir que el límite doble es cero, resultado que viene confirmado ejecutando la instrucción D, r D Ejemplo Calcular el límite de la función f(x,y)= -x-y+ Se declara la función Hx-L 2 +Hy-L 2 en el punto (,). y_d := x y+ Hx L^2 + Hy L^2 Se repiten, de nuevo, las instrucciones de ejemplos anteriores:

23 Untitled- 23 D D, r D En este caso el límite depende del ángulo q. Podemos afirmar, por tanto, que el límite doble no existe. Ejemplo Usar el cambio a polares para demostrar que no existe límite en el origen de coordenadas de la función f(x,y)= x4 -y 4 +x 8 y 8 x 4 +y 4. Se declara la función y_d := x^4 y^4 +x^8y^8 x^4 +y^4 Se repiten, de nuevo, las instrucciones de ejemplos anteriores: D 4 4 +r D, r D θd 3 θd En este caso el límite depende del ángulo. Podemos afirmar entonces que el límite doble no existe. Lo comprobamos mediante los límites reiterados, usando limre y limre2 : D D Lo cual demuestra que el límite doble no existe. ü.6. Un recorrido por los diferentes métodos Los ejercicios siguientes pretenden mostrar la variedad de los métodos expuestos en los apartados anteriores. Ejemplo.6..- Estudiar la existencia de límite en el origen de coordenadas de la función f(x,y)= x4 -y 4 +x 8 y 8 (Es el ejemplo.5.4) x 4 +y 4

24 24 Untitled- Se define la función: y_d := x4 y 4 +x 8 y 8 x 4 +y 4 Se puede expresar la función en coordenadas polares mediante la instrucción Cpolares: D, r D θd 3 θd Como este límite depende de q, no existe el límite doble. Se hallan los límites direccionales en el origen, utilizando la función lim definida en el primer apartado. Se define la familia de rectas := mx Se halla el límite φd m 4 +m 4 Como el límite depende de m, el límite doble no existe. Se hallan los límites reiterados utilizando las funciones definidas en el segundo apartado, limre y limre2. D D Como son distintos no existe límite doble. También se pueden representar conjuntamente la función y sus curvas de nivel, utilizando los comandos Plot3D, Graphics- Array,ContourPlot y las funciones definidas en el apartado.3, para comprobar gráficamente la no existencia de límite. Primero se definen la función y el punto considerado: y_d = x4 y 4 +x 8 y 8 x 4 +y 4 ; xo = ; yo = ; Las siguientes instrucciones, ya definidas en el apartado.3, permitirán representar la función en el cuadrado de lados [xo- e, xo+e] x [yo-e,yo+e], así como sus curvas de nivel. := yd, 8x, xo ε, xo + ε<, 8y, yo ε, yo + ε<, DisplayFunction IdentityD; := yd, 8x, xo ε, xo + ε<, 8y, yo ε, yo + ε<, ColorFunction Hue, Contours 7, DisplayFunction IdentityD; Y ahora se pueden representar juntas usando el comando Show.

25 Untitled Se varía el marco de representación, pero se observa que el resultado es el mismo: Ejemplo Estudiar la existencia de límite en el punto (,) de la función f(x,y)= 3 x-3 x 2 +x 3-4 y+6 y 2-4 y 3 +y x-3 x 2 +x 3 +4 y-6 y 2 +4 y 3 -y 4. Igual que en ejemplo anterior vamos a utilizar los distintos métodos vistos hasta ahora. Se define la función: y_d := 3x 3 x 2 +x 3 4y+6y 2 4y 3 +y x 3x 2 + x 3 +4y 6y 2 +4y 3 y 4 Se puede expresar la función en coordenadas polares mediante la instrucción: D D, r D "Aparentemente" el límite NO depende de q. Por lo tanto podríamos pensar que existe límite doble y vale. Pero si observamos la expresión resultante del cambio a coordenadas polares vemos que el límite sí depende de q. Si nos acercamos al origen de coordenadas por el eje OY, es decir con cos(q)=, según esa dirección el límite vale - Esto quedará corroborado cuando chequeemos el procedimiento de los límites reiterados. Se hallan los límites direccionales en el punto, utilizando la función definida en el apartado.. Se define la familia de rectas que pasan por el punto (,), de la forma y =f(x) = b + m (x - a): := +mhx L Se halla el límite

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables 1 Funciones de varias variables Definición 1.1 Llamaremos función real de varias variables atodafunciónf : R n R. Y llamaremos función vectorial

Más detalles

1. Funciones de varias variables

1. Funciones de varias variables Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

REPRESENTACIONES GRÁFICAS: CONCEPTOS PREVIOS

REPRESENTACIONES GRÁFICAS: CONCEPTOS PREVIOS graficos.nb 1 REPRESENTACIONES GRÁFICAS: CONCEPTOS PREVIOS PLANO: CURVAS PLANAS 1) FORMA EXPLICITA : y=f(x) Ejemplo: y = x 2 2) FORMA PARAMETRICA : x x t y y t Comando: Plot Comando: ParametricPlot Ejemplo:

Más detalles

Práctica 02 Gráficos 2D con Mathematica

Práctica 02 Gráficos 2D con Mathematica Práctica 0 Gráficos D con Mathematica Mathematica dispone de varias instrucciones para representar gráficamente funciones,curvas o elementos geométricos en el plano.la instrucción Plot nos permite representar

Más detalles

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 Una función real de variable real es una aplicación f : D R, donde D es un subconjunto de R denominado dominio de f. La función f hace corresponder

Más detalles

Práctica 3. Derivadas parciales

Práctica 3. Derivadas parciales Práctica 3. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas. Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión 1.- DERIVADAS PARCIALES Dada f@x, yd una función

Más detalles

Práctica 7. Integración de funciones de dos variables

Práctica 7. Integración de funciones de dos variables Práctica 7. Integración de funciones de dos variables Integración con Mathematica Recuerda que Mathematica nos permite calcular integrales mediante la instrucciones: Integrate[expresión, variable] Calcula

Más detalles

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación

Más detalles

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Límites y continuidad 1. Límite de funciones de dos variables Hasta ahora hemos evitado entrar en la

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones de varias variables

Límites y Continuidad de funciones de varias variables 1.- Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto. Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h..-

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO

EJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Juan Jesús Pascual TEOREMAS DEL VALOR MEDIO. Es aplicable el teorema de Rolle a la función f( x) = x 5x 6 en [ 0, 5 ]? El teorema de Rolle

Más detalles

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS.

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN. Es toda aplicación entre dos conjuntos A y B formados ambos por números. f A --------> B Al conjunto A se le llama campo de existencia de la función

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONE EN EL EPACIO EUCLÍDEO 1. Producto Escalar en R n Definición 1.1. Dado x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, su producto escalar está

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

Práctica 0. Introducción al Mathematica

Práctica 0. Introducción al Mathematica Práctica 0. Introducción al Mathematica El programa Mathematica constituye una herramienta muy potente para la realización de todo tipo de cálculos matemáticos: operaciones aritméticas, cálculo simbólico,

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad

Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad 1 Funciones de varias variables Observación 1.1 Conviene repasar,enestepunto,lodadoeneltema8paratopología en R n : bolas,

Más detalles

Integrales paramétricas e integrales dobles y triples.

Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras * 19 de julio de 2006 PRÓLOGO: Notas para el curso de Cálculo II de la Facultad de Ingeniería. Este texto es complementario al

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Tema 5 Funciones de varias variables Supongamos que tenemos una placa rectangular R y determinamos la temperatura T en cada uno de sus puntos. Fijado un sistema de referencia, T es una función que depende

Más detalles

Repaso de funciones elementales, límites y continuidad

Repaso de funciones elementales, límites y continuidad Tema 3 Repaso de funciones elementales, ites y continuidad 3.1. Funciones. Definiciones básicas. Operaciones con funciones 3.1.1. Definiciones Una función real de (una) variable real es una aplicación

Más detalles

1 Función real de dos variables reales

1 Función real de dos variables reales Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica Cálculo Matemático. Tema 10: Funciones de dos variables. Curso 008-09 1 Función real de dos variables reales Hasta el momento

Más detalles

2.1.5 Teoremas sobre derivadas

2.1.5 Teoremas sobre derivadas si x < 0. f(x) = x si x 0 x o = 0 Teoremas sobre derivadas 9 2. f(x) = x 3, x o = 3 a. Determine si f es continua en x o. b. Halle f +(x o ) y f (x o ). c. Determine si f es derivable en x o. d. Haga la

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Funciones. Capítulo 1

Funciones. Capítulo 1 Capítulo Funciones En la base de muchos modelos matemáticos se halla el concepto de función. La descripción de un fenómeno que evoluciona con respecto al tiempo se realiza generalmente mediante una función

Más detalles

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares.

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 Vector tangente y gráficas en coordenadas polares De la misma forma que la ecuación cartesiana y = yx ( ) define una curva en el plano, aquella formada por los

Más detalles

CAPÍTULO III. FUNCIONES

CAPÍTULO III. FUNCIONES CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

Cálculo elemental de límites...

Cálculo elemental de límites... Capítulo 5 Cálculo elemental de ites... Vamos a dedicar este capítulo a tratar de mejorar nuestra relación con los ites, desarrollando el método que ya hemos anunciado, que nos permitirá calcular el ite

Más detalles

Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica.

Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica. Tema 1 Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica. 1.1. Un esbozo de qué es el Cálculo: paradojas y principales problemas planteados. Los orígenes del Cálculo se

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Subconjuntos destacados en la

Subconjuntos destacados en la 2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA f( t) f: ; t a, b y g() t De la regla de la cadena dy dy dt d dt d En donde dt se puede calcular

Más detalles

LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES. Otro enfoque para su estudio

LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES. Otro enfoque para su estudio D e : UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE INGENIERÍA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA PROFESORA: VIVIANA POLISENA AÑO: 2008/2009 LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Otro enfoque para

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Oleksandr Karelin Carlos Rondero Guerrero Anna Tarasenko DESIGUALDADES Métodos de cálculo no tradicionales

Oleksandr Karelin Carlos Rondero Guerrero Anna Tarasenko DESIGUALDADES Métodos de cálculo no tradicionales Oleksandr Karelin Carlos Rondero Guerrero Anna Tarasenko DESIGUALDADES Métodos de cálculo no tradicionales Patrocinado por: Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Madrid - Buenos Aires - México Oleksandr

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una

Más detalles

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O.

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O. Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar L. F. Reséndis O. 2 Contents 1 Números reales L.F. Reséndis O. 5 1.1 Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O............ 5

Más detalles

SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una

SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una SUPERFICIES El objetivo de este tema es el estudio de superficies regulares en el espacio. Definiremos de forma rigurosa lo que es una superficie, veremos formas de expresar una superficie, esencialmente

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU 48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU Unidad. Funciones. Derivabilidad TEMA FUNCIONES.DERIVABILIDAD.. Tasa de variación media. Derivada en un punto. Interpretación.. Tasa de variación

Más detalles

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 010 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 a 1 1 1 3 Sean las matrices

Más detalles

Aplicaciones de la Integral Definida

Aplicaciones de la Integral Definida CAPITULO 7 Aplicaciones de la Integral Definida 1 Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,

Más detalles

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CAPÍTULO V. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de derivada. B. Reglas de derivación. C. Derivadas sucesivas. D. Funciones implícitas. Derivación logarítmica. E. Ecuaciones paramétricas.

Más detalles

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

Más detalles

El anillo de polinomios sobre un cuerpo

El anillo de polinomios sobre un cuerpo Capítulo 2 El anillo de polinomios sobre un cuerpo En este capítulo pretendemos hacer un estudio sobre polinomios paralelo al que hicimos en el capítulo anterior sobre los números enteros. Para esto, es

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función

3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función TEMA 3 FUNCIONES 3.1. Concepto de función. Dominio, recorrido y gráfica. 3.1.1. Concepto de función Una función es una relación establecida entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable

Más detalles

Funciones de dos variables. Gráficas y superficies.

Funciones de dos variables. Gráficas y superficies. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Funciones de dos variables. Gráficas y superficies. Puede ser conveniente la visualización en pantalla

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Específico Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Específico Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Específico Modelo 1) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 específico Sea la función f: (0,+) R definida por f(x) 1/x + ln(x) donde

Más detalles

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3 CONTENIDOS Límite y asíntotas Cálculo de límites Continuidad Derivadas Estudio de funciones Problemas de optimización Varias de las características de diferentes tipos de funciones ya han sido estudiadas

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { } I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas

Más detalles

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'.

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'. .- Dada la función: f(x) = x 9 x a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'..a.- Lo primero que hacemos es buscar el dominio,

Más detalles

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08)

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas) Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con ejemplos resueltos (7-8) En estos apuntes, consideraremos las funciones anaĺıticas (holomorfas)

Más detalles

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)

Más detalles

Halla dominio e imagen de las funciones

Halla dominio e imagen de las funciones Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Halla dominio e imagen de las funciones y Como no está definido si, es decir, si El recorrido o imagen será el conjunto de todos los

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL. Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas

CÁLCULO DIFERENCIAL. Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas CÁLCULO DIFERENCIAL Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial UNIDAD 1 2. Funciones y modelos 2.1.

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente

Más detalles

Funciones y gráficas (1)

Funciones y gráficas (1) Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles

Derivabilidad de una función real de variable real: propiedades y aplicaciones

Derivabilidad de una función real de variable real: propiedades y aplicaciones practica5jj.nb 1 Derivabilidad de una función real de variable real: propiedades y aplicaciones En esta práctica aprenderemos a usar los siguientes comandos y herramientas para aplicar los resultados teóricos

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

Capítulo II: Continuidad y límite funcional

Capítulo II: Continuidad y límite funcional Capítulo II: Continuidad y límite funcional En este capítulo tratamos el concepto de continuidad, una de la idea más fascinante de toda la matemática. Hablando intuitivamente, la idea se puede entender

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES. Definición intuitiva de límite.. DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE. Límites reales.. Propiedades de los límites.. Estrategias para calcular límites. - Límites

Más detalles

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx.

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Conceptos de derivada y de diferencial Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela 1 Universidad de Salamanca 18 de agosto de 2012 v1.3: 17 de septiembre de 2012 Aunque

Más detalles

que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (0, 2), (2, 1), (1, 6) y (3, 5).

que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (0, 2), (2, 1), (1, 6) y (3, 5). 74 MÉTOOS NUMÉRICOS Informática de Sistemas - curso 9/1 Hojas de problemas Tema I - Cálculo diferencial e integral en varias variables I.1 Representación de funciones de dos variables 1. ibuja el plano

Más detalles

Teoremas de la función implícita y de la función inversa

Teoremas de la función implícita y de la función inversa Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Teoremas de la función implícita y de la función inversa 1. El teorema de la función implícita 1.1. Ejemplos

Más detalles

Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales

Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales Índice 1. Introducción 2. Método de Bisección 2.1 Algoritmo del Método de Bisección 2.2 Análisis de Método de Bisección 3. Método de Regula-Falsi 3.1 Algoritmo

Más detalles

Winplot DIBUJAR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. Ventana > 2-dim: aparece la ventana sinnombre1.wp2. Ecua > Explícita: aparece la ventana de edición y=f(x).

Winplot DIBUJAR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. Ventana > 2-dim: aparece la ventana sinnombre1.wp2. Ecua > Explícita: aparece la ventana de edición y=f(x). 1 DIBUJAR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Winplot Ventana > 2-dim: aparece la ventana sinnombre1.wp2. Ecua > Explícita: aparece la ventana de edición y=f(x). En el recuadro f(x)= se escribe la expresión de la

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS.

ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 008-009 MATEMÁTICAS II ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. Bloque 1. Dado el número real a, se considera el sistema a) Discuta el sistema según los valores

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: 1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el

Más detalles