Matemáticas Discretas
|
|
- Ana Isabel Hernández Macías
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE Matemáticas Discretas Cursos Propedéuticos 2011 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Enrique Muñoz de Cote jemc@inaoep.mx Oficina 8210 Diapositivas basadas en previas iteraciones de: Dr. Enrique Sucar Dr. Luis Villaseñor
2 4. Relaciones y funciones Relaciones Propiedades de relaciones Clases de equivalencia Conjuntos parciales y totalmente ordenados Funciones
3 Producto cartesiano Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano A B se define por: A B = { (x, y) x A, y B} Ejemplo: {a,b} {1,2,3} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} Note que los elementos (x, y) son pares ordenados: hay una diferencia entre (a, 2) y (2, a) En general: A B B A
4 Relaciones Dados dos conjuntos A y B, una relación binaria R de A a B es determinada por un subconjunto R A B Se dice que arb si y solo si (a, b) R Si A=B, se dice que R es una relación en A
5 Ejemplo Sea U={1, 2, 3,,7}, A={2, 3, 4} y B={4, 5}, las siguientes son ejemplos de relaciones de A a B: Ø {(2, 4), (2, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 4)}
6 Ejemplo La relación de menor que < en el conjunto de números naturales N se describe por el conjunto: {(0,1),(0,2),(1,2),(0,3), } N N La relación de igualdad = en R se define por el conjunto: {(x, x) x R} R R
7 Propiedades de las relaciones Una relación R en A es reflexiva si: Si (a, a) R para toda a A Una relación R en A es antireflexiva si: Si (a, a) R para toda a A
8 Ejemplo Se A={1, 2, 3, 4}, considere las siguientes relaciones R sobre A y determine si son reflexivas: R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)} No es reflexiva R={(x, y) x, y A, x y} Es reflexiva
9 Propiedades de las relaciones Una relación R en A es simétrica si: Si (a,b) R entonces (b,a) R para todo a,b A Una relación R en A es antisimétrica si: Si (a,b) R y (b,a) R entonces a=b Una relación R en A es transitiva si: Si (a,b) R y (b,c) R entonces (a,c) R para todo a,b A
10 0 Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y R una relación en A R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} Simétrica y no reflexiva R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)} Reflexiva y no simétrica R={(1,1),(2,3),(3,3)} No Simétrica y no reflexiva
11 1 Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4} R={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)} Es una relación transitiva en A R={(1,3),(3,2)} No es transitiva
12 2 Ejemplo Sea A={1, 2, 3} R={(1,2),(2,1),(2,3)} No simétrica y no antisimetrica R={(1,1),(2,2)} Simétrica y antisimetrica
13 3 Ordenamientos Relaciones comunes tales como definen ordenamientos Una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva (A, R) es un conjunto ordenado parcialmente o poset si R es un ordenamiento parcial en A
14 4 Ordenamientos Si a b ó b a, entonces los elementos a y b son comparables Si todos los pares a y b posibles son comparables, es un ordenamiento total o cadena
15 5 Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4, 6, 12} y sea R la relación en A dada por (x, y) R si x divide exactamente a y R es reflexiva R es transitiva R es antisimétrica Por lo tanto R define un ordenamiento parcial en A
16 6 Particiones Una partición de un conjunto A es un conjunto de subconjuntos {Aj} tal que: Ai Aj = para todo i j A = j Aj
17 7 Ejemplo Sea A={1, 2, 3,,10}, las siguientes son ejemplos de particiones de A: A1={1, 2, 3, 4, 5}, A2={6, 7, 8, 9, 10} A1={1, 3, 5, 7, 9}, A2={2, 4, 6, 8, 10} A1={1, 2, 3}, A2={4, 6, 7, 9}, A3={5, 8, 10} Ai={i, i+5}, 1 i 5
18 8 Composiciones La composición T = R1 R2 A C de dos relaciones R1 A B y R2 B C es una relacion de A en C T = { (x,z) tal que existe x A, z C, y B tal que (x,y) R1 y (y,z) R2 }
19 9 Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4}, B={w, x, y, z} y C={5, 6, 7}, R1 A B={(1,x),(2,x),(3,y),(3,z)} y R2 B C={(w,5),(x,6)} R1 R2={(1,6), (2,6)} es una relacion de A en C Si R3 B C={(w,5),(w,6)} entonces R1 R3=
20 0 Composiciones La composición de relaciones es asociativa Para relaciones R en A se pueden definir potencias: R1 = R y Rn+1 = R Rn para todo entero n
21 1 Matrices y relaciones Una relación R de A = {a1,,am} a B = {b1,,bn} puede representarse por una matriz M(R) de dimensión m n de (0,1) : Si airbj R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 1, Si airbj R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 0.
22 2 Matrices y relaciones Si se utiliza la adición booleana 1+1=1, entonces la composición de dos relaciones se puede calcular mediante la matriz producto: M(R S) = M(R) M(S)
23 3 Un repaso de lo visto hasta ahora
24 4 Producto Cartesiano EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3,..., 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces, a) A B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}. b) B A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}. c) B2=B B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} ( ) d) B3=B B B = a, b, c a, b, c B ; (4, 5, 5) B3. { }
25 5 Producto Cartesiano EJEMPLO Si U =R, R R = se conoce como el plano real de la geometría coordenada y del cálculo bidimensional. El subconjunto R+ R+ es el interior del primer cuadrante de este plano. Así mismo, R3 representa el espacio euclidiano tridimensional donde las superficies tridimensionales, como esferas y planos, son subconjuntos importantes.
26 6 Producto Cartesiano EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza un sólo dado y se anota el resultado; a continuación, se lanza una moneda al aire y se anota el resultado. Determínese un espacio muestral M para E. Denótese por E1 la primera parte del experimento E y sea M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral para E1. Así mismo sea M2={CA,CZ} un espacio muestral para E2, la segunda parte del experimento. Entonces, M = M1 M2 es un espacio muestral para E.
27 7 Producto Cartesiano Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama de árbol.
28 8 Producto Cartesiano EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las mujeres juegan a lo sumo 3 sets en un partido. Triunfa quien gane primero 2 sets. Si N y E representan a las 2 jugadoras, el diagrama de árbol refleja las 6 maneras en que puede ganarse el encuentro.
29 9 Relaciones EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3,..., 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Las siguientes son relaciones de A a B. a) b) {(2,4)} c) {(2, 4), (2, 5)} d) {(2, 4), (3, 4), (4, 4)} e) {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} f) A B. cuántas relaciones de A a B existen?
30 0 Relaciones Como A B = 6, por la definición se deduce que hay 26 relaciones posibles de A a B. En general, para conjuntos finitos A, B donde A = m y B = n, hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación A B.
31 1 Relaciones EJEMPLO Sea B = {1, 2} N, U = P(B) y A = U ={, {1}, {2}, {1, 2}}. El siguiente es un ejemplo de relación binaria en A: R = {(, ), (, {1}), (, {2}), (, {1, 2}), ({1}, {1}), ({1},{1,2}), ({2}, {2}), ({2}, {1,2}), ({1,2}, {1,2})}.
32 2 Relaciones EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria R en el conjunto A como {( x,y) x y}. Se trata de la conocida relación es menor o igual que para el conjunto de los enteros positivos, Se observa que (7,7),(7,11) R, y (8,2) R, (7,11) R también se puede denotar como 7R 11; (8,2) R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación.
33 3 Relaciones Para cualquier conjunto A U, A =. Así mismo A =.
34 4 Relaciones Para cualquier conjunto A U, A =. Así mismo A =. Si A, sea (a, b) A. Entonces, a A y b, lo cual es imposible.
35 5 Relaciones El producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema. Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C U. a) b) c) d) ( B C ) = ( A B) ( A C ) A ( B C ) = ( A B) ( A C ) A ( A B) C = ( A C ) ( B C ) ( A B) C = ( A C ) ( B C )
36 6 Relaciones EJEMPLO Dado un conjunto finito A con A =n, resulta que A A = n2, de modo que hay 2 n 2 relaciones en A. Cuántas son reflexivas?
37 7 Relaciones Si A ={a1, a2,...,an}, una relación R en A es reflexiva si. { ( a i,a i ) 1 i n} R. Al considerar los otros n2 n pares ordenados de A A (los de la forma ( a i,a j ), 1 i, j n, i j) conforme se construye una relación reflexiva R en A, se incluye o excluye cada uno de estos pares ordenados, hay ( n n 2 2 ) relaciones reflexivas en A.
38 8 Relaciones Recordando una relación R en un conjunto A se llama simétrica si (x, y) R (y, x) R para x, y A. Cuántas son simétricas?
39 9 Para contar las relaciones simétricas en A={a1,a2,...,an}, se escribe A A como A1 A2, donde { ( aa1= ) } i, ai 1 i n {( y aa2= ) } i, a j 1 i, j n, i j de modo que cada par en A A está exactamente en uno de los conjuntos A1, A2. Para A2, A2 = A A A1 = n2 n = n(n 1), un entero par. El conjunto A2 contiene (1/2)(n2 n) subconjuntos de la forma {(ai,aj),(aj,ai)},1 i<j n. Al establecer una relación simétrica R en A, para cada par ordenado de A1, se dispone de la selección usual de exclusión o inclusión. Para los (1/2)( n2 n) subconjuntos de pares ordenados 2 en A2, se dispone de las mismas n ( 1/ 2 ) opciones. ( n n ) ( 1/ 2 ) 2 2 ( Por n +n 2 2 ) tanto, por la regla del producto, hay = relaciones simétricas en A.
40 0 Relaciones Cuántas son reflexivas y simétricas?
41 1 Relaciones Cuántas son reflexivas y simétricas? Se tiene sólo una opción para cada par ordenado en A1. De modo que hay ( 1/ 2 ) ( n n 2 2 ) relaciones en A que son reflexivas y simétricas.
42 2 Relaciones de Orden Recordando una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva Sea A un conjunto y R una relación en A. El par (A, R) se llama conjunto parcialmente ordenado si la relación R en A es un orden parcial, o una relación de ordenamiento parcial. Si a A se le denomina conjunto parcialmente ordenado, se sobre entiende que hay un orden parcial R en A que convierte a A en este conjunto parcialmente ordenado.
43 3 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en una universidad. Defínase la relación R en A mediante x R y si x e y son el mismo curso o si x es un requisito previo para y. Entonces, R transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado. EJEMPLO Defínase R en A = {1, 2, 3, 4} por x R y, si, es decir, x divide a y. Entonces, R ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial y (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado.
44 4 Relaciones de Orden EJEMPLO En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación R en A, definida por x R y si x y, es un orden parcial, que transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado que se puede denotar por (A, ). Si B = {1, 2, 4} A, el conjunto ={(1, 1), (2, 2), (4, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial en B.
45 5 Relaciones de Orden En general si R es un orden parcial en A, entonces para cualquier subconjunto B de A, ( B B) R convierte a B en un conjunto parcialmente ordenado, donde el orden parcial de B se induce de R.
46 6 Relaciones de Orden Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento max A se llama maximal de A si para toda a A, max R a Un elemento min A se denomina minimal de A si para toda b A, b R min
47 7 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U). Sea R la relación de subconjunto en A. Entonces U es maximal, mientras que es minimal para este conjunto parcialmente ordenado. Para B, la colección de subconjuntos propios de {1, 2, 3}, sea R la relación de subconjunto en B. En el conjunto parcialmente ordenado (B, ), {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son elementos maximales, mientras que es el único elemento minimal.
48 8 Relaciones de Orden Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y A finito, entonces A tiene elementos maximal y minimal. Demostración Sea a1 A. Si no hay elemento a A, a a1 con a1 R a, entonces a1 es maximal. De no ser así, hay un elemento a2 A, a2 a1, con a1 R a2.
49 9 Relaciones de Orden Si ningún elemento a A, a a2, cumple a2 R a, entonces a2 es maximal. De lo contrario se puede encontrar a3 A, a3 a2, a3 a1 ( por qué?) con a1 R a2 y a2 R a3. Siguiendo así, como A es finito, se alcanza un elemento an A con an R a para cualquier a an A, de modo que an es maximal.
50 0 Relaciones de Orden Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento x A se denomina elemento mínimo si x R a, para todo a A. El elemento y A se denomina máximo si a R y para toda a A.
51 1 Relaciones de Orden EJEMPLO Sean U = {1, 2, 3} y R la relación de subconjunto. a) Con A = P(U), (A, ) tiene a como elemento mínimo y a U como máximo. b) Para B = la colección de subconjuntos no vacíos de U, (B, ) tiene a U como elemento máximo. No existe elemento mínimo, pero si tres elementos minimales.
52 2 Relaciones de Orden Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es posible tener varios elementos maximales y minimales. Qué sucede con los elementos mínimo y máximo?
53 3 Relaciones de Orden Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A, R) tiene algún elemento máximo (mínimo), ese elemento es único. Demostración Supóngase que x, y A y que ambos son elementos máximos. Como x es un elemento máximo, yr x. Así mismo, x R y, pues y es un elemento máximo. Como R es antisimétrico, x = y.
54 4 Relaciones de equivalencia Recordemos que R en un conjunto A es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. EJEMPLO Sea n Z+. Para x, y Z, se define la relación R de módulo n por medio de x R y si y sólo si, x y es un múltiplo de n. Con n = 7, se halla que 9 R 2, -3 R 11, (14,0) R pero 3 R 7.
55 5 Relaciones de equivalencia Para cualquier conjunto A, A A es una relación de equivalencia en A, y si A = {a1, a2,..., an}, la relación de equivalencia más pequeña en A es R {( = a a ) i n} i, i 1. Si R es una relación en A, R será una relación de equivalencia y un orden parcial en A si y sólo si es la relación de igualdad en A.
56 6 Relaciones de equivalencia EJEMPLO Sea A=R y para cada i Z, sea Ai=[i, i+1). Entonces constituye una partición de R. Definición Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Para cualquier x A, la clase de equivalencia de x, denotada por [x], se define mediante [ x] = { y A yrx}
57 7 Relaciones de equivalencia EJEMPLO Defínase la relación R en Z, por xry, si 4 divide a (x y). Para esta relación se encuentra que [0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, 12,...} = {4k k Z} [1] = {..., -7, -3, 1, 5, 9, 13,...} = {4k + 1 k Z } [2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14,...} = {4k + 2 k Z } [3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, 15,...} = {4k + 3 k Z } {[0], [1], [2], [3]} proporciona una partición de Z.
58 8 Teorema Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A y x, y A, entonces: a) x [x]; b) x R y si y sólo si [x] = [y] y c) [x] = [y] o [x] [y] =. Demostración a) Este resultado se obtiene de la propiedad reflexiva de R b) Si x R y, sea w [x]. Entonces, w R x; además como R es transitiva, w R y. Por tanto, w [y] y [x] [y]. Con R simétrica, x R y y R x. De este modo, si t [y], entonces t R y y por la propiedad transitiva, t R x. De ahí que t [x] e [y] [x]. Por tanto [x] = [y]. A la inversa sea [x] = [y]. Como por el apartado a) x [x], entonces x [y] o x R y. c) Esta propiedad plantea que las clases de equivalencia sólo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o disjuntas
59 9 Relaciones de equivalencia c) Continuación... partimos de que [x] [y] y [x] [y]. Si [x] [y], entonces sea v A con v [x] y v [y]. Por tanto, v R x, v R y x R y. Además por el apartado b), x R y [x] = [y]. Esto contradice la hipótesis de que [x] [y], por tanto se rechaza la hipótesis de que [x] [y], y de ahí se obtiene el resultado.
60 0 Relaciones de equivalencia Obsérvese que si R es una relación de equivalencia en A, entonces, de acuerdo con a) y c) del teorema anterior, las distintas clases de equivalencia determinadas por R constituyen una partición de A. EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}, entonces R es una relación de equivalencia en A, [1] = {1}, [2] = {2,3}=[3], [4]={4,5}=[5] y A = [1] [2] [4].
61 1 Funciones Una función f:a B del conjunto A a B es la relación f A B tal que cada a A está relacionada con un único b tal que (a,b) f Notación f(a)=b, o f:a b A es el dominio de f y B es el codominio El valor f(a)=b es la imagen de a A bajo f El conjunto { f(a) a A } es el rango de f
62 2 Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y B={w, x, y, z}: Es f={(1, w), (2, x)} una función de A a B? No Es f={(1, w), (2, w), (2, x), (3, z)} una función de A a B? No Es f={(1, w), (2, x), (3, x)} una función de A a B? Si
63 3 Ejemplo Cuál es el dominio (dominio máximo ) de la función h dada por? -2 < w < 3 h(w) = 1 w w 2 + 6
64 4 Composición de funciones Sean f: A B y g: B C dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función: (g o f): A C tal que Para todo a A, (g o f)= g(f(a))
65 5 Tipos de funciones Una función es inyectiva o uno a uno si para cada x A tiene una única imagen f(a): Si f(x)=f(y) entonces x=y. Elementos distintos de A tienen siempre imágenes distintas Sea f: R R donde f(x)= 3x + 7 para toda x Es una función uno a uno
66 6 Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}. Es g={(1, 1),(2, 3),(3, 3)} una función uno a uno de A a B? No
67 7 Tipos de funciones Una función es sobre o suprayectiva si para cada y B existe una x A tal que f(x)=y: Si y B entonces existe una x A tal que f(x)=y Sea f: R R donde f(x)= x3 para toda x Es una función sobre o suprayectiva? Si
68 8 Tipos de funciones Una función es una biyección entre A y B si es una función uno a uno y suprayectica Sea A={1, 2, 3, 4} y B={w, x, y, z}. Es f={(1, w), (2, x), (3, y), (4, z)} de A a B una biyección? Si
69 9 Ejemplos La función lineal f:z Z, definida por f(x)=x+2 Es inyectiva Es suprayectiva Es biyectiva La identidad I:A A es siempre una biyección
Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad
Estructuras Discretas Relaciones Definición: relación Relaciones Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds clobos,jsimmond@inf.utfsm.cl Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Sean
Más detallesb) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A
APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:
Más detallesSESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES
SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la
Más detallesCapítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica
Capítulo 1: Fundamentos: Lógica y Demostraciones Clase 3: Relaciones, Funciones, y Notación Asintótica Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 1: Fundamentos:
Más detallesPRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS
PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS Producto Cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un
Más detallesMatemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC1003 Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Relaciones entre Conjuntos: Propiedades Matemáticas Discretas - p.
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesCONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS
UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA CÁTEDRA DE LÓGICA COMPUTACIONAL CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS INTRODUCCIÓN Intuitivamente, un conjunto es una
Más detallesTerminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.
TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto
Más detallesAnálisis Matemático I: Numeros Reales y Complejos
Contents : Numeros Reales y Complejos Universidad de Murcia Curso 2008-2009 Contents 1 Definición axiomática de R Objetivos Definición axiomática de R Objetivos 1 Definir (y entender) R introducido axiomáticamente.
Más detallesClase 8 Matrices Álgebra Lineal
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas
Más detallesConjuntos y relaciones
Conjuntos y relaciones Introducción Propiedades de las relaciones Sobre un conjunto Reflexivas Simétricas y transitivas Cerradura Relaciones de equivalencia Órdenes parciales Diagramas de Hasse Introducción
Más detallesTEMA II TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS
TEMA II TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS Policarpo Abascal Fuentes TEMA II Teoría intuitiva de conjuntos p. 1/4 TEMA II 2. TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS 2.1 CONJUNTOS 2.1.1 Operaciones con conjuntos 2.2 RELACIONES
Más detallesConjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu
Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también
Más detallesUnidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.
Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)
Más detallesRecordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de números que son básicos.
Capítulo 1 Preliminares Vamos a ver en este primer capítulo de preliminares algunos conceptos, ideas y propiedades que serán muy útiles para el desarrollo de la asignatura. Se trata de resultados sobre
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia
Apuntes de Matemática Discreta 8. Relaciones de Equivalencia Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 8 Relaciones de Equivalencia
Más detallesMATEMATICAS DISCRETAS
MTEMTICS DISCRETS Propiedad reflexiva Sea R una relación binaria R en, ( ). Definición: Diremos que R es reflexiva si a, a R a Ejemplo: 1) En N la relación R definida por: x R y x divide a y es reflexiva
Más detallesRELACIONES Y FUNCIONES. M.C. Mireya Tovar Vidal
RELACIONES Y FUNCIONES M.C. Mireya Tovar Vidal IDEA INTUITIVA DE RELACIÓN Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones
Más detallesNotas de Álgebra Básica I
Notas de Álgebra Básica I Carlos Ruiz de Velasco y Bellas Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación Facultad de Ciencias Universidad de Cantabria 14 de septiembre de 2006 2 Capítulo 1 Conjuntos,
Más detallesCapítulo 6. Relaciones. Continuar
Capítulo 6. Relaciones Continuar Introducción Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones se utilizan en base de datos,
Más detallesSemana05[1/14] Relaciones. 28 de marzo de Relaciones
Semana05[1/14] 28 de marzo de 2007 Introducción Semana05[2/14] Ya en los capítulos anteriores nos acercamos al concepto de relación. Relación Dados un par de conjuntos no vacíos A y B, llamaremos relación
Más detallesConjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen.
Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Mayo 2006 1. La función f es definida por (a) Halle el recorrido exacto, A, de f. f : R R donde f(x) = e senx 1. (b) (i) Explique por qué f no es inyectiva.
Más detallesRelaciones binarias. Matemática discreta. Matemática discreta. Relaciones binarias
Relaciones binarias Matemática discreta 1 Relación binaria en A Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto de AxB Dados a A y b B, a está relacionado con b por R si (a,b)
Más detallesMatemáticas Discretas
Matemáticas Discretas Conjuntos (11) Curso Propedéutico 2009 Maestría en Ciencias Computacionales, INAOE Conjuntos (2) Dr Luis Enrique Sucar Succar esucar@inaoep.mx Dra Angélica Muñoz Meléndez munoz@inaoep.mx
Más detallesTeoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo.
1 Tema 5.-. Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo. 5.1. Anillos y cuerpos Definición 5.1.1. Un anillo es una terna (A, +, ) formada por un conjunto A
Más detallesSobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa
Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real
Más detallesCardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.
Cardinalidad Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la misma potencia, y lo notamos A B, si existe una biyección de A en B Es fácil probar que es una relación de
Más detallesMatrices 1 (Problemas). c
º Bachillerato Matrices 1 (Problemas) 1.- Efectúa las siguientes operaciones con matrices: a) 1 4 5 6 + b) 5 7 9 11 1 1 1 1 1 1 c). 4 d) 6. 1 6 1 18 1 g) 0 0 0 0 a 0 b 0. 0 b 0 0 0 c c 0 0.- Siendo A =
Más detallesEspacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios
, Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas
Más detallesINSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO LAREDO ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES UNIDAD: 2
NOMBRE DE LA Ejercicios de Conjuntos y Relaciones OBJETIVO: El estudiante desarrollará diversos ejercicios de representación y operaciones con conjuntos y con relaciones MATERIAL Y EQUIPO NECESARIO: Papel
Más detallesLA FUNCIÓN INVERSA. Si R es una relación, la relación R definida por la proposiciones. (a, b) R (b, a) R. (a, b) R (c, b) R a = c
LA FUNCIÓN INVERSA Existen diferentes definiciones de función inversa, aunque el concepto matemático es el mismo. Expondremos aquí tres de ellas, para efectos formales, ya que para hallar la inversa de
Más detallesALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS.
ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción 1 La lógica es
Más detallesRELACIÓN DE PROBLEMAS Nº 2 CONJUNTOS Y APLICACIONES
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Dpto. de Matemáticas (Área de Álgebra) 1. Sean X e Y conjuntos. Demostrar: a) X = X Y Y X. b) X = X Y X Y. RELACIÓN DE PROBLEMAS Nº 2 CONJUNTOS Y APLICACIONES
Más detallesÁlgebra de Boole. Retículos.
CAPÍTULO 4. Álgebra de Boole. Retículos. Este capítulo introduce dos estructuras algebraicas muy importantes : la estructura de álgebra de Boole y la de retículo. Estas estructuras constituyen una parte
Más detallesGIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES
UNIDAD I FUNCIONES Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto exactamente un elemento del otro conjunto. Una función f definida entre dos conjuntos
Más detallesEjemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas
Más detallesUnidad Temática 2 Probabilidad
Unidad Temática 2 Probabilidad Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. El experimento que consiste
Más detallesTeoría Tema 2 Concepto de función
página 1/7 Teoría Tema Concepto de función Índice de contenido Función, dominio e imagen... Función inyectiva...4 Función sobreyectiva...6 Función biyectiva...7 página /7 Función, dominio e imagen Una
Más detallesConjuntos, relaciones y funciones
Conjuntos, relaciones y funciones Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico Teoría de conjuntos Representación y manipulación de grupos 2 1 Motivación Las nociones que estudiaremos constituyen fundamentos
Más detallesTema 3: Cálculo de Probabilidades. Métodos Estadísticos
Tema 3: Cálculo de Probabilidades Métodos Estadísticos 2 INTRODUCCIÓN Qué es la probabilidad? Es la creencia en la ocurrencia de un evento o suceso. Ejemplos de sucesos probables: Sacar cara en una moneda.
Más detallesCapitulo V: Relaciones
Capitulo V: Relaciones Relaciones Binarias: Consideremos dos conjuntos A B no vacíos, llamaremos relación binaria de A en B o relación entre elementos de A B a todo subconjunto R del producto cartesiano
Más detallesEstructuras algebraicas
Estructuras algebraicas Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1 Relaciones binarias 11 Recordatorio Definición Dados dos conjuntos A y B se llama producto cartesiano de A por B
Más detallesEl ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales.
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Introducción El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como:1,3, 3 5, e,
Más detallesLos Números Enteros. 1.1 Introducción. 1.2 Definiciones Básicas. Capítulo
Los Números Enteros Capítulo 1 1.1 Introducción En este capítulo nos dedicaremos al estudio de los números enteros los cuales son el punto de partida de toda la teoría de números. Estudiaremos una serie
Más detallesEs trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por
Más detallesÁlgebra II. Tijani Pakhrou
Álgebra II Tijani Pakhrou Índice general 1. Teoría de conjuntos 1 1.1. Conjuntos................................. 1 1.2. Productos cartesianos........................... 6 1.3. Relaciones de equivalencia........................
Más detallesConjuntos relaciones y grupos
Matemáticas NS Conjuntos relaciones y grupos Tema opcional 2 Índice 1. Conjuntos y relaciones 5 1.1. Introducción.......................................... 5 1.2. Operaciones con conjuntos..................................
Más detalles4 E.M. Curso: Unidad: Estadísticas Inferencial. Colegio SSCC Concepción. Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Unidad de Aprendizaje: FUNCIONES
Colegio SSCC Concepción Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje: FUNCIONES Capacidades/Destreza/Habilidad: Racionamiento Matemático/Calcular/ Resolver Valores/ Actitudes: Curso: E.M. 10 Respeto, Solidaridad,
Más detalles1 Relaciones de orden
1 Relaciones de orden Sea R una relación binaria en un conjunto A. Si R satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice que R es una relación de orden. En este caso si a y b son
Más detallesConjuntos, Relaciones y Funciones
Conjuntos, Relaciones y Funciones 0.1 Conjuntos El término conjunto y elemento de un conjunto son términos primitivos y no definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colección de
Más detallesTemario MATEMÁTICAS 11. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas
Temario MATEMÁTICAS Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas. 24-13803-13 MATEMÁTICAS 3 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS 1.1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS. REPRESENTACIÓN
Más detallesIntroducción a los números reales
Grado en Matemáticas Curso 2010-2011 Índice Conjuntos numéricos 1 Conjuntos numéricos Tienen nombre Y cuatro operaciones básicas 2 Teoremas y demostraciones Métodos de demostración 3 4 Objetivos Objetivos
Más detallesJohn Venn Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn
Georg Cantor Matemático Alemán creador de la teoría de conjuntos John Venn Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn August De Morgan Matemático ingles creador de leyes que llevan
Más detallesÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 1
ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 1 Correspondencias y aplicaciones (Curso 2007 2008) 1. Dadas las siguientes correspondencias, determinar sus conjuntos origen, imagen, decidir si no son aplicaciones
Más detalles2. Los números naturales, enteros y racionales 1
- Fernando Sánchez - - Cálculo I 2Los números naturales, enteros y racionales Números naturales 24 09 2015 Se llaman números naturales a los elementos del conjunto N = {1, 2, 3,...}. En este conjunto hay
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño
MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2014 Universidad Nacional de Colombia
Más detallesEn matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido. Un conjunto se
Más detallesIntroducción a la topología
Introducción a la topología Beatriz Abadie CENTRO DE MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA Agosto de 2013 i Índice general Capítulo 1. Elementos de la teoría de conjuntos 1 1.1.
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS. 2 de marzo de Universidad Nacional de Colombia MATEMÁTICAS BÁSICAS
2 de marzo de 2009 Parte I Conjuntos Definición intuitiva de conjunto Definición Un conjunto es una colección de objetos. Ejemplos A = {a, e, i, o, u} B = {blanco, gris, negro} C = {2, 4, 6, 8, 9} D =
Más detallesLenguajes, Gramáticas y Autómatas Conceptos
Lenguajes, Gramáticas y Autómatas Conceptos Departamento de Informática e Ingeniería de Sistemas C.P.S. Universidad de Zaragoza Última revisión: Febrero. 2004 11/02/2004 1 Índice Alfabetos, palabras y
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS. Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano
MATEMÁTICAS BÁSICAS Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad
Más detallesUniversidad Abierta y a Distancia de México. Licenciatura en matemáticas. Primer Semestre. Introducción al álgebra superior
Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en matemáticas Primer Semestre Introducción al álgebra superior Unidad 1 Conjuntos, relaciones y funciones Clave: 05141106/06141106 Índice 1 Unidad
Más detallesBLOQUE 1. LOS NÚMEROS
BLOQUE 1. LOS NÚMEROS Números naturales, enteros y racionales. El número real. Intervalos. Valor absoluto. Tanto el Cálculo como el Álgebra que estudiaremos en esta asignatura, descansan en los números
Más detallesUna relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto R de A x B.
Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto R de A x B. Sea R una relación de un conjunto A en un conjunto B. Se dice que un elemento a de A está relacionado con un elemento b de
Más detallesTEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN. Álgebra II García Muñoz, M.A.
TEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN OBJETIVOS GENERALES 1. Hacer que el alumno asimile el concepto de conjunto como la estructura algebraica más simple en la que se ambientarán el resto de las estructuras
Más detallesConjuntos Infinitos. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO
Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO El estudio de los conjuntos infinitos se inicia con Las Paradojas del Infinito, la última obra del matemático checo Bernard Bolzano, publicada
Más detallesTema 2. Grupos. 3. El conjunto de matrices de orden 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma es un grupo conmutativo.
Tema 2. Grupos. 1 Grupos Definición 1 Un grupo es una estructura algebraica (G, ) tal que la operación binaria verifica: 1. * es asociativa 2. * tiene elemento neutro 3. todo elemento de G tiene simétrico.
Más detallesE V A L U A C I Ó N Walter Orlando Gonzales Caicedo SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 0 FACULTAD DE : ESCUELA PROFESIONAL DE : DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I ASIGNATURA : Lógico Matemática FECHA:
Más detallesTema 2: Espacios Vectoriales
Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.
Más detallesRELACIONES BINARIAS. (1, b)} es una relación de A en B. Sea A = {1, 2, 3, 4}. En A se tiene la relación R = {(a, b)/a, b A y a divide a b}:
RELACIONES BINARIAS 1. Relaciones Las relaciones entre elementos de conjuntos se dan en muchos contextos y, en informática, aparecen con frecuencia en programación, bases de datos informáticas, etc. 1.1.
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:
1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con
Más detalles{} representa al conjunto vacío, es decir, aquel que no contiene elementos. También se representa por.
2. Nociones sobre Teoría de Conjuntos y Lógica Para llevar a cabo nuestro propósito de especificar formalmente los problemas y demostrar rigurosamente la correctitud de nuestro programas, introduciremos
Más detallesPROGRAMA DE MATEMATICAS DISCRETAS
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA DE SISTEMAS PROGRAMA DE MATEMATICAS DISCRETAS 1. DATOS INFORMATIVOS 1.1 Escuela : Ingeniería 1.2 Carrera : Ingeniería
Más detalles1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS.
UNIDAD 1.- CONCEPTOS REQUERIDOS CONJUNTOS. AXIOMAS DE PERTENENCIA, PARALELISMO, ORDEN Y PARTICIÓN. 1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS. 1.1 Determinaciones de un conjunto. Un conjunto queda determinado
Más detallesForma binomial de números complejos (ejercicios)
Forma binomial de números complejos (ejercicios) Objetivos. Mostrar que los números reales x se pueden identificar con números complejos de la forma (x, 0), y cada número complejo (x, y) se puede escribir
Más detallesTransformaciones lineales y matrices
CAPíTULO 5 Transformaciones lineales y matrices 1 Matriz asociada a una transformación lineal Supongamos que V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y que T : V W es una transformación lineal
Más detalles520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones
Apuntes de Matemática Discreta 6. Relaciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 6 Relaciones Contenido 6.1 Generalidades.....................................
Más detallesGrupos y Anillos - 3006993 Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Problemas # 1
Grupos y Anillos - 3006993 Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Problemas # 1 1. Dé dos razones por las cuales el conjunto de los enteros impares no es un grupo con la
Más detallesÁlgebra de Boole. Adición booleana. Multiplicación booleana. Escuela Politécnica Superior
Álgebra de Boole El Álgebra de Boole es una forma muy adecuada para expresar y analizar las operaciones de los circuitos lógicos. Se puede considerar las matemáticas de los sistemas digitales. Operaciones
Más detallesNo es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.
FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
Más detallesEL CUERPO ORDENADO REALES
CAPÍTULO I. EL CUERPO ORDENADO DE LOS NÚMEROS REALES SECCIONES A. Elementos notables en R. B. Congruencias. Conjuntos numerables. C. Método de inducción completa. D. Desigualdades y valor absoluto. E.
Más detallesESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA.
ESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA. Índice de contenido 1. Espacio vectorial....2 Estructura de espacio vectorial...2 Subespacios
Más detallesGrupos libres. Presentaciones.
S _ Tema 12.- Grupos libres. Presentaciones. 12.1 Grupos libres. En el grupo Z de los enteros vimos una propiedad (cf. ejemplos.5), que lo caracteriza como grupo libre. Lo enunciamos al modo de una Propiedad
Más detallesTEORÍA DE GRAFOS Ingeniería de Sistemas
TEORÍA DE GRAFOS Ingeniería de Sistemas Código: MAT-31114 AUTORES Ing. Daniel Zambrano Ing. Viviana Semprún UNIDADES DE LA ASIGNATURA» UNIDAD I. Relaciones» UNIDAD II. Estructuras Algebraicas» UNIDAD III.
Más detallesAlgebra Lineal: Aplicaciones a la Física
Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física Resumen del curso 2014 para Lic. en Física (2 o año), Depto. de Física, UNLP. Prof.: R. Rossignoli 0. Repaso de estructuras algebraicas básicas Un sistema algebraico
Más detallesFundamentos algebraicos
Fundamentos algebraicos 1. Grupos Sea S un conjunto. Se denota con S S el conjunto de los pares ordenados (s, t) con s, t en S. Un mapeo de S S en S se llama operación binaria en S. Esta definición requiere
Más detallesMatemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC13 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas ITESM Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25 Una matriz A m n es un arreglo
Más detallesReticulados y Álgebras de Boole
Reticulados y Álgebras de Boole Héctor Gramaglia y Alejandro Tiraboschi 1 Relaciones 1.1 El concepto de relación Según la Real Academia Española, el término relación remite a: 1. Exposición que se hace
Más detallesNOCIONES PRELIMINARES (*) 1
CONJUNTOS NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 Conjunto no es un término definible, pero da idea de una reunión de cosas ( elementos ) que tienen algo en común. En matemática los conjuntos se designan con letras
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesPropiedades del producto cartesiano Producto cartesiano. 64 Aritmética Und. 1 Teoría de Conjuntos
La forma de construir todos los pares ordenados posibles es escribiendo la 1ra componente, digamos «h» del conjunto con cada uno de los elementos del conjunto, luego la 2da componente «t» = {(h; ), (h;
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden
Apuntes de Matemática Discreta 7. Relaciones de Orden Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 7 Relaciones de Orden Contenido
Más detallesCapítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte
Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 2: Inducción y Recursión 1 / 20 Motivación
Más detalles50 CAP. I. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES. Ejercicio. 8.1. Dados los conjuntos: Determinar los siguientes conjuntos: Se tiene:
50 CAP. I. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES Ejercicio. 8.1. Dados los conjuntos: Determinar los siguientes conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {e, f, g, h}, C = {a, e, i, o, u} A B C, A B C, A \ B,
Más detallesTema 4. Espacio Proyectivo.
Tema 4. Espacio Proyectivo. Definición y modelos. *) El origen de la geometría proyectiva está relacionado con el estudio de la perspectiva, para conseguir cuadros o planos realistas del mundo 3-dimensional;
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detalles1.2 Si a y b son enteros impares, entonces a + b es par. 1.4 Si el producto de enteros a y b es par, entonces alguno de ellos es par.
Sesión 1 Demostraciones Demostración directa 1.1 Si n es un número entero impar, entonces n 2 es impar. 1.2 Si a y b son enteros impares, entonces a + b es par. Demostración indirecta 1.3 Si n 2 es par,
Más detallesCombinatoria Básica: Conteo
Capítulo III Combinatoria Básica: Conteo En este capítulo continuamos determinando la cardinalidad de varios conjuntos interesantes, en particular, permutaciones y combinaciones. Como parte de esto encontramos
Más detalles