Material para Ayudantía No. 9, Funciones de Costos (Capítulo 8 Nicholson)

Transcripción

1 Material para Ayudantía No. 9, Funciones de Costos (Capítulo 8 Nicholson) 1. El profesor Smith y el profesor Jones van a producir un nuevo libro de texto de Microeconomía. Su función de producción viene dada por: En donde representa el número de páginas en el libro final, S el número de horas ue Smith trabajará y J el número de horas ue Jones trabajará. Smith valora su trabajo en $3 por hora, y ha trabajado un total de 900 horas. Jones valora su trabajo en $1 y revisará el manuscrito de Smith para terminar el libro. a) Cuántas horas deberá trabajar Jones para producir un libro de 150 páginas? Cuántas para producir uno de 300 páginas? De 450? b) Cuál es el costo marginal de la página número 150 del libro terminado? Y cuál el de la página número 300? Cuál el de la 450?. Suponga ue la función de producción de proporciones fijas de una firma viene dada por: Y ue los precios de arriendo del capital y del trabajo vienen dados por v=$1, w=$3. a) Calcule las curvas de costo total, promedio y marginal de la firma b) Ahora suponda ue el capital está fijo a corto plazo en k=10. Calcule las curvas de costo total, promedio y marginal de la firma a corto plazo. Cuál es el costo marginal de la décima unidad producida? De la número 50? De la centésima? 3. Una firma produce bastones de Hockey y su función de producción es: En el corto plazo, el monto de capital de la empresa se encuentra fijo en k=. Los precios de arriendo de los insumos son v=$1, w=$4. a) Calcule la curva de costos totales de la firma en el corto plazo. Calcule además la curva de costos promedio de la firma en el corto plazo. b) Cuál es la función de costos marginales a corto plazo de la empresa (SMC)? Cuál es el costo total (SC), el costo total promedio (), y el costo marginal (SMC) a corto plazo si la firma produce 5 bastones de Hockey? Y si produce 50 bastones? Cuales si produce bastones? Y si produce 00 bastones? c) Grafiue las curvas de costo promedio () y costo marginal (SMC) a corto plazo para la firma. d) En ué punto la curva de costos marginales (SMC) a corto plazo intercepta a la curva de costo promedio () a corto plazo? Expliue porué la curva (SMC) siempre interceptará a la curva () en su punto más bajo. e) Calcule la función de costos totales como una función de {, w, v, y k o} f) Dado {, w, v}, Cómo debe escogerse el monto óptimo de capital para minimizar los costos totales? g) Use sus resultados del inciso (f) para calcular el costo total de largo plazo en la producción de bastones de Hockey. h) Para v=$1, w=$4, grafiue la curva de costo total a largo plazo. Muestre ue dicha curva es una envolvente de todas las curvas calculadas en la parte (a), examinando valores de k o de, 00 y 400 Continúa en página número dos

2 4. Un emprendedor empresario compra dos firmas para producir artilugios. Cada una de las firmas produce artilugios idénticos, y cada una de ellas tiene una función de producción dada por: Con i=1,. Las firmas difieren, sin embargo, en el monto de capital ue cada una tiene. En particular, la fisma uno tiene k 1=5, mientras ue la firma tiene k =. Los precios de arriendo para k y l están dados por v=w=$1. a) Si el empresario uiere minimizar el costo total a corto plazo de la producción de artilugios, Cómo debe ser distribuida la producción entre las dos firmas? b) Dado ue la producción se encuentra distribuida óptimamente entre las dos firmas, calcule las curvas de costo total, promedio y marginal a corto plazo. Cuál es el costo marginal de producir el artilugio número? Del número 15? Del número 00? c) Cómo deberá nuestro empresario distribuir la producción de artilugios entre las dos firmas en el largo plazo? Calcule las curvas de costo total, promedio y marginal de largo plazo en la producción de artilugios. d) Cómo cambiará tu respuesta de la parte (c) si ambas firmas exhibiesen retornos decrecientes a escala? 5. Suponga ue la función de costo total para una firma viene dada por: a) Use el Lema de Shephard para calcular las funciones de demanda condicionadas para los insumos k y l. b) Use sus resultados de la parte (a) para calcular la función de producción subyacente a dicha función de costos. 6. Suponga ue la función de costo total para una firma es: a) Use el Lema de Shephard para calcular las funciones de demanda condicionadas para los insumos k y l. b) De nuevo, use sus resultados de la parte (a) para calcular la función de producción subyacente a dicha función de costos.

3 a. 900 J 30 J J b. Cost = 1 J = 1 /900 MC dc 4 d = 150 MC = 4 = 300 MC = 8 = 450 MC = 1 J = = 300 J = 5 = 450 = min(5k, 10l) v = 1 w = 3 C = vk + wl = k + 3l a. In the long run, keep 5k = 10, k = l 5l C l 3l 5l 0.5 AC 0.5 MC l b. k = 10 = min(50, 10l) l 5, 10l C 10 3l AC 0.3 If l > 5, = 50 C = l MC is infinite for > 50. MC 10 = MC 50 =.3. MC is infinite. AC 10 3l 50 3 a. kl, k, l 0 l l l SC vk wl 1() SC b. 5 SMC. If 5, SC

4 SMC If = 50, SC = SMC If =, SC = + 00 SMC. 50 If = 00, SC = SMC c. d. As long as the marginal cost of producing one more unit is below the average-cost curve, average costs will be falling. Similarly, if the marginal cost of producing one more unit is higher than the average cost, then average costs will be rising. Therefore, the SMC curve must intersect the curve at its lowest point. e. kl so 4 kl l / 4k SC vk wl vk w /4k f. g. SC v w / 4 k 0 so k = 0.5 w v k C = vk + wl = = w 8.) h. If w = 4 v = 1, C = w v w v v (a special case of Example SC ( k ) /, SC = 00 = C for = SC ( k 00) 00 / 00, SC = 400 = C for = 00 SC = 800 = C for = 400

5 4 a. =. total 1 5l 1 5 l1 10 l 1 SC 5 l 5 / 5 S C / SC total 1 1 = SC + SC = To minimize cost, set up Lagrangian: SC ( 1 ) Therefore /5 4/5 b SC 15 SMC SMC 00 () $ SMC(15) = $.00 SMC(00) = $3.0 c. In the long run, can change k so, given constant returns to scale, location doesn t really matter. Could split evenly or produce all output in one location, etc. C = k + l = AC = = MC d. If there are decreasing returns to scale with identical production functions, then should let each firm have eual share of production. AC and MC not constant anymore, becoming increasing functions of. 5 From Shephard s Lemma a. 1/ 3 / 3 C v C 1 w l k w 3 w v 3 v b. Eliminating the w/v from these euations: /3 3 1/3 3 l /3 k 1/3 Bl /3 k 1/3 which is a Cobb-Douglas production function. 6 As for many proofs involving duality, this one can be algebraically messy unless one sees the trick. Here the trick is to let B = (v.5 + w.5 ). With this notation, C = B. a. Using Shephard s lemma,

6 C C k Bv l Bw v w b. From part a, v w, so 1 or k l k B l B k l The production function then is ( k l ) b. This is a CES production function with = 1. Hence, = 1/(1 ) = 0.5. Comparison to Example 8. shows the relationship between the parameters of the CES production function and its related cost function.