Procesamiento Digital de Señal

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1 Procesamiento Digital de Señal ema 4: Análisis de Fourier en tiempo discreto ransformada de Fourier en tiempo discreto (DF) Serie de Fourier en tiempo discreto (DFS) ransformada de Fourier Discreta (DF) ransformada Rápida de Fourier (FF) Enventanado y resolución espectral ransformada de Fourier en tiempo discreto (DF)

2 ransformada de Fourier de una señal discreta a DF describe el espectro de señales discretas. Se puede deducir a partir de la convolución discreta que se define como: y [] n = [] n h[] n = [ n k ] h [] k k = Si un sistema I tiene una señal de entrada [n] armónica [n] = ep(jπfn s ) = ep(jwn s ), la respuesta y[n] es j( n k) ωs jnω s jkω s [] ep h[] k = ep ep h[] k = [] n H( ω) y n = k= k= Siendo H(w) un autovalor del sistema que representa la respuesta en frecuencia Se ha definido como H(w) la epresión H jkωs ( ω) = h[] k ep = h[] k y representa la DF de la señal discreta h[n]. k = a función H(w) es periódica, debido a que h[k] son valores discretos y su epresión es una serie de Fourier k = ep ) jkω Representación mediante la DF a DF permite representar el contenido en frecuencia, (w), de una señal discreta [n] Y su transformada inversa es π [] n = Representación del par de DF: jω jωn ( ω) = ( e ) = [] n e π π ( e jω ) e jωn dω DF jω [ n] ( e )

3 Ejemplos DF Propiedades de la DF a DF es periódica de periodo π Por tanto solo es necesario evaluar el intervalo [, π] o equivalentemente [-π, π] Si [n] es real su transformada DF verifica Re arg jω jω [ ( e )] = Re[ ( e )] jω jω [ e = Im[ ( e )] Im ( ( e jω jω π ( e ) = ( e ) jω ) = ( e jω jω [ ( e )] = arg[ ( e )] Es simétrica y basta calcularla en el intervalo [, π] jω ) jω * jω ( e ) = ( e )

4 ransformada de Fourier de señales discretas (DF) Propiedades de la DF: abla 5.: pág 39 Oppenheim ransformada de Fourier de señales discretas (DF) Dualidad entre las series de Fourier y la DF Una señal periódica continua p (t) se transforma en una función aperiódica y discreta que corresponde a los coeficientes espectrales S [k] en el dominio de frecuencias de su serie de Fourier [] k = p() t ep( jπkft) dt p() t = s[] k ep( jπkf t) s k= De una manera dual, se puede intercambiar tiempo y frecuencia F [ k] = P( f ) ep( jπkfts ) df P( f ) = [] n ep( jπkfts ) donde F=/ s es el periodo de p(f)en el dominio de frecuencia. En este caso una señal aperiódica discreta [k] se corresponde con una transformada periódica continua (f) y se obtiene mediante la DF. k=

5 ransformada Discreta de Fourier El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DF se resume en lo siguiente : Con las series de Fourier se pasa de una señal (t), temporal, continua y periódica (periodo ) y se representa por los coeficientes [k], que como una función de la frecuencia, son valores aperiódicos y discretos con una distancia entre dos valores consecutivos de f =/. a DF se aplica a una señal discreta en el tiempo [n], con periodo de muestreo t s =/f s y aperiódica y se obtiene una función (f), que es continua como función de la frecuencia y periódica con periodo F=/s. Para realizar operaciones con un procesador digital se presentan los siguientes problemas: Se necesita tratar señales continuas Se manejan series de datos de longitud infinita. Un DSP sólo trabajar con un número finito de datos discretos a solución pasa por conseguir discretizar las variables continuas y limitar el número de muestras en los dos dominios (temporal y frecuencial). Se hace necesario definir la series discreta de Fourier (DFS) y la ransformada Discreta de Fourier (DF). Serie de Fourier en tiempo discreto (DFS)

6 Señales periódicas en tiempo discreto: Series de Fourier Si (t) es periódica su desarrollo en serie de Fourier es: ( jkω t) = [k]e t k = Al igual que en tiempo continuo, una señal [n] discreta y periódica puede representarse como una superposición de eponenciales complejas discretas con frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental. Si la señal es periódica ([n] = [n]), con periodo, su representación mediante la serie de Fourier es: jk n [n] = [k]e ) ω k = Donde ŵ = π/ es la frecuencia fundamental de la señal periódica. a frecuencia de la componente k-ésima en la superposición es k ŵ. a frecuencia normalizada, ŵ = w s, incorpora la dependencia temporal y permite utilizar n en lugar de t como variable independiente Serie de Fourier en iempo Discreto (DFS) a cuestión que se plantea es: cuántos términos deben considerarse en la suma para el caso de una secuencia discreta periódica de periodo? Recordando las propiedades de las eponenciales complejas discretas ) ) ) ) ) j( k ) ω n jω n jkω n j πn jkω n jkω n e = e e = e e = e En el caso discreto, eponenciales complejas con frecuencias distintas no siempre son diferentes y sólo hay eponenciales complejas distintas de esta forma. En consecuencia, se puede escribir la ecuación de la serie de Fourier de una señal discreta periódica: jk [ n] = [k]e ) ω n donde la notación k = <> indica dejar que k varíe sobre cualesquiera valores consecutivos (comúnmente se usan los valores de k = hasta ). En este caso, sólo hay valores de [k] y cada uno de ellos tiene en cuenta la contribución de la componente ep (kwn) y sus repeticiones ep((kl)wn) k =< >

7 Serie de Fourier en iempo Discreto (DFS) De las Series de Fourier a las Series Discretas de Fourier Para las Series de Fourier se cumple (f =/) P k= () t = [] k ep( jπ kft) [] k = () t ( j kft) S ep π S P Para discretizar p (t), tomamos muestras de p (t) durante un periodo a intervalos t s, de forma que t s =. Para calcular los coeficientes [k] t [ k] = P[] n ep( jπkfnts ) = s P a cantidad [k] es la serie de Fourier Discreta de la señal periódica muestreada P [n]. t dt [] n ep( jπkn / ) k =,,, s Serie de Fourier en iempo Discreto (DFS) a representación mediante la DFS está dada por [n] = k =< > jk [k] e ˆ ω n [k] = < > [n]e jkω n ˆ [n] y [k] se relacionan y se establece la correspondencia: DFS [ n] [ k ]

8 Ejemplos: Serie de Fourier En el limite muy grande, la señal es no periódica y su contenido en frecuencias pasa a ser continuo y se corresponde con la transformada de Fourier de una señal discreta! Dominio de tiempo Periódica o periódica Continua FS : Serie de Fourier F: ransformada de Fourier o periódica () t = [ k] k = jkωt e (t) = ( ω) e π jωt d ω [ ] = () t k < > e jkωt dt ( ω) jωt = (t) e dt Discreta DFS: Serie de Fourier en tiempo discreto DF: ransformada de Fourier en tiempo discreto Periódica [n] = k =< > [k]e jk ) ω n π π [] n = π ( e jω ) e ) jωn dω [k] = < > [n]e jk ) ω n ) jω jω n ( e ) = [] n e n = Discreta Continua Dominio de la frecuencia

9 ransformada Discreta de Fourier (DF) ransformada Discreta de Fourier FF (Fast Fourier ransform) ransformada Discreta de Fourier Muestreo en frecuencia de la DF para obtener la DF Para una señal [n] limitada a muestras con un periodo de muestreo s. a DF se reduce a ( ) P f = [] n ep( jπnf s ) P (f) es periódica con periodo / s. Si se muestrea esta señal veces (en el periodo en frecuencias que es / s, ) se obtendrán los valores discretos de la DF con un intervalo entre frecuencias f = (/ s )/ = / s Y por tanto [k] corresponde a sustituir f en los valores dados por f k = k/( s ) : k = n ep jπnk / [] [] [ s ( s )] = [] n ep[ jπnk/ ] k =,,,, Esta última epresión resultante es la ransformada Discreta de Fourier de una señal [n]. ota: Ecepto por el término / es idéntica a la Serie Discreta de Fourier.

10 ransformada Discreta de Fourier ransformada Discreta de Fourier (DF), Se calcula sobre un conjunto finito, valores, de la señal [n]. Es calculable numéricamente y es una aproimación al espectro de la señal. (w)= DF{[n]} Se obtiene tomando muestras en el dominio de la frecuencia sobre la DF Si se elige adecuado, eisten algoritmos rápidos para calcularla. FF. ( j πnk / ) [] k = [] n ep ransformada Discreta inversa (IDF), k =,,,, k = ( jπnk / ) [] n = [] k ep n =,,,, ransformada Discreta de Fourier Convolución Circular o Cíclica a convolución de dos señales periódicas es infinito. Para este tipo de señales se define la convolución circular de dos secuencias p [n] y h p [n] con periodo : y p p k= [] n = [] n h [] n = [ k] h [ n k] p p a convolución circular requiere que las dos secuencias sean del mismo tamaño. Si no es así se rellena con ceros la secuencia más corta. Se corresponde con el producto H[k][k] de las dos DF Convolución lineal mediante la DF Para realizar la convolución lineal de una secuencia h[n] de M puntos con otra secuencia [n] de puntos mediante la DF, se epanden ambas secuencias con ceros hasta formar dos secuencias de K puntos h a [n] y a [n] con K M y se calcula las IDF del producto de las dos DFs. y n = n * h n = IDF H [ k] [ k] [ ] [ ] [ ] [ ] p a a

11 ransformada Discreta de Fourier Propiedades de la DF Simetría Conjugada inealidad Desplazami ento Modulación Producto Simetría Conjugar Convolució n Correlació n. Circular Ecuación de Parseval [ k] = [ k] = [ k] α[] n βy[] n α [] k βy [] k [ n m] [ k] ep( jπkm / ) = [ k] nm W [] n [ k m] [][] n y n [] k * Y [] k [ n] [ k] = [ k] [] n [ k] [] n * y[] n [] k Y [] k [] n * y [ n] [] k Y [] k [] n = [] k W km ransformada Discreta de Fourier Interpretación de los resultados del DF de s [n] de puntos, siendo el numero de valores de la secuencia os valores [k[ son los coeficientes espectrales (series de Fourier) de una señal periódica discreta que corresponde a repeticiones cada muestras de la secuencia [n]. Son muestras del espectro continuo de una señal aperiódica discreta que corresponde a la secuencia [n]. a DF es una aproimación al espectro de la señal original. a magnitud se ve influenciada por el intervalo de muestreo, mientras que a fase depende de los instantes de muestreo.

12 ransformada Discreta de Fourier Ejemplo: sea (t)=sin(πft), con f=khz, s =/8ms y =8 [n]={,.77,,.77,,-.77,,-.77} 5 Amplitud Sinusoide KHz, s=.5ms, = iempo (s) -3 a DF es [k]={,-4j,,,,,,4j}. Magnitud DF Magnitud DF 4 3 DF Indice k DF -4 - Frecuencia (Hz) ransformada Discreta de Fourier Ejemplo : (t)=sin(πft), con f=khz, s=/4ms y =8, [n]={,.387,.77,.939,,.939,.77,.387} Sinusoide KHz, s=.5ms, = iempo (s) -4 Magnitud DF DF Indice k os coeficientes del DF son [k]={5.73,.7654,.44,-.346,-.989,-.346,-.44,.7654}

13 ransformada Discreta de Fourier al y como se observa en las figuras anteriores hay varias formas de dibujar la gráfica de la DF de una secuencia de datos. Una de ellas es indicarlo directamente mediante el índice k. Se puede comprobar que [k] es simétrico respecto a /. Otra forma es reordenando los datos en función de la frecuencia. De la definición de DF sabemos que cada intervalo de la DF es /(t s ). a DF nos da la ransformada de Fourier para las frecuencias f -(/)/(t s ),...,/(t s ),, /(t s ), /(t s )...(/)/(t s ) k (/),...,,,,... (/) a máima frecuencia detectable por la DF es f s /, de acuerdo con el eorema del Muestreo. FF (Fast Fourier ransform) El cálculo de la DF de puntos de una secuencia [n] es : jπ / donde W = e El cálculo requiere la suma compleja de multiplicaciones complejas para cada uno de las salidas. En total, multiplicaciones complejas y () sumas complejas para realizar un DF de puntos. El algoritmo FF consigue simplificar el cálculo del DF y reduce el número de operaciones aprovechando las siguientes propiedades : Simetría y Periodicidad de los términos W. n n W = W k W = n / n W = W W = W El valor de se elige de forma que =r m. Al factor r se le denomina radi y su valor más habitual es, de forma que = m y algoritmo se denomina FF radi-. [] [ k] = n W k =,,, nk /

14 FF (Fast Fourier ransform) Radi- FF-Algoritmo de diezmado en el tiempo. Se divide la secuencia de datos de entrada [n] en dos grupos, uno de índices par y el otro de índices impar. Con estas sub-secuencias se realiza el DF de / puntos y sus resultados se combinan para formar el DF de puntos. / nk (n ) k nk k [ k] = [ n] W [ n ] W = [ n] W W [ n ] W nk [] n = [ n] [] n = [ n ] W = W / / nk k nk k [] k = [] n W / W [] n W / = Y[] k W Z[] k k =,,,, Se sustituye / / / nk nk / Esta última ecuación muestra que el DF de puntos es la suma de dos DFs de / puntos (Y[k], Z[k]) realizadas con las secuencias par e impar de la secuencia original [n]. Cada término Z[k] es multiplicado por un factor W k, llamado twiddle factor. Ya que W k/ =-W k y debido a la periodicidad de Y[k] y Z[k] (periodo /) se puede epresar [k] como: k [] k = Y[ k] W [ k] Z[ k] k [ k / ] = Y[] k W [] k Z[] k para k =,,, / FF (Fast( Fourier ransform) [] [] DF / Puntos Y[] Y[] [] [] [-] Y[/] [/] [] [3] DF / Puntos Z[] Z[] W W [/] [/] [] Z[/] W / os dos DF de / puntos se puede a su vez dividir para formar 4 DFs de /4 puntos, lo que produce las siguientes ecuaciones k k Y[] k = U[] k W V [] k Z[ k] = R[ k] W S[ k] k k Y[ k / 4] = U[ k] W V [ k] Z[ k / 4] = R[ k] W S[ k] Para k =,,, / 4 Para k =,,, / 4 []

15 FF (Fast( Fourier ransform) El proceso puede repetirse sucesivamente hasta llegar a computar el DF de dos valores [n], en concreto [k] y [k/], para k=,,...,/. Para una FF de =8 puntos con diezmado en tiempo, el esquema es: Butterfly [] [] [4] W [] [] W [] [6] W W [3] [] W [4] [5] [3] [7] W W W W W W W 3 [5] [6] [7] Etapa Etapa Etapa 3 FF (Fast Fourier ransform) as características de una FF de puntos mediante diezmado en el tiempo se sumarizan en la siguiente tabla : úmero de Grupos Butterflies por Grupo Eponentes widdle Factors Etapa Etapa Etapa 3 Etapa log / /4 /8 4 / (/)k, k= (/4)k, k=, (/8)k, k=,,,3 k, k=,,...,/ Por cada butterfly tenemos una multiplicación y dos sumas complejas. Hay / butterflies por etapa y log etapas. El número total de multiplicaciones es ½ log. El número total de sumas es log.

16 FF (Fast( Fourier ransform) Radi- FF-Diezmado en Frecuencia Se epresa la FF como suma de las FF de dos secuencias, la primera con los / primeros datos y la segunda con los / últimos. nk nk [] k = [] n W = [] n W [] = = = / / / k nk [ [] n ( ) [ n / ] W k =,,,, / / / / nk [] n W [ n / ] W n W ( n /) k nk k [] n W ( ) [ n / ] W nk nk FF (Fast( Fourier ransform) El diezmado en frecuencia se obtiene dividiendo la secuencia de salida ([k]) en dos ecuaciones, una para los índices pares y otro para los impares. / [ k] = [ [ n] [ n / ] = / nk [ [] n [ n / ] W / k =,,, / / W [ k ] = [ [ n] [ n / ] = / [ [] n [ n / ] nk W n(k ) n nk [ W ] W k =,,, / / [k] y [k] son los resultados del DF de / puntos realizado con las suma y la diferencia entre la primera y segunda mitades de la secuencia de entrada.

17 FF (Fast Fourier ransform) Radi- FF-Diezmado en Frecuencia [] [] [] DF / Puntos [] [/] [-] [/] [/] W W DF / Puntos [] [3] [] W / [] FF (Fast Fourier ransform) Radi- FF-Diezmado en Frecuencia Butterfly [] [] [] [3] W W W W [] [4] [] [6] [4] [5] [6] [7] W W W W 3 W W W W [] [5] [3] [7] Etapa Etapa Etapa 3

18 FF (Fast Fourier ransform) Se observa que en el caso de diezmado en el tiempo, la secuencia de entrada debe ser reordenada mientras que la salida aparece en el orden correcto. Para el diezmado en frecuencia, la secuencia está en orden mientras que la salida habrá que reordenarla. Para conseguir la reordenación basta con invertir el índice en binario. Orden (n) binario Inv. binario reordenación Aplicación de la DF Enventanado y resolución en frecuencia úmero finito de muestras Espectro de la señal enventanada Ventanas Rectangular, Hamming Resolución espectral versus enventanado

19 Enventanado y Resolución En teoría, para el cálculo del espectro de una señal discreta [n] se necesita considerar infinitas muestras: jw jwn ( e ) = ( n ) e = [ n] e jwn Para poder realizar los cálculos de debe tomar un número finito de muestras, Se tendrá (n)=[n], para n Este proceso se denomina enventanado Enventanado Duración de la ventana en segundos = muestras, =/f s Señal de enventanado Señal enventanada w [] n n = resto [ n] [] n = [] n w[] n = n resto Rectangular

20 Enventanado Ventana Rectangular... Señal Enventanada... MAAB bocar()... Enventanado El espectro resultante (e jw ) será una aproimación a (e jw ) jw jwn ( e ) = [] n e = [] n jwn n = DF jw jw [] n [ n] ( e ) ( e ) e Efectos del enventanado... jw jw jw [] n = [] n w[] n ( e ) = ( e ) W ( e )

21 Enventanado Enventanado rectangular sen w ( jw jw ( ) = e W e w sen ) El lóbulo principal domina el espectro El ancho del lóbulo se definirá según: Frecuencia (Hz) f Enventanado a W = f W f s f W = = f s = Frecuencia normalizada Si la longitud de la ventana es mayor, aumentará la altura del lóbulo principal, a la vez que su ancho disminuye a relación de 3 db entre el lóbulo principal y el primer lóbulo lateral se mantiene constante: = W ( w) R = log W () 3 w= 3dB

22 Enventanado (Ejemplo) Secuencia formada por dos eponenciales discretas jw n jwn [] n = Ae A e < n < Efecto del enventanado ( e ) = Aδ( f f ) A ( f f ).5 < f. 5 jw δ jwn jwn [] n = A e A e n jw ( e ) = AW ( f f ) A W ( f ) f Enventanado (Ejemplo) Espectro de una eponencial Espectro de dos eponenciales...

23 Enventanado Se ha supuesto f = f -f grande para que no eista solapamiento entre los dos lóbulos principales de ambas eponenciales Si f disminuye empezarán a solaparse, dejando de distinguirse los dos lóbulos, lo cual sucederá cuando: Para tener resolución: f a ' f a = = W f ' f W f ' fw = Frecuencia digital normalizada f s Frecuencia analógica El mínimo número de muestras necesario para conseguir una resolución espectral f a dada una frecuencia de muestreo f s : f f s a ' f a ' Enventanado os lóbulos secundarios deberán reducirse lo máimo posible para evitar confundirlos con los lóbulos principales de sinusoides más débiles Para ello se recomienda el uso de otro tipo de ventana(s), que no concluya de forma tan abrupta como lo hace la rectangular Ventanas Rectangular, Hamming, Kaiser...

24 Enventanado (continuación...) Ventana Hamming : πn cos w[] n = Centro n = w[] n = Etremos n =, w n =. [ ] 8 n resto as ventanas anti-leakage / / 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ Rectangular: los lóbulos laterales siempre peores a -3dB riangular (Barlett): los lóbulos laterales llegan debajo de -4dB Cosenoidal: Hanning: y(n)=.5.5cos(πn/m) el er. lobulo ya está bajo los -3dB, el segundo debajo de los -4dB. Hamming: y(n)=.54.46cos(πn/m) similar a Hanning, no descarta las muestras en los etremos de la zona de muestreo Otras: Parzen, con una ecuación polinómica

25 Enventanado Ventanas espectrales: Para señales truncadas, el espectro de la señal muestra unos picos que no decaen lo suficientemente rápido con la frecuencia. Para ello podemos utilizar ventanas en el dominio temporal para suavizar esas discontinuidades. os picos serán menores aunque el ancho de banda de cada lóbulo aumentará. El enventanado introduce componentes de alta frecuencia que se atenúan si no se emplea una ventana abrupta, pero reduciéndose la resolución espectral En ese caso, será necesario aumentarla incrementando el valor de la longitud de la ventana, o sea, Procesamiento A/D, Enventanado y DF Al asumir que el conjunto de muestras se repite periódicamente puede aparecer una discontinuidad entre la última muestra de un bloque y la primera del siguiente (efecto de leakage) Estas discontinuidades equivalen a componentes de frecuencias que corrompen el espectro analizado Para minimizar el leakage al conjunto de muestras de cada bloque se lo multiplica por una función (weighting window) que atenúa las primeras y últimas muestras de modo de evitar discontinuidades bloque repetido de muestras ventana anti-leakage bloque sin discontinuidades muestras muestras

26 Procesamiento A/D, Enventanado y DF Una ventana anti-leakage MUIPICA en el tiempo la señal original (t) por una señal periódica (t), de período (la ventana) Esta multiplicación en el tiempo equivale a una convolución en el espectro de frecuencias del espectro de la señal con el espectro de la señal. [ ( t ). ( t )] [ f f ' ]. = t [ f ' ]. df ' Esta convolucion produce que cada barra (bin) del espectro de posea bandas laterales agregadas por la convolución con. Dicho de otro modo, cada bin del espectro es contaminada por bandas laterales de los bin vecinos El espectro de la señal influencia por lo tanto la transformación Procesamiento A/D, Enventanado y DF El aparente no-uso de una ventana anti-leakage es en realidad equivalente al uso de una ventana rectangular, cuyo espectro es de la forma sin(f)/f

27 Procesamiento A/D, Enventanado y DF Dada una señal (t), no nula en el intervalo [,] y limitada en espectro a W hertz (*), y del cual se toman muestras en dicho intervalo en instantes separados t<(/w) a transformada continua de Fourier se convierte en una sumatoria finita de términos Si se define una variable k tal que f=k/t=k/(t), con k,,.., resulta Que es llamada RASFORMADA DISCREA DE FOURIER (o DF) ( t) ( f ) = ( f ) = ( k ) = ( n t). δ ( t n t) ( t). e j.. π. f. t ( n t). e ( n). e. dt j. π. f. n. t j π. k. n / Procesamiento A/D, Enventanado y DF as suposiciones que la señal es nula fuera del intervalo [,] y que es de banda limitada se contradicen entre sí. Por eso, aunque la DF opera sólo sobre un conjunto de muestras de la señal, en realidad asume que ese conjunto de muestras se repite periódicamente en el tiempo (lo que evita el ± de la integral), con período Por ello con esas muestras sólo es posible resolver el valor de componentes de frecuencia: la componente continua, la de período., la de período./,..., y ecepto el término DC, las demás componentes poseen una amplitud y fase relativa al comienzo de las muestras

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