UNIDAD 3 FUNCIONES, MATRICES Y DETERMINANTES. Matrices. Dr. Daniel Tapia Sánchez

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1 UNIDD FUNCIONES, MTRICES Y DETERMINNTES Matrices Dr. Daniel Tapia Sánchez

2 Estos son los temas que estudiaremos:.7. Concepto de matriz e igualdad de matrices.7. Clasificación de matrices según sus elementos.7. Clasificación de matrices según su forma.8 Operaciones con matrices.8. Suma.8. Producto.8. Potencia

3 Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. ª columna ª fila a a a... a n a a a... a n a a a... a n a m a m a m... a mn = (a ij ) Dimensión de la matriz mn Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

4 Juan, na y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:. Juan compró dos ocadillos, un refresco y un pastel.. na se llevó un ocadillo, un refresco y un pastel.. Elena compró un ocadillo y un refresco. Estos datos se pueden agrupar en una matriz

5 El sistema x 5y z x - 4y z Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: = 5 4 Tiene la siguiente matriz ampliada: * = 5 4 Tiene la siguiente expresión matricial: 5 4 x y z =

6 Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales. Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por deajo de la diagonal son ceros. Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros. Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos. Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es. O O 4 6 T D I 4 5 T

7 Matriz fila: = ( ) Matriz columna: = 4 6 Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que: 4 a a ij ji Matriz cuadrada: = Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica que: Diagonal secundaria Diagonal principal

8 .7 Operaciones con matrices.7. Suma de matrices Para sumar dos matrices y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si = (a ij ) y B = ( ij ) entonces + B = (a ij + ij ) + B = ( a ij ) + ( ij ) = a a a a 4 a a a a 4 + a a a a = 4 = a + a + a + a a + a + a + a = ( a ij + ij ) a + a + a + a Es decir, se suman los elementos de amas matrices que estén en la misma posición.

9 Propiedades de la adición de matrices Sean, B y C tres matrices del mismo orden. sociativa: + (B + C) = ( + B) + C Conmutativa: + B = B + Elemento neutro: + O = O + = donde O es la matriz nula. Elemento opuesto: + ( ) = ( ) + = O La matriz (opuesta) se otiene camiando de signo los elementos de.

10 .7. Producto de un número por una matriz Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Si = (a ij ), entonces k = (ka ij ) k. = k. (a ij ) = k a a a ka ka ka a a a = ka ka ka = ( ka ij ) a a a ka ka ka

11 Propiedades suma y producto por un número Sean y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales. Distriutiva I: k( + B) = k + kb Distriutiva II: (k + h) = k + h Elemento neutro: = sociativa mixta: k(h) = (kh)

12 .7. Producto de matrices El producto de la matriz por la matriz = (a ij ) = B = ( ij ) = a a a... a n a a a... a n a a a... a n a m a m a m... a mn.. n.. n.. n p p p.. np es la matriz C = B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: c ij = a i. j + a i. j a in. nj

13 Ejemplo: producto de matrices. El producto de = de por cada columna de B. por la matriz B = multiplicando cada fila B =. = 6 6. Qué dimensiones tiene la matriz producto? (a ij ),. ( ij ), = (c ij ), producto posile

14 Cuándo es posile el producto de matrices? filas (a ij ) m,n. ( ij ) n,p = (c ij ) m,p Posile columnas El producto de matrices es posile cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

15 Propiedades del producto de matrices (I) I. Propiedad asociativa. Para las matrices de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr.. (B. C) = (. B). C II. Elemento neutro. Si es una matriz mxn, y I m = e I n = las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene: I m = I n = III. Propiedad distriutiva a la izquierda. Para las matrices de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.. (B + C) =. B +. C IV. Propiedad distriutiva a la derecha. Para las matrices de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp. ( + B). C =. C + B. C

16 Propiedades del producto de matrices (II) I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado. II. Si. B = O entonces no siempre ocurre que = O ó B = O.. Ejemplo: unque forman el producto es la matriz nula. = ninguno de los factores que III. Si. C = B. C y C O, entonces no necesariamente = B. IV. ( + B) +. B + B salvo que y B conmuten. V. ( B). B + B salvo que y B conmuten. VI. B ( B). ( + B) salvo que y B conmuten.

17 .7.4 Potencia de una matriz Si es una matriz cuadrada, las potencias de, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma. n = n veces Ejemplo: veces - n n n n n L

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