Carrera: Licenciatura en Sistemas. Materia: Matemática Discreta. Profesores Adjuntos: Lic. José Vázquez. Instructor Ayudante: Lic.

Transcripción

1 Carrera: Licenciatura en Sistemas Materia: Matemática Discreta Profesores Adjuntos: Lic. José Vázquez Lic. Alejandra Vranic Instructor Ayudante: Lic. Laura Liodi Año: 2012 Cuatrimestre: 1º Cuatrimestre 4º Año

2 1- Fundamentación de la Asignatura: Los orígenes del simbolismo se remontan a la Grecia clásica y suelen relacionarse con la aportación del matemático griego Euclides, del siglo IV a.c. En su obra Los elementos, este autor desarrolló lo que hoy en día se conoce como geometría euclídea, un estudio formal de conceptos geométricos elementales (puntos, líneas, superficies, polígonos y otras figuras). El hecho relevante es que Euclides fue capaz de expresar estos conceptos mediante un lenguaje de estructura lógica. Sobre la base de un conjunto de definiciones iniciales, nociones comunes y axiomas o postulados, se deducían el resto de proposiciones. De esta manera, sentó los fundamentos de una disciplina matemática, la geometría, que en esencia se ha mantenido inalterada hasta finales del siglo XIX. Los avances han venido marcados por la evolución de los lenguajes lógicos, formales o simbólicos, será en el siglo XIX cuando George Boole y Gottlob Frege por fin consiguen establecer las bases de los lenguajes formales actuales. En su obra Laws of thought de 1854, Boole formuló un álgebra lógica similar en rigor y exactitud al álgebra de las matemáticas. Todos los formalismos gramaticales que se utilizan en la actualidad para expresar generativamente con precisión, la sintaxis o la semántica de las lenguas naturales son deudoras del álgebra de Boole y los sucesores. Alan M. Turing llevaron a cabo teorizaciones sobre la computación que dieron origen al concepto de cálculo automático o informática. La construcción de las primeras computadoras, fundamentada por cierto en la lógica booleana, comienza en la década de El Álgebra Lineal y los métodos lógicos son seguramente, una de las herramientas fundamentales en las Ciencias de la Computación. Originariamente su abstracción y formalismo la hacen a veces un poco árida de entender. Sin embargo la inmensidad de sus aplicaciones en Teoría de la Información, Teoría de Códigos, Optimización, bien vale el esfuerzo. Esta asignatura será esencial para formar la base adecuada que permita al estudiante superar con éxito asignaturas posteriores con gran contenido matemático. 2 Objetivos: Profundizar el proceso de formación de conceptos matemáticos fundamentales para el desarrollo del pensamiento lógico y científico, generando un espíritu crítico y de investigación, que le permitan al estudiante obtener herramientas para enfrentar problemas que se le presenten en el ejercicio de su respectiva actividad profesional. Comprensión de la importancia que tienen los distintos modelos matemáticos por sus aplicaciones en sistemas. Compresión y utilización de modelos en distintas situaciones problemáticas. Introducir algunos métodos de la Matemática Discreta y el Álgebra Lineal. Describir algunas aplicaciones de la Matemática a la Informática y viceversa. Conocer algún software matemático en sus aplicaciones al álgebra lineal.

3 Utilizar JAVA como herramienta de aprendizaje de implementación de los modelos matemáticos 3 - Programa: Contenidos mínimos Lógica simbólica. Proposiciones. Tablas de verdad. Teoría de conjuntos. Cardinalidad. Principio de inducción matemática. Estructuras algebraicas. Grupo, anillo, cuerpo y espacio vectorial. Teoría de grafos. Circuito de Euler. Circuito de Hamilton. Fórmula de Euler. Árboles. Propiedades. Aplicaciones. Códigos de Huffman. Árboles generadores. Circuitos combinatorios. Álgebra de Boole. Contenidos Unidad 1: Lógica Lógica simbólica. Proposiciones: clasificación. Tablas de verdad. Conectivos lógicos: negación, conjunción, disyunción, disyunción exclusiva, implicación y doble implicación. Tautología, contradicción y contingencia. Proposiciones compuestas. Cuantificadores. La demostración. Aplicaciones. Unidad 2: Conjuntos Conjuntos. Inclusión. Igualdad de conjuntos. Conjuntos disjuntos. Unión. Intersección. Diferencia. Complemento. Propiedades. Producto cartesiano. Relaciones binarias. Relación de equivalencia. Funciones. Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Función inversa. Cardinalidad. Principio de inducción matemática. Aplicaciones en la demostración de igualdades y desigualdades. Resolución de problemas. Unidad 3: Estructuras algebraicas Leyes de composición interna y externa. Propiedades de las leyes de composición. Isomorfismos. Estructuras de grupo, anillo, cuerpo y espacio vectorial. Unidad 4: Teoría de grafos Grafos. Vértices o nodos y lados de un grafo. Grafos simples. El problema de los puentes de Königsberg. Valencia. Circuito de Euler. Circuito de Hamilton. El problema del vendedor viajero. Representación de grafos mediante matrices. Caminos y circuitos. Desarrollo de algoritmos. Isomorfismo de grafos. Invariantes de grafos isomorfos. Grafos planos. Fórmula de Euler. Resolución de problemas. Unidad 5: Árboles Árboles. Definición. El problema de las 8 monedas. Códigos de Huffman. Propiedades de los árboles. Aplicaciones. Árboles generadores. Resolución de problemas.

4 Unidad 6: Circuitos combinatorios. Álgebra de Boole Circuitos combinatorios. Compuertas. Expresiones booleanas. Propiedades de los circuitos combinatorios. Circuitos combinatorios equivalentes. Circuitos de conmutación. Álgebra de Boole. Definiciones y propiedades. Demostración de las distintas propiedades. Funciones booleanas. Diseño de circuitos combinatorios. Circuito sumador y semisumador. 4 - Metodología de Trabajo y Evaluación: Para regularizar la cursada es necesario aprobar dos instancias de exámenes parciales y acreditar el 75% de asistencia. El estudiante tendrá la posibilidad de recuperar estas dos instancias en fecha a convenir. Si al estudiante le quedara un solo parcial sin aprobar después de esta última instancia, deberá recursar la Materia. Una vez regularizada la cursada, el estudiante rendirá un examen final integrador de todos los conceptos y procedimientos. La nota de aprobación mínima tanto de los parciales como de los recuperatorios y del final es 4 (cuatro). El estudiante libre rendirá un examen final escrito, similar al de los estudiantes regulares, que incluye todos los temas del programa anteriormente desarrollado. De aprobar el mismo, pasará a otra instancia oral-escrita. 5 - Bibliografía: NUMEROS GRUPOS Y ANILLOS Autor: JOSE DORRONSORO y EUGENIO HERNANDEZ Editorial PEARSON ADDISON-WESLEY ISBN-10: ISBN-13: ALGEBRA LINEAL Autor JUAN DE BURGOS Editorial MC GRAW HILL ISBN: FUNDAMENTOS DE ALGEBRA LINEAL Autor LARSON RON FALVO DAVID C. Edición 2010 Editorial CENGAGE LEARNING ISBN

5 MATEMATICAS DISCRETAS Autor ESPINOSA ARMENTA RAMON Edición 2010 Editorial ALFAOMEGA GRUPO EDITOR ISBN MATEMATICAS DISCRETAS Autor JOHNSONBAUGH RICHARD Edición 2005 Editorial PEARSON ADDISON-WESLEY ISBN CALCULO DE VARIAS VARIABLES CON ALGEBRA LINEAL Autor CURTIS, PHILIP Editorial LIMUSA ISBN ESTRUCTURAS DE DATOS CON JAVA Autor LEWIS JOHN CHASE JOSEPH Edición 2006 Editorial PEARSON ALHAMBRA ISBN