TEOREMA DE DESARROLLO DE HEAVISIDE EN FRACCIONES PARCIALES

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Eduardo Espinoza Contreras
hace 7 años
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1 TEOREMA DE DESARROLLO DE HEAVISIDE EN FRACCIONES PARCIALES La técnica del desarrollo de fracciones parciales es establecida para cuidar todos los casos sistemáticamente. Hay 4 clases de problemas, dependiendo del denominador D(s): Caso 1: C(s) tiene polos reales de 1er orden. Caso 2: C(s) tiene polos reales repetidos de primer orden. Caso 3: C(s) tiene un par de polos complejos conjugados (un factor cuadrático en el denominador). Caso 4: C(s) tiene pares repetidos de polos complejos conjugados (un factor cuadrático repetido en el denominador). CASO 1: POLOS REALES DE 1ER ORDEN. La posición de estos polos reales dec(s) en el plano s se muestra en la figura 1. Los polos pueden ser positivos ceros o negativos y ellos están situados en el eje real en el plano s. En este ejemplo s₁ es positivo, s₀ es cero, s₂ es negativo. Para los polos mostrados en la figura 1, la transformada F(s) y sus fracciones parciales son: Jw plano s X x x -s₂ s₀ s₁ Figura 1. Localización de los polos reales en el plano s Hay tantas fracciones como hay factores en el denominador de C(s). ya que s₀=0, el factor s-s₀ es escrito simplemente como s. la transformada inversa para C(s) es:

2 El polo s₁ es positivo, por lo tanto el término es un incremento exponencial y el sistema es inestable. El polo s₂ es negativo, y el término es una caída exponencial con valor final de cero. Por lo tanto, para que un sistema sea estable, todos los polos reales que contribuyen a complementar la solución deben estar en la mitad izquierda del plano s.(ver figura 1A) Figura 1A. Comportamiento de los polos: positivo y negativo. factor Para evaluar un típico coeficiente. El resultado es:, multiplicando ambos lados de la ecuación por el La multiplicación del factor sobre el lado izquierdo del a ecuación. Y el mismo factor D(s) deberá dividirse fuera. Si, todos los términos en el lado derecho de la ecuación son cero excepto. Así, una regla general para evaluar las constantes para polos reales de orden simple es: Donde D (s) es =. Los coeficientes son llamados los residuos de C(s) de los polos correspondientes. Para el caso de: Las constantes son:

3 La solución de c(t) es: CASO 2: POLOS REALES DE ORDEN MÚLTIPLE. La posición de los polos reales de F(s), algunos de los cuales son repetidos, se muestra en la figura 2. El símbolo es proyectado para indicar un polo de orden r. Jw plano s X x 0 s₁ s₁ Figura 2. Localización de polos reales en el plano s. Todos los polos reales están situados sobre el eje real del plano s. para los polos mostrados en la figura 2, la transformada de C(s) y sus fracciones parciales son: El orden de D(s) en este caso es cuatro, y hay cuatro fracciones. Note que el polo múltiplo s, el cual es de orden 3, tiene resultados en tres fracciones en el lado derecho de la ecuación C(s). Para designar las constantes en las fracciones parciales, un solo subíndice es usado para un polo de primer orden. Para polos de orden múltiplo, una notación de doble subíndice es usada. El primer subíndice designa el polo, y el segundo subíndice designa el orden del polo en la fracción parcial. Los constantes asociados con los denominadores de primer orden en el desarrollo de las

4 fracciones parciales son denominados residuos; por lo tanto únicamente las constantes son residuos de la ecuación C(s). La transformada inversa de C(s) es: Como calcular las constantes del orden múltiplo: Para la transformada general con raíces reales repetidas: La constante por ( puede evaluarse simplemente, multiplicando ambos lados de la ecuación C(s) obtendremos: Nótese que el factor es dividido fuera de la parte izquierda de la ecuación Para todos los términos en el lado derecho de la ecuación son ceros excepto para : La evaluación de no puede realizarse en una manera similar. Multiplicando ambos lados de la ecuación C(s) por y haciendo resultando en ambos lados su estado infinito, lo cual hace que sea indeterminable. Si el término queda eliminado en la ecuación, puede evaluarse. Así puede realizarse por diferenciación de la ecuación con respecto a s: Haciendo :

5 Repitiendo la derivación obtenemos el coeficiente Este proceso puede repetirse hasta que cada constante sea determinada. Una fórmula general para descubrir esos coeficientes asociados con el polo real repetido de orden r, es: Para el caso de: Las constantes son: =1 Y la solución como una función de tiempo es c (t) =

6 CASO N 3. POLOS COMPLEJOS CONJUGADOS. La posición de los polos complejos de F(s) en el plano s se muestra en la figura 3. Figura 3. Localizaciones de los polos complejos conjugados en el plano s. Los polos complejos siempre son presentados en pares complejos conjugados; su parte real puede ser positivo o negativo. Para los polos mostrados en la figura 3 la transformada F(s) y sus fracciones parciales son: = La transformada inversa de C(s) es: f(t)= Entonces los polos y son complejos conjugados y entonces f(t) es una cantidad real, los coefiientes y tienen también que ser complejos conjugados. La ecuación puede escribirse con los primeros términos combinados para una más usual forma senosoidal amortiguada:

7 Donde el ángulo: Los valores de mostrada, son:, del mismo modo que se fundamenta en la manera previamente Así como es complejo, la constante es también compleja. Recuérdese que está asociada con el polo complejo con la parte imaginaria positiva. En la figura 3, los polos complejos tienen una parte real negativa, donde la razón de amortiguamiento es positiva. Para este caso la correspondiente respuesta transitoria es conocida como una sinusoidal de amortiguada y se muestra en la figura 4. Su valor final es cero. El ángulo n mostrado en la figura 4-3, es medido del eje real negativo y se relaciona a la razón de amortiguamiento por : Cos Figura 4. Bosquejo de una senoide exponencial amortiguada. Si el polo complejo tiene una parte real positiva, la respuesta con respecto al tiempo se incrementa exponencialmente con el tiempo y el sistema es inestable. Si las raíces complejas son en la mitad derecha del plano s, la razón del amortiguamiento es negativa. El ángulo n para este caso es medido para el eje real positivo y está dado por: Para el caso de: Las constantes son:

8 = = = = La solución es: c(t)=0.06 Este ejemplo es usado para ilustrar las técnicas en fracciones parciales de expansión. C(s) c(t) 0 t El ángulo de fase en el término sinusoidal amortiguada es: Esto es importante para hacer notar que: Para obtener el valor correcto para el ángulo de, es útil trazar un esquema, como el mostrado e la figura 5. Esto evita ambigüedades y confirma que es evaluado correctamente. Figura 5. Calculo del ángulo θ.

9 POLOS IMAGINARIOS. La posición de los polos imaginarios de C(s) en el plano s se muestra en la figura 6. Como la parte real de los polos es cero, los polos se proyectan sobre los ejes imaginarios. Esta situación es un caso especial de polos complejos, u,gr, la razón de amortiguamiento. Para los polos mostrados en la figura 4-5, la transformada f(s) y sus fracciones parciales son: Figura 6. Polos de C(s) contienen dos polos imaginarios complejos en el plano s. La cuadrática puede factor izarse en término de los polos y asi: =( ( La transformada inversa de la ecuación (4-57) es: c(t)= + + c(t)=2 sen ( Ya que no hay términos de amortiguamiento multiplicando la senoide, esos términos representan un valor de estado estable. El ángulo =angulo de +90 Los valores de, establecidos de la manera convencional son:

10 Para el caso donde Los valores de los coeficientes son = = La solución es: c(t)= 3.72 sen (5t-68.2 )+3.45 = = 3.45 CASO 4: POLOS COMPLEJOS DE ORDEN MÚLTIPLE. Aunque los polos conjugados complejos de orden múltiple no ocurren muy frecuentemente, es importante conoce de qué modo proceder si se presentaran. Ellos pueden tratarse en la misma manera como los polos reales repetidos. La expansión de la fracción parcial de la transformada C(s) con polos complejos múltiples es. C(s)= Las constantes son evaluadas en la misma manera como para raíces reales repetidas, la transformada inversa es de la forma:

11 c(t)= 2 sen( + ) + 2 sen( + ) +

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