ÁLGEBRA II (LSI PI) VALORES Y VECTORES PROPIOS UNIDAD Nº 6. Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

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1 6 ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 6 VALORES Y VECTORES PROPIOS Facultad de Cecas Exactas y Tecologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO aa Error! No hay texto co el estlo especfcado e el documeto.

2 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE.- Valores y Vectores Propos de ua matrz Recordemos que toda matrz m A F determa de modo atural ua trasformacó leal m T F F defda por. E muchas aplcacoes resulta ecesaro ecotrar ectores, s exste, tales que A y (o be T() y ) resulte paralelos, es decr buscamos u ector y u escalar tal que A o be, es fácl adertr que para estos casos m debe ser gual a. Este tpo de problema se preseta e dersas aplcacoes relacoadas co la físca, químca, bología, etc. Defcó Sea que x A F. F es u alor propo de A s y sólo s exste algú ector o ulo A. Defcó x x F tal S F es u alor propo de A F. Los ectores o ulos F que erfca la codcó A se deoma ectores propos de A asocados al alor propo. Notas.- So sómos a) Valor propo, alor característco, raz característca, autoalor, egealor, alor espectral b) ector propo, ector característco, autoector, egeector 3.- S es u ector propo de A asocado a u alor propo, etoces A es u múltplo escalar de, ya que A. E el caso e que etoces y A so paralelos, por defcó de paralelsmo de ectores. 4.- Los alores y ectores propos tee ua terpretacó geométrca útl e los espacos ectorales reales R y R 3. Esto es así, ya que s es u ector propo de ua matrz A R x (o R 3x3 ), asocado a u alor propo, etoces la accó dela matrz A sobre hace que éste se dlate, se cotraga, erta su setdo, etc. segú sea el alor de. x Eemplo Sea A O O > << 3, y ' 3 etoces 3 4 A de modo que O -<< http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6

3 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE es u ector propo asocado al alor propo y el efecto que produce A sobre el ector es premultplcarlo por, luego y so paralelos. Por otro lado 3 3 A ' 3 3 Luego o es u ector propo de pues o es múltplo escalar de, es decr y o so paralelos. Espaco propo Proposcó El couto E de los ectores subespaco ectoral de V. Esto es Demostracó Queda para el alumo. x F tales que erfca la codcó A es u { F x / A } V E Defcó 3 El couto x F E de los ectores espaco propo correspodete al alor propo. tales que erfca la codcó A se deoma Proposcó x Sea A F. El couto de ectores propos de A asocados a alores propos dferetes es lealmete depedete. Demostracó Sea,,, ectores propos de A asocados a,,, F respectamete, tales que, s. Es decr, A, co, s. Debemos probar que {,,, } es lealmete depedete, es decr que debemos probar que es erdadera la sguete proposcó (*) N; a,, ; a Para ello, emplearemos el Prcpo de Iduccó Matemátca e S, etoces a a http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6 3

4 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE es lealmete depedete. Luego, la proposcó (*) es erdadera para, ya que es ector propo y por lo tato por lo tato{ } S supoemos que la proposcó (*) es erdadera para també lo es para h +. h, etoces debemos probar que E esta stuacó la hpótess ducta es la proposcó (*) es erdadera para que el couto {,,, } es lealmete depedete. h h, es decr Debemos probar que la proposcó (*) es erdadera para h +, es decr que el couto {,,, h, } es lealmete depedete. Para ello tomemos la sguete combacó leal, de alor, de estos h + ectores propos h + a () Multplcamos por A e ambos membros de (), A a A Por propedades del álgebra de matrces, resulta a A Por hpótess A, co, s etoces reemplazado e la expresó precedete se tee h + a () Ahora, multplcamos ambos membros por e () a Por propedad dstrbuta del producto de u escalar por ua combacó leal, es h + a Como el producto es comutato e el cuerpo F, resulta h + S restamos membro a membro (3)-(), teemos a a (3) a y realzado las operacoes correspodetes, obteemos http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6 4

5 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE esto es, a h a ( ) ( ) + a ( ) + + a ( ) h h h Obseremos que ésta expresó es ua combacó leal de alor de ectores del couto {,, h }, que es lealmete depedete por hpótess ducta, de modo que los escalares debe ser smultáeamete ulos. Es decr, ( + ) a ( ) a h + a a h a a h ( ) h h Esto es así ya que los alores propos so dferetes etre sí, por hpótess del teorema, por lo tato los escalares so smultáeamete ulos a a a h Reemplazado e () el alor de estos escalares, obteemos de dode, a a h ya que + por ser ector propo de A. Luego {,,,, } h + h + h es lealmete depedete, y por lo tato la proposcó (*) es erdadera. a Q.E.D. Obseracó La proposcó recíproca de la Proposcó es falsa, pues puede ocurrr que u couto de ectores propos sea lealmete depedete y estos ectores esté asocados a alores propos o ecesaramete dsttos, hasta puede ocurrr que todos los alores propos sea guales. Tal es el caso de la matrz detdad de orde 3, e dode el couto de ectores propos {(,, ), (,, ), (,, )} es lealmete depedete y estos ectores propos está asocados al alor propo 3. Proposcó 3 Sea x A F, F es u alor propo de A s y sólo s la matrz I A es sgular (o ersble), sedo I la matrz udad de orde. Demostracó x F es u alor propo de A F, tal que A x F tal que I A F x I A tal que ( ) http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6 5

6 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE el sstema de ecuacoes homogéeo ( ) la matrz I A o es ersble (es sgular). I A es compatble determado Defcó 4 Sea A F. I A se deoma Matrz Característca. det ( I A) se deoma Polomo Característco. Es u polomo de grado e la arable co coefcetes e el cuerpo F. La otacó usual es P( ) det( I A). det ( A) I se deoma Ecuacó Característca. Es ua ecuacó de grado e la arable co coefcetes e el cuerpo F. Nota Por el Corolaro del Teorema Fudametal de Álgebra, la ecuacó característca det ( A) I admte exactamete raíces. Estas raíces puede o o perteecer al cuerpo F. Úcamete las raíces perteecetes al cuerpo F so los alores propos de la matrz A F. Procedmeto para determar los alores y ectores propos Sea x A F. I. det ( A) I de la matrz A.. Las raíces de esta ecuacó perteecetes al cuerpo F so los alores propos II. Para cada alor propo F, formamos el sstema de ecuacoes leales homogéeo ( I A), dode es el ector cógta. De cada uo de estos sstemas de ecuacoes leales se determa el couto solucó, que es precsamete el espaco propo correspodete al alor propo. III. Determamos ua base B de cada espaco propo. Cada ua de estas bases está formada por los ectores propos lealmete depedetes asocados al alor propo. Proposcó 4 Los alores propos de ua matrz tragular so los elemetos de su dagoal prcpal. Demostracó x Sea A F, ua matrz tragular superor, dada por A a a a a a a 3 a Es claro que s calculamos el polomo característco de A teemos. http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6 6

7 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE a a a a ( )( ) ( ) det( I A) a a a a Ahora cosderamos la ecuacó característca ( A) det, I esto es, ( a )( a )( a ) a a 3 Al resoler la ecuacó característca, obseramos que las raíces so precsamete los elemetos de la dagoal prcpal de la matrz tragular superor A, esto es, a a a es decr, que los alores propos de la matrz A so los elemetos de su dagoal prcpal. E forma aáloga procedemos s la matrz A es ua matrz tragular feror. Q.E.D. Proposcó 5 Los alores propos de ua matrz dagoal so los elemetos de su dagoal prcpal. Demostracó (Queda para el alumo) Semeaza de Matrces Defcó 5 Sea dos matrces A, B F. A es semeate a B s y sólo s exste ua matrz P F ersble, tal que B P A P. Proposcó 6 La relacó de semeaza de matrces es ua relacó de equaleca. Demostracó La relacó de semeaza de matrces es Reflexa http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6 7

8 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE Sea la matrz A F. Es claro que A es semeate a A, ya que exste la matrz udad I d F, que es ersble, tal que A I d AI d ) La relacó de semeaza de matrces es Smétrca Sea dos matrces A. A, B F. Probaremos que s A es semeate a B, etoces B es semeate a Como A es semeate a B, etoces exste ua matrz B P P F A P ersble, tal que Multplcamos e ambos membros a la zquerda por P y a la derecha por P -, y teemos P B P P (P A P)P como el producto de matrces es asocato resulta P B P (P P ) A (PP ) de aquí se sgue P B P A Luego B es semeate a A, ya que P es la ersa de P. ) La relacó de semeaza de matrces es Trasta Sea tres matrces A, B, C F. Probaremos que s A es semeate a B y B es semeate a C, etoces A es semeate a C. Como A es semeate a B y B es semeate a C etoces, exste dos matrces ersbles P, S F tales que etoces, B P A P C S B S C S ( P A P ) S y como la multplcacó de matrces es asocata, resulta C ( S P ) A (P S) empleado la propedad de la ersa del producto de matrces ersbles (, obseramos que exste ua matrz ersble P S F tal que por lo tato A es semeate a C. C (P S) A (P S) Falmete de ), ) y ) se sgue que la relacó de semeaza de matrces es ua relacó de equaleca. Q.E.D. Nota E adelate, s ua matrz A es semeate a otra matrz B dremos smplemete que A y B so semeates, esto es debdo a que la equaleca de matrces es ua relacó de equaleca. http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6 8

9 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE Proposcó 7 S dos matrces so semeates etoces tee el msmo polomo característco y por lo tato tee los msmos alores propos. Demostracó Sea A, B F matrces semeates y sea que det ( I - B) det (I - A) E efecto, ( I B) ( I P A P) ( I ( P P P A P ) P F ersble tal que B P A P. Probaremos det det det ) ( P I P P A P) ( P ( I A) P ) ( P ) ( I A) ( P ) det ( ) det det det det ( P ) ( P) ( I A) ( P P) ( I A) ( I ) ( I A) det det det det det det det ( I A) det Eemplo Las matrces ersble, tal que 3 A y B P AP. http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6 9 Q.E.D. 3 B so semeates, ya que exste la matrz P E efecto, P es ersble pues es fácl er que det ( P) y calculado coeete resulta, P 3 3 luego B P AP. El polomo característco para las matrces A y B está dados por P por el método más 3 3 det ( I A) det det ( 3)( ) det ( I B) det det ( 3)( ) por lo que ambas matrces tee el msmo polomo característco y por lo tato los msmos alores propos como alores propos 3, Obseracó El recíproco de la Proposcó 7 es falso, ya que dos matrces puede teer los msmos alores propos s ser matrces semeates.

10 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE Eemplo La matrz I tee por alores propos los elemetos de la dagoal prcpal por ser ua matrz dagoal, segú Proposcó 5, ; La matrz B tee por alores propos los elemetos de la dagoal prcpal por ser ua matrz tragular, segú Proposcó 4,. Ambas matrces tee los msmos alores propos, s embargo o so semeates ya que o exste ua matrz P ersble que satsfaga B P I P (*) pues al ser I el eutro para el producto de matrces, la gualdad (*) se reducría a B P P pero esto o es posble ya que el producto P P es la matrz detdad y B I. Matrces Dagoalzables Defcó 6 Sea A F. La matrz A es dagoalzable s y sólo s exste ua matrz dagoal D F x tal que A es semeate a D. Obseracoes.- Como mos e la Proposcó 7, s ua matrz A es semeate a ua matrz D, etoces resulta que A y D tee los msmos alores propos. Además, la Proposcó 5, asegura que s D es ua matrz dagoal etoces los alores propos de D so los elemetos de su dagoal prcpal. De estos resultados se desprede que s ua matrz A es semeate a ua matrz dagoal D etoces los alores propos de A so precsamete los elemetos de la dagoal prcpal de la matrz dagoal D y por Defcó 6 la matrz A es dagoalzable..- Empleado las defcoes 6 y 5 podemos realzar el sguete razoameto, A F es dagoalzable exste ua matrz dagoal D F por Def. 6 exste ua matrz ersble P F tal que D P - A P por Def. 5 tal que A es semeate a D 3.- De las obseracoes y podemos adertr que la matrz ersble P dagoalza a la matrz A y la matrz dagoal D semeate a A, tee e su dagoal prcpal a los alores propos de la matrz A. Proposcó 8 Ua matrz A F es dagoalzable s y sólo s A tee ectores propos que forma u couto lealmete depedete. E tal caso la matrz dagoal D semeate a la matrz A está dada por, D F http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6

11 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE dode,,, so los alores propos de A. S P F es ua matrz cuyas columas so ectores propos lealmete depedetes de la matrz A etoces D P A P. Demostracó a) Supogamos que tee ectores lealmete depedetes,,, respectamete asocados a los alores propos,,, (o ecesaramete dferetes) de la matrz A. Es decr, A, A, A () Probaremos que la matrz A es dagoalzable. Para ello, sea P F la matrz cuyas columas so las compoetes delos ectores propos,,, de la matrz A, esto es, p p p p p p p p P p p p p p p, co x F,,, p S calculamos a a a p p p p a a a p p p p AP a p a a p p p podemos obseremos que las compoetes de la columa -ésma de compoetes del ector A, es decr Por lo tato, A luego, por (), se tee p a a a a p a p a p p a a a a p + a p + + a p a a a a p + a p + + a p p A P A A A A A P () A P so guales a las http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6

12 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE Por otro lado,s calculamos p p p p p p p p PD p p p p obteemos, p p p p p p p p PD p p p p y podemos obserar que las compoetes de la columa -ésma de so guales alas compoeetes del ector, esto es P p p p p p p, por lo tato podemos escrbr smbólcamete, PD (3) Teedo e cueta () y (3) se sgue que y como {,, }, P D A P (4) es lealmete depedete, etoces P es ersble, por lo tato s multplcamos a zquerda e ambos membros de (4) por P -, resulta D P A P (5) Es claro que D es ua matrz dagoal semeate a A, ya que exste ua matrz P ersble que erfca la gualdad (5), luego, por Defcó 6, A es dagoalzable. b) Ahora demostraremos el sguete codcoal, http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6

13 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE S la matrz A es dagoalzable, etoces A tee ectores propos que forma u couto lealmete depedete. Por hpótess la matrz A es dagoalzable, etoces por Defcó 6 exste ua matrz dagoal D semeate a A, y e cosecueca por Defcó 5, exste ua matrz P ersble tal que D P A P (α) multplcamos a zquerda e ambos membros de (α) por P y resulta P D P ( P A P) aplcado la propedad asocata del producto de matrces teemos luego P D ( P P ) A P P D A P (β) Ahora, s a la matrz dagoal D la represetamos por D F, dode,,, o so ecesaramete dferetes. Y s a la matrz P la expresamos a traés de sus columas, es decr P F, co columa de P;,, etoces los productos PD y AP expresados e térmos de sus columas so y PD (δ) A P A A A A (ρ) Luego, de (β), (δ) y (ρ) se sgue que las respectas columas de PD y de AP so guales es decr A, A,, A Esto os dca que,,, so ectores propos de A asocados a los alores propos,,, respectamete; y como P es ersble etoces {,,, } es lealmete depedete. Q.E.D. http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6 3

14 Facultad de Cecas Exactas y Tecologías - UNSE Corolaro S A F admte alores propos dferetes etoces A es dagoalzable. Demostracó Por hpótess la matrz A tee alores propos dferetes. Sea,,, los alores propos dferetes de la matrz A, y sea,,, ectores propos de A asocados a cada uo de los alores propos respectamete, esto es A, A,, A, etoces, por Proposcó, el couto {,,, } es lealmete depedete. Esto es, la matrz A tee ectores propos que forma u couto lealmete depedete, etoces por la Proposcó 8 resulta que A es dagoalzable. Teorema de Cayley-Hamlto (s demostracó) Q.E.D. Toda matrz A F es u cero de su polomo característco http//algebra-leal.blogspot.com Udad 6 4