1. Definición de Determinante para matrices cuadradas de orden 2 y de orden 3. Un determinante es un número que se le asocia a toda matriz cuadrada.

Transcripción

1 Unidd : DETERMINNTES.. Deinición de Determinnte pr mtrices cudrds de orden y de orden. Un determinnte es un número que se le soci tod mtriz cudrd. Determinnte de un mtriz cudrd de orden : El es producto de los elementos que están en l digonl principl menos el producto de los elementos que están en l digonl secundri. Ejemplos: ) d) c) ( ) b) ( ) Determinnte de un mtriz cudrd de orden. Regl de Srrus: Los términos están ormdos por productos de tres elementos de l mtriz, siguiendo est regl: delnte delnte - Ejemplos: ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 Observciones: * Un determinnte es un número. * Los determinntes se escriben entre brrs pr dierencirlos de ls mtrices. * Sólo tienen determinnte ls mtrices cudrds. * Ls mtrices que no son cudrds no tienen determinnte. * Cundo se desrroll un determinnte, en cd uno de los sumndos interviene un elemento de cd il y un elemento de cd column.. Propieddes de los determinntes. Ls siguientes propieddes se veriicn pr determinntes de culquier orden, unque en los ejemplo sólo vmos trbjr con determinntes de orden. Cundo nos reerimos línes de un determinnte nos estmos reiriendo tnto ils como columns..- El determinnte de un mtriz coincide con el determinnte de su trnspuest: t Es decir, si en un determinnte cmbimos ls ils por columns el determinnte no vrí: Vemos l propiedd pr determinntes de orden : t t.- Si un mtriz cudrd tiene un il o column ormd por ceros, su determinnte es cero. Vemos un ejemplo: Justiicción: En cd sumndo prece un elemento de cd il y un elemento de cd column, por ello si un líne (il o column) está ormd por ceros, en todos los sumndos precerá un cero, y que en todos los sumndos precerá un elemento de es líne.

3 .- Si se permutn dos línes prlels entre sí el determinnte cmbi de signo. Vemos un ejemplo: Permutmos ls dos primers ils: Justiicción: En el desrrollo se obtienen los mismos sumndos pero con distinto signo..- Si un mtriz cudrd tiene dos línes prlels igules, el determinnte es cero. Vemos un ejemplo: ( ) Justiicción: Si l mtriz tiene dos línes igules, l permutrls se vuelve obtener l mtriz, pero el determinnte cmbi de signo:.- Si multiplicmos por un mismo número todos los elementos de un líne (il o column) de un mtriz cudrd, su determinnte qued multiplicdo por ese mismo número. Vemos un ejemplo: ( )

4 Multiplicmos por k, por ejemplo, l tercer column: k k k ( ) k k k k k ( k) k k ( ) k Se obtienen los mismos sumndos multiplicdos por k, por tnto se puede scr ctor común. Justiicción: como en todos los sumndos interviene un elemento de cd il y cd column, en todos los sumndos prece un elemento multiplicdo por k, y por tnto todos los sumndos precen multiplicdos por k..- Si un determinnte tiene dos ils o columns proporcionles el determinnte vle cero: En el siguiente determinnte son proporcionles l primer y l tercer il, vemos que es cero usndo ls dos propieddes nteriores. k k k P k P k.- Si en un determinnte un líne (il o column) está descompuest en sums, podemos descomponer el determinnte en sum de determinntes: b c d e c e b d.- Si un líne le summos otr líne prlel multiplicd por un constnte, el determinnte no vrí: Vemos un ejemplo: ( ) l tercer il le summos l primer il multiplicd por :

5 ( ) El vlor del determinnte no h vrido. Vemos est propiedd con letrs b c Se el determinnte: d e, l ª il le summos l segund multiplicd por k, g h i es decir: k, vemos que el determinnte no vrí: kd d g b ke e h c k i P d g b e h c i dos ils proporcionles kd ke k d g es igul cero e h i d g b e h c i.- Si un determinnte tiene un líne (il o column) que es combinción linel de otrs línes prlels, el determinnte es cero, y tmbién recíprocmente si el determinnte de un mtriz es cero entonces un il (y un column) es combinción linel de ls demás. Supongmos que l tercer il es combinción linel de l primer y segund il: k m b d e k md kb me c kc m P escero dos ils son proporcionles l primer y l tercer b c d k e kb kc escero dos ils son proporcionles l segund y l tercer b c d md e me m Vemos un ejemplo de l implicción contrri: Clculmos, entonces: Un il debe ser combinción linel de ls restntes, en eecto observmos que demás un column debe ser combinción linel del resto, eectivmente: c c c

6 El determinnte de un mtriz cudrd es un detector de combinciones lineles en ls ils y columns de l mtriz. Si el determinnte es cero orzosmente un il (y un column) que es combinción linel del resto..- Si en un determinnte sustituimos un líne (il o column) por un combinción linel de ell mism y de un líne prlel, el determinnte qued multiplicdo por el coeiciente de l líne que sustituimos. d g b e h c i En este determinnte vmos sustituir l ª il por, es decir: Obtenemos el determinnte: b c d b e c g h i P b b c c g h i dos ils proporcionles d b e c g h i multiplic l ª lo podemos scr uer multiplicndo d g b e h c i.- El determinnte de un producto de dos mtrices es igul l producto de sus determinntes: Vemos un ejemplo: B es el determinnte de un producto de dos mtrices B es un producto de dos determinntes Sen ls mtrices: y B, Pr clculr B, primero hcemos el producto de mtrices y después clculmos el determinnte, B B {

7 Clculmos B multiplicmos los resultdos:, pr ello clculmos los determinntes por seprdo y después, según se vio l explicr l propiedd. B, según se vio l explicr l propiedd. Por tnto: B. Luego hemos comprobdo con un ejemplo, que pr mtrices cudrds, se veriic l iguldd: B B nálogmente si, B, C, H son mtrices cudrds de orden n: B C K H B C K H. Determinnte del producto Producto de los determinntes El determinnte de un producto de mtrices cudrds es el producto de los determinntes. Si es un mtriz cudrd, qué relción existe entre y n? Usmos l propiedd nterior: n ctores n K K n n n Qué relción existe entre el determinnte de un mtriz cudrd y el determinnte de su mtriz invers? Se un mtriz cudrd de orden n, se su mtriz invers: I n tomndo determinntes: I n. Hemos visto nteriormente que el determinnte de un producto de mtrices cudrds es el producto de los determinntes, por tnto: y que el determinnte de l mtriz unidd es. Por tnto:

8 Ejemplos: si, si B, si C. Menor complementrio y djunto de un elemento. Submtriz de un mtriz. Se un mtriz culquier, un submtriz de, es un mtriz que se orm prtir de los elementos de, suprimiendo ils y columns: Ejemplos: Se No es un submtriz, y que no se puede obtener de tchndo ils y columns: En cmbio si es un submtriz y que se obtiene l suprimir: c y, Menor de un mtriz. Se un mtriz culquier, un menor de, es un determinnte de un submtriz mtriz cudrd de. En l mtriz nterior: Los siguientes menores, son lgunos menores de orden :,,,,, Los siguientes menores, son todos los menores de orden de :,,,

9 Menor complementrio de un elemento de un mtriz cudrd. Se un mtriz cudrd, el menor complementrio del elemento menor que result l suprimir l il i y l column j: ij, es el Es decir se clcul el determinnte de l submtriz que result l suprimir l il y l column donde se encuentr el elemento: Ejemplos: Se El menor de es: y que en l mtriz hy que tchr l primer il y l primer column. El menor de es: y que en l mtriz hy que tchr l segund il y l tercer column. El menor de es: y que en l mtriz hy que tchr l segund il y l segund column. Se B El djunto de b es, y que en l mtriz hy que tchr l segund il y l primer column. El djunto de b es -, y que en l mtriz hy que tchr l segund il y l segund column. djunto de un elemento de un mtriz cudrd. Se un mtriz cudrd, se llm djunto del elemento ij su menor i j complementrio precedido del signo: ( ). El djunto del elemento ij se represent por ij.

10 Ejemplos: Se. es el djunto del elemento ( ) ( ) el menor, se obtiene l suprimir en y c. es el djunto del elemento ( ) ( ) el menor, se obtiene l suprimir en y c. Se B B es el djunto del elemento B ( ) suprimir en B y c b, que se obtiene l y multiplicr por -. B es el djunto del elemento b B ( ) ( ) ( ) obtiene l suprimir en B y c y multiplicr por., que se Se C C es el djunto del elemento: c C ( ) ( ) El determinnte se obtiene l suprimir en l mtriz C y c..

11 . Desrrollo de un determinnte por los elementos de un líne. Vmos estudir un nuev propiedd de los determinntes, que nos será muy útil cundo se trte de clculr determinntes de orden myor que..- Un determinnte se puede clculr multiplicndo los elementos de un líne (il o column) por sus djuntos y después sumndo los resultdos. Ejemplos: Se el determinnte:. Primero vmos clculr usndo l Regl de Srrus, y posteriormente desrrollndo por djuntos en l ª il, por último desrrollremos por djuntos en l ª column. Primero usmos l regl de Srrus: Cd ª il se multiplic por su djunto elemento de l ( ) ( ) Desrrollmos por último por djuntos en l ª column: cd elemento de l ª column se multiplic por su djunto ( ) ( ) ( ) Este procedimiento es el que deberemos usr cundo tengmos que clculr un determinnte de orden superior.

12 Tenemos que desrrollr por djuntos, Qué líne escogemos? L que teng más ceros, y que sí nos evitmos operciones, veámoslo: L líne del determinnte que tiene más ceros es l ª column, por tnto desrrollmos por djuntos en l ª column: Por ello, sólo hy que clculr un determinnte de orden : ( ) ( ) ( ) Primero nos ijmos en l líne que tiene ms ceros: es l ª il. El determinnte lo vmos hcer de dos orms: ª orm: desrrollndo por djuntos en l ª il, recuerd: ( ) ( ) ( ) ( )

13 ª orm: vmos hcer ceros en l últim il Pr hcer ceros en l últim il opermos con columns: c c c Hemos conseguido un nuevo cero en l ªil, desrrollmos por djuntos en es il, tendremos que clculr sólo un determinnte de orden. ( ) ( ) Importnte: Hst hor hemos hecho ceros: º) Pr resolver sistems de ecuciones lineles. º) Pr clculr el rngo de un mtriz. º) Pr cilitr el cálculo de determinntes. Éste último cso, es dierente de los dos nteriores, tenemos que tener en cuent ests indicciones: * tenemos que tener en cuent: l Propiedd.- Si en un determinnte sustituimos un líne (il o column) por un combinción linel de ell mism y de un líne prlel, el determinnte qued multiplicdo por el coeiciente de l líne que sustituimos. * Nos interesn ils con ceros y con unos. * Pr hcer ceros en columns opero con ils y pr hcer ceros en ils trbjo con columns. * Si deseo, por comodidd hcer ceros siempre en column, como lo hemos hecho t hst hor, bst tener en cuent l Propiedd :.

14 Vmos hcer ceros en l ª column, lo vmos hcer de dos orms: ª orm dejmos ij l ª il y opermos con ell pr hcer ceros en ls demás: hcemos ceros ij Pr hcer cero :, pero por l propiedd, l multiplicr l il ª por (-), el determinnte h queddo multiplicdo por (-), por tnto pr que el determinnte no vríe debemos dividirlo por (-) Pr hcer cero el usndo l primer il:, como he multiplicdo por (-) l il que sustituyo, el determinnte lo tengo que dividir por (-) Desrrollndo por djuntos en l ª column, recordmos l regl de los signos: ( ) ( ) ( ) ( )

15 ª orm dejmos ij l ª il, que es donde tenemos el y opermos con ell pr hcer ceros en ls demás: hcemos ceros ij Pr hcer cero : como l il que hemos sustituido ( ) no l hemos multiplicdo por ningún número el determinnte no vrí: Pr hcer cero, hemos multiplicdo por ningún número el determinnte no vrí:, como l il que hemos sustituido ( ) no l hor desrrollmos por djuntos en l ª column, recordndo l regl de los signos: ( ) ( ) ( ) En resumen: Si hcemos l sustitución determinnte. b n n m, tenemos que dividir por el Si hcemos l sustitución b, el determinnte no vrí n n m

16 Ejemplo: Nos interes un líne que teng ceros y unos, elegimos l il curt, tendremos que hcer ceros en est il, nosotros estmos costumbrdos hcer ceros en column, pr ello vmos t clculr el determinnte de l mtriz trnspuest y que: Desrrollmos por djuntos en l curt column, teniendo en cuent l regl de los signos: Podemos scr ctor común en l tercer column y ctor común en l primer: ( ) ( ) Observciones: º) El determinnte de un mtriz digonl es el producto de los elementos que están en l digonl principl. Si l mtriz es cudrd de orden : b b b Si l mtriz es cudrd de orden : b c bc Usmos l regl de Srrus.

17 Si l mtriz es cudrd de orden : b b c Hemos desrrolldo por djuntos en l ª il, como c d d b c d b c d e b bcd bcd y sí sucesivmente: c d bcde º) Se I n l mtriz unidd de orden n, su determinnte vle, I. I, I, I, y que se son mtrices digonles. n. Cálculo de l mtriz invers. Se un mtriz cudrd de orden n, con determinnte no nulo ( ), t entonces l mtriz tiene invers y viene dd por l órmul: dj( ). Representmos por dj () l mtriz que result l sustituir en cd elemento por su djunto. Si es un mtriz cudrd de orden con determinnte no nulo: Si es un mtriz cudrd de orden con determinnte no nulo: t

18 t Si el determinnte de un mtriz cudrd es cero, entonces l mtriz no tiene invers Ejemplos Dd, clculr. Primero se clcul, y que si entonces l mtriz no tiene invers. l mtriz tiene invers. Clculmos l mtriz djunt: dj () t dj ( ) dj( ) ( ) Por tnto t dj( ) que es l invers de Podemos comprobr si eectivmente es l invers pr ello clculmos, nos tiene que slir l mtriz unidd de orden : I. Dd clculmos. ntes que nd clculmos el determinnte:

19 ( ) ( ) ( ) ( ) Por tnto l mtriz ) ( ) ( t dj dj plicndo l órmul de l invers: ) ( t dj Comprobmos que eectivmente es l invers, pr ello clculmos. Cálculo del rngo de un mtriz usndo determinntes. En est pregunt vmos dr otro procedimiento pr el cálculo del rngo de un mtriz, lo vmos hcer usndo determinntes. Recordmos que el rngo de un mtriz es el número de ils o columns linelmente independientes, es decir que no son combinción linel. ntes que nd, recordmos l propiedd de los determinntes:.- Si un determinnte tiene un líne (il o column) que es combinción linel de otrs línes prlels, el determinnte es cero, y tmbién recíprocmente si el determinnte de un mtriz es cero entonces un il (y un column) es combinción linel de ls demás. Es decir:

20 El determinnte de un mtriz cudrd es un detector de combinciones lineles en ls ils y columns de l mtriz. Si el determinnte es cero orzosmente un il (y un column) del determinnte es combinción linel del resto. Siendo un mtriz cudrd: Un il (y un column) es combinción del resto, ls ils y ls Si columns del determinnte son linelmente dependientes. Si No existen combinciones lineles entre ls ils (y ls column) de, ls ils y ls columns del determinnte son linelmente independientes. Observción importnte: Si en un mtriz un menor es distinto de cero, entonces ls ils y columns de l mtriz que ormn el menor son linelmente independientes. Ejemplos: Si, entonces: * y son linelmente independientes. * c y c son linelmente independientes. Por tnto: rg ( ), como máximo rg ( ) Si, entonces: * y * y c son linelmente independientes. c son linelmente independientes. Por tnto: rg ( ), como máximo rg ( ) Si *, y *, c y c son linelmente independientes. c son linelmente independientes. Por tnto: rg ( ), como máximo rg ( ) Si *,, y *, c, c y c son linelmente independientes. c son linelmente independientes. Por tnto: rg ( ), como máximo rg ( )

21 Si Tods ls il son linelmente independientes y tods ls columns tmbién, segurmos que rg ( ) Es lso que si un menor es cero, ls ils y columns de l mtriz que ormn el menor sen combinción linel. Ejemplo: sólo podemos deducir que ls dos ils del menor ( ) y ( ) son combinción linel un de otr. No podemos deducir nd sobre ls ils de l mtriz,. es decir sobre: ( ) y ( ) Vemos lgunos resultdos que nos servirán pr clculr el rngo de un mtriz usndo determinntes: º) Se Si todos los menores de º orden que pued hcer con l ª il orlndo l elemento son todos nulos, entonces l ª il es combinción linel de l primer y l podemos suprimir pr clculr el rngo. y demás y demás En este cso es combinción linel de. Bst con que uno de los menores nteriores se distinto de cero pr que ls ils sen linelmente independientes (no son c.l.) rg ( ) y que l menos hy dos ils linelmente independientes.

22 Si, ó, ó y son indep rg( ) Supongmos que y todos los menores de tercer orden que podemos hcer orlndo con l ª il son todos nulos, entonces es combinción linel de y. y demás En este cso es combinción linel de y, y como y son independientes, y que rg ( ) Independientes Comb. linel de y rg ( ) Pr clculr el rngo usndo menores: * Seleccionr un menor de orden no nulo (si esto no es posible rg ( ), y y hemos cbdo) * Clculr los menores de orden que se pueden ormr orlndo el menor nterior con los elementos de un il, se pueden dr dos csos: - Encuentro un menor de orden no nulo. ( rg ( ) ) En este cso se ps orlr con los elementos de otr il y clculr los menores de orden. - Todos los menores de orden que se ormn l orlr el menor de orden con los elementos de l il son nulos, entonces l il es combinción linel de ls ils que ormn el menor y por tnto l podemos suprimir, psmos orlr el menor de orden con los elementos de otr il. Y sí sucesivmente hst que no me quede ningun il.

23 Ejemplos: ) Clculr usndo menores el rngo de l mtriz Primero buscmos un menor de orden no nulo: Ls dos primers ils son independientes ) ( rg Orlmos el menor con los elementos de l ª il, lo hcemos ordendmente:, como sle igul cero orlmos con l ª il y ª column:, como sle igul cero seguimos orlndo con l ª il y ª column:, tmbién sle igul cero. Como todos los posibles menores que puedo ormr l orlr el menor con los elementos de l ª il son todos nulos esto me indic que l il ª es combinción linel de ls ils que ormn el menor es decir de ls dos primers ils. Por ello l podemos suprimir en el cálculo del rngo. Seguimos orlndo nuestro menor con l curt il:

24 Es c.l. de l ª y ª, como sle igul cero seguimos orlndo con l ª il y ª column: Es c.l. de l ª y ª, como sle igul cero seguimos orlndo con l ª il y ª column: Es c.l. de l ª y ª, tmbién sle igul cero. Como todos los posibles menores que puedo ormr l orlr el menor con los elementos de l ª il son todos nulos esto me indic que l il ª tmbién es combinción linel de ls ils que ormn el menor es decir de ls dos primers ils. Es c.l. de l ª y ª Es c.l. de l ª y ª Ls dos primers ils son independientes y que contienen un menor de orden no nulo. es comb. linel de y. es comb. linel de y. Como () rg número de ils linelmente independientes, entonces ) ( rg ) Clculr el rngo de C Primero prtimos de un menor de orden distinto de cero: como el menor es distinto de cero, ls dos primers ils son linelmente independientes ) ( rg. Orlmos este menor con l tercer il: (ª il y ª column)

25 , seguimos orlndo con l ª il y ª column: Desrrollndo por djuntos en l tercer il: ( ) ls tres primers ils son linelmente independientes y que se puede ormr un menor de orden no nulo, ) ( rg, orlmos este menor de orden con l ª il. Desrrollmos por djuntos en l tercer il Desrrollmos por djuntos en l primer il ( ) ( ) Como tenemos un menor de orden no nulo, esto me indic que ls ils que ormn el menor son independientes, por tnto ) ( rg. Clculr el rngo de C Seleccionmos un menor de orden dos no nulo: como el menor es distinto de cero, ls dos primers ils son linelmente independientes ) ( C rg. Orlmos este menor con l tercer il: (ª il y ª column)

26 , como sle igul cero seguimos orlndo con l ª il y ª column:, como sle igul cero seguimos orlndo con l ª il y ª column:, como sle igul cero, y no podemos seguir orlndo, deducimos que l il ª es combinción linel de ls dos primers: es combinción linel de y. Por tnto: y son independientes. es comb. linel de y Como el rngo es el número de ils o columns linelmente independientes, concluimos: rg ( C) Un vez relizdos los ejercicios nteriores, podemos irmr: El rngo de un mtriz es el orden del menor de myor orden no nulo. Por lo generl: cundo tenemos que estudir el rngo de un mtriz en l que precen prámetros, b, c, m, n,,es preerible clculr el rngo usndo determinntes, usr el método de Guss.