PRELIMINARES. En este capítulo vamos a dar, sin ser muy estrictos, algunas nociones necesarias para la compresión de la asignatura.

Transcripción

1 1 PRELIMINARES 1. CONJUNTOS En este capítulo vamos a dar, sin ser muy estrictos, algunas nociones necesarias para la compresión de la asignatura. 1.1 Def:. Se define un conjunto como una colección de objetos. Un conjunto quedará determinado por una propiedad que caracterice a los elementos que lo forman. 1.2 Ejemplos. (a) El conjunto de los números naturales, N. (b) El conjunto de los numeros naturales que son pares. (c) A = {1, 2, a}; B = {a, b, c}; C = {2, 3, 5, 7, 11}. 1.3 Notación. En general, los conjuntos los denotaremos por letras mayúsculas mientras que los elementos serán denotados por letras minúsculas. 1.4 Def:. Diremos que un elemento a pertenece a un conjunto X, y lo denotaremos por a X, si a es uno de los miembros de X. Si a no es miembro de X diremos que a no pertenece a X y lo denotaremos por a X. 1.5 Def:. Sean X, Y dos conjuntos. Diremos que X es un subconjunto de Y, y lo representaremos por X Y, si todo elemento de X es elemento de Y, es decir, X Y a X, a Y 1.6 Def:. Sean X, Y dos conjuntos. Diremos que X es igual a Y, y lo representaremos X = Y, si X Y e Y X. 1.7 Def:. Definimos el conjunto vació como aquél que carece de elementos, lo representamos por. 1.8 Def:. Dado un conjunto X definimos el conjunto partes de X, y lo representamos por P(X) como el conjunto que tiene por elementos los subconjuntos de X. 1.9 Ejemplo. Para A = {1, 2, a}, se tiene que P(A) = {, {1}, {2}, {a}, {1, 2}, {1, a}, {2, a}, {1, 2, a}}.

2 2 Observar que si un conjunto X tiene n elementos, P(X) tiene 2 n elementos. 2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 2.1 Def:. Dados dos conjuntos X, Y, se define la unión de X con Y y se representa por X Y a un nuevo conjunto que tiene por elementos tanto los elementos de X como los de Y. X Y = {z z X ó z Y } 2.2 Def:. Dados dos conjuntos X, Y, se define la intersección de X con Y y se representa por X Y a un nuevo conjunto que tiene los elementos que están tanto en X como en Y. X Y = {z z X y z Y } 2.3 Def:. Dados dos conjuntos X, Y, se define la diferencia de X con Y y se representa por X Y al conjunto formado por los elementos de X que no están en Y. Es decir, X Y = {z X z Y } 2.4 Def:. Dados dos conjuntos X, Y, con X subconjunto de Y se define el complemento de X en Y y se representa por X al conjunto formado por los elementos de Y que no están en X. Es decir, Observar que X = Y X. X = {z Y z X} 2.5 Def:. Dados dos conjuntos X, Y se define el producto cartesiano de X e Y y se representa por X Y como un nuevo conjunto formado por todos los pares (x, y) en donde x X e y Y. X Y := {(x, y) x X e y Y } Observar que si X tiene n elementos e Y tiene m elementos, X Y tiene nm elementos.

3 3 2.6 Ejemplo:. Dados A = {1, 2, a} y B = {a, b, c} se tiene que A B := {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (a, a), (a, b), (a, c), } 3. PROPIEDADES (i) Propiedad conmutativa: X Y = Y X; X Y = Y X. (ii) Propiedad asociativa: (X Y ) Z = X (Y Z) (X Y ) Z = X (Y Z). (iii) Propiedad distributiva:(x Y ) Z = (X Z) (Y Z) (X Y ) Z = (X Z) (Y Z) X (Y Z) = (X Y ) (X Z) X (Y Z) = (X Y ) (X Z). (iv) Propiedad Idempotente: X X = X; X X = X. (v) Leyes de simplificación: (X Y ) X = X; (X Y ) X = X. (vi) Leyes de Morgan: (X Y ) = X Y ; (X Y ) = X Y. 4. CONJUNTOS INDEXADOS Normalmente tendremos que trabajar con mas de dos conjuntos, posiblemente con una colección infinita, por tanto vamos a introducir la siguiente notación: 4.1 Notación:. Cuando tengamos una familia de conjuntos, los nombraremos por una letra (mayúscula) con subíndice. Así, diremos: dada una familia de conjuntos X n, con n N, lo que querrá decir que para cada numero natural n tendremos el conjunto X n (X 1, X 2, X 3 y sucesivos) 4.2 Ejemplo:. Consideremos para cada natural n el conjunto X n : = {x N x n} X n : = {x N x n}. 4.3 Def:. Dada una familia de conjuntos X i, se define la unión de los X i y se representa por i X i a un nuevo conjunto que tiene por elementos los elementos que pertenecen a algún X i. Es decir: i X i = {z i con z X i }

4 4 4.4 Def:. Dada una familia de conjuntos X i, se define la intersección de los X i y se representa por i X i a un nuevo conjunto que tiene los elementos que están en todos los X i. X i = {z i, z X i } i 4.5 Def:. Dada una familia de conjuntos X i, se define el producto cartesiano de los X i y se representa por Π i X i a un nuevo conjunto que tiene por elementos (x 1, x 2,...) en donde cada x i X i. 4.6 Ejemplo:. Dados A = {1, 2, a}, B = {a, b, c} y D = {α, β}, A B C = {(1, a, α), (1, b, α), (1, c, α), (2, a, α), (2, b, α), (2, c, α), (a, a, α), (a, b, α), (a, c, β), (1, a, β), (1, b, β), (1, c, β), (2, a, β), (2, b, β), (2, c, β), (a, a, β), (a, b, β), (a, c, β)} 5. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA, RELACIÓN DE ORDEN 5.1 Def:. Dado un conjunto no vacio X se define una relación en X, denotada por R, como cualquier subconjunto del producto cartesiano X X. Si un elemento (a, b) R diremos que a está relacionado con b y lo denotaremos por arb. 5.2 Ejemplo. En el conjunto de los números naturales definimos la relación ser menor que, es decir, diremos nrm si y sólo si n m. así, 3R5 si están relacionados, mientras que 5R2 no. Podemos considerar, en el conjunto de los seres humanos, la relación ser hermano de. 5.3 Def:. Sea X un conjunto no vacio y R una relación en X. Diremos que R es: Reflexiva: para todo x X, se tiene que xrx. Transitiva: Si xry e yrz, entonces xrz. Simétrica: Si xry, entonces yrx. Antisimétrica: Si xry e yrx, entonces x = y.

5 5 5.4 Ejemplo. Consideremos las siguientes relaciones: R : = {(x, y) N N x divide a y} R : = {(x, x + 1) con x N} R : = {(1, 1), (2, 2), (a, a), (1, a), (a, 1)} en A = {1, 2, a} Entonces: R es reflexiva, transitiva y antisimétrica (no es simétrica). R no tiene ninguna de las propiedades. R es reflexiva, transitiva y simétrica (no es antisimétrica). 5.5 Def:. Sea X un conjunto no vacio y R una relación en X. Diremos que R es una relación de equivalencia si verifica las propiedades reflexiva, transitiva y simétrica. 5.6 Def:. Sea X un conjunto no vacio y R una relación de equivalencia en X. Dado un elemento x X definimos la clase de equivalencia de x y la representamos por [x] o x como el conjunto: x = {y X xry} Al conjunto de todas las clases de equivalencia de elementos de X lo denotaremos por X/R o X/ = 5.7 Ejemplo. Sea A = {1, 2, a} y R = {(1, 1), (2, 2), (a, a), (1, a), (a, 1)}. Entonces A/ = = {{1, a}, {2}} 5.8 Proposición. Sea X un conjunto no vacio y R una relación de equivalencia en X. Entonces: (i) Para todo x X, se tiene que x. (ii) Dados x, y X, si x y, entonces x y =. (iii) x X x = X. Observar que la tercera propiedad lo que dice es que la unión de todas las clases de equivalencia de elementos de X es X. 5.9 Def:. Sea X un conjunto no vacio y R una relación en X. Diremos que R es una relación de orden si verifica las propiedades reflexiva, transitiva y antisimétrica. Normalmente denotaremos las relaciones de orden por el signo y diremos que el par (X, ) es un conjunto ordenado.

6 Ejemplo. Considerar la relación de mayor o igual o menor o igual en N, Q ó R. Sea A = {1, 2, a, x, y, x} entonces la relación siguiente es una relación de orden en A, R = {(1, 1), (2, 2), (a, a), (1, 2), (1, x), (1, z), (2, z), (1, y), (x, z)} Observación:. Podemos representar la relaciones de orden usando grafos, en donde una linea entre dos elementos de distinta altura significa que están relacionados y el elemento de más altura es el mayor. Así, la relación de orden anterior queda representada por el grafo: ẓ. x 2 y a Observar que el elemento a no está relacionado con ningún otro elemento de A Def:. Sea (X, ) un conjunto ordenado. Diremos que dos elementos x, y X no son comparables si no estan relacionados, es decir, si no x es menor o igual que y o y es menos o igual que x Def:. Sea (X, ) un conjunto ordenado. Diremos que es un orden total si dos elementos cualesquiera de X son comparables Def:. Sea (X, ) un conjunto ordenado. Un subconjunto Y de X es una cadena si esta totalmente ordenado, es decir, cualquier par de elementos de Y son comparables. 6. ELEMENTOS NOTABLES EN UN CONJUNTO ORDENADO Sea (X, ) un conjunto ordenado y sea Y X. 6.1 Def:. Se define una cota superior o mayorante para Y como cualquier elemento x X tal que para todo y Y, y x. x X es una cota superior y Y, y x. 6.2 Def:. Se define una cota inferior o minorante para Y como cualquier elemento x X tal que para todo y Y, y x. x X es una cota inferior y Y, x y.

7 7 6.3 Def:. Se define el supremo para Y, y se denota por 6.3(Y ), como la menor de las cotas superiores. x = Sup(Y ) x es cota superior y z cota superior x z. Cuando el supremo pertenece a Y se le denomina máximo y se le denota por max(y ) 6.4 Def:. Se define el ínfimo para Y, y se denota por 6.4(Y ), como la mayor de las cotas inferiores. x = Inf(Y ) x es cota inferior y z cota inferior z x. Cuando el ínfimo de Y pertenece a Y se le denomina mínimo y se le denota por min(y ). 6.5 Def:. Se dice que un elemento y Y es un elemento maximal de Y si no existe otro elemento en Y mayor que él. Es decir, y Y es un elemento maximal z Y y z z = y 6.6 Def:. Se dice que un elemento y Y es un elemento minimal si no existe otro elemento en Y menor que él. Es decir, y Y es un elemento minimal z Y z y z = y 7. FUNCIONES 7.1 Def:. Dados dos conjuntos no vacíos X, Y, se define una función f de X en Y, y se representa por f : X Y, como un subconjunto F X Y tal que para todo x X existe un único y Y tal que (x, y) F (este elemento y no es más que lo que usualmente llamamos f(x)). Observación: Una aplicación no es más que una regla por la cual a cada elemento de X se le asigna un y sólo un elemento de Y. 7.2 Ejemplo. Sea f : N N definida por f(n) = 2n + 1.

8 8 Sea X un conjunto no vacio y x 0 un elemento de X. entonces tenemos dos aplicaciones naturales: La aplicación identidad. Id X : X X definida por Id X (x) = x para todo x X. La aplicación constante. f x0 : X X definida por f(x) = x 0 para todo x X. 7.3 Def:. Diremos que una aplicación f : X Y es inyectiva si f(x) = f(y) implica que x = y. 7.4 Def:. Diremos que una aplicación f : X Y es sobreyectiva si para todo y Y existe un x X tal que f(x) = y. 7.5 Def:. Diremos que una aplicación f : X Y es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. 7.6 Ejemplos. (1). La aplicación f : R R definida por f(x) = 2x + 1 es biyectiva. (2). La aplicación g : N N definida por g(x) = 2x + 1 es sólo inyectiva. No existe ningún natural n tal que f(n) = 4. (3). La aplicación h : R R definida por h(x) = x 2 no es ni inyectiva ni sobreyectiva. h(2) = h( 2) por lo que no es inyectiva y no existe ningún elemento x R tal que f(x) = 1, por loq ue no es sobreyectiva. 7.7 Def:. Sean X, Y, Z tres conjuntos y f : X Y y g : Y Z dos aplicaciones. Se define la composición de f con g y se representa por g f como la aplicación g f : X Z definida por g f(x) := g(f(x)) para todo x X. 7.8 Lema. La composición de aplicaciones es asociativa. Nota: la composición de aplicaciones no es necesariamente conmutativa, pero posee una especie de elemento unidad. Si f : X Y es una aplicación Id Y f = f y f Id X = f, en donde Id X (resp. Id Y ) denotan la aplicación identidad en X (resp. En Y ). 7.9 Def:. Sean X e Y dos conjuntos y f : X Y una aplicación. Diremos que f es inversible si existe una aplicación g : Y X tal que f g = Id Y y g f = Id X.

9 Proposición. Sean X, Y dos conjuntos no vacíos y f : X Y una aplicación. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) f es biyectiva. (2) Existe una aplicación g : Y X tal que f g = Id Y y g f = Id X. Es más, la aplicación g es única, por lo que la denotaremos por f Def:. Sean X, Y dos conjuntos no vacíos y f : X Y una aplicación. dado un subconjunto Y de Y se define la imagen inversa de Y y se denota por f 1 (Y ) como: f 1 (Y ) := {x X f(x) Y } Nota: para esta definición no hace falta que f sea biyectiva y tenga inverso, f 1 (Y ) es sólo una notación (puede que mala) que no es la aplicación inversa. BIBLIOGRAFÍA [1] P. Alberca, D. Martín: Métodos Matemáticos, Ediciones Aljibe, [2] J. B. Fraleigh: Calculus with Analytic Geometry, Addison-Wesley, [3] F. M. Hall: An introduction to Abstract Algebra, Cambridge University Press, Nota: En general cualquier libro que trate sobre Algebra Abstracta tratará estos temas.