ax 3 -bx 2 = x 2 (ax-b) 2b 5 -b 3 = b 3 (2b 2-1)
|
|
- Inés Tebar Maidana
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 CPU Calle Mercado # 555 Teléfono FACTORIZACIÓN Caso I: Factor Común Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos los términos. Los números pueden factorizarse en este caso si existe máximo común divisor (MCD) entre ellos. ax+bx = x(a+b) ax 3 -bx 2 = x 2 (ax-b) 2b 5 -b 3 = b 3 (2b 2-1) Ejemplos Cómo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letras comunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y 24ax+18bx = 6x(4a+3b) dividir cada término entre el factor común (restando los exponentes) MCD = 2. 3 = Caso I Especial 2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y) Cómo Reconocer: El factor común es un conjunto entre paréntesis. Cómo Factorizar: Tomar el paréntesis común y dividir cada término entre el común a(m-2)-m+2 a(m-2)-(m-2) = (m-2)(a-1) x(a-b)+a-b x(a-b)+(a-b) = (a-b)(x+1) Caso II: Factor común por agrupación ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by) Cómo Reconocer: Son cuatro términos, a veces son = x(a+b) - y(a+b) seis u ocho términos = (a+b)(x-y) Cómo Factorizar: Formar dos grupos y factorizar cada grupo como el caso I y luego el resultado factorizar como el caso I especial. ax 2 -x+ax-1 = (ax 2 -x)+(ax-1) = x( ax-1) +(ax-1) = (ax-1)(x+1) Caso III: Trinomio cuadrado perfecto a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2 Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. El primero y el tercero siempre son positivos y tienen raíz cuadrada. x 2-2xy+y 2 = (x-y) 2 4x 2-12xy+9y 2 = (2x-3y) 2 prueba: 2(2x)(3y) =12xy Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar entre paréntesis y elevar al cuadrado. 2 x 5xy y 6 x = 5y prueba : x ( 5y ) = 5xy Caso III Especial (a+1) 2 +2(a+1)(2a-3)+(2a-3) 2 Cómo Reconocer: Son tres términos con paréntesis. El primero y el tercero siempre son positivos y tienen raíz cuadrada. [(a+1)+(2a-3)] 2 [ a a-3 ] 2 Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, [3a-2] 2 signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar entre corchetes y elevar al cuadrado. Caso IV: Diferencia de cuadrados a 2 b 2 = (a b) (a + b) Cómo Reconocer: Siempre son dos términos que tienen raíz cuadrada, siempre es una resta 4x 2 9y 2 = (2x + 3y) (2x 3y) 2 x 16 x 4 x 4 = + 3 Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis: uno con menos (-) y el otro con más (+). Sacar raíz cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismo en los dos paréntesis y 5 3 y 5 y Caso IV Especial (a+b) 2 c 2 = [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c] Cómo Reconocer: Uno o los dos términos son conjuntos entre paréntesis y que tienen raíz cuadrada, el signo afuera de los parentesis es menos (-) Cómo Factorizar: Abrir dos pares de corchetes, uno con menos [-] y el otro con más [+]. Sacar raíz cuadrada de los dos términos. Repetir lo mismo en los dos corchetes. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes. 49(x 1) 2 9(3 x) 2 [7(x-1) 3(3 x)] [7(x-1) + 3(3 x)] [7x x] [7x x] [10x 16] [4x + 2]
2 Combinación Caso III y IV Cómo Reconocer: Son cuatro términos, tres de ellos tienen raíz cuadrada. A veces son seis términos, cuatro de los cuales tienen raíz cuadrada. Cómo Factorizar: Cuando son cuatro términos formar un trinomio cuadrado perfecto entre paréntesis y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por el caso IV Especial Cuando son seis términos formar dos trinomios cuadrado perfecto y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por el caso IV Especial CasoV: Trinomio cuadrado por Adición y Sustracción Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. El primero y tercero siempre son positivos, tienen raíz cuadrada y sus exponentes son múltiplos de cuatro (4, 8, 12, etc) Cómo Factorizar: Resolver como caso III y restar lo que le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto. El resultado factorizar como el caso IV Especial. Ejemplos a 2 +2ab + b 2 c 2 = (a 2 +2ab + b 2 ) c 2 (a + b) 2 c 2 [(a +b) c] [(a +b) +c] [a + b c] [a + b + c] a 2 - x 2 2xy y 2 = a 2 (x 2 + 2xy + y 2 ) = a 2 (x+y) 2 a 2 +2ab + b 2 - x 2 + 2xy y 2 = [a (x+y)][a + (x+y)] = [a x - y] [a + x + y] (a 2 +2ab + b 2 ) - (x 2-2xy + y 2 ) (a + b) 2 (x y) 2 [(a + b) (x y)][ (a + b) + (x y)] [ a + b x + y ][ a + b + x y ] x 4 + x 2 y 2 + y 4 =(x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 + x 2 y 2 =[(x 2 + y 2 ) xy] [(x 2 + y 2 ) + xy] +2x 2 y 2 =[ x 2 + y 2 xy] [ x 2 + y 2 + xy] =[ x 2 xy + y 2 ] [ x 2 + xy + y 2 ] 25x x 2 y 2 + 9y 4 =(5x 2 + 3y 2 ) 2 9x 2 y 2 + 9x 2 y 2 =[(5x 2 + 3y 2 ) 3xy] [(5x 2 + 3y 2 ) + 3xy] + 30x 2 y 2 =[ 5x 2 + 3y 2 3xy] [ 5x 2 + 3y 2 + 3xy] =[ 5x 2 3xy + 3y 2 ] [ 5x 2 + 3xy + 3y 2 ] Caso V Especial Cómo Reconocer: Siempre son dos términos positivos que tienen raíz cuadrada y cuyos exponentes son múltiplos de cuatro (4, 8 12, etc) Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada a ambos términos, asociar entre paréntesis y elevar al cuadrado, restar el doble del primero por el segundo y el resultado factorizar por el caso IV Especial x 4 + 4y 4 (x 2 + 2y 2 ) 2 4x 2 y 2 [(x 2 + 2y 2 ) 2xy] [ (x 2 + 2y 2 ) + 2xy] [ x 2 + 2y 2 2xy] [ x 2 + 2y 2 + 2xy] [ x 2 2xy + 2y 2 ] [ x 2 + 2xy + 2y 2 ] 64x 4 + y 8 (8x 2 + y 4 ) 2 16x 2 y 4 [(8x 2 + y 4 ) 4xy 2 ] [(8x 2 + y 4 ) + 4xy 2 ] [ 8x 2 + y 4 4xy 2 ] [ 8x 2 + y 4 + 4xy 2 ] [ 8x 2 4xy 2 + y 4 ] [ 8x 2 + 4xy 2 + y 4 ] Caso VI: Trinomio de la forma x 2 + bx + c x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) Cómo Reconocer: Tiene la forma x 2 + bx + c Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, colocar la raíz cuadrada del primero en cada paréntesis; en el primer paréntesis poner el signo del segundo término y en el segundo paréntesis poner la multiplicación de los signos de segundo y tercer término. Si los signos de los paréntesis son iguales, buscar dos números que sumados den el segundo y multiplicado den el tercer término. Si los signos de los paréntesis son opuestos, buscar dos números que restados den el segundo y multiplicados den el tercer término. El número mayor se anota en el primer paréntesis. x 2 7x + 6 = (x - 6)(x - 1) x 2 3x 10 = (x 5)(x + 2) x 2 + x 20 = (x + 5)(x - 4) Caso VI Especial x 4 y 6 2x 2 y 3 15 = (x 2 y 3-5)(x 2 y 3 + 3) x 2 + 7ax + 12a 2 = (x + 4a)(x + 3a) (5x) 2 + 4(5x) 12 = (5x + 6)(5x -2) - x 2 + 3x + 28 = -(x 2 3x 28) -(x - 7)(x + 4) (7 x)(x + 4)
3 Caso VII: Trinomio de la Forma ax 2 + bx + c Cómo Reconocer: Tiene la forma ax 2 + bx + c Aspa Simple: Descomponer el primer y tercer término en dos factores, multiplicar en diagonal y sumar sus resultados, si la suma da el segundo término, entonces poner cada fila entre paréntesis. Ejemplos 10 x 2 9 x + 2 = (5x 2) (2x 1) 5x -2 = -4x 2x -1 = -5x. -9x Otro Método: Abrir dos pares de paréntesis. Colocar el coeficiente del primer término en cada paréntesis y en el denominador. Multiplicar el primer término con el tercero y proseguir como el caso VI, luego simplificar el denominador con los coeficientes de un paréntesis, si sobra algo en el denominador usarlo para simplificar con el otro paréntesis. 3x 2 +5 x / x + 3/ 3 x + 2 = 3/ 1 6x 2 7x / x 9/ 6/ x + 2/ = 6/ 2/ 1 6 ( x + 3)( 3x + 2) ( 2x 3)( 3x + 1) Caso VIII: Cubo Perfecto de un Binomio a a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 18 Cómo Reconocer: Siempre son 4 términos, todos positivos o intercalados (+, -, +, - ) y el primer y cuarto término tienen raíz cúbica. Cómo Factorizar: Sacar raíz cúbica del primero, poner signo positivo, si todos son positivos, signo negativo, si son intercalados, sacar raíz cúbica del cuarto término, asociar entre paréntesis y elevar al cubo. X 3 3 x 2 y + 3xy 2 y 3 = (x - y) a a 4 + a 6 = (2 + a 2 ) 3 prueba 3(2)2 (a 2 ) = 12a 2 3(2)(a 2 ) 2 = 6a a a 2 b + 60 ab 2 8b 3 = (5a 2b) 3 prueba 3(5a)2 (2b) = 150a 2 b 3(5a)(2b) 2 = 60ab 2 Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 xy + y 2 ) Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz cúbica Cómo Factorizar: Cuando es una suma (x 3 + y 3 ): Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del primero más (+) raíz cúbica del segundo, en el segundo paréntesis: el primero al cuadrado menos (-) el primero por el segundo más (+) el segundo al cuadrado. Cuando es una resta (x 3 - y 3 ): Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del primero menos (-) raíz cúbica del segundo, en el segundo paréntesis: el primero al cuadrado más (+) el primero por el segundo más (+) el segundo al cuadrado. a 3 - b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 8x = (2x 5)[(2x) 2 + (2x)(5) + (5) 2 ] = (2x - 5)(4x x + 25) Caso IX Especial x 3 + (x - 1) 3 = [x + (x - 1)][x 2 x(x-1) + (x-1) 2 ] = (x + x - 1)(x 2 x 2 +x + x 2 2x + 1) =(2x - 1)(x 2 x +1) (5x - 1) 3 (2x + 3) 3 =[(5x - 1) - (2x + 3)][(5x - 1) 2 + (5x - 1)(2x + 3) +(2x + 3) 2 ] =[5x -1-2x -3][25x 2 10x+1+10x 2 +15x 2x 3+4x 2 +12x+9] =(3x - 4)(39x x + 7) Caso X: Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales x 5 + y 5 = (x + y)(x 4 x 3 y + x 2 y 2 xy 3 + y 4 ) Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar. Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el segundo paréntesis poner un polinomio donde el primer término vaya decreciendo y el segundo término vaya creciendo. Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y si es una resta, el polinomio es de signos positivos. a 7 b 7 =(a - b)(a 6 +a 5 b+a 4 b 2 +a 3 b 3 +a 2 b 4 +ab 5 +b 6 ) x 5 1 = (x - 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) 1 + x 7 =(1 + x)(1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + x 6 ) x 5 32 =(x - 2)(x 4 + x x x ) =(x 2)(x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x+ 16)
4 Productos Notables Ejercicios de productos y cocientes notables José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c
5 Contenido 1. Introducción 2 2. El cuadrado de una suma (a + b) El cuadrado de una diferencia (a b) Producto de la forma (a + b)(a b) 8 5. Cubo de un binomio (a ± b) Producto de la forma (mx + a)(nx + b) Cocientes de la forma a2 b 2 a ± b Cocientes de la forma a3 ± b 3 a ± b Cocientes de la forma a3 + b 3 a + b Cocientes de la forma a3 b 3 a b
6 Introducción 1 Al efectuar algunos productos de polinomios, existen varios que son comúnmente usados, a estos productos se les conoce como productos notables. Algunos productos y cocientes notables. 1. El cuadrado de una suma (a + b) El cuadrado de una diferencia (a b) El producto de una suma por una diferencia (a + b)(a b). 4. El cubo de un binomio (a ± b) El producto de la forma (mx + a)(nx + b). 6. El cociente de la forma a2 b 2 a ± b. 7. El cociente de la forma a3 ± b 3 a ± b.
7 El cuadrado de una suma (a + b) 2 2 Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. 1. (m + 5) 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (m + 5) 2 = (m) 2 + 2(m)(5) + (5) 2 (m + 5) 2 = m m (9 + 4m) 2 (9 + 4m) 2 = (9)(4m) + (4m) 2 (9 + 4m) 2 = m + 16m 2 3. (2x + 3y) 2 (2x + 3y) 2 = (2x) 2 + 2(2x)(3y) + (3y) 2
8 2. El cuadrado de una suma (a + b) 2 4 (2x + 3y) 2 = 4x xy + 9y 2 4. (3a 3 + 8b 4 ) 2 (3a 3 + 8b 4 ) 2 = (3a 3 ) 2 + 2(3a 3 )(8b 4 ) + (8b 4 ) 2 (2x + 3y) 2 = 9a 6 + (2)(3)(8)a 3 b b 8 = 9a a 3 b b 8 5. (4m 5 + 5n 6 ) 2 (4m 5 + 5n 6 ) 2 = (4m 5 ) 2 + 2(4m 5 )(5n 6 ) + (5n 6 ) 2 (4m 5 + 5n 6 ) 2 = 16m 10 + (2)(4)(5)m 5 n n 12 = 16m m 5 n n (8x 2 y + 9m 3 ) 2 (8x 2 y + 9m 3 ) 2 = (8x 2 y) 2 + 2(8x 2 y)(9m 3 ) + (9m 3 ) 2 (8x 2 y + 9m 3 ) 2 = 64x 4 y 2 + (2)(8)(9)x y m m 6 = 64x 4 y x y m m 6 7. (a m + a n ) 2 (a m + a n ) 2 = (a m ) 2 + 2(a m )(a n ) + (a n ) 2
9 2. El cuadrado de una suma (a + b) 2 5 (a m + a n ) 2 = a 2m + 2a m+n + a 2n 8. (a m + a n ) 2 (a m + a n ) 2 = (a m ) 2 + 2(a m )(a n ) + (a n ) 2 (a m + a n ) 2 = a 2m + 2a m+n + a 2n
10 El cuadrado de una diferencia (a b) 2 3 Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es el cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. 1. (2a 3b) 2 (a + b) 2 = a 2 2ab + b 2 (2a 3b) 2 = (2a) 2 2(2a)(3b) + (3b) 2 (2a 3b) 2 = 4a 2 12ab + 9b 2 2. (3a 4 5b 2 ) 2 (3a 4 5b 2 ) 2 = (3a 4 ) 2 2(3a 4 )(5b 2 ) + (5b 2 ) 2 (3a 4 5b 2 ) 2 = 9a 8 (2)(3)(5)a 4 b b 4 = 9a 8 30a 4 b b 4 3. (10x 3 9xy 5 ) 2 (10x 3 9xy 5 ) 2 = (10x 3 ) 2 2(10x 3 )(9xy 5 ) + (9xy 5 ) 2
11 3. El cuadrado de una diferencia (a b) 2 7 (10x 3 9xy 5 ) 2 = 100x 6 (2)(10)(9)x 4 y x 2 y 10 = 100x 6 180x 4 y x 2 y (x a+1 3x a 2 ) 2 (x a+1 3x a 2 ) 2 = (x a+1 ) 2 2(x a+1 )(3x a 2 ) + (3x a 2 ) 2 (x a+1 3x a 2 ) 2 = x 2a+2 6x a+1+a 2 + 9x 2a 4 = x 2a+2 6x 2a 1 + 9x 2a 4 5. (3m a+b 2n a b ) 2 (3m a+b 2n a b ) 2 = (3m a+b ) 2 + 2(3m a+b )(2n a b ) + (2n a b ) 2 (3m a+b 2n a b ) 2 = 9m 2a+2b 12m a+b n a b + 4n 2a 2b
12 Producto de la forma (a + b)(a b) 4 Puede aprenderse la regla de esta operación como: el producto de la suma por la diferencia es la diferencia de cuadrados. 1. (x + y + z)(x + y z) (a + b)(a b) = a 2 b 2 (x + y + z)(x + y z) = (x + y) 2 (z) 2 (x + y + z)(x + y z) = x 2 + 2xy + y 2 z 2 2. (x y + z)(x + y z) Paso 1 Reordenando términos. (x y + z)(x + y z) = (x (y z))(x + (y z)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (x y + z)(x + y z) = (x (y z))(x + (y z)) = (x) 2 (y z) 2 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (x y + z)(x + y z) = (x) 2 (y z) 2 = x 2 [y 2 2yz + z 2 ] = x 2 y 2 + 2yz z 2 ]
13 4. Producto de la forma (a + b)(a b) 9 3. (x + y + z)(x y z) Paso 1 Reordenando términos. (x + y + z)(x y z) = (x + (y + z))(x (y + z)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (x + y + z)(x y z) = (x + (y + z))(x (y + z)) = (x) 2 (y + z) 2 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (x y + z)(x + y z) = (x) 2 (y + z) 2 = x 2 [y 2 + 2yz + z 2 ] = x 2 y 2 2yz z 2 ] 4. (m + n + 1)(m + n 1) (m + n + 1)(m + n 1) = (m + n + (1))(m + n (1)) = (m + n) 2 (1) 2 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (m + n + 1)(m + n 1) = (m + n) 2 (1) 2 = m 2 + 2mn + n (n 2 + 2n + 1)(n 2 2n 1) Paso 1 Reordenando términos. (n 2 + 2n + 1)(n 2 2n 1) = (n 2 + (2n + 1))(n 2 (2n + 1)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (n 2 + 2n + 1)(n 2 2n 1) = (n 2 + (2n + 1))(n 2 (2n + 1)) = (n 2 ) 2 (2n + 1) 2 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (n 2 + 2n + 1)(n 2 2n 1) = (n 2 ) 2 (2n + 1) 2 = n 4 [4n 2 + 4n + 1] = n 4 4n 2 4n 1
14 4. Producto de la forma (a + b)(a b) (2a b c)(2a b + c) Paso 1 Reordenando términos. (2a b c)(2a b + c) = ((2a b) (c))((2a b) + (c)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (2a b c)(2a b + c) = ((2a b) (c))((2a b) + (c)) = (2a b) 2 (c) 2 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (2a b c)(2a b + c) = 4a 2 4ab + b 2 c 2 7. (a m + b n )(a m b n ) (a m + b n )(a m b n ) = (a m ) 2 (b n ) 2 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (a m + b n )(a m b n ) = a 2m b 2n 8. (a x+1 2b x 1 )(2b x 1 + a x+1 ) (a x+1 2b x 1 )(2b x 1 + a x+1 ) = (a x+1 ) 2 (2b x 1 ) 2 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (a x+1 2b x 1 )(2b x 1 + a x+1 ) = a 2x+2 4b 2x 2 9. (a 2 ab + b 2 )(a 2 + b 2 + ab) Paso 1 Reordenando términos. (a 2 ab + b 2 )(a 2 + b 2 + ab) = ((a 2 + b 2 ) (ab))((a 2 + b 2 ) + (ab)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (a 2 ab + b 2 )(a 2 + b 2 + ab) = (a 2 + b 2 ) 2 (ab) 2
15 4. Producto de la forma (a + b)(a b) 11 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (a 2 ab + b 2 )(a 2 + b 2 + ab) = (a 2 + b 2 ) 2 (ab) 2 = a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 a 2 b (x 3 x 2 x)(x 3 + x 2 + x) Paso 1 Reordenando términos. (x 3 x 2 x)(x 3 + x 2 + x) = ((x 3 ) (x 2 + x))((x 3 ) + (x 2 + x)) Paso 2 Usando la fórmula para este caso. (x 3 x 2 x)(x 3 + x 2 + x) = (x 3 ) 2 (x 2 + x) 2 Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando. (x 3 x 2 x)(x 3 + x 2 + x) = x 6 (x 4 + 2x 2 x + x 2 ) = x 6 x 4 2x 3 x 2 )
16 Cubo de un binomio (a ± b) 3 5 Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cubo de un binomio es el cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo. 1. (m + 3) 3 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (m + 3) 3 = m 3 + 3(m) 2 (3) + 3(m)(3) 2 + (3) 3 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (x 3 x 2 x)(x 3 + x 2 + x) = x 6 (x 4 + 2x 2 x + x 2 ) = x 6 x 4 2x 3 x 2 ) En el caso del signo negativo, el cubo de un binomio es el cubo del primero menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo. (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 1. (1 2n) 3 (1 2n) 3 = 1 3 3(1) 2 (2n) + 3(1)(2n) 2 (2n) 3 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (1 2n) 3 = 1 6n + 12n 2 8n 3
17 Producto de la forma (mx + a)(nx + b) 6 Este tipo de productos siguen una fórmula, pero no es difícil obtenerla, multiplicando lo dos binomios. (mx + a)(nx + b) = (mn)x 2 + (m + n)x + ab 1. (x + 3)(x + 2) (x + 3)(x + 2) = x 2 + (2 + 3)x + 6 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (x + 3)(x + 2) = x 2 + 5x (x 2 1)(x 2 + 3) (x 2 1)(x 2 + 3) = x 4 + (3 1)x 3 Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (x 2 1)(x 2 + 3) = x 4 + 2x 3 3. (a x+1 6)(a x+1 5) (a x+1 6)(a x+1 5) = a 2x+2 + ( 6 5)a x Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando. (a x+1 6)(a x+1 5) = a 2x+2 11a x
18 Cocientes de la forma a2 b 2 a ± b 7 Este tipo de cocientes se puede resolver fácilmente al substituir la diferencia de cuadrados (a 2 b 2 ) por el producto (a + b)(a b). De ahí se siguen las fórmulas siguientes (es necesario que a b): a 2 b 2 a + b a 2 b 2 a b = (a b) = (a + b) 7.1. Cocientes de la forma a3 ± b Cocientes de la forma a3 + b 3 a + b Cocientes de la forma a3 b 3 a ± b a 3 + b 3 a + b = a2 ab + b 2 a b a 3 b 3 a b = a2 + ab + b 2 En las otras combinaciones de signos no es exacta la división.
Productos Notables. Ejercicios de productos y cocientes notables. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx
Productos Notables Ejercicios de productos y cocientes notables www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Introducción 2 2. El cuadrado de una suma (a
Más detallesGUÍA DE APRENDIZAJE. PROCESO: Prestación del Servicio / Educación Superior
GUÍA UNIDAD No. 04 Programa: Procesos Aduaneros Semestre: Primero 2012 Asignatura: Matemáticas Básicas Nombre Unidad: Factorización Subtemas: Casos de factorización Metodología de Formación: Presencial
Más detallesPRODUCTOS NOTABLES: son aquellas multiplicaciones algebraicas
PRODUCTOS NOTABLES: son aquellas multiplicaciones algebraicas que se resuelven siguiendo Reglas y Fórmulas específicas para cada caso y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir
Más detallesEjercicios de Factorización. Prof. María Peiró
Ejercicios de Factorización Prof. María Peiró Trinomio Cuadrado Perfecto Un trinomio cuadrado perfecto, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Un trinomio será cuadrado
Más detallesFACTORIZACIÓN 1. FACTOR COMUN:
FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto. Cuando realizamos las multiplicaciones: a) 2x (x 2 3x + 2) = 2x 3 6x 2 + 4x b) (x + 7)(x + 5) = x 2 + 12x + 35
Más detallesDESCOMPOSICION FACTORIAL
DESCOMPOSICION FACTORIAL JOSE VICENTE CONTRERAS JULIO Licenciado en Matemáticas y Física ACTIVIDAD DE AUTONOMIA http://jvcontrerasj.com http://www.jvcontrerasj.3a2.com/ FACTORIZAR UNA EXPRESION ES ENCONTRAR
Más detallesContenido. 1. Definiciones. 2. Operaciones Algebraicas 2.1 Suma y resta 2.2 Multiplicación 2.3 Productos Notables 2.4 Factorización 2.
Contenido 1. Definiciones 1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 1.3 términos semejantes 2. Operaciones Algebraicas 2.1 Suma y resta 2.2 Multiplicación 2.3 Productos Notables 2.4 Factorización
Más detallesFACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO GUIA DE FACTORIZACIÓN DOCENTE: IDALY MONTOYA A.
DESCOMPOSICION FACTORIAL Factorizar significa descomponer en dos o más componentes. Por ejemplo: 15= 3x 5 ; 7=3 x 9 ; 99 = 9 x 11 ; 6 = 3 x FACTORES: Se llaman factores o divisores de una gran expresión
Más detallesFACTORIZACIÓN MÉTODO DE FACTORIZACIÓN A. FACTOR COMÚN MONOMIO
Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o más polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores: multiplicación (x + 1) (x + 3)
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS
C u r s o : Matemática Material N 15 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 1 EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir
Más detallesFACTORIZACIÓN I # DE FACTORES PRIMOS POLINOMIO FACTORIZADO. multiplicación (x + 1) (x + 3) = x 2 + 4x + 3. P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z 2 x 3
I Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o mas polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores: multiplicación (x + 1) (x + 3)
Más detallesCONCEPTOS GENERALES SOBRE LA FACTORIZACIÓN: Qué es factorizar o factorear un polinomio?
CONCEPTOS GENERALES SOBRE LA FACTORIZACIÓN: Qué es factorizar o factorear un polinomio? Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también se le llama a la multiplicación).
Más detallesAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
FACTORIZACION DE POLINOMIOS. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común,
Más detallesUNIDAD DOS FACTORIZACIÓN
UNIDAD DOS FACTORIZACIÓN Factorizar quiere decir descomponer en factores, los factores son divisores de una expresión que, multiplicados entre sí, dan como resultado la primera expresión. FACTOR COMÚN
Más detallesProductos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
Productos notables Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones
Más detallesColegio La Salle Envigado FORMANDO EN VALORES PARA LA VIDA GUIA FACTORIZACION
GUIA FACTORIZACION Esta guía tiene como objetivo afianzar los conocimientos teórico-prácticos en los diferentes casos de factorización, para ello se darán en esta guía algunos ejercicios de factorización
Más detallesMATEMÁTICA EMPRESARIAL
Guía N.00 F. Elaboración: 7 febrero/11 F. 1 Revisión 7 febrero/11 Pagina 1 de 9 Tema: FACTORIZACIÓN Semestre: I Área: MATEMATICAS. Profesor: César Herrera. FACTORIZACIÓN En álgebra, la factorización es
Más detallesFactorización de Polinomios
www.matebrunca.com Prof. Waldo Márquez González Factorización 1 Factorización de Polinomios TEMAS A EVALUAR 1. Factor Común Monomio. 2. Factor Común Polinomio. 3. Factor Común por Agrupación. 4. Diferencia
Más detalles2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Tales como, 2X 2 3X + 4 ax + b Se obtienen a partir de variables como X, Y y Z, constantes como -2, 3, a, b, c, d y cobinadas utilizando la suma, resta, multiplicación, división
Más detallesopen green road Guía Matemática PRODUCTOS NOTABLES profesor: Nicolás Melgarejo .co
Guía Matemática PRODUCTOS NOTABLES profesor: Nicolás Melgarejo.co 1. Introducción Es usual en matemática intentar simplificar todas las expresiones y definiciones, utilizando el mínimo de elementos o símbolos
Más detalles= =
FACTORIZACIÓN 31 Factorización La factorización corresponde al proceso lógico mediante el cual se expresa un objeto o número a como el producto de otros objetos o números más simples llamados factores).
Más detallesSERIE INTRODUCTORIA. REPASO DE ALGEBRA.
SERIE INTRODUCTORIA. REPASO DE ALGEBRA. 1.- REDUCCION DE TÉRMINOS SEMEJANTES. Recuerde que los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes. Ejemplos: *7m; 5m
Más detallesMATE IV Serie Álgebra 2015/01/26 NOMENCLATURA ALGEBRAICA
NOMENCLATURA ALGEBRAICA Definición (Término). Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Por ejemplo a, 3b, xy, son términos.
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA CASOS DE FACTORIZACIÓN El futuro tiene muchos nombres. Para los débiles es lo inalcanzable. Para los temerosos, lo desconocido.
Más detallesEjercicios... Julio Yarasca
Ejercicios... Julio Yarasca 4 de junio de 2015 Capítulo 1 Productos Notables 1.1. Teoría Tenemos los siguientes productos notables 1. Binomio al cuadrado 2. Identidades de Lagrange 3. Diferencia de Cuadrados
Más detallesDESARROLLO D) 4. para a = 1 y b = 2 (a 2 + b 2 )(2a 3b 2 ) es:
ENCUENTRO # 10 TEMA:Operaciones con polinomios CONTENIDOS: 1. Multiplicación de polinomios. 2. Productos notables. DESARROLLO Ejercicio Reto x 2 1. Al racionalizar el denominador de la fracción 3 + se
Más detallesÁlgebra Básica CONALEP 150 TEHUACÁN MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES.
Álgebra Básica CONALEP 150 TEHUACÁN MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES www.zonaemec.tk Expresión algebraica y sus partes Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos
Más detalles1. Factor Común. Fundación Uno. Ejercicio Reto. ENCUENTRO # 12 TEMA:Factorizaciones CONTENIDOS: 1. Factor común. 2. Factor común por Agrupamiento
ENCUENTRO # 12 TEMA:Factorizaciones CONTENIDOS: 1. Factor común 2. Factor común por Agrupamiento 3. Diferencia de cuadrados 4. Suma o Diferencia de Cubos Ejercicio Reto 1. Si a a = 2, el valor de a aaa+1
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA #5 CONTENIDO I. PRODUCTOS NOTABLES III. DIVISIÓN DE POLINOMIOS II. CUBO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
UNIDAD DIDÁCTICA #5 CONTENIDO I. PRODUCTOS NOTABLES II. CUBO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES III. DIVISIÓN DE POLINOMIOS IV. FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS I. PRODUCTOS NOTABLES Los
Más detallesy 2 z Es la expresión común que tienen todos los términos de una expresión algebraica.
ENCUENTRO # 12 TEMA:Factorizaciones CONTENIDOS: 1. Factor común 2. Factor común por agrupamiento 3. Diferencia de cuadrados 4. Suma o Diferencia de Cubos Ejercicio Reto 1. Si a a = 2, el valor de a aaa+1
Más detallesContenido: 1. Definición y clasificación. Polinomios.
Polinomios. Contenido:. Definición y clasificación.. Operaciones.. Simplificación. 4. Productos notables.. Factorización. 6. Completar cuadrados. 7. Nociones de despeje.. Definición y clasificación Definición.
Más detallesTEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.- POLINOMIOS Recordemos que un monomio es una expresión algebraica (combinación de letras y números) en la que las únicas operaciones que aparecen entre las
Más detallesDiagrama de flujo 7mo CASO. Bizagi Process Modeler
Bizagi Process Modeler Table of Contents FC... 6 F C...7 Process Elements... 7 F C... 7 Los terminos tienen PC o CN en comun?...7 La operacion se deja asi o se busca otro caso...7 Hallar el FC... 7 Dividir
Más detallesFactorizaciòn. Factorizar un polinomio. Caso I - Factor común. Factor común monomio. Factor común polinomio
Factorizaciòn La factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números
Más detallesAutor: christian cortes FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN Definición: Cuando una expresión algebraica es el producto de dos o más expresiones, llamadas factores de ella y, la determinación de estas cantidades es llamada factorización. Cuando cada
Más detallesFACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS GUIA DE NIVELACION 3 PERIODO
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS GUIA DE NIVELACION 3 PERIODO Recuerde que: 1. Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto. 2. Existen varios casos de factorización. Revisemos
Más detalles2. Se extraen las raíces cuadradas del primer y tercer término. a2 = a
ENCUENTRO # 3 TEMA: Casos de Factorización EJERCICIOS RETO:. Una prueba tiene 25 preguntas, y por cada respuesta correcta se dan 4 puntos y se les resta un punto por cada respuesta incorrecta. Si se omite
Más detalles24 = = = = = 12. 2
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 015 Lic. Manuel
Más detallesColegio San Patricio Matemática 3 año Prof. Selva Hernández Trabajo Práctico N 9 : Factorización de polinomios.
Colegio San Patricio Matemática 3 año - 2015 Prof. Selva Hernández Trabajo Práctico N 9 : Factorización de polinomios. Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de factores irreducibles. El concepto
Más detallesINSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA:
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICA. ASIGNATURA: MATEMATICA. NOTA DOCENTE: EDISON MEJIA MONSALVE. TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION. PERIODO GRADO N FECHA DURACION
Más detallesTEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Ficha 0
Ficha 0 Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural o cero, llamadas parte literal. El grado es la suma
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE III
MATEMÁTICAS I ALGEBRA Unidad de Aprendizaje III UNIDAD DE APRENDIZAJE III Saberes procedimentales Saberes declarativos Expresa un polinomio en sus factores primos A Concepto de factores primos algebraicos
Más detallesCapítulo 1. Numeración 1 Variables... 2 Números naturales... 2 Números enteros... 3 Números reales Ejercicios Orden y valor absoluto...
ÍNDICE Capítulo 1. Numeración 1 Variables... 2 Números naturales... 2 Números enteros... 3 Números reales... 3 Ejercicios... 5 Orden y valor absoluto... 6 Ejercicios... 7 Suma de números reales... 9 Reglas
Más detalles1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES
MATEMÁTICA MÓDULO 1 Eje temático: Álgebra 1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a 2 b y 5a 2 b son
Más detallesUNIDAD 5: ÁLGEBRA. Nacho Jiménez ANT ÍNDICE SIG
UNIDAD 5: ÁLGEBRA Nacho Jiménez 0. Conceptos previos ÍNDICE 1. Para qué sirve el álgebra? 2. Expresiones algebraicas 2.1 Monomios 2.2 Suma y resta de monomios 2.3 Multiplicación de monomios 2.4 División
Más detallesÁlgebra Intermedia. Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Instituto de Verano 2006 AFAMaC
Álgebra Intermedia Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Instituto de Verano 006 AFAMaC Semana #1: 11 al 16 de junio de 006 Polinomios Definiciones: 1. Un monomio en la variable
Más detallesCentro Regional Universitario De Bocas del Toro
Centro Regional Universitario De Bocas del Toro Nociones Fundamentales del Álgebra El Álgebra es una rama de la matemática que se ocupa de las cantidades más generales y para representarla utiliza letras,
Más detalles5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS Si en una librería, el precio de un libro es x euros y el de cada bolígrafo es 7 menos, expresa algebraicamente lo que cuestan: a) Cuatro libros. b) Diez bolígrafos.
Más detallesLICEO Nº1 JAVIERA CARRERA 2012 MATEMATICA Benjamín Rojas F. FACTORIZACIÓN
LICEO Nº1 JAVIERA CARRERA 2012 MATEMATICA Benjamín Rojas F. FACTORIZACIÓN Factorizar es transformar un número o una expresión algebraica en un producto. Ejemplos: Transformar en un producto el número 6
Más detallesDESARROLLO. a 2 ± 2ab + b 2. La cual para factorizarla, se deben seguir los siguientes pasos
ENCUENTRO # 3 TEMA: Casos de Factorización CONTENIDOS:. Trinomio cuadrado perfecto. 2. Trinomio x 2 + bx + c. 3. Trinomio ax 2 + bx + c. 4. Casos especiales. Ejercicio reto. Una prueba tiene 25 preguntas,
Más detallesSemana 6. Factorización. Parte I. Semana Productos 7 notables. Parte II. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es...
Semana Productos 7 notables. Parte II Semana 6 Empecemos! El tema que estudiarás en esta sesión está muy relacionado con el de productos notables, la relación entre estos y la factorización, dado que son
Más detallesFactorización de Polinomios. Profesora Ericka Salas González
Factorización de Polinomios Profesora Ericka Salas González 19 de marzo de 2006 Índice general 0.1. QUE ES FACTORIZAR UN POLINOMIO..... 2 0.1.1. Factor............................ 2 0.1.2. Factorizar..........................
Más detallesMATERIALES: Cuaderno de 100h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde
MATERIALES: Cuaderno de 00h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde FACTORIZACION - Casos de Factorización - Factor común - Factor común por agrupación
Más detallesTema 4. Polinomios Operaciones
Tema 4. Polinomios Operaciones 1. Expresiones algebraicas. Identidades y ecuaciones.. Monomios.1. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.1. Definiciones.. Operaciones con polinomios Tema.
Más detallesFactorización - Álgebra
Factorización - Álgebra Ana María Beltrán Docente Matemáticas Febrero 4 de 2013 1 Qué es factorizar? Definición 1. Factorizar un polinomio es representarlo mediante el producto de otros polinomios de menor
Más detallesEJERCICIOS DE POLINOMIOS
EJERCICIOS DE POLINOMIOS NOMBRE:... Nº:... º....- Escribe el grado, el número de términos y el nombre (monomio, binomio, trinomio, polinomio) que recibe cada una de las siguientes expresiones algebraicas:
Más detallesPRODUCTOS NOTABLES 9º 3. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.
3. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. Si desarrollamos la multiplicación de (a + b) por (a b) (producto de dos binomios), vamos a obtener: (a + b)(a b) = a 2 ab + ab b 2 = a 2 b 2,
Más detallesLic. Manuel de Jesús Campos Boc
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 015 Lic. Manuel
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE II
UNIDAD DE APRENDIZAJE II Saberes procedimentales 1. Multiplicar y dividir números enteros y fraccionarios 2. Utilizar las propiedad conmutativas y asociativa Saberes declarativos A Concepto de base, potencia
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS TEMA 1. ÁLGEBRA Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales. A
Más detallesNúmeros Naturales. Cero elemento neutro: = 12 Sucesión fundamental : se obtiene el siguiente número = 9
Números Naturales Cuando comenzamos a contar los objetos, los años, etc, nos hemos encontrado con los números de forma natural; por eso a este conjunto de números así aprendidos se les denomina números
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
Unidad didáctica 5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones
Más detallesOPERACIONES CON POLINOMIOS
4. 1 UNIDAD 4 OPERACIONES CON POLINOMIOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios.
Más detalles2-. Factorizar por el m todo del cubo de un binomio (orden ndolas previamente):
Ejercicios Propuestos Productos Notables y Factorizaci n 1-. Descomponer en dos factores las expresiones siguientes: 1. 64 + a 6 R. (4 + a )(16-4a + a 4 ). a - 15 R. (a - 5)(a + 5a + 5). 1-16m R. (1-6m
Más detallesFICHAS REPASO 3º ESO. Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y después se aplican las reglas de la suma.
FICHAS REPASO º ESO OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de es y el valor absoluto
Más detallesPRINCIPALES CASOS DE FACTORIZACIÓN CASO Características y cuándo aplicarlo Cómo realizar la factorización Ejemplos
1 2 4 PRINCIPALES CASOS DE FACTORIZACIÓN CASO Características y cuándo aplicarlo Cómo realizar la factorización Ejemplos Factor Común Factor Común por Agrupación de Términos Diferencia de Cuadrados Perfectos
Más detallesNombre del estudiante: Grupo: Hora: Salón:
Instituto Tecnológico de Saltillo. Cuadernillo de Ejercicios de Álgebra. CURSO DE NIVELACIÓN DE ÁLGEBRA 2013 Nombre del estudiante: Grupo: Hora: Salón: CONTENIDO DEL CUADERNILLO. UNIDAD NÚMEROS REALES.
Más detalles(a+b) (a b)=a 2 b 2 OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender el concepto de polinomio y otros asociados
Más detallesBOLETÍN REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO - 2ª PARTE
BOLETÍN REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO - ª PARTE Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación,
Más detallesGuía de Estudios de Algebra
Guía de Estudios de Algebra Licenciatura en Optometría ALTUZAR INGENERIA Índice Presentación... 3 Propósito... 3 Criterios de Evaluación... 3 Bloque Uno: Fundamentos algebraicos... 4 Propósito... 4 Actividades
Más detallesREDUCIR A 4, LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN. LÁPIZ, PAPEL Y NO QUERER COMPLICARSE MUCHO.
GUIA DE TRABAJO # 24 PROYECTO: SUBPROYECTO: ESTRATEGIA: OBJETIVO: MAGIA MATEMÁTICA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS (II) SIMPLIFICANDO LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN REDUCIR A 4, LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN. RESPONSABLE:
Más detallesRECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO
OBJETIVO RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEICIENTES DE UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios, que son los términos del polinomio.
Más detallesCoeficiente Parte literal Coeficiente Parte literal 5 x 6 am 2. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman:
1 Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por: - una parte numérica, llamada coeficiente, y - una parte literal, formada por letras y sus exponentes. Coeficiente Parte literal Coeficiente
Más detallesExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas
Más detallesTecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli DIVISIÓN DE INGENIERÍA MECATRÓNICA
DIVISIÓN DE INGENIERÍA MECATRÓNICA PRÁCTICAS DE MATEMÁTICAS CURSO PROPEDÉUTICO ELABORO ING JULIO MELÉNDEZ PULIDO PRESIDENTE DE ACADEMIA ING CECILIA VARGAS VELASCO SECRETARIO DE ACADEMIA Vo Bo ING MARÍA
Más detallesCASO I: FACTORIZACION DE BINOMIOS
CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: FUNDAMENTOS MATEMATICOS DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD N : FACTORIZACION
Más detallesMONOMIOS Y POLINOMIOS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Más detallesTRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte)
TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte) NÚMEROS RACIONALES REDUCCIÓN DE FRACCIONES AL MISMO DENOMINADOR Para reducir varias fracciones al mismo denominador se siguen los siguientes pasos:
Más detallesNombre del estudiante: Grupo: Hora: Salón:
Instituto Tecnológico de Saltillo. Cuadernillo de Ejercicios de Álgebra. CURSO DE NIVELACIÓN DE ÁLGEBRA 2011 Nombre del estudiante: Grupo: Hora: Salón: CONTENIDO DEL CUADERNILLO. UNIDAD NÚMEROS REALES.
Más detallesSe llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión.
FACTORIZACION Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión. Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir
Más detallesFACTORIZACION FACTORIZACIÓN. Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.
-PA-0 FACTORIZACION V0 Página de 9 NOCION: FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en epresarlo como producto de dos de sus divisores. Ejemplo: Factoriza 0 en dos de sus divisores :, es decir 0 = Y
Más detalles2. Calcula cociente y resto en la siguiente división de polinomios: (x 5 32) : (x 1)
1. Un polinomio con raíces únicas 1, 0, 2, 2, 3 es: a) x 4 + 4x 3 + x 2 6x b) x 4 + 6x 3 + 9x 2 4x 12 c) x 5 6x 4 + 9x 3 + 4x 2 12x d) x 5 + 6x 4 + 9x 3 4x 2 12x e) x 4 4x 3 + x 2 + 6x 2. Calcula cociente
Más detallesCASOS DE FACTORIZACION FACTORIZACION Y EN QUE TIPOS DE EJERCICIOS APLICARLOS.
CASOS DE FACTORIZACION IDENTIDICAR LOS CASOS DE FACTORIZACION Y EN QUE TIPOS DE EJERCICIOS APLICARLOS. 1. FACTOR COMUN Cuándo lo utilizo? Es el primer paso que se debe hacer cuando se va a factorizar un
Más detalles1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
TEMA 3: POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas
Más detalles5.- Potencia de 1 Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo.
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Y BASE RACIONAL 1.- 2.- 3.- PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE NÚMEROS RACIONALES Pulsa en las siguientes pestañas para analizar cada una de las propiedades de la multiplicación:
Más detallesJosé de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización
José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización Contenido 1. Introducción 2 1.1. Notación.................................. 2 2. Factor común 4 2.1. Ejercicios: factor común......................... 4
Más detallesUtilizar los productos notables y algunas técnicas de factorización en las operaciones con polinomios.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Iniciación al Cálculo Productos notables y factorización Presentación Las siluetas de los objetos que nos rodean y los procesos que surgen en diferentes campos de aplicación
Más detallesOLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS
OLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICITT Álgebra e iπ + φ φ 0 III Nivel I Eliminatoria Marzo 06 Índice. Presentación. Contenidos 3. Algunos consejos útiles 4. Problemas
Más detalles. 1. Expresiones algebraicas y reducción Producto y cociente de expresiones algebraicas Productos Notables...
. 1 . 1. Epresiones algebraicas y reducción... 0. Producto y cociente de epresiones algebraicas... 07. Productos Notables.... 1 4. Factorización.... 17 5. Simplificación de fracciones algebraicas.... 6
Más detallesFACTORIZACION FACTORIZACIÓN. Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.
Resolución Aprobación de Estudios No. 0-0 de Noviembre de 008 Código DANE No. 7900079 Nit: 8980- GU-PA-0 /07/08-V0 Página de 9 NOCION: FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en epresarlo como producto
Más detallesUNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263)
UNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263) LENGUAJE ALGEBRAICO Una expresión algebraica es aquella que combina: números, operaciones y letras. Ejemplos de expresiones algebraicas: 3 + x x 2 y x + y x 2 y LENGUAJE
Más detallesCURSO PROPEDEUTICO DEALGEBRA PARA BQFT QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 2013 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA
QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 201 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA 1 Operaciones entre Quebrados (Fracciones) Sumar quebrados o fracciones: se calcula el común denominador,
Más detallesMatemática I. Descomposición en factores. Ing. Santiago Figueroa Lorenzo Correo electrónico:
Matemática I Descomposición en factores Ing. Santiago Figueroa Lorenzo Correo electrónico: santiagofigueroalorenzo@gmail.com Temas Primera Unidad: Elementos Algebraicos Tema 1: Principales casos de factorización
Más detallesUNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Ciudad Ojeda, Mayo 2016 ÁLGEBRA Es
Más detallesPOLINOMIOS Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS MATEMÁTICAS 3º ESO
POLINOMIOS Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS MATEMÁTICAS 3º ESO Dado que los polinomios se utilizan para describir curvas de diferentes tipos, la gente los utiliza en el mundo real para dibujar curvas. Por ejemplo,
Más detallesMATEMÁTICAS GRADO NOVENO
MATEMÁTICAS GRADO NOVENO PRIMERA PARTE TEMA 1: PRODUCTOS NOTABLES CONCEPTO: DEFINICIONES BÁSICAS: Los productos notables son productos algebraicos que pueden ser resueltos por simple inspección, esto quiere
Más detallesLA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N., Lorenzo J. y Gómez T. (008)
Más detallesPRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
5. 1 UNIDAD 5 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Objetivo general. Al terminar esta unidad resolverás ejercicios en los que apliques los resultados de los productos cocientes notables. Objetivos específicos:
Más detallesUniversidad de Puerto Rico en Aguadilla Departamento de Matemáticas PRONTUARIO
Universidad de Puerto Rico en Aguadilla Departamento de Matemáticas PRONTUARIO Profesor : Nombre del Estudiante : Oficina : Sección : Horas de Oficina : Página Internet : http://math.uprag.edu I. Título
Más detalles