Estadística Descriptiva Unidimensional

Transcripción

1 Capítulo 1 Estadística Descriptiva Unidimensional El objetivo básico de la Estadística es extraer la información contenida en un conjunto de observaciones. Resumir los datos es un procedimiento útil para conseguirlo y puede hacerse mediante tablas, gráficos o valores numéricos. A lo largo de este tema veremos las principales técnicas numéricas y gráficas que nos permiten describir una característica de interés observada en una población, poniendo en relieve sus rasgos más importantes Conceptos básicos. Población y variable. El universo de objetos al cual se refiere el estudio que se pretende realizar recibe el nombre de población. Por ejemplo, todas las piezas terminadas en una cadena de montaje, los nacidos en un día determinado, los coches de una determinada marca, etc. Las poblaciones pueden ser finitas e infinitas (p.e. población de bacterias). En general, estudiar todos los individuos de una población (aún siendo finita) es difícil, fundamentalmente por cuestiones de tiempo y costo. Se suele entonces analizar únicamente una parte representativa de ella a la que llamamos muestra. A las características objeto de estudio en la población se les llama variables, ya que pueden variar de un individuo a otro. Por ejemplo, el grosor de una pieza, peso al nacer, consumo de gasolina, partido al que va a votar un individuo, etc. Según los valores que puedan tomar las variables, se clasifican en: 3

2 4 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional Cualitativas (categóricas): No toman valores numéricos. Por ejemplo, causa de fallo de un componente eléctrico, tipo de defecto presente en un material, partido al que se va a votar. Supongamos que se distinguen tres causas de fallo para los componentes en estudio: A, B y C. Estas son entonces las modalidades de la variable çausa de fallo". Las modalidades han de ser exhaustivas e incompatibles. Eso significa en este caso que en A, B y C están recogidas todas las posibles causas de fallo (exhaustivas), y cualquier componente ha de presentar sólo una de esas causas de fallo (incompatibles). Cuantitativas (numéricas): Toman valores numéricos. Por ejemplo, tiempo de fallo de un componente, grosor de una pieza, altura, peso, etc. Estas a su vez se clasifican en: Discretas: Tomanunnúmerofinito o infinito numerable de valores (toman valores enteros). Por ejemplo, número de piezas defectuosas en un lote, número de hijos, etc. Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de uno o varios intervalos de la recta real (pueden tomar valores con decimales). Por ejemplo, altura, temperatura, tiempo de fallo, etc Organización de los datos. Tablas de frecuencias. Un primer resumen de la información contenida en un conjunto de datos observado se obtiene al organizarlos en lo que se llama una tabla de frecuencias. En ésta se recogen los distintos valores (números o categorías) que toma la variable junto con sus correspondientes frecuencias de aparición. Supongamos que hemos medido una variable X (numérica) sobre un conjunto de N individuos. Llamamos x i al valor que presenta el individuo i en la variable X, coni =1,..., N. Si observamos entre ellos k valores distintos, diremos que X toma valores x 1,x 2,..., x k ydeterminaremos la frecuencia asociada a cada uno de ellos. Para un valor x i, i =1,..., k, definimos las siguientes frecuencias: Frecuencia absoluta, n i : Número de individuos que presentan el valor x i. kx n i = n n k = N

3 1.2. Organización de los datos. Tablas de frecuencias. 5 Frecuencia relativa, f i : Proporción de individuos que presentan el valor x i. f i = n i N, kx f i = 1 Frecuencia absoluta acumulada, N i : Número de individuos que presentan un valor inferior o igual a x i. N i = ix n j = n n i, j=1 N k = N Frecuencia relativa acumulada, F i inferior o igual a x i. : Proporción de individuos que presentan un valor F i = F k = 1 ix j=1 f j = f f i = N i N, Observad que el cálculo de las frecuencias acumuladas sólo tiene sentido en variables numéricas. Sobre tres ejemplos vemos cómo construir la tabla de frecuencias. Ejemplo 1.1: Supongamos que unas resistencias de cierto tipo son agrupadas en paquetes de 50 unidades. Se seleccionaron 60 de esos paquetes y se contó el número de resistencias que no cumplían con las especificaciones, resultando los siguientes datos: Tabla 1.1. Número de resistencias defectuosas en cada caja de 50 unidades Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

4 6 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional Lo primero que observamos es que la variable X = Número de resistencias defectuosas en un paquete podría tomar valores 0,1,...,50, pero de entre ellos tan sólo 0,...,8 presentan frecuencia no nula. Se trata de una variable cuantitativa discreta, y la tabla de frecuencias resulta: Tabla 1.2. Tabla de frecuencias x i n i f i N i F i N =60 1 En la tabla se observa, por ejemplo, que tan sólo un % de los paquetes no presentan resistencias defectuosas, y que un elevado porcentaje de paquetes, concretamente el %, presentan como mucho cuatro resistencias defectuosas. Ejemplo 1.2: Un artículo de la revista Transactions of the Institution of Chemical Engineers presenta datos de un experimento donde se investigó el efecto de varias variables de un proceso sobre la oxidación en fase de vapor del naftaleno. A continuación se presenta una muestra del porcentaje de conversión de moles de naftaleno a anhídrido maleico: Tabla 1.3. Porcentaje de conversión de moles de naftaleno a anhídrido maleico En este caso, la variable X = Porcentaje de conversión de moles de naftaleno a anhídrido maleico es cuantitativa continua. Las variables continuas, al contener decimales, suelen presentar muchos valores distintos (rara vez tendremos valores con frecuencia mayor que uno o dos), por lo que se suelen agrupar por intervalos. Lo mismo podría ocurrir en determinadas variables

5 1.2. Organización de los datos. Tablas de frecuencias. 7 discretas. Cúantos intervalos hacemos y de qué amplitudes?. El número de intervalos o clases depende del número de datos y de la dispersión de los mismos (si son parecidos o no entre sí), pero en realidad no hay ninguna regla establecida. En la práctica se suele tomar un número de intervalos aproximadamente igual a la raíz cuadrada del número de observaciones. N o de intervalos ' N En cuanto a la amplitud, se suele tomar la misma en todos los intervalos. Una forma de obtenerla es: valor máximo de la variable-valor mínimo de la variable Amplitud= número de intervalos Entonces, el valor máximo sería el extremo superior del último intervalo, y el valor mínimo el extremo inferior del primer intervalo. Como normalmente los extremos inferiores se abren y los superiores se cierran, en lugar de tomar exactamente el mínimo de la variable, se toma un valor próximo inferior, ya que en otro caso el valor mínimo no podría incluirse en el primer intervalo. Nota: Hacer intervalos con la misma amplitud puede no ser una elección sensata si el conjunto de datos contiene puntos extremos (raros en relación al resto). En tal caso se podrían tomar intervalos más estrechos en la zona de más concentración y más amplios en la de menos concentración. En este ejemplo tenemos 20 observaciones, por lo que podemos tomar 4 intervalos. Si quiero que el primer intervalo empiece en 1.5 y que el último termine en 5.5, tendrán una amplitud de 1. Tabla 1.4. Tabla de frecuencias %Moles n i f i N i F i ( ] ( ] ( ] ( ] Al punto central de un intervalo se le llama marca de clase. La del primer intervalo es 2= 1,5+2,5. 2 Ejemplo 1.3: Se pregunta a un grupo de 20 alumnos de la asignatura de Métodos Estadísticos, entre otras cosas, si hacen o no frecuentemente "botellón". Los resultados son: Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

6 8 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional Tabla 1.4. Hábito "botellón" sí sí no sí no no no sí no no no sí sí sí sí sí no sí no sí Tabla 1.5. Tabla de frecuencias n i f i sí no Un 55 % hacen botellón frente a un 45 % que no lo hacen Representaciones gráficas Veremos las representaciones gráficas más comunes para cada tipo de variable. Cualitativas Diagrama de barras o rectángulos Diagrama de Pareto Diagrama de sectores Cuantitativas Histograma Polígono de frecuencias Diagrama de puntos Diagrama de barras o rectángulos Se construye dibujando sobre la categoría correspondiente un rectángulo con altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa). También es válido para variables cuantitativas discretas, considerando en el eje de abcisas los valores de la variable en orden creciente en lugar de las categorías.

7 1.3. Representaciones gráficas Diagrama de barras frecuencia n s Diagrama de Pareto Se ordenan las categorías de mayor a menor frecuencia y se dibujan los rectángulos correspondientes. Es muy utilizado en controles de la calidad, donde cada clase representa un tipo de disconformidad o problema de producción Diagrama de sectores Se dibujan en un círculo sectores con áreas proporcionales a las frecuencias de cada una de las categorías. 55,00% Diagrama de sectores Hábito botellón n s 45,00% Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

8 10 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional Histograma Es igual que el diagrama de rectángulos, considerando ahora en el eje de abcisas los intervalos y en el ordenadas las frecuencias (absolutas o relativas). Si los intervalos tienen la misma amplitud, las frecuencias son proporcionales a las alturas de los rectángulos del histograma, ya que el área se obtiene multiplicando la base por la altura.porlotanto,cadaalturadaideadela densidad o concentración de datos en esa zona: donde hay más altura, aparecen frecuentemente valores de la variable, donde hay menos, los datos son escasos. Sin embargo, esto no ocurre si las amplitudes no son iguales, por lo que, en tal caso, se representa la frecuencia dividida por la amplitud. La forma del histograma -como el diagrama de barras- refleja propiedades importantes de la variable en cuestión. Cuando el histograma presenta un único máximo, la distribución se dice unimodal, bimodal si presenta dos, y plurimodal si presenta más de dos. Si el histograma es simétrico respecto de un valor central, la distribución se dice simétrica, en cuyo caso todos los puntos equidistantes a tal valor central presentan la misma frecuencia. Si la cola de la derecha se extiende más que la de la izquierda la distribución se dice asimétricaaladerechaopositiva,lo cual indica que la variable toma más valores bajos que altos. Si la cola de la izquierda se extiende más que la de la derecha, asimétrica a la izquierda o negativa, predominando los valores altos Asimétrico a la derecha ,5 2,5 3,5 4,5 5,5 Asimétrico a la izquierda ,82 1,02 1,22 1,42 1,62 1,82 Simétrico El histograma de la variable Porcentaje de moles de naftaleno convertidos es:

9 1.3. Representaciones gráficas 11 frecuencia Histograma 0 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 Porcentaje de conversión de moles de naftaleno Polígono de frecuencias El polígono de frecuencias resulta esencialmente equivalente al histograma o al diagrama de barras, y se obtiene uniendo mediante segmentos los centros de las bases superiores de sus rectángulos Polígono de frecuencias 0 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 Porcentaje de moles de conversión de naftaleno Diagrama de puntos El diagrama de puntos resulta de utilidad cuando el conjunto de datos es razonablemente pequeño o hay relativamente pocos datos distintos. Cada dato se representa con un punto encima de la correspondiente localización en una escala horizontal de medida. Cuando un valor se repite, hay un punto por cada ocurrencia y se colocan verticalmente. Permite por ejemplo analizar la dispersión y detectar datos atípicos. Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

10 12 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional Diagrama de puntos Nº de resistencias defectuosas 1.4. Descripción numérica de una variable Las técnicas estudiadas anteriormente permiten una descripción visual de la distribución de una variable. En muchos casos, el resumen puede hacerse eficazmente de una forma más sencilla y precisa: utilizando valores numéricos que den idea de la ubicación o del centro de los datos -medidas de posición- usando cantidades que informen de la concentración de las observaciones alrededor de dicho centro -medidas de dispersión- y mediante números que reflejen la forma (asimetría y apuntamiento) de la distribución -medidas de forma. La conjunción de técnicas numéricas y gráficas permite una buena descripción de la variable Medidas de posición Entre ellas estudiamos: La media La mediana La moda Cuantiles: deciles, cuartiles y percentiles La media Supongamos que hemos medido la variable X sobre N individuos y tenemos los valores x 1,x 2,..., x N. La media aritmética, o simplemente media, se calcula como:

11 1.4. Descripción numérica de una variable 13 - Si se dispone de los datos sin tabular: x = P N x i N = x x N N - Si los datos están tabulados: x = P k n ix i N kx = f i x i La media se mide en las mismas unidades que la variable, y tiene el inconveniente de verse muy afectada por la presencia de datos que sean extremadamente grandes o pequeños (datos atípicos). Ejemplo 1.4: Cálculo de la media de los datos del ejemplo 1.1. x = A partir de la tabla de frecuencias, = 2,53 resistencias defectuosas por caja. x i n i n i x i N = P k x = n ix i = 152 N 60 =2,53 Ejemplo 1.5: Cálculo de la media de los datos del ejemplo 1.2 Si trabajamos con los datos sin tabular, x = 4,2+4, ,8+5,0 20 =3,985 Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

12 14 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional Si trabajamos con los datos tabulados, hemos de calcular las marcas de clase. %Moles n i x i n i x i ( ] ( ] ( ] ( ] x = 20 =4,05 Nótese que 4.05 no es la media real, es un valor aproximado, ya que se está suponiendo que los datos son: 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5. En adelante, si es posible, siempre calcularemos las medidas a partir de los datos sin agrupar en intervalos, para no perder precisión innecesariamente. La mediana Es el valor que divide al conjunto de observaciones ordenado de menor a mayor en dos partes iguales, ocupa el lugar central. Deja por tanto al 50 % de las observaciones por debajo y al 50 % por encima. Mín 50% Mediana 50% Máx Se calcula de las siguientes formas: - Si los datos están sin tabular: una vez ordenados de menor a mayor se toma el valor centralsielnúmerodeobservacionesnesimpar;siesparsetomalamediadelosdos valores centrales. - Si los datos están tabulados: si existe un valor con frecuencia relativa acumulada igual a 0.5, se toma como mediana la media de tal valor y el siguiente. En otro caso, se toma aquel valor que supere por primera vez en frecuencia relativa acumulada 0.5.

13 1.4. Descripción numérica de una variable 15 A diferencia de la media, la mediana no se ve afectada por la presencia de datos extremos. Por lo tanto, en un conjunto de datos con valores extremos, la mediana será una medida de centralización más representativa que la media. Ejemplo 1.6: Cálculo de la mediana de los datos del ejemplo 1.2 Los datos ordenados de menor a mayor son: 2, 2,8, 2,8, 3, 3,1, 3,6, 3,8, 3,8, 3,8, 4, 4, 4,2, 4,3, 4,7, 4,7, 4,8, 5, 5, 5,1, 5,2 Mediana = 4+4 =4 2 Interpretación: en el 50 % de los experimentos se obtiene un porcentaje de conversión de moles inferior o igual a 4. Nótese que en el primer 4 se obtiene una frecuencia relativa acumulada de 0.5. Ejemplo 1.7: Cálculo de la mediana de los datos del ejemplo 1.1 x i n i F i N =60 El valor 2 es la mediana, ya que presenta una frecuencia relativa acumulada de , inmediatamente superior a 0.5 Interpretación: El 50 % de los cajas presentan un número de resistencias defectuosas inferior o igual a 2. La moda Es el valor más frecuente de la variable (mayor n i o f i ). Es el valor que presenta mayor altura en el diagrama de barras (caso discreto) o el intervalo con mayor altura en el histograma Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

14 16 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional (caso continuo). La moda puede no ser única o no existir. Ejemplo 1.8: Cálculo de la moda de los datos del ejemplo 1.1 El valor con máxima frecuencia (13) es el 3. Moda =3 Interpretación: lo más frecuente es encontrar cajas con 3 resistencias defectuosas. Ejemmplo 1.9: Cálculo de la moda de los datos del ejemplo 1.2 En este caso señalamos el intervalo modal: ( ] Interpretación: el porcentaje de conversión de moles más frecuente está entre el 3.5 y el 4.5 %. Cuantiles: deciles, cuartiles y percentiles Son medidas basadas en la ordenación de los datos. Dividen al conjunto de datos ordenado en partes iguales. Según el número de partes, hablamos de: Deciles: dividen al conjunto de datos en 10 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 10 % de datos. Hay por tanto 9 deciles, D 1,..., D 9. Cuartiles: dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 25 % de datos. Hay por tanto 3 cuartiles, Q 1,Q 2,Q 3. Percentiles: dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 1 % de datos. Hay por tanto 99 percentiles, P 1,..., P 99. La mediana, al dejar por debajo a un 50 % de los datos, coincide con el D 5,Q 2 y P 50. La forma de cálculo de los cuantiles es similar a la de la mediana. Una franja de interés es [P 25 - P 75 ], que contiene al 50 % de los datos centrales. Por debajo del P 25 quedan el 25 % de los datos más pequeños, y por encima del P 75 quedan el 25 % de los datos más grandes. Ejemplo 1.10: Cálculo de los percentiles 25 y 75 de los datos del ejemplo 1.1 P 25 = 1 (F i =0,3167 > 0,25) P 75 = 3 (F i =0,7667 > 0,75)

15 1.4. Descripción numérica de una variable 17 Otra forma de calcularlos: el P 25 es aquel valor que deja por debajo al 25 % de los datos, que en este caso son 15 (25 % de 60). Análogamente, el P 75 es el valor que deja 45 datos (75 %) por debajo y 15 datos (25 %) por arriba. Interpretación: El 25 % de los paquetes con menos resistencias defectuosas presentan como mucho 1, y el 25 % de los paquetes con más resistencias defectuosas presentan como mínimo 3. Ejemplo 1.11: Cálculo de los percentiles 25 y 75 de los datos del ejemplo 1.2 P 25 = 3,35, P 75 = 4, Medidas de dispersión Las medidas de posición o centralización no siempre proporcionan información suficiente para describir un conjunto de datos de manera adecuada. Por ejemplo, veamos los tres conjuntos de datos siguientes: Ejemplo 1.12: Tabla 1.5: Conjunto de datos ejemplo 1.12 Conjunto 1: 10,20,30,40,50 Conjunto 2: 10,30,30,30,50 Conjunto 3: 30,30,30,30,30 Las medidas de centralización de cada uno de los conjuntos son: Media Mediana Moda Conjunto No existe Conjunto Conjunto A la vista de estas medidas podríamos llegar a la conclusión equivocada de que los tres conjuntos de datos son muy similares. Sin embargo, hay una clara diferencia entre los tres conjuntos: en el primero, hay gran dispersión en los datos (datos poco parecidos), en el tercero la concentración de los datos es total, y en el segundo se da una situación intermedia. Es por esto por lo que es necesario recurrir a otras medidas, las medidas de dispersión, que sean capaces Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

16 18 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional de diferenciar estas situaciones. Claramente, eltercerconjuntodedatoseselmejor; enéllas medidas de centralización serán plenamente representativas. Entre las medidas de dispersión estudiamos: Rango. Rango Intercuartílico Varianza. Desviación típica Coeficiente de variación Rango. Rango Intercuartílico Una medida de variabilidad basada en la ordenación de las observaciones es el rango, R, definido como la difencia entre el valor máximo y el mínimo, R = Max Min El rango de un conjunto de datos es muy fácil de calcular, pero ignora toda la información contenida entre las observaciones más grande y más pequeña. Por ejemplo, las muestras 1,3,5,8,9 y 1,5,5,5,9 tienen el mismo rango igual a 8. Sin embargo, en la segunda muestra sólo existe variabilidad en los valores extremos, mientras que en la primera los tres valores intermedios cambian de manera considerable. Algunas veces, cuando el tamaño de la muestra es pequeño, la pérdida de información no es muy seria. Por ejemplo, el rango se utiliza mucho en el control de la calidad, donde se suelen utilizar muestras de tamaño 4 o 5. En general, lo que se desea es tener una medida de variabilidad que dependa de todas las observaciones, más que de unas cuantas. Una medida menos sensible a los valores extremos es el rango intercuartílico, RI, definido como la diferencia entre el tercer y primer cuartil, RI = Q 3 Q 1 Esta medida informa acerca de la representatividad de la mediana (Q 2 ):si el RI es pequeño, el 50 % de las observaciones centrales están muy concentradas entorno a la mediana. Varianza. Desviación típica La varianza y desviación típica miden la dispersión de los datos entorno a la media, y hacen uso de todas las observaciones. Una forma intuitiva de medir la concentración de los datos

17 1.4. Descripción numérica de una variable 19 entorno a la media es calcular lo que distan los mismos de la media, x 1 x,..., x N x Si todas estas diferencias son pequeñas entonces las observaciones x i estarán próximas a x y diremos que hay poca variabilidad. Una forma sencilla de combinar todas las desviaciones en una única medida es promediarlas, pero al sumarlas, desviaciones positivas y grandes en magnitud pueden ser compensadas con desviaciones negativas grandes en magnitud. NX NX (x i x) x i N x = N =0 N Una alternativa es promediar tales diferencias en valor absoluto o al cuadrado. Al promedio de las desviaciones al cuadrado se le conoce como varianza, σ 2, σ 2 = NX (x i x) 2 N = NX x 2 i N x 2 Si los datos están tabulados, kx σ 2 = f i (x i x) 2 = kx kx n i (x i x) 2 n i x 2 i = x 2 N N Se expresa en el cuadrado de las unidades de la variable. Observad que σ 2 0 yqueσ 2 =0sí y sólo sí todas las observaciones son idénticas y por lo tanto coinciden con la media (mejor de los casos). Alaraízcuadradadelavarianzaseleconocecomodesviación típica, σ = σ 2 En general podríamos pensar que a mayor valor en la varianza o desviación típica, mayor dispersión y menor concentración de los datos entorno a la media. En relación a esta idea, se presenta el problema de que ambas medidas dependen de las unidades de medida (o dimensión) de los datos. Por ejemplo, una misma muestra de alturas en centímetros y en metros da lugar a varianzas distintas, mayor en el primer caso. Por lo tanto la varianza y desviación típica no nos permiten cuantificar la variabilidad ni comparar la dispersión de variables medidas en unidades distintas. Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

18 20 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional Nota: si en lugar de dividir en tales medidas por N dividimos por N 1, se obtienen la cuasivarianza y cuasidesviación típica, que denotamos respectivamente por S 2 y S, NX NX (x i x) 2 x 2 i N x 2 S 2 = =, N 1 N 1 S = S 2 Ejemplo 1.13: Cálculo de la varianza y desviación típica en datos de ejemplo 1.1 x i n i n i x i n i x 2 i N = P k x = n ix i N NX x 2 i = =2,53, σ 2 = N x 2 = ,532 =3,3 σ = 3,3 Coeficiente de variación Como solución al problema de dependencia de las unidades de medida de las variables que presentan la varianza y desviación típica, se crea una nueva medida adimensional (no depende de las unidades de medida) conocida como coeficiente de variación, definido como el cociente entre la desviación típica y la media (en valor absoluto), CV = σ x Mide la concentración relativa de los datos entorno a la media. Cuanto más próximo a cero esté (vale 0 cuando σ =0), menor dispersión habrá, y por lo tanto más representativa será la media. Ejemplo 1.14: Con un micrómetro se realizan mediciones del diámetro de un balero, que tienen una media de 4.03 mm y una desviación típica de mm; con otro micrómetro se

19 1.4. Descripción numérica de una variable 21 toman mediciones de la longitud de un tornillo, que tienen una media de 1.76 pulgadas y una desviación típica de pulgadas. Los coeficientes de variación son: CV balero = 0,012 4,03 =0,003 CV tornillo = 0,0075 1,76 =0,004 En consecuencia, las mediciones realizadas con el primer micrómetro presentan una variabilidad relativamente menor que las efectuadas con el segundo Medidas de forma Ya vimos cómo a partir de una representación gráfica se pueden estudiar algunos rasgos importantes de la variable; comentamos cómo hacernos una idea de la simetría o asimetría de una variable según la forma del histograma. La simetría o asimetría también puede estudiarse con una medida numérica, el coeficiente de asimetría. Exiten varios coeficientes, el que a continuación vemos se debe a Fisher y presenta la siguiente expresión: y γ 1 = γ 1 = P N (x i x) 3 Nσ 3, P k f i(x i x) 3 P k σ 3 = n i(x i x) 3 Nσ 3 si los datos están tabulados. Si un coeficiente de asimetría vale 0, la distribución es simétrica,siesmayorque0,asimétrica a la derecha o positiva, y si es menor que cero, asimétrica a la izquierda o negativa. También podemos hacernos una idea acerca de la simetría o asimetría de una variable comparando su media y mediana. Claramente, en variables simétricas la media, la mediana y la moda (si es única) coinciden. Si la distribución es marcadamente asimétrica a la derecha, su media será bastante mayor que la mediana, ya que aunque sean pocos los valores altos que tome (cola de la derecha), tirarán de la media hacia arriba, mientras que a la mediana según comentamos no le afectan los valores extremos. Si la distribución es marcadamente asimétrica a la izquierda, la media será bastante menor que la mediana. En relación a la forma aparece también el término curtosis, que hace referencia al apuntamiento de la distribución. Por ejemplo, si una variable presenta un histograma muy apuntado (alta frecuencia ) y estrecho, sus datos estarán muy concentrados. Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

20 22 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional Observaciones sobre las medidas numéricas descriptivas 1. Cambios de variable lineales: Supongamos que a, b, son dos números reales. Hacemos una transformación en los datos de la forma y i = ax i + b, i =1,..,N, es decir, Y = ax + b. Entonces, y = ax + b, σ 2 y = a 2 σ 2 x, σ y = a σ x, 2. Variable tipificada: Tipificar una variable consiste en hacer una transformación lineal tal que la nueva variable tenga media 0 y varianza 1. La transformación es Z = X x σ x 3. Variable clasificada en grupos o estratos: Supongamos que tenemos N observaciones clasificadas en L grupos. El grupo i presenta un tamaño n i, una media x i, una varianza σ 2 i, y su peso en el total de la población es w i = n i. Entonces, la media total y la varianza N total (de las N observaciones) vienen dadas por: X L x = w ixi, 1.5. Ejercicios σ 2 x = LX w i σ 2 i + LX w i ( x i x) 2 1. Los ingenieros industriales realizan periódicamente un análisis de la medición del trabajo con el fin de determinar el tiempo requerido para generar una unidad de producción. En una planta de procesamiento se registró durante 20 días el número de horas-obrero totales requeridas para realizar cierta tarea. Los datos recogidos son:

21 1.5. Ejercicios 23 a) Obtén la tabla de frecuencias absolutas y relativas. b) Construye el histograma. c) Calcula la media, mediana y moda. Interpreta resultados. d) Cuánto tiempo requieren como máximo el 25 % de los obreros más rápidos?. Cuánto tiempo requieren como mínimo el 25 % de los que más tiempo emplean?. e) En base al histograma estudia la simetría o asimetría de la distribución. f ) Decide qué medida de posición puede ser representativa. g) Calcula una medida de dispersión asociada a la medida de posición anterior. 2. Describe las características de los cuatro histogramas siguientes, y razona cuál es la medida de centralización y dispersión más adecuada para la distribución correspondiente ,5-1,5-0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 3. El técnico responsable del funcionamiento de una empaquetadora automática la ajustó, en principio, para 450 g. Media hora después del principio de la producción se apartaron 10 paquetes para verificar su peso. Los resultados son: Peso (g) a) Cuál es el peso medio de esa muestra?. Calcula la varianza y la desviación típica, así como la mediana y los percentiles 25 y 75. b) Se considera que la empaquetadora funciona correctamente si la media de una muestra de 10 paquetes se sitúa en el intervalo [448,452]. Cuál es la conclusión en el caso Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.

22 24 Capítulo 1. Estadística Descriptiva Unidimensional de la muestra anterior?. Te parece correcta la elección de tal método de decisión?. Alguna idea para mejorar?. 4. El responsable en control industrial de una empresa somete a un test de fiabilidad 50 dispositivos electrónicos idénticos y anota su duración (tiempo hasta el fallo en horas). La recogida de datos lleva a la distribución de frecuencias siguiente: Duración (horas) N o de dispositivos 0 <X <X <X <X <X <X <X <X a) Obtén la tabla de frecuencias relativas y relativas acumuladas. b) Representa el histograma. Señala el intervalo modal. c) Cuál es el tiempo medio de fallo de este tipo de dispositivos?. d) En qué intervalo se encontrará la mediana?. e) Qué porcentaje de dispositivos tienen una duración superior a 200h? y a 600?. Qué porcentaje de dispositivos tienen una duración comprendida en el intervalo 200 <X 400?. Qué porcentaje supera el tiempo medio de fallo?. 5. En una empresa se clasifican los accidentes laborales según causen o no la baja en el trabajador. Los datos medidos mensualmente durante un año son: N o Accidentes No causan baja 498 Causan baja a) Calcula los porcentajes correspondientes a cada tipo de accidente.

23 1.5. Ejercicios 25 b) Obtén una representación gráfica. 6. En una empresa, los empleados se clasifican en dos categorías: técnicos y especialistas. El número de empleados, el salario medio anual en miles de euros y la desviación típica se muestran en la tabla siguiente: Categoría N o de empleados Salario medio Desv. típica Especialista Técnico a) Calcula el salario medio y varianza del salario para el conjunto de trabajadores de la empresa. b) En la negociación del salario del año siguiente, se proponen dos alternativas. La primera consiste en elevar los salarios un 5 % a todo el personal. La segunda, en elevarelsalario1.2milesdeeurosalañoatodoelpersonal.calculalamediay varianza para el conjunto de los trabajadores en ambas alternativas. Qúe alternativa es mejor?. Razona la respuesta. 7. En una liga de rugby femenino se contabilizaron y clasificaron las lesiones que tienen lugar (A=rotura de menisco, B=rotura de ligamentos, C=rotura de tibia, D=rotura de rótula, E=rotura de fémur). Los resultados son: A B B A C A A D B A C E B B A A C D C A C B C C C A B B C A A B C C A C B B D A B A C B C C A B B A D E C A B Realiza una tabla de frecuencias y dibuja el diagrama de Pareto. Interpreta resultados. 8. Se tienen dos proveedores en dos áreas geográficas diferentes. En la primera zona los proveedores tienen una puntuación media de 6.23 con una desviación típica de 2.3. En la segunda zona tienen una media de 5.2 con una desviación de 1.3. El proveedor de la primera zona tiene una puntuación de 6.84 y el de la segunda tiene una puntuación de Cuál de los dos dos es mejor en relación a su zona?. Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.