EXPRESIONES ALGEBRAICAS (PARTE II)

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1 NIVELACIÓN MATEMÁTICA SEMANA 7 EXPRESIONES ALGEBRAICAS (PARTE II) Todos los derechos de autor son de la exclusiva propiedad de IACC o de los otorgantes de sus licencias. No está permitido copiar, reproducir, reeditar, descargar, publicar, emitir, difundir, poner a disposición del público ni ESTE utilizar DOCUMENTO los contenidos para CONTIENE fines comerciales LA de SEMANA ninguna clase. 7 1

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3 ÍNDICE EXPRESIONES ALGEBRAICAS (PARTE II)... 4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS... 4 INTRODUCCIÓN... 4 FACTORIZACIÓN... 5 FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN... 5 FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN COMPUESTO... 6 FACTORIZACIÓN SUMA POR DIFERENCIA... 7 FACTORIZACIÓN CUADRADO DEL BINOMIO... 9 FACTORIZACIÓN DIFERENCIA O CUMA DE CUBOS FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA x +pq+q FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c COMENTARIO FINAL REFERENCIAS

4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS (PARTE II) OBJETIVOS ESPECÍFICOS Distinguir las factorizaciones existentes. Utilizar distintos tipos de factorizaciones. INTRODUCCIÓN En matemática muy a menudo se trabaja con expresiones que corresponden a sumas o diferencias de términos literales o numéricos, muchas veces es necesario lograr escribir estas sumas o diferencias como productos de factores, para esto se aplica el concepto de factorización. Por ejemplo, se puede escribir: Se dice que y son factores de y que la factorización de es ( ) ( ). La factorización es el proceso inverso del producto notable, es decir, al desarrollar el producto entre los factores de la factorización, se obtiene la expresión que se desea factorizar, tal como se muestra en el siguiente ejemplo: ( x )( x ) x x x 4 x 4 Luego, para comprobar si la factorización aplicada es correcta, se puede desarrollar la multiplicación del resultado y observar si éste corresponde a la expresión que se desea factorizar. Existen las factorizaciones, factor común, factor común compuesto, suma por diferencia, cuadrado de binomio, diferencia de cubos, suma de cubos y la del trinomio. Según la forma de la expresión que se va a factorizar, se debe determinar cuál o cuáles de estas factorizaciones se aplica. 4

5 FACTORIZACIÓN La factorización consiste en escribir una expresión correspondiente a sumas de términos algebraicos como un producto de factores. A continuación se explica cada una de las factorizaciones que se estudiarán en este curso. FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN El factor común: es el factor que está presente en cada término de la suma de términos algebraicos. Ejemplo 1. El factor común en la expresión 6m 30n 16p es el número 6, pues 6m 6 m, 30n 6 5n, 16 p 6 1p, luego a través de este factor común se puede factorizar de la siguiente forma: 6m 30n 16 p 6( m 5n 1 p) Se observa que en este ejemplo el factor común corresponde a un número, es decir, no contiene una variable, esto no siempre sucede, tal como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo. El factor común en la expresión 5a - 15ab - 10 ac contiene un número y una variable, porque el factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto, la factorización correspondiente en este caso es: 5a - 15ab - 10 ac = 5a a - 5a 3b - 5a c = 5a(a - 3b - c) Existen ejercicios en los que el factor común contiene más de una variable, tal como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3. El factor común en 6x y - 30xy + 1x y es 6xy Luego 6x y - 30xy + 1x y = 6xy(x - 5y + xy) Se puede afirmar que la factorización factor común se puede aplicar si y solo si existe un factor común entre los sumandos de la expresión algebraica. 5

6 A continuación, se sugiere realizar la ejercitación de la semana (la que es calificada con 1 punto), junto con revisar el video N 1 que aparece en el apartado de Videos de la semana, para luego desarrollar el siguiente ejercicio. 4.- Factorice la siguiente expresión: q p z 15q p z 55q p z 5q p z FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN COMPUESTO Esta factorización consiste en agrupar términos y luego aplicar un doble factor común, tal como se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1. Factorizar ax bx ay by Se extrae factor común x de los dos primeros términos y el factor común y de los dos últimos términos, esto es: ax bx ay by x( a b) y( a b) 6

7 Hasta este instante no se ha factorizado la expresión original ax bx ay by, porque no se ha logrado escribir dicha expresión como un producto de factores, sin embargo se observa que en ambos sumandos aparece el factor ( a b). Luego se puede aplicar nuevamente factor común. Con esto queda la expresión original factorizada, tal como se muestra a continuación. ax bx ay by x( a b) y( a b) ( a b)( x y) Ejemplo. Factorizar 6ac 4ad 9bc 6bd 15c 10cd En este caso se agruparán de a sumandos, tal como se muestra a continuación. 6ac 4ad 9bc 6bd 15c 10cd (6ac 4ad) ( 9bc 6bd) (15c 10cd) a(3c d) 3b(3c d) 5c(3c d) ( 3c d)(a 3b 5c) Ejemplo 3. Factorizar 6xc 4xd 8xn 3yc yd 4yn En este caso se agruparán de a 3 términos, tal como se muestra a continuación. 6xc 4xd 8xn 3yc yd 4yn x(3c d 4 n) y(3c d 4 n) (3c d 4 n)( x y) Se puede afirmar que la factorización factor común compuesta se puede aplicar si y solo si existe un factor común entre los términos agrupados tal que la cantidad de términos agrupados es idéntica en cada sumando propuesto. FACTORIZACIÓN SUMA POR DIFERENCIA La factorización suma por diferencia sólo se aplica en el caso que aparezcan dos términos cuadráticos separados por la operación diferencia. Esta factorización corresponde a la siguiente fórmula: a b ( a b)( a b) Ejemplo 1. Factorizar 8 1 x. 1 1 y x x, luego la factorización correspondiente es: 8 4 Se observa que 7

8 x (1 x )(1 x ) Ejemplo. Factorizar 4x 5. 4 x ( x) y 5 5, luego la factorización correspondiente es: Se observa que 4x 5 (x 5)(x 5) Ejemplo 3. Factorizar ( 5a b) (3a 7b ) En este caso, la factorización correspondiente es: (5a b) (3a 7 b) (5a b) (3a 7 b) (5a b) (3a 7 b) (8a 5 b)(5a b 3a 7 b) (8a 5 b)(a 9 b) A continuación, se sugiere revisar los ejemplos anteriores y desarrollar los siguientes ejercicios. 4.- Factorizar 5.- Factorizar (16x 4 81) ( 6x 7) (3x 4) 8

9 FACTORIZACIÓN CUADRADO DE BINOMIO La factorización cuadrado de binomio solo se aplica en el caso que aparezcan 3 términos de la forma a ab b, esta factorización corresponde a la siguiente fórmula: a ab b ( a b)( a b) ( a b) Ejemplo 1. Factorizar x 4 x 1. Se observa que 4 x x, x x 1 y 1 1, luego la factorización correspondiente es: x x 1 x x 1 1 ( x 1) 4 Ejemplo. Factorizar 36x 60xy 5y Se observa que correspondiente es: 36 x (6 x), 60x 6x 5 y 5y 5y, luego la factorización 36x 60xy 5 y (6 x) 6x 5 5 y (6x 5 y) Ejemplo 3. Factorizar 16x 8x y y En este caso, la factorización correspondiente es: x 8 x y y (4 x ) 4 x ( y ) (4 x y ) A continuación, se sugiere revisar el video N que aparece en el apartado de Videos de la semana y luego desarrolle el siguiente ejercicio. 9

10 4.- Factorice la siguiente expresión, utilizando el cuadrado del binomio: 1 4 x 9 4x 36 FACTORIZACIÓN DIFERENCIA O SUMA DE CUBOS La factorización suma o diferencia de cubos solo se aplica en el caso que aparezcan términos de la forma a b. Esta factorización corresponde a las siguientes fórmulas: 3 3 i) ii) 3 3 a b ( a b)( a ab b ) 3 3 a b ( a b)( a ab b ) Ejemplo 1. Factorizar 8 x 3 Se observa que 8= 3 Luego 8 x 3 = ( 3 - x 3 )=( x)(4 + x + x ) Ejemplo. Factorizar 7a Solución 7a = (3a + 1)(9a 3a + 1) 10

11 FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA x +pq+q En esta factorización se aplica la siguiente fórmula x px q ( x a)( x b) en que a b p y a b q Ejemplo 1. Factorizar 0 x x En este caso, se puede factorizar por -1, esto es 0 x x ( x x 0), luego se buscan dos números enteros que al multiplicarlos se obtenga como resultado -0 y al sumarlos se obtenga como resultado 1, dichos números son -4 y 5. Luego la factorización resultante es: 0 x x ( x x 0) ( x 5)( x 4) Ejemplo. Factorizar x 4 6x 5 En este caso, se puede sustituir el término por 4 x x x x u u 6 5 ( ) x por u, esto es: luego se buscan dos números enteros que al multiplicarlos se obtenga como resultado 5 y al sumarlos se obtenga como resultado 6, dichos números son 5 y 1. Luego, la factorización resultante es: 4 x 6x 5 u 6u 5 ( u 5)( u 1) ( x 5)( x 1) FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c En esta factorización, se aplica la siguiente fórmula ax bx c a( x r )( x r ) donde b b 4ac b b 4ac 1 r y r a a 1 Esta factorización se aplica si y solo si b 4ac sea mayor e igual a cero. Ejemplo 1. Factorizar 5x 11x Solución 11

12 a b c b ac 5, 11, 4 (11) Luego, se puede factorizar, a continuación se determinan los valores de r1 y r b b 4ac r1 a b b 4ac r a x 11x 5 x x 5 x x (5x 1)( x ) 5 5 Luego A continuación, se sugiere revisar el ejemplo anterior y desarrollar el siguiente ejercicio..- Factorizar (3x 5x 7) 1

13 COMENTARIO FINAL En matemática muy a menudo se trabaja con expresiones que corresponden a sumas o diferencias de términos literales o numéricos. Muchas veces, es necesario escribir estas sumas o diferencias como productos de factores, para esto se aplica el concepto de factorización. La factorización consiste en escribir una expresión correspondiente a sumas de términos algebraicos como un producto de factores. La factorización es el proceso inverso del producto notable, es decir, al desarrollar el producto entre los factores de la factorización, se obtiene la expresión que se desea factorizar. El factor común está presente en cada término de la suma de términos algebraicos. Existen distintos tipos de factorizaciones, factor común, factor común compuesto, suma por diferencia, cuadrado de binomio, diferencia de cubos, suma de cubos y la del trinomio. Según la forma de la expresión que se va a factorizar, se debe determinar cuál o cuáles de estas factorizaciones se aplica. 13

14 REFERENCIAS Carreño, X. y Cruz, X. (008). Álgebra. Chile: MC Graw Hill. PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE: IACC (014). Expresiones algebraicas (Parte II). Nivelación Matemática. Semana 7. 14

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