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- Victoria Espinoza Ávila
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1 el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág. DEFINICIONES Un cden de iends de elecrodomésicos dispone de curo lmcenes. En un deermindo momeno ls exisencis de lvdors, frigoríficos y cocins son ls siguienes: Almcén : lvdors, 8 frigoríficos y cocins. Almcén : lvdors, 8 frigoríficos y 9 cocins. Almcén : lvdors, frigoríficos y cocins. Almcén : 7 lvdors, frigoríficos y cocin. Los dos correspondienes ls exisencis en los lmcenes se pueden disponer de form orgnizd del modo siguiene: Es disposición de números recie el nomre de mriz. Sus elemenos precen dispuesos en fils (línes horizonles) y columns (línes vericles). Es mriz iene fils y columns, lo que se resume diciendo que es un mriz de dimensión x. 9 Pr un esudio generl, ls mrices se ls suele designr sí: A m m És es un mriz de m fils y n columns. Es decir, de dimensión m x n. Arevidmene se simoliz sí: A m,n=( i j) m,n Oserv que los érminos de l mriz ienen dos suíndices: el primero indic l fil; el segundo, l column. Según l dimensión de un mriz, és se denomin de l siguiene form: Mriz recngulr, si mn. Mriz cudrd, si m=n. Se deno A n. Mrices recngulres priculres son: Mriz fil, cundo m=: Mriz column, cundo n=: A A, n n m. m, m n n n mn
2 el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág. Mrices cudrds priculres frecuenes son: Mriz ringulr, cundo i,j=, pr i > j o i < j; es decir, son cero odos los elemenos por encim o por dejo de l digonl. n n n nn ; n Mriz digonl es l mriz digonl en l que i,j= pr odo ij. Mriz esclr es l mriz digonl en l que i,j=k, pr odo i=,,., n: k k Mriz unidd (escri I n o E n) es l mriz esclr en l que ii=, pr odo i=,,..,n: k Mriz cero o mriz nul (escri n) es l mriz esclr en l que ii=, pr odo i=,,,n: Dos mrices del mismo orden, A m,n y B m,n son igules cundo ienen igules sus érminos correspondienes. Pr un mriz A m,n se llm mriz rspues l mriz A n,m en l que se hn inercmido ls fils por ls columns. Si un mriz cudrd A n es igul su rspues, se llm mriz siméric. n nn k n nn
3 el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág. OPERACIONES CON MATRICES Adición de mrices: Dds dos mrices del mismo orden A m,n y B m,n, se llm mriz sum lgeric l mriz S m,n, cuyos elemenos son l sum de los elemenos correspondienes de ls mrices A m,n y B m,n. Si A, B y C son mrices del mismo orden, l dición de mrices iene ls siguienes propieddes: Asociiv: A+(B+C)=(A+B)+C Conmuiv: A+B=B+A Exisenci de mriz nul: +A=A; A+=A Exisenci de mriz opues: A+(-A)=; (-A)+A= L mriz opues -A de un mriz A se oiene cmindo de signo odos los elemenos de l mriz A. Muliplicción de un número rel por un mriz: Pr un número rel culquier k y un mriz A m,n se define como produco de k por A m,n l mriz que resul de muliplicr cd elemeno de A m,n por k. k k k k Muliplicción de mrices: Sen A m,n y B n,p dos mrices cuyo produco se v clculr. L condición que se impone pr que se puedn muliplicr es que el número de columns n de l primer mriz se igul l número de fils de l segund mriz. L mriz produco C es l resulne de ls sums de los producos de los elemenos de ls fils de l primer mriz por los elemenos de ls columns de l segund mriz. Tendrá por no, m fils (el mismo número que ls de l primer mriz) y p columns (el mismo número que ls de l segund mriz). C m,p Los elemenos de l mriz produco c i,j (i=,, m; j=,, p) son: c i,j= i j+ i j+..+ in kj k k k k k k = FILA COLUMNA ELEMENTO, Propieddes: Asociiv: A (B C)=(A B) C Disriuiv respeco de l dición: A (B+C)=A B+A C; (A+B) C=A C+B C Exisenci de mriz unidd: A I=A; I A=A Sin emrgo, en generl, no es conmuiv. Dds dos mrices A y B del mismo orden, se verific: (A ) =A (A+B) =A +B (k A) =k A (A B) =B A
4 el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág. TRASPOSICIÓN DE MATRICES Trsposición de mrices: Se llm mriz rspues de un mriz A de dimensión m x n l mriz que se oiene l cmir en A ls fils por columns o ls columns por fils. Se represen A y su dimensión es n x m. Si l mriz es cudrd, su rspues iene el mismo orden. Propieddes de l rsposición de mrices: A A A B A B k A k A, conk R A B B A Mriz siméric: Se llm mriz siméric od mriz cudrd A que coincide con su rspues: A A. Se llm mriz siméric od mriz cudrd que iene igules los elemenos siméricos respeco l digonl principl. A x y Mriz nisiméric: Se llm mriz nisiméric (o hemisiméric) od mriz cudrd A que coincide con l opues de su rspues: A A. Se llm mriz nisiméric od mriz cudrd que iene opuesos los elemenos siméricos respeco l digonl principl y nulos los elemenos de és. A x y x z x z y z c y z MATRIZ INVERSA Dd un mriz cudrd A, exise or mriz B l que A B=I? No siempre exise es mriz. Cundo exise, recie el nomre de mriz invers de A y demás verific que B A=I. L mriz invers de A (cundo exise) se represen por A -. Un mriz cudrd es regulr si iene invers. En cso conrrio, se dice que es singulr. Uno de los méodos de cálculo de l mriz invers es plicndo l definición. Oro se s en el méodo de Guss. Consise en colocr l mriz A y, coninución, y seprd por un líne vericl, l mriz idenidd. A coninución, se somee l mriz A los cmios que conveng pr rnsformrl en I y, simulánemene, se somee I los mismos cmios. Cundo A se h rnsformdo en I, I se hrá rnsformdo en A -. Pr l plicción del méodo de Guss es conveniene que el primer elemeno de l mriz se un. Pr conseguir rnsformr l mriz A en l mriz I, se pueden efecur con ls fils de l mriz ls siguienes operciones: -Muliplicr un fil por un número disino de cero. -Sumr un fil el resuldo de muliplicr or por un número.
5 el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág. RANGO DE UNA MATRIZ. CÁLCULO DEL RANGO Un colección de n números reles ddos, se llm vecor. Un cominción linel (C.L.) de vrios vecores con el mismo número de elemenos es el resuldo de muliplicr cd uno de ellos por un número y sumrlos. Ejemplo: Un cominción linel de res vecores: ( ) + ( ) = ( 9 ) Vrios vecores son linelmene dependienes (L.D.) cundo lguno de ellos se puede poner como cominción linel de los demás. Ejemplo: ( ), ( ) y ( 9 ) son L.D. pues el ercero, como hemos viso, es cominción linel de los dos primeros. Vrios vecores son linelmene independienes (L.I.) cundo ninguno de ellos se puede poner como cominción linel de los demás. Ls fils (o columns) de un mriz son vecores. Enre ls fils (o columns) de ls mrices pueden exisir relciones de dependenci linel o puede que sen linelmene independienes. Ejemplo: En 9, l ercer fil es cominción linel de l primer y l segund. Decimos que l ercer fil depende linelmene de l primer y l segund o que ls res son linelmene dependienes. Pr hllr el rngo de un mriz podemos uilizr el méodo de Guss, de form que dicho rngo coincide con el número de fils (o columns) no nuls, ni proporcionles de l mriz ringulr oenid rs l plicción del menciondo méodo. Ejemplo: A F F F F F F F F FF+F En l mriz ringulr, el número de fils no nuls es dos, por no, rngo(a) = rg(a) =. DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN Un deerminne de un mriz cudrd es un número que se oiene prir de los elemenos de l mriz. Dd un mriz cudrd de segundo orden A deerminne de segundo orden, es el número -, que se represen por Es decir: de A A., el deerminne de l mriz, o.
6 el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág. Es igul l produco de los elemenos de l digonl principl menos el produco de los elemenos de l digonl secundri. De l definición se siguen inmedimene ls siguienes propieddes:. El deerminne de un mriz coincide con el de su rspues: 7 7 Es propiedd nos permie no disinguir enre ls fils y ls columns de un deerminne, y que si un propiedd es válid pr ls fils lo será mién pr ls columns. Por es rzón hlremos de propieddes de ls línes de los deerminnes, sin especificr si se r de fils o de columns.. Si los elemenos de un líne son, el deerminne es : 7 7. Si los elemenos de un líne se muliplicn por un número, el deerminne qued muliplicdo por ese número:. Si ls dos fils o ls dos columns son proporcionles, el deerminne es cero (en priculr, si dos línes son igules, el deerminne es ): 7 8. Si cmimos de lugr ls dos fils (o ls dos columns) el deerminne cmi de signo: 9 9. Si los elemenos de un líne les summos los de l or el deerminne no vrí: 7. Si los elemenos de un líne les summos los de l or muliplicdos por un número, el deerminne no vrí: 8 Análogmene los de orden, un deerminne de orden es un número socido un mriz x. Vemos cómo se oiene: Es fácil recordr el desrrollo de un deerminne de ercer orden medine l regl de Srrus:
7 el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág.7 Los producos con signo más (+) esán formdos por los elemenos de l digonl principl y los de ls digonles prlels con su correspondiene vérice opueso. Análogmene se formn los producos con signo menos (-) pero omndo hor como referenci l digonl secundri. MATRIZ ADJUNTA En un mriz cudrd de orden n, se llm menor complemenrio de un elemeno ij, y se design por ij, l deerminne de l mriz de orden n- que resul de prescindir en l nerior de l fil i y l column j. Por ejemplo, en l mriz: el menor complemenrio del elemeno es Se llm djuno de un elemeno ij, y se design por A ij, l número (-) i+j ij. Es decir, el djuno de un elemeno es igul su menor complemenrio con su signo o con signo cmido, según que i+j (l sum de los índices de su fil y su column) se pr o impr. En l prácic pr decidir el signo del djuno de un elemeno, irímos recorriendo los elemenos de l mriz desde el primero hs el elemeno correspondiene en dirección horizonl o vericl (nunc olicu), diciendo "más, menos,". Dd un mriz cudrd A, se llm mriz djun de A, y se represen por Adj(A), l mriz que se oiene l susiuir cd elemeno ij por su djuno correspondiene A ij. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR ADJUNTOS El deerminne de un mriz cudrd de orden n es igul l sum de los elemenos de un líne (fil o column) culquier por sus djunos respecivos: A de A j A j j A j nj A nj
8 el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág.8 Ejemplo: Desrrollndo por l primer fil: 8 Desrrollndo por l segund column: 8 8 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. El vlor del deerminne de un mriz coincide con el vlor del deerminne de su mriz rspues.. Si odos los elemenos de un líne son, el vlor del deerminne es.. Si se muliplicn odos los elemenos de un líne por un mismo número, el vlor del deerminne qued muliplicdo por dicho número.. Cundo en un deerminne precen dos línes prlels igules, el vlor del deerminne es cero.. El vlor de un deerminne que iene proporcionles dos línes prlels es cero.. Si se cmin enre sí dos línes prlels (sin lerr el orden de los elemenos que ls formn), el vlor del deerminne cmi de signo, pero no su vlor soluo. 7. Si un mriz es l que un líne es cominción linel de ors prlels, el vlor de su deerminne es. 8. El vlor del deerminne no cmi si se sum un líne (culquier) un cominción linel de ors línes prlels ell. 9. Si dos (o más) deerminnes ienen igules, respecivmene, ods sus fils (columns) slvo un de ells, su sum es oro deerminne que iene ls misms fils (columns) igules, con excepción de l fil (column) desigul, que iene por elemenos l sum de los elemenos de ls fils (columns) desigules.. k A k n A. A B A B. I. El deerminne de un mriz ringulr digonl es igul l produco de los elemenos de l digonl principl. REGLA DE CHIO El méodo de Chio consise en hcer cero el myor número posile de elemenos de un líne uilizndo ls propieddes de los deerminnes y poseriormene desrrollr el deerminne por los djunos de los elemenos de es líne en l que hemos hecho ceros.
9 el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág.9 CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES Pr que un mriz cudrd, A, eng invers, A -, es necesrio y suficiene que su deerminne se no nulo. En l cso A - dop l siguiene expresión: A A AdjA Pr evir errores podemos proceder pso pso, del siguiene modo: Formmos un mriz con los menores complemenrios de cd elemeno. Cmimos de signo lernivmene pr oener los djunos. Ponemos l rspues de l mriz que enemos. Dividimos cd elemeno por A, (slvo que no sen divisiles y resule más cómodo scr fcor común / A ). T CÁLCULO DEL RANGO POR DETERMINANTES Hemos viso que el rngo de un mriz es el número de fils linelmene independienes, que coincide con el número de columns linelmene independienes. De l propiedd 7 de los deerminnes, se deduce que: "L condición necesri y suficiene pr que un deerminne se cero es que sus fils sen linelmene dependienes, es decir, que lgun fil se pued poner como cominción linel de ls demás". Un menor de un mriz es culquier mriz cudrd que pued formrse con los elemenos de l mriz originl respendo su disriución en fils y columns. Rngo de un mriz es el orden del myor menor no nulo, es decir, el rngo de A es h si A iene lgún menor de orden h disino de cero, y odos los menores de orden superior h son nulos. Pr clculr el rngo de un mriz, como es lógico, no hy que empezr por oener odos sus menores. Empezmos por enconrr un menor de orden no nulo. A prir de ese menor, ñdiendo elemenos de or fil y or column, formmos menores de orden de ods ls mners posiles hs enconrr uno cuyo deerminne se mién disino de cero. Se repie l operción con ese nuevo menor. Si se se que lgun de ls línes es cominción linel de ors, se suprime pr efecos del cálculo del rngo. Ejemplo: Clcul el rngo de l mriz: Resolución: - Empezmos por descr un menor de orden no nulo (eso se hce ojo). Procurmos, mién, que se lo más fácil posile. Esá señldo. Eso nos grniz que ls dos primers fils son l.i. Vemos si l ercer depende linelmene de ells o no. Pr ello, ñdimos los elemenos - y - y clculmos los siguienes deerminnes de orden
10 el log de me de id CSII: mrices y deerminnes pág. - - =; =; ª col. ª col. El que esos res deerminnes sen cero signific que ls columns señlds son cominción linel de ls ors dos. Por no, l sumriz formd por ls res primers es de rngo. Signific que l ercer fil es cominción linel de ls ors dos. Y l chmos. L mriz es, pues, de rngo.
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