Sabemos que en un proceso de Poisson la función de probabilidad está dada por:

Transcripción

1 DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL Relación entre la dist eponencial y la dist de Poisson Sabemos que en un proceso de Poisson la función de probabilidad está dada por: e-! ( λt ) λt f X (, λ ) P( X = ) = Queremos determinar la distribución del tiempo de espera hasta la primer ocurrencia de un suceso, para un proceso de Poisson Sea T la variable aleatoria continua "tiempo en ocurrir el primer evento" Se tiene F(t) P ( T t) = 1 P (T > t) Observemos que T > t solamente si ningún suceso ocurrió antes de t Por consiguiente Xt = (donde Xt es el número de sucesos que ocurrieron en el intervalo [,t) ) En un proceso de Poisson, se tiene P(X t = ) = e λ t Por consiguiente, se tiene: F(t) = 1 e λ t Esta última es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria con distribución eponencial Por consiguiente, acabamos de demostrar que; El tiempo de espera a la primer ocurrencia de un suceso que pertenece a un proceso de Poisson, tiene una distribución eponencial La distribución eponencial no tiene la propiedad reproductiva La suma de variables aleatorias con distribución eponencial no genera una variable aleatoria con distribución eponencial El mínimo de un grupo de variables con distribución eponencial Sean T i (i = 1,,, n) n variables aleatorias, todas con distribución eponencial, y el mismo valor del parámetro λ Además, las T i son independientes entre si Sea un eperimento aleatorio que consiste en observar simultáneamente el valor que toman esas n variables aleatorias; el resultado es el vector (t 1, t,, t n ) Definimos a la variable aleatoria K Min(T 1, T,, T n ) Para fijar ideas, suponemos que cada una de las T i es el tiempo hasta que falle una lamparita eléctrica (Por consiguiente, están siendo inspeccionadas n lamparillas eléctricas) K es una variable muy útil para la resolución de problemas estadísticos relacionados con la determinación de la vida útil de piezas o componentes Queremos hallar la función de distribución de la variable aleatoria K, F K (k) Se cumple F K (k) P( K k) =1 P(K > k) = =1 P[ (T 1 > k) (T > k) (T n > k)] = =1 [P(T 1 > k) P(T > k) P(T n >k)] = = 1 [1 F T (k)]n = 1 ep( n λ k); donce usamos P(T > k) = 1 F T (k), y F T (k) = P(T < k) Por consiguiente K también tiene una distribución eponencial con parámetro n λ La media E(K) es igual a 1/(n λ); y la varianza V(K) = 1/(n λ) La función gamma La función Gamma tiene numerosos usos en Estadística Necesitaremos usar esta función más adelante IV - 15

2 DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL La Función Gamma está definida por: Γ ( α ) = α 1 e d ; α es un número real mayor que -1, y no nulo Para α, número real, menor que -1; y distinto de cualquier entero negativo, la función Gamma Γ(α) se define mediante la ecuación funcional de la función Gamma: F(α+1) = α Γ(α) Si α es un entero positivo, mediante integraciones sucesivas se demuestra la siguiente propiedad de la función Gamma: Γ(α) = (α 1)! La distribución de Weibull La distribución de probabilidad de Weibull tiene numerosos usos en problemas estadísticos industriales Al igual que la distribución eponencial, también está relacionada a la vida útil de componentes de un sistema de producción Función de densidad Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad de Weibull si su función de densidad de probabilidad está dada por: Función de distribución α β β 1 ep α β ; para > ; α y β > f W (, α, β ) = ; para los demas valores de La función de distribución F W (, α, β ) se obtiene integrando la función f W (, α, β ) Para integrar esa función densidad efectuamos el cambio de variable y = β Por definición, se tiene: a β 1 β F W ( a) = α β ep( α ) d Empleando el cambio de variables se obtiene : β 1 y = También se cumple: d = d ln Además se cumple: ln y = β ln De esta última igualdad se obtiene: d ln y = d ln β Reemplazando se obtiene la función de distribución de Weibull: β β PW(X ) FW (, α, β ) = α ep ( α y ) dy = 1 ep ( α ) La distribución de Weibull tiene asimetría positiva Observemos que la función de distribución acumulada de Weibull, es igual a la función de distribución eponencial para la variable y β IV - 16

3 DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DE WEIBULL Las siguientes figuras muestran las formas de la función de densidad de Weibull, para distintos valores de los parámetros α y β Cada figura del primer grupo de tres figuras, muestra las formas de la fdp para un mismo α, y para distintos β En el segundo grupo de tres figuras, en cada figura se muestran las formas de la fdp para un mismo β, y distintos α De estas figuras, se observa lo siguiente Para un dado valor de α, el aumento de β implica un aumento de la dispersión de los valores En el caso de un mismo valor de β, un aumento de α desplaza la media, y la moda hacia valores mayores de Por consiguiente, consideramos a α como una medida de la ubicación de la distribución, y a β como una medida de la dispersión a= 3 b= Value of Weibull function a= 1 b= 3 Value of Weibull function 1 5 a= b= a= 1 b= a= 1 b= X Función de densidad Weibull, para α = 1; y β =1,,35 a= 1 b= X Función de densidad Weibull para a=1,,3 y beta= esperanza y varianza La esperanza de una variable aleatoria que tiene una distribución de Weibull está dada por: µ = α 1/ β ( 1+ 1 ) β Γ En esta caso 1/β no será un número entero en la mayoría de los casos Por consiguiente, el valor de la función Gamma tendrá que ser calculado mediante la integral La varianza Var(X) de la variable aleatoria con distribución de Weibull está dada por: Ejemplo 1 1 Var( X ) = Γ 1 + Γ 1 + β β α β Sea una variable aleatoria X definida como la pérdida de peso por corrosión de una placa de una aleación de magnesio, que está inmersa durante 7 días en una solución acuosa al % de MgBr Previos eperimentos permitieron determinar que X tiene una distribución de Weibull con α = ; y β = 3 Calcular : El valor medio de la pérdida de peso en las condiciones indicadas IV - 17

4 ARIABLES ALEAT CONT BIDIMENSIONALES Variables aleatorias continuas bidimensionales función de distribución Definición: Para el caso de una variable aleatoria bidimensional continua (X, Y) la función de distribución acumulada F(, y) está definida por: F(, y) P( X ; Y y); y además eiste una función continua de densidad f(, y) tal que: También se cumple: y F(,y ) = f (u,v ) du dv F (, y ) = f (, y ) y La función de densidad de probabilidad conjunta f(, y) de la variable (X, Y) satisface las condiciones: 1) f(, y) para todo (, y) en R ) (,y ) = f 1, donde R es el dominio de definición de (X, Y) R En particular se cumple: ( X ; y < Y y ) F ( ; y ) F ( ; y ) F ( ; y ) F ( ; ) P 1 < 1 = y1 Vemos que también en el caso de una variable aleatoria bidimensional, la función de distribución determina completamente la distribución de probabilidad Ejemplo Una variable aleatoria continua (X, Y) se dice que tiene una distribución normal bidimensional si tiene la siguiente función de densidad: f (, y ) = 1 π σ σ y 1 ep( Q (, y )) 1 ρ donde la función Q(, y) está definida por: ρ µ µ µ 1 ( µ ) ( )( y y ) ( y y ) Q (, y ) = + σ σ 1 ρ σ y σ y En esta última epresión, ρ es un parámetro que toma un valor dentro del intervalo 1 < ρ < 1; σ y σy son parámetros de la distribución, con valores positivos µ y µy también son parámetros de la distribución El significado de los parámetros σ y µ se verá más adelante ρ es un importante parámetro de la distribución conjunta, denominada coeficiente de correlación ρ será descripto etensamente en un capítulo posterior distribuciones marginales Definición Sea (X, Y) una variable aleatoria continua con función de densidad f(, y) Las funciones de densidad marginal de X y de Y, g() y h(y) respectivamente se definen mediante las siguientes epresiones: IV - 18

5 ARIABLES ALEAT CONT BIDIMENSIONALES g( ) f (, y )dy; h( y ) f (,y ) d Tanto g() como h(y) deben cumplir los requisitos, y poseer las propiedades, de las funciones de densidad para una variable aleatoria Ejemplo: Sea la variable bidimensional (X, Y), cuya función de densidad de probabilidad f(, y) está dada por: f(, y) = C ( + y); con ; y ; f(, y) =, fuera de ese intervalo conjunto Deseamos calcular: a) El valor de C para que f(, y) sea una distribución de densidad b) La distribución marginal de X, g() c) La distribución marginal de Y, h(y) a) Cálculo de C: C se calcula a partir del requerimiento: X C ( + y ) dy d = 1 Sea tiene que: C ( + y )dy = C 3 La siguiente integración es 3 C = 1 d De aquí se obtiene C = 1 / 4 Por consiguiente es f(, y) = ( + y) / 4 b) Cálculo de la distribución marginal h(y) h(y) = 1 4 y ( + y ) d = y + y = 4 1 y 3 + y 8 Verificación de la condición h ( y ) dy = 1 Se tiene: 1 y 3 + y dy 8 = 3 y y y + = y = c) Cálculo de la distribución marginal g() g() = 1 3 ( + y )dy = 4 8 IV - 19

6 ARIABLES ALEAT CONT BIDIMENSIONALES Verificación de la condición g( )d = d = 1 8 distribuciones condicionales Definición: Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua, cuya función de densidad es f(, y) Sean g() y h(y) las funciones de densidad marginales de X e Y, respectivamente La función de densidad condicional de X para Y = y (es decir, suponiendo que ocurrió Y = y), g ( y ) está definida por: g( f (, y ) y ),donde h( y )> h( y ) En el conteto de esta definición h(y) es un número Una epresión equivalente eiste para h(y ), la función de densidad condicional de Y para X = : f (, y ) h ( y ), donde g( )> g( ) La siguiente eplicación ayuda a emplear el concepto de función de densidad condicional Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional, con fdp conjunta f(, y) Sean los sucesos A, y B definidos por: Suceso A : X toma un valor tal que se cumple ( < X + d) Suceso B : Y toma un valor tal que (y Y) Queremos conocer la probabilidad de que ocurra el suceso B supuesto que ocurre también el suceso A Por la definición de probabilidad condicional se tiene: o de manera equivalente: P( B A ) = P(A B) / P(A); P(B A) = P (Y< y X + d ) = P( X + d; y Y ) P( X + d ) donde d, y dy son infinitésimos para + d, y + dy y, respectivamente De la definición de función de densidad conjunta de probabilidad, f(, y) se cumple: P (Y < y X + d ) = + d y f + d f (,y )dy (,y )dy d d De la definición de función de densidad de probabilidad f(, y); y de la función marginal de densidad de probabilidad de X, g(), dividiendo el IV -

7 ARIABLES ALEAT CONT BIDIMENSIONALES numerador y el denominador por d, y calculando el límite para d, cumple: se F( y ) = lim P(Y y < X + d) = d y f (, y )dy g( ) F( y ) es la función de distribución condicional de Y suponiendo que ocurre X = Si calculamos la derivada de F(y ) con respecto a y, se obtiene: F ( y y ) = f (,y ) g( ) f(y ); El cociente f (,y ) g ( ) se denomina función de densidad condicional de Y supuesto que ocurrió X =, y se lo simboliza por f(y ) Obsérvese que g() es el valor de la distribución marginal de X para X = ; en este conteto g() es un número f(y ) cumple los requerimientos de una función de densidad de probabilidad, pues es mayor o igual que cero; y además se cumple: f ( y f (,y )dy )dy = = 1 g( ) Ejemplo Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad de probabilidad conjunta f(, y) tal que: f(, y) = ( + y) / 4; para X ; y Y Vimos que la función de densidad condicional de Y supuesto que X = es g() = 3 X / 8 La función de densidad de probabilidad condicional f(y X =) es: f(y ) = f(, y) / g() = 8( + y ) 1 ; para < X Esta es una familia de funciones de densidad de probabilidad condicional de Y (supuesto que ocurre X = ) Para obtener una función de densidad condicional de Y para un valor específico de X, se debe elegir el = Por ejemplo, para = se tiene la función de densidad condicional f(y X = ) 1 y + ; para y (con = ) 3 6 La función de distribución condicional acumulada de Y, suponiendo que X =, está dada por: IV - 1

8 ARIABLES ALEAT CONT BIDIMENSIONALES F( y X = ) = y 8 ( + y )dy 1 = 8 1 y y + Para y =, se tiene F( y X = ) = 1 Nuevamente, la anterior es una familia de función de distribución condicional Si elegimos el valor =, por ejemplo, se tiene la función de distribución condicional F(y X=): F(y X=): 1 8 y y + 8 ; Vemos que para y = se cumple F( X = ) = 1, condición está necesaria para que F( X = ) sea una función de distribución acumulada (recordemos que Y debe satisfacer y variables aleatorias independientes Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua X e Y son variables aleatorias independientes si y sólo si f(, y) = g() h(y); ó, equivalentemente, g( y) = g(), ó h(y ) = h(y) Teorema limite central Sea un conjunto de variables aleatorias independientes X 1,, X n Cada una de estas variables aleatorias tiene media µ i, y desvío típico σ i Sea X la variable aleatoria que se obtiene sumando las X i, es decir: X = X 1 + X + + X n La media de X está dada por : µ X = µ 1 + µ + + µ n ; y la varianza de X está dada por : Var(X) = Var(X 1 ) + Var(X ) + + Var(X n ); por las propiedades de la media y la varianza de una suma de variables aleatorias independientes Sean X i {i=1,, n} variables aleatorias, con media µi y varianza Var(X i ) Todas las X i tienen la misma distribución de probabilidad Sea X la suma de las X i variables aleatorias; con µ X y Var(X ) dadas por las epresiones anteriores El teorema límite central afirma que en condiciones muy generales con respecto a las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias X i, la función de distribución de la suma tipificada Z = (X µ X ) / σ X será aproimadamente igual a la función de distribución normal tipificada Φ Z (,1) para valores grandes de n En el límite se cumple: X µ lim P z = n σ Φ Z (z) IV -

9 EOREMA LIMITE CENTRAL En el caso más general en que las X i tienen distribuciones distintas, las condiciones para la validez del teorema son que ninguna X i debe aportar una contribución relativamente importante al total X En la práctica basta con que la mayor µ i y la mayor Var(X i ) no superen el 1 % de µ X y de Var(X) respectivamente Recordemos que la suma de un cierto número, aún pequeño, de variables aleatorias que tienen una distribución normal, produce una variable aleatoria con distribución normal Esto no es consecuencia del teorema límite central; sino que es consecuencia de la propiedad reproductiva de la distribución normal El teorema del límite central se utiliza cuando se suman variables aleatorias que no tienen la distribución normal Además, y debido a que ese es un teorema límite (vale para n grande) para que las conclusiones sean válidas ( la suma tiene distribución normal ) el número n de variables aleatorias que componen la suma debe ser grande El siguiente gráfico, que se denomina histograma, describe 1 valores de la variable aleatoria: i = 5 Y = X i ; i = 1 donde las X i son variables aleatorias con distribución uniforme Cada una de las X i tiene recorrido (, 1) Esos 1 valores fueron obtenidos mediante un generador de números seudoaleatorios Los valores están presentados en forma de histograma; es decir, fueron agrupados en clases, y la altura de cada rectángulo está dada por la frecuencia de valores que cayeron en cada clase Superpuesto sobre el histograma, fue dibujada la curva de la distribución normal correspondiente a esos datos La aproimación de la distribución normal al histograma de los datos generados, es evidente Suma de 5 var aleat con dist continua 1 valores de la suma (Recorrido de las i desde a 1) Frecuencia X Observemos que el rango de la variable aleatoria Y es (, 5) Aquí vemos la consecuencia de que haber aceptado el teorema límite central con n = 5 Una variable con distribución normal tiene rango (-, ) IV - 3

10 EOREMA LIMITE CENTRAL ejemplos de usos del teorema límite central APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL A LA BINOMIAL La distribución normal se utiliza como aproimación a la distribución Binomial, cuando en esta última el número n de las repeticiones del eperimento aleatorio es grande A diferencia de la aproimación mediante la distribución de Poisson, ahora no es necesario que la probabilidad p del suceso de interés sea pequeña Sea X una variable aleatoria que está distribuida binomialmente, entonces X = X 1 + X + X 3 + +X n ; donde cada X i tiene distribución Bernoulli La distribución de X, cuando n es un número grande, está dada por el siguiente teorema Teorema: Si X es una variable aleatoria discreta que tiene la distribución Binomial, con los parámetros n y p; y si: X np Z = ; con q = ( 1 p) npq entonces para n, la distribución de z está dada por: F( z ) = z 1 u ep (- du ) π - Es decir, en el límite, la distribución binomial es idéntica a la distribución normal CORRECCIÓN POR CONTINUIDAD El teorema del límite central es válido tanto para la suma de variables continuas, como para la suma de variables discretas En el caso de la suma de variables aleatorias discretas, la variable aleatoria suma, X, toma valores discretos Para utilizar el teorema límite central cuando la variable suma X es discreta es necesario efectuar una corrección por continuidad Por ejemplo, esa corrección es indispensable para calcular mediante el teorema del límite central la probabilidad de que X = k, donde k es un entero La corrección por continuidad aumenta la precisión del cálculo de la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor dentro de un intervalo dado Pasamos a describir cómo se efectúa la corrección por continuidad en el caso de una variable discreta (en el caso de una variable aleatoria continua la corrección por continuidad obviamente no es necesaria) Cuando se emplea el teorema límite central, se le adjudica un intervalo a cada valor i de la variable aleatoria discreta X El intervalo adjudicado a i va desde la mitad del intervalo entre i-1 y i (límite inferior del intervalo), y hasta la mitad del intervalo entre i y i+1 Es decir, si i+1 - i = i i-1 =, los límites del intervalo que se le asigna a la variable discreta i son: [ i /; i + /] Veamos ahora cómo se utilizan esos intervalos asignados a i para calcular probabilidades Si se desea calcular la probabilidad P(X = i ) se hace: P(X = i ) P( i / X i + /) = F N ( i + /) F N ( i /) = Φ (z s ) Φ (z i ) donde indica se le asigna ; y además introdujimos los símbolos: ( i / ) µ z X i = σ X ; ( i + / ) µ z s = σ IV - 4

11 EOREMA LIMITE CENTRAL donde z i y z s son los límites inferior y superior, respectivamente, del intervalo continuo que se le asigna a i en el eje de la variable aleatoria tipificada Z Regla práctica: Se usa la aproimación normal en los casos en que np y nq son ambos mayores que 5 Ejemplo: La probabilidad de que una lata de pintura tenga un contenido defectuoso es de 5% Cuál es la probabilidad de que en un lote de 1 latas haya: a) 5 o más latas con contenidos defectuosos? b) 3 o menos latas con contenido defectuoso? Se tiene : n = 1; n p = 5; n p q = 4,75 (se cumple la regla práctica, np y npq tiene el valor 5 o muy próimo a 5) Como X es una variable aleatoria discreta, tenemos que efectuar la corrección por continuidad Se obtiene P(X 5) P(X i /), porque el intervalo de variable aleatoria continua que se le asigna a i = 5, es [ i /; i + /] =1 La variable tipificada z tiene el valor: 4,5-5 z = =, 3 4,75 Por consiguiente, las soluciones son: a) P( X 5) = P ( Z -, 3) =1- (-, 3) = Φ (,3) =,59 Φ b) P(X 3) P(X,5) = P(Z 1,14) =,13 Simulación numérica Frecuentemente es necesario resolver problemas tecnológico lo suficientemente complicados, como para que no se pueda determinar analíticamente la distribución de probabilidad de las variables aleatorias que intervienen Esa clase de problemas complejos se encuentran frecuentemente en el diseño y análisis de procesos industriales químicos Veremos el principio en que se basan las técnicas de simulación numérica El problema a encarar es el siguiente: Cómo se generan números aleatorios que tengan una distribución de probabilidad especificada por el usuario? Para generar esos números aleatorios, se siguen los siguientes pasos 1 ) Se generan números aleatorios con distribución uniforme en el intervalo (, 1) Prácticamente la totalidad de los paquetes utilitarios estadísticos incluyen un generador de números aleatorios con distribución uniforme (u otras distribuciones de probabilidad) Ejemplo Se desea generar 1 valores aleatorios con distribución uniforme, en el intervalo (, 1) Los resultados están graficados en el siguiente histograma: IV - 5

12 16 Distribución uniforme - 1 números 1 números seudoaleatorios 14 1 Número de casos X (Límite superior de clase) En la figura (un histograma) los valores obtenidos por el proceso de generación de datos aleatorios, fueron clasificados en intervalos (o clases) Para cada clase, se indica la cantidad de valores que cayeron dentro de ella Aunque los números provienen de una distribución aleatoria uniforme, la cantidad de valores dentro de las clases, no es uniforme Esta variabilidad es consecuencia de que solamente tomamos 1 números al azar del recorrido de la variable aleatoria Para que el histograma fuera más uniforme necesitaríamos obtener una cantidad mayor de números aleatorios Se procede a calcular los números seudoaleatorios con una distribución de probabilidad especificada por el usuario El algoritmo que se usa es: F -1 ( i ) = y i donde i son los números pseudo-aleatorios con distribución uniforme entre y 1; y i son los números con función de distribución F(y) especificada F -1 ( i ) es la función inversa de F( i ) Ejemplo A partir de los 1 números seudoaleatorios obtenidos anteriormente, en el intervalo (,1), queremos obtener 1 números provenientes de una distribución eponencial con parámetro α =,5 En este caso se tiene: De esta definición se obtiene: i = F(y i ) 1 ep( α y i ) y i = F -1 ( i ) = - ln(1 i ) / α Después de efectuar los cálculos correspondientes, se obtienen los 1 números con distribución eponencial, y i La siguiente figura muestra el histograma de estos números IV - 6

13 Distribución eponencial 1 números seudoaleatorios 4 18 Número de casos X (Límite superior de classe) Comentario Eisten varios métodos para producir números pseudoaleatorios con una distribución uniforme Entre los más populares se encuentra el método denominado congruencia multiplicativa Mediante ese método, vamos a construir una secuencia de números pseudoaleatorios Elijamos un número cualquiera Por ejemplo el 4 A este primer número que elegimos se lo denomina la semilla A continuación calculamos un segundo número i+1, cuyo valor está dado por: a + b + = Resto i i 1 ; m a, b, y m son números enteros con valores constantes a lo largo de la generación de los datos aleatorios Por Resto indicamos que igualamos i+1 al resto de la operación entera a, b, y i son números enteros con valores comprendidos entre y (m 1) En la práctica, m es un número entero muy grande A partir de i+1 calculamos un nuevo número i+ utilizando el mismo algoritmo El procedimiento se repite hasta obtener la cantidad requerida de números Finalmente, los números aleatorios requeridos están dados por la secuencia: 1 / m; / m; 3 / m; ; n / m Calculemos una secuencia de 1 números Usaremos a=, b =15, m = 1 = 4; = 3; 3 =1; 4 = 17 5 = 9; 6 = 13; 7 = 1; 8 = 17; 9 = 9; 1 = 13 La secuencia final de números pseudoaleatorios se obtiene dividiendo cada i por m,;,15;,5;,85;,45;,65;,5;,85;,45;,65 Este ejemplo muestra dos aspectos importantes: Los números aleatorios generados por un algoritmo numérico no son independientes Cada uno de ellos está relacionado con el anterior mediante el algoritmo utilizado Por esta razón se prefiere denominar a estos números como seudoaleatorios IV - 7

14 Después de un cierto subíndice i la secuencia se repite La longitud del ciclo depende del valor de los coeficiente a, b, y m que se elijan En la práctica los valores de esos parámetros son números muy grandes Esto asegura que la secuencia se repetirá para un índice i muy grande; lo cual en la práctica significa que la cantidad calculada de números pseudoaleatorios formará una sola secuencia IV - 8