Curso Propedéutico Álgebra

Transcripción

1 Curso Propedéutico Álgebr Cálculo Diplomdo en Administrción de Riesgos Álgebr Epositor: Jun Frncisco Isls Monterre, N.L. Julio 0

2 b b b Regls lgebráics pr los números reles b ( bc) ( b)c ( b c) ( b) c ( b c) b c ( b c) b c ( b) c c bc ( b) c c bc ( ) 0 Propiedd trnsitiv : Si ( ) ( ) b ( b) ( b) b b b b ( ) ( b) ( b) ( )( b) b b b b b c entonces b b b c c b c c c b d c b d c b b b c b c c bd d bc c bc ( c 0)

3 Eponentes 0 n m n n ( 0) m n ( m ) n mn ( ) n n n b b b m n n b n n mn ( 0) Rdicles n n ( ) n n n n m ( ) m n n n n n m n m b b n n n m n b mn n b ( > 0)

4 Productos especiles ( z) z ( )( ) b ( b) b ( )( ) c b d b ( d cb) cd ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Propiedd distributiv Binomio sum l cudrdo Binomio dierenci l cudrdo Producto de sum dierenci Binomio sum l cubo Binomio dierenci l cubo

5 Fctorizción z ( z) ( b) b ( )( b) ( d cb) cd ( c)( b d ) b ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Fctor común Trinomio cudrdo perecto Trinomio cudrdo perecto Dierenci de cudrdos Sum de cubos Dierenci de cubos

6 Fórmul cudrátic Si b c 0 donde 0 entonces b ± b c

7 Ecución de l rect m b m ( 0,b) m( ) ( )

8 Desigulddes Si < b entonces c < b c Si < b c > 0 entonces c < bc < Si b c > 0 entonces ( c) > b( c)

9 Logritmos log b si sólo si b ( mn) log m log n log b b m log log m b b n log m r r log b log b 0 b m log b b b n log b m m log b b log b r b r log m b log log m b

10 Albeto griego l bet gmm delt épsilon zet nu i ómicron pi ro sigm tu ípsilon i ji psi omeg et thet iot kpp lmbd mu α Α β Β γ Γ δ ε Ε η Η θ Θ ι Ι κ Κ λ Λ µ Μ ζ Ζ ξ Ξ ν Ν ο Ο π Π ρ Ρ σ Σ τ Τ υ Υ φ,ϕ Φ χ Χ ψ Ψ ω Ω

11 Conjuntos de números reles rcionles reles irrcionles π Cociente de enteros p q q 0 π e 0 e π negtivos enteros cero positivos(nturles),,,k 0,,,K Pr prcticr: Problems 0. pres, págin de Heussler, et. l. (008)

12 Aplicción de ls propieddes de los números reles ( z w) ( z w) ( ) ( ) Propiedd conmuttiv Propiedd socitiv Propiedd conmuttiv 8 8 Propiedd socitiv ( ) ( ) ( 8) 6 b c c b b c c b c Propiedd distributiv Propiedd socitiv Propiedd distributiv Relizr ls siguientes operciones con rcciones: Pr prcticr: 6 0 Problems 0. pres, págins 8 9 de Heussler, et. El mínimo común denomindor es l. (008) 9 0 El mínimo común denomindor es 8

13 Eponentes rdicles π ( ) b b b 6 z z z z z z z 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

14 Eponentes rdicles z z Eliminr eponentes negtivos Simpliicr ( ) z z z ( ) ( )

15 Eponentes rdicles Eliminr eponentes negtivos ( ) ( ) Simpliicr ( )

16 Simpliicr Eponentes rdicles ( ) 0 ( 6 ) ( ) si si 0 < 0 9 ± Pr prcticr: Problems 0. pres, págin de Heussler, et. l. (008)

17 Operciones con epresiones lgebráics Sum ( ) ( ) Rest ( ) ( ) 6 Eliminción de símbolos de grupción [ ] ( ) [ ] { } [ ] [ ] { } { }

18 Operciones con epresiones lgebráics Productos ( )( ) ( ) ( ) 0 0 ( )( ) ( ) ( ) z z z z z z z z z z ( ) ( ) ( )( ) ( ) () 8 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Binomio de Newton ( ) ( ) i i n n i n b i i n n b 0!!! n nturl Pr prcticr: Problems 0. pres, págins 8-9 de Heussler, et. l. (008)

19 Fctorizción Pr prcticr: Problems 0. pres, págin de Heussler, et. ( ) k k k k 9 ( )( ) 6 ( )( ) 7 ( ) ( )( ) ( ) 6

20 Frcciones Simpliicr 6 7 ( )( ) ( )( ) Rcionlizción de denomindor binomio conjugdo ( 6) ( 6)( 6) ( 6 ) ( 6 ) 6 6 Demuestre que h h ( h) pr h 0 Pr prcticr: Problems 0.6 pres, págin 6 de Heussler, et.

21 Sistem de coordends crtesins II I III IV

22 Pendiente de l rect m b m (,) ( ), (,) ( ), ( 0, )

23 Pendiente de l rect 6 m b ( 0,6) (,) ( ), (,) ( ), m

24 Pendiente de l rect ( 0,) ( ), (,) 0 (,) ( ), m 0 0 m b

25 Pendiente de l rect m b ( 0,) ( ), m ( ),, ( ) 0

26 Solución de ecuciones lineles simultánes Resolver : 0 8 Igulndo ( ) ()...() Despejndo :...( )...( ) 0...( ) 0 Resolviendo pr Sustituendo en ( ) ( ) (, ) (,)

27 Solución de un ecución cudrátic* Resolver : 0 ( )( ) por ctorizción 7 0 esto implic que por órmul generl * o de segundo grdo , b, c () ()( ), b ± b c ± ± ±, 6 ± 7

28 Curso Propedéutico Álgebr Cálculo Diplomdo en Administrción de Riesgos Vribles Funciones Epositor: Jun Frncisco Isls Monterre, N.L. Julio 0

29 L unción sus vribles vrible dependiente ( ) unción vrible independiente

30 Función, vribles, dominio rngo Vrible dependiente : vrible cuo vlor depende de un vrible más. Vrible independiente : vrible que se consider dd en un unción, relción o en un modelo. Función : Regl que sign cd vlor de un vrible, uno sólo un vlor ( ). Dominio : Conjunto de posibles vlores que puede tomr l vrible independiente. Rngo : Conjunto de posibles vlores que resultn pr l vrible dependiente.

31 Tre i) Dein el concepto de relción. ii) Estblezc l dierenci entre el concepto de relción el de unción. iii) Muestre con un ejemplo gráico l dierenci entre relción unción.

32 Identiicción de unciones prtir de gráics Sí es unción Sí es unción No es unción Sí es unción No es unción No es unción

33 Identiicción nlític de unciones ( prtir de ecuciones) Cuáles de ls siguientes ecuciones son unciones por qué? 7 Sí es unción No es unción Sí es unción 6 6 Sí es unción No es unción No es unción

34 Vlución de unciones Vlur l unción i) en ii) en ( ) ( ) 9 6 ( 6 ) 7 0 ( 6 ) 0 6 ( )

35 Función linel Tipos de unciones ( ) m b Función cudrátic ( ) b c 0 Función polinomil de grdo ( ) n n L 0 Función rcionl n Función potenci ( ) ( ) n n R n 0 n ( ) ( ) n g h h ( ) 0

36 Gráics de unciones ( ) ( ) linel cudrátic ) ( ( ) rcionl potenci

37 Tipos de unciones. Crcterizción de dominio El dominio de ls unciones lineles, cudrátics polinomiles es el conjunto de los números reles. ( ) 7 ( ) 8 9 ( ) El dominio de ls unciones rcionles potenciles eclue culquier vlor de que implique un operción indeinid. 9 ( ) g h ( ) 0 ( ) 0

38 Ejemplos de identiicción de dominio 7 9 D { } (, ) R < 0 < Función cudrátic El dominio de est unción cudrátic es el conjunto de los números reles.

39 D Ejemplos de identiicción de dominio t ( t ) { R, } t t t [, ) t < 0 t [ t Función potenci El dominio de est unción potenci eclue todo t < que implic un operción indeinid: l ríz cudrd no está deinid pr los números negtivos.

40 D Ejemplos de identiicción de dominio 6 ( 9) Función rcionl conormd por un unción linel entre un unción cudrátic. Asíntot Asíntot 0 { R, 9, 0} (, 9) ( 9,0) ( 0, ) < < 9 9 < < 0 0 < Asíntot )( )( < El dominio de est unción rcionl eclue 9 0 que implicn un operción indeinid: l división entre cero no está deinid.

41 Ejemplos de identiicción de dominio D Función rcionl conormd por un unción linel entre un unción potenci. { R, > 0} ( 0, ) 0 < < 0 ( 0 El dominio de est unción rcionl eclue todo 0 que implicn un operción indeinid: l división entre cero no está deinid l ríz cudrd pr números negtivos no está deinid.

42 Tipos de unciones. Ejemplos Funciones lineles ( ) 7 g Funciones cudrátics ( ) 8 ( ) h( ) 9 ( ) ( ) h 6 g 6 Funciones polinomiles ( ) 9 g ( ) 7 Funciones rcionles 9 ( ) Funciones potenci ( ) 6 g ( ) h ( ) g ( )

43 Ejemplos de identiicción de dominio 6 ( 6)( 6) R, 6, 6 6,6 6, { 6} D ( ) ( ) ( ), < < 6 6 < < 6 6 < < Asíntot )( )( Función rcionl conormd por un unción linel entre un unción cudrátic. Asíntot 6 El dominio de est unción rcionl eclue 6 6 que implicn un operción indeinid: l división entre cero no está deinid.

44 < Ejemplos de identiicción de dominio 7 ( ) D { R, 0, } (,0) ( 0,) (, ) < 0 0 < < 0 0 )) ( ( Asíntot 0 Asíntot 0 < Función rcionl conormd por un unción linel entre un unción cudrátic. Asíntot < El dominio de est unción rcionl eclue 0 que implicn un operción indeinid: l división entre cero no está deinid.

45 Ejemplos de identiicción de dominio 8 D Función rcionl conormd por un unción linel entre un unción potenci. { R, < 8} (,8) < 0 < 8 8 ) 8 El dominio de est unción rcionl eclue todo 8 que implic un operción indeinid: l división entre cero no está deinid l ríz cudrd pr números negtivos no está deinid.

46 Ejemplos de identiicción de dominio 6 ( )( 9) R,, { 9} (,) (,9) ( 9, ) D < < < < )( ) 9 ( Asíntot Asíntot 9 Asíntot 0 Función rcionl conormd por un unción linel entre un unción cudrátic. < < El dominio de est unción rcionl eclue 9 que implicn un operción indeinid: l división entre cero no está deinid.

47 Ejemplos de identiicción de rngo Función linel { } R R (, ) < 0 < El rngo de est unción linel es el conjunto de los números reles.

48 Ejemplos de identiicción de rngo R { R, 0} Función cudrátic [ 0, ) 0 0 [ 0 < El rngo de est unción cudrátic es el conjunto de los números reles no negtivos.

49 Ejemplos de identiicción de rngo { } R R (, ) < < 0 Función linel El rngo de est unción linel es el conjunto de los números reles.

50 Ejemplos de identiicción de rngo (dominio cotdo) r n g o R pr Función linel con dominio cotdo { R, 0 } [ 0, ] 0 0 [ ] 0 0 El rngo de est unción linel con dominio cotdo es el conjunto cerrdo [ 0, ] que pertenece l conjunto de los números reles. d o m i n i o

51 Ejemplos de identiicción de rngo { } R R (, ) < < 0 Función linel El rngo de est unción linel es el conjunto de los números reles.

52 Ejemplos de identiicción de rngo (dominio cotdo) pr Función linel con dominio cotdo r n g o R { R, 8 } [ 8,] [ ] 8 El rngo de est unción linel con dominio cotdo es el conjunto cerrdo [ 8,] que pertenece l conjunto de los números reles. d o m i n i o

53 Álgebr de unciones ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 g g g g g g g g g dición dierenci producto cociente

54 Álgebr de unciones. Ejemplos ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) g g g g g g g g Sen ls unciones entonces ) ( 8 ) ( g ( ) ( ) 9 8 ( ) ( ) 8 ( ) ( )

55 Tre i) Pr cd un de ls unciones mostrds en l dipositiv 8, determine el dominio, el rngo elbore sus gráics. ii) Determine el rngo pr cd un de ls unciones mostrds en ls dipositivs 9 6. iii) Elbore, en orm nlític con poo del método de tbulción, ls gráics de ls unciones mtemátics de ls dipositivs 9. iv)resuelv los ejercicios.7,.8,.9.0 de Dowling (99), págins 7-7.

56 Fmilis de Funciones Potenci Potencis pres positivs 6 Potencis impres positivs 7

57 Fmilis de Funciones Potenci Potencis pres negtivs Potencis impres negtivs

58 Fmilis de Funciones Potenci Potencis rccionris menores que denomindor pr denomindor impr Potencis rccionris mores que denomindor pr denomindor impr

59 Si ( ) Desplzmientos rígidos es un unción C > 0 entonces ( ) C ( ) C rrib bjo pr obtener l gráic de l gráic se desplz C uniddes hci.

60 Si ( ) Desplzmientos rígidos es un unción C > 0 entonces ( C) ( C) izquierd derech pr obtener l gráic de l gráic se desplz C uniddes l. ( ) ( )

61 C ( ) Distorsiones C ( ) Si > l gráic de se estir verticlmente en un ctor. C < C ( ) Si 0 < l gráic de se comprime verticlmente en un ctor. C

62 Distorsiones ( C) C ( ) Si > l gráic de se comprime horizontlmente en un ctor. < C ( ) Si 0 < l gráic de se estir horizontlmente en un ctor. C C ( )

63 Relejos ( ) ( ) ( ) L gráic se invierte verticlmente rrib bjo bjo rrib de. Relejo con respecto l eje

64 Relejos ( ) ( ) ( ) L gráic se invierte horizontlmente izquierd derech derech. izquierd Relejo con respecto l eje

65 Tre Pr cd un de ls unciones mostrds en ls dipositivs, : ( ) ( ) Elbore ls gráics de. Elbore ls gráics de. Elbore ls gráics de. Elbore ls gráics de. Elbore ls gráics de. Elbore ls gráics de. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

66 Funciones deinids en prtes ( ) L regl pr un unción deinid por prtes o segmentd está dd por más de un epresión. El vlor de l vrible independiente determinrá cuál epresión debe plicrse pr determinr el correspondiente vlor de l vrible dependiente. A continución lgunos ejemplos:

67 d o m i n i o Funciones deinids en prtes ( ) si si si 0 < < 7 r n g o Dominio 0 7 Rngo 0

68 Funciones deinids en prtes ) ( si si Dominio Rngo Por ctorizción ( )( ) ) ( si si ( ), ( ),

69 Funciones deinids en prtes ( ) si si 0 < 0 Dominio { } D R Rngo R { R,, }

70 Funciones deinids en prtes ( ) 0 si si si < < 8 r n g o Dominio [, 8] Rngo (, ] d o m i n i o

71 Funciones deinids en prtes ( ) si si si < 0 0 < 0 0 Dominio ( ), ( Rngo, 00)

72 Función Vlor Absoluto si si < 0 0 Dominio (, ) Rngo [ 0, )

73 Composición de unciones g g Si son unciones, l composición de con es l unción deinid por ( o g)( ) ( g( ) ) donde el dominio de es el conjunto de tods ls en el dominio de g, tles que esté en el dominio de. g ( ) o o L composición es socitiv: ( o g) o h o ( g o h) A continución lgunos ejemplos: g g

74 Dds ls unciones Composición de unciones ( ) g( ) ( o g)( ) [ g() ] l unción compuest se obtiene sustituendo g() pr cd ocurrenci de en (). Así [ g( ) ] [ g( ) ] ( ) 9 ( o g)( ) [ g( ) ] 9

75 Dds ls unciones Composición de unciones ( ) g( ) 7 ( g o )( ) g[ ()] l unción compuest se obtiene sustituendo () pr cd ocurrenci de en g(). Así g [ ( )] [ ( )] ( ) 7 [ ()] ( ) ( ) g

76 Dds ls unciones F( p) p p G( p) p H ( p) p Composición de unciones Se determinn ls siguientes composiciones F ( G( p) ) F( p ) ( ) ( ) p p p p ( G( H ( p) )) F( G( p )) F p p p p ( ) ( ) ( ()) F G ( ) ( ) G( ) G ( )

77 Tre Resolver los siguientes problems del teto de Ernest Heussler Pul Richrd (008): Problems 7,, 8, 9 de l sección., págin 8 Problems,,, 7, 9, de l sección., págins 90 9

78 Curso Propedéutico Álgebr Cálculo Diplomdo en Administrción de Riesgos Límites Continuidd Epositor: Jun Frncisco Isls Monterre, N.L. Julio 0

79 Regls de Límites lim c c lim n n lim lim [ ( ) ± g( ) ] lim ( ) ± lim g( ) [ ( ) g( ) ] lim ( ) lim g( ) lim c ( ) c lim ( )

80 Regls de Límites lim g ( ) ( ) lim lim g ( ) ( ) si lim g ( ) 0 lim n ( ) ( ) n lim

81 Regls de Límites Si es un unción polinomil, entonces lim ( ) ( ) lim p 0 lim p 0

82 Regls de Límites Si es un unción rcionl, entonces lim lim ( ) lim n m b m n ( ) lim n m b m n

83 ) ( ( )( ) lim lim lim lim lim lim lim () () Pr > Pr < Límites. Ejemplos

84 Límites. Ejemplos ( ) lim lim lim lim Pr < Pr > () ()

85 Límites. Ejemplos ( ) lim 0 Pr < 0 () , ,000,000 Pr > 0 () , ,000,000

86 ) ( ( )( ) ( )( ).. lim.. lim lim ( ) ( ) lim. lim lim lim. lim. lim. lim.. lim lim.. Límites. Ejemplos

87 0 Límites. Ejemplos lim ( ) e e.788 Pr < 0 Pr > 0 () ()

88 Límites. Ejemplos ( ) lim 0

89 ) ( lim lim lim lim lim lim Límites. Ejemplos

90 Límites. Ejemplos ( ) si si < lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim lim ( ) lim lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )

91 Un unción es continu en, si sólo si i) ( ) ii) lim ( ) iii) lim ( ) ( )

92 Continuidd. Ejemplos ( ) Continu en < < ( ) si si Discontinuidd en

93 Continuidd. Ejemplos ( ) Discontinuidd ininit en 0

94 Continuidd. Ejemplos ( ) Continu en < <

95 < > 0 si 0 si 0 0 si ) ( ) ( lim 0 Discontinuidd en 0 ) ( lim 0 ) ( lim 0 Continuidd. Ejemplos

96 Curso Propedéutico Álgebr Cálculo Diplomdo en Administrción de Riesgos Álgebr Mtricil Epositor: Jun Frncisco Isls Monterre, N.L. Julio 0

97 Notción vector unitrio vector column vector renglón n M ( ) n L T M i ( ) L T i

98 Notción mtriz rectngulr mtriz identidd nm n m L M O M L A mtriz cudrd si m n mtriz simétric si j i ji ij 0 0 L M O M L I mtriz cudrd con j i i ij ii 0

99 Sistems de Ecuciones Lineles Resolver el siguiente sistem de dos ecuciones lineles en dos incógnits En orm mtricil 0 L 8 L 0 8 En notción compct A b () ()

100 Regl de Crmer L solución l sistem de ecuciones lineles incógnits de l orm es A A A A ( 0)( ) ( 8)( ) ( )( ) ( )( ) ()() 8 ()( 0) ( )( ) ( )( ) A b 8 7 7

101 Método de l Mtriz Invers A prtir de A b Despejndo Premultiplicndo mbos ldos por A A A A b I A A b b

102 Método de l Mtriz Invers donde ( ) A A A Adj Pr el sistem de ecuciones considerdo: Adj A 7 ()() ) ()( T

103 Método de l Mtriz Invers A Por lo tnto, l mtriz invers de es El vector de solución l sistem es A ( ) () ( ) () b A

104 Nots generles L mtriz invers de Se A A A Adj A A ( ) Adj T

105 Nots generles A

106 Nots generles A A I AA A A Demostrción I 0 0

107 Nots generles AA I 0 0

108 Nots generles I I T ( ) ( ) ( )

109 Ejercicio Resolver el siguiente sistem de tres ecuciones lineles en tres incógnits.8 Plntemiento.7z 7.6z 7.z A b L L L () () () z

110 Método de l Mtriz Invers Solución A b Despejndo A A A I A b b donde A A A Adj b ( A)

111 Método de l Mtriz Invers Pr el sistem de ecuciones considerdo: A Adj

112 Método de l Mtriz Invers El determinnte de es A A A

113 Método de l Mtriz Invers L mtriz djunt de es T Adj A

114 Método de l Mtriz Invers T T

115 Método de l Mtriz Invers A Por lo tnto, l mtriz invers de es A Adj ( A) A A

116 Método de l Mtriz Invers Por lo tnto, l solución l sistem de ecuciones es A b

117 En Ecel

118 En Stt