Tema 16: Modelos de distribución de probabilidad: Variables Continuas

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1 Aálss de Datos I Esquema del Tema 6 Tema 6: Modelos de dstrbucó de robabldad: Varables Cotuas. EL MODELO RECTANGULAR. EL MODELO NORMAL, N(μ, σ) 3. MODELO CHI-CUADRADO DE PEARSON, χ k 4. MODELO t DE STUDENT, t k 5. MODELO DE SNEDECOR, m, Bblografía: Tema (ág. 33-3) y aédce fal co tablas Carme méez

2 Aálss de Datos I Esquema del Tema 6 La mayor arte de las varables cotuas també tee asocada su fucó de desdad de robabldad y su fucó de dstrbucó. E alguos casos se ajusta a u modelo teórco. Aquí veremos cco modelos ara varables cotuas.. EL MODELO RECTANGULAR Es la equvalete a la dstrbucó uforme de las varables dscretas. Por tato, ua varable aleatora se ajusta a este modelo s todos los valores co robabldad o ula tee la msma fucó de desdad. Gráfcamete se rereseta medate:. f(x) (x) - -. EL MODELO NORMAL, N(μ, σ) La curva ormal además de ua fórmula matemátca es u feómeo atural uesto que es frecuete ecotrarse varables co dstrbucoes ormales. El modelo Normal Exste u valor cetral (la meda), μ, dode se cocetra la mayor arte de los dvduos. (x ) N (μ,σ ) A medda que os alejamos de μ (a la derecha, co utuacoes altas y a la zda. co bajas) el úmero de dvduos se reduce. μ - σ μ μ + σ se dstrbuye ormalmete co arámetros μ y σ Es decr: ~ N (μ, σ) s su fucó de desdad es: f ( x) ( μ ) / σ e πσ Para varables tfcadas: u asecto más secllo: μ z, esta fórmula toma σ z / f ( z) e π ( z ) N(,) 3 Teorema de la Tfcacó: Para varables ormales, la fucó de dstrbucó asocada a u valor x es la msma que la asocada a ese valor e tícas (z ). Esto es: (x ) (z ) Ejemlo: ~ N (, )... La varable se dstrbuye ormalmete co meda μ y desvacó tíca σ z ~ N (, )... La varable z se dstrbuye ormalmete co meda y desvacó tíca Carme méez z

3 Aálss de Datos I Esquema del Tema 6 Tablas estadístcas Las tablas co la robabldad corresodete a los valores de está e tícas z. orma de cosultar la tabla (ver Tabla II e ág del lbro): z -3,. (z ) Área or la zda. (z ) 3, z Para buscar la robabldad asocada a u valor e la tabla ormal: μ º. Tfcar la utuacó: z º. P ( x ) P (z z ) (z ) P ( x ) P (z z ) - P (z z ) - (z ) P (x x ) P (z z z ) (z ) - (z ) σ Ejemlo: La varable estatura e ua muestra de estudates de bachlllerato se dstrbuye N (7, ).. Probabldad de que u sujeto mda al meos 65 cm: P ( 65) P (z 65 7 ) P (z -,65) - P (z -,65) -,643,7357. Probabldad de que u sujeto mda etre 6 y 74 cm: P (6 74) P ( 6 7 z 74 7 ) P (-,5 z,5) (,5) - (-,5),695 -,43,9 Aroxmacó de la Bomal a la Normal: La dstrbucó ormal se utlza ara aroxmar las robabldades asocadas al modelo bomal ~ B (N, π) cuado N > 7. Para ello se calcula las utuacoes tícas realzado la correccó or cotudad: ( ±,5) E ( ) z ; Dode: E() π ; σ ( ) N π ( π) σ( ) y se busca el área de robabldad asocada e las tablas de la ormal tfcada. 3. MODELO CHI-CUADRADO DE PEARSON, χ k S T z + z z k [z, z,..., z k so valores de la dstrbucó N (, )] χ k Etoces T (se dstrbuye segú) ~ χ k robabldad acumulada k grados de lbertad (g.l.) χ Proedades: - El modelo χ refleja ua dstrbucó asmétrca ostva que sólo toma valores ostvos - Parámetros: E(χ k) k y σ (χ k) k - S ~ χ a e Y ~ χ b (sedo e Y deedetes) y se defe T + Y, etoces T ~ χ a + b - χ tede a la ormal cuado k - Tablas estadístcas: Tabla III (ág del lbro). Ejemlo:,5 χ 6,635 Carme méez 3

4 Aálss de Datos I Esquema del Tema 6 4. MODELO t DE STUDENT, t k S ~ N (μ, σ) Y ~ χ k Etoces z T T (se dstrbuye segú) ~ t k Y / k χ k k / robabldad acumulada k grados de lbertad (g.l.) Proedades: - El modelo t k refleja ua dstrbucó smétrca y astótca or ambas colas - Parámetros: E (t k) y σ (t k) k / k - t de Studet tede a la ormal cuado k - Tablas estadístcas: Tabla IV (ág. 46 del lbro). Como la dstrbucó es smétrca, solo vee la mtad de la tabla. Por tato hay que teer e cueta que: P(t k T) P(t k -T) y P(t k T) P(t k -T). Ejemlo:,t 5,9. Por tato: P(t 5,9), P(t 5 -,9) y P(t 5,9), P(t 5 -,9). - t t k + 5. MODELO DE SNEDECOR, m, S Etoces C ~ χ m ; C ~ χ C/ m χ / m T T (se dstrbuye segú) ~ C / / m, k χk m, Proedades: rob. acumulada, m g.l. de C y g.l. de C - La forma del modelo de dstrbucó de Sedecor es como la de χ (asmétrca ostva y astótca sólo or la cola derecha). - Parámetros: E( m, ) y σ ( m) ( m+ ), m ( 4)( ) (sólo s > ) - S W T z /, etoces: W χ χ / k χk / k y W ~ k. Dode:,k EW ( ) y σ( W) k ( k ) - de Sedecor tede a la ormal cuado m y - Tablas estadístcas: Tabla V (ág del lbro). Ejemlo:, 6, 5,3 - Proedad de la versó: També uede usarse la fórmula m, m, E el ejemlo ateror:, 6,5, 3 3,,9 5,6 k ( k ) ( k 4)( k ) Carme méez 4

5 Aálss de Datos I Esquema del Tema 6 6. EJERCICIOS Ejercco La varable CI se dstrbuye N (, 5) e la oblacó de estudates uverstaros. Se seleccoa ua muestra aleatora de sujetos. S se extrae u sujeto al azar:. Cuál es la robabldad de que utúe e CI como máxmo?. Cuál es la robabldad de que utúe e CI al meos 95? 3. Cuál es la robabldad de que utúe e CI etre 9 y 99? 4. Qué utuacó e CI tee ua robabldad acumulada de,5793? 5. Qué utuacó e CI ocua el cetl 65? 6. Etre qué valores está el 5% medo de las observacoes? 7. Cuátos sujetos suera la utuacó CI? Ejercco Ua emresa ecesta seleccoar sujetos extrovertdos y co fludez verbal ara realzar tareas comercales. Se reseta 4 caddatos. Se establece como crtero seleccoar aquellos sujetos que suere el cetl 75 e ambas. Se sabe que la extroversó () sgue u modelo N(, ) y la fludez verbal (Y) u modelo N(, 3) y que ambas varables so deedetes.. Cuátos sujetos será seleccoados?. Qué utuacoes drectas se debe suerar e extroversó y fludez verbal ara ser seleccoado? 3. S extraemos al azar a de los caddatos, calcule la robabldad de que meos de la mtad suere la utuacó 9,6 e extroversó. Ejercco 3 La varable se dstrbuye segú χ co grados de lbertad.. S se extrae u sujeto al azar, calcule la robabldad de que o suere el valor 9,34. Calcule el valor de tal que la robabldad de obteer como máxmo ese valor sea,7 3. Calcule la robabldad de observar valores e la varable etre 3,94 y 3,44 4. Calcule la utuacó que corresode al cetl (e drectas, dferecales y tícas) 5. Calcule la robabldad de que la varable adote como mímo el valor 5,97 6. Calcule la utuacó que corresode a la robabldad acumulada de,99 Ejercco 4 La varable se dstrbuye segú t de Studet co 5 grados de lbertad.. S se extrae u sujeto al azar, calcule la robabldad de que o suere el valor,6. Calcule el valor de tal que la robabldad de obteer como máxmo ese valor sea,7 3. Calcule la robabldad de observar valores e etre -,36 y,36 4. Qué valor corresode a la medaa? 5. S dvdmos la dstrbucó e cuatro artes guales, Qué valores geera dcha artcó? Ejercco 5 La varable se dstrbuye segú 7,. S se extrae u sujeto al azar, calcule la robabldad de que o suere el valor 3,5. Calcule el valor de tal que la robabldad de obteer como mímo ese valor sea,75 3. Calcule la robabldad de observar valores e etre,9 y 7,69 4. Qué valor corresode al rmer cuartl? Carme méez 5

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