Interrogación (25 Ptos.) Conteste verbalmente las siguientes preguntas :
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- María Concepción Saavedra Pinto
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1 . Universidad Católica de Chile Dpto. de Ingeniería de Sistemas Modelos Estocásticos rofesor Alvaro Alarcón 6 de Noviembre de 009 Interrogación 3.- (5 tos.) Conteste verbalmente las siguientes preguntas : a) Es válida la aplicación de la ecuación de Little al número de personas que permanecen en el interior de un supermercado, considerando que los tiempos que permanecen no son exponenciales y que tampoco se retiran FIFO?. Justifique. Sí, ya que la ecuación de Little no tiene ningún supuesto, por lo que puede usarse en cualquier sistema de espera. b) Comente la validez de los supuestos del modelo de referencia básico M/M/ respecto de una realidad común. Modelar las llegadas de forma markoviana (proceso de arribo poisson) es bastante realista real. Sin embargo las atenciones no, ya que lo común que éstas tengan memoria. c) Cuales de los siguientes procesos de conteo se pueden modelar como cadenas de markov en tiempo continuo y cuales no?. Sólo justifique en los casos en que no se pudiera. - roceso de oisson - roceso de oisson Compuesto - roceso de oisson No Homogéneo - roceso de Renovación ara que un proceso se pueda modelar como cadenas de markov en tiempo continuo, se deben cumplir dos propiedades: - ropiedad markoviana - ropiedad de la estacionariedad Tanto el proceso de oisson como el de oisson compuesto cumplen ambas propiedades, por lo que si se pueden modelar como una CMTC. En el proceso de oisson no homogéneo las tasas varían a través del tiempo por lo que la propiedad de estacionariedad no se cumple y en el proceso de renovación al haber memoria, no cumple la propiedad markoviana, por lo que en estos dos últimos casos no se pueden modelar como CMTC. d) Determine el coeficiente de desocupación de un sistema M/M/, es decir, el porcentaje del tiempo que pasará vacío, en base al tiempo medio entre arribos /λ y al tiempo medio de atención /. Valide su respuesta comprobando que la tasa media de salida del sistema es igual a la de entrada.
2 La situación descrita puede verse en el siguiente esquema: or lo tanto, la probabilidad de que el sistema se encuentre ocupado es: Y por ende, la probabilidad de que se encuentre desocupado: ara validar la respuesta se debe calcular la tasa efectiva de salida Con lo que se valida el resultado obtenido e) Determine una expresión para la mediana del tiempo de permanencia de un requerimiento cualquieraa en un sistema M/M/. La mediana divide a los datos en dos partes iguales, por lo que la probabilidad de encontrarse en cada lado de la muestra es la misma. Siendo la distribución del tiempo de permanencia exponencial con tasa (-λ):
3 .- (5 tos) Considere una central telefónica de 3 líneas, en que los llamados arriban con tiempos entre arribo exponenciales con tasa media y toman un tiempo de atención exponencial con tasa media 3. Asuma que las personas que llaman y encuentran el número ocupado, no esperan, ni vuelven a llamar. a) Se equilibra el sistema? Justifique. Cuál es el límite de la tasa media de atención para que el sistema se equilibre? El sistema se equilibra automáticamente ya que tiene capacidad finita, es decir, no hay colas. Lo que no quiere decir, que el desempeño sea el mismo e independiente de la relación entre las tasas de arribo y atención, ya que al ser más grande la relación entre la tasas de arribo y de atención, mayor será la probabilidad de encontrar ocupadas las tres líneas. b) Establezca expresiones para el valor de las probabilidades de que el sistema se encuentre en cada estado. (Se pueden dejar expresadas fracciones). De las ecuaciones de equilibrio tenemos que: Tasa de Salida Tasa de Entrada 0 λ 0 ( λ ) ( λ ) λ λ λ Usando 3 de las cuatro ecuaciones anteriores además de λ = = () = 3 Obtenemos que: λ = λ 0 = 0 λ 3 = Y reemplazando y despejando 0 de la ecuación anterior () se obtiene que: 0 = 3 λ λ λ Lo mismo resulta de considerar que éste es un proceso de nacimiento y muerte, donde 0 = 3 λn λ0 + n= n
4 0 = λ0 λ λ0 λ λ λ = λ λ λ λ λ λ = 3 λ λ λ c) Cual es el tiempo medio de permanencia en el sistema de los llamados que son atendidos? El tiempo medio de permanencia de cada requerimiento atendido es el tiempo medio que toma su atención (no hay cola) por lo que es /. d) Establezca una expresión para el tiempo de permanencia en el sistema de todos los llamados que marcaron el número de la central (atendidos o no atendidos). De una interpretación física de la expresión. La expresión es la misma anterior, sólo que la tasa efectiva ahora considera todos los llamados, es decir es λ. Este tiempo de permanencia es menor, ya que se están considerando requerimientos con espera cero. W todos = 0* 3 + W entran * (- 3 ) 0 W
5 3.- (5 tos) En un supermercado (multitiendas, etc.) existen bienes que se adquieren en forma de autoservicio y otros que son expendidos mediante un empleado (único). Se sabe que los clientes arriban al supermercado de acuerdo a un roceso de oisson con tasa media lambda y que una fracción p de ellos se dirigen a comprar en la estación del empleado, quien atiende con distribución exponencial a tasa mu. El resto de los clientes se dirige al área de autoservicio. De aquellos clientes que se atienden con el empleado, una fracción q continúan sus compras mediante autoservicio, mientras que el resto concluye su visita y se dirige a las cajas a pagar. El tiempo que permanece un cliente en autoservicio distribuye exponencial con tasa media beta. a) Determine la condición de equilibrio de las personas que están en sus labores de compras.( El tema de la espera en las cajas del supermercado para pagar no tiene relación con el problema!). (5 ptos.) Condición de equilibrio: Tasa de Atención > Tasa de Entrada ara el servidor del empleado: ara el sistema con autoservicio, no se necesita condición de las tasas, ya que la tasa de atención se ajusta a la demanda, creciendo según el número de personas en autoatención. b) Escriba las ecuaciones de los estados: vacío, m personas comprando con el empleado y ninguna en el autoservicio; ninguna con el empleado y n en el autoservicio, y m con el empleado y n en el autoservicio. (8 ptos.) E Tasa Salida Tasa Entrada 0,0,,, m,0,,,, 0,n,,,,, m,n,,,,,, c) A qué tasa media deberían estar llegando las personas a las cajas del supermercado para iniciar su pago? Justifique. (4 ptos.) A tasa lambda, la misma de entrada al proceso de compra, por equilibrio.
6 d) Cuál es el número medio de personas en espera de ser atendidos por el empleado? (4 ptos.),,, e) Explique cómo podría determinar el tiempo medio de permanencia de un cliente cualquiera en las labores de compra ( no considere las cajas!). (4 ptos.) Calcularía primero el número medio de personas en el servidor del empleado como en la pregunta anterior, repetiría para el número medio de personas en autoservicio y sumaría ambos valores medios para obtener el número medio de personas realizando sus labores de compra. Finalmente aplicaría la ecuación de Little con λ como tasa para obtener el tiempo medio que permanece una persona comprando.
7 4.- (5 tos.) En un sistema productivo que fabrica en forma continua (sin interrupción alguna) a razón de una unidad en un tiempo exponencial con tasa media y cuyos productos terminados forman un inventario desde el cual se atienden pedidos que arriban según un proceso de poisson con tasa media λ : a) Establezca la condición de equilibrio del inventario. (5 puntos) En este problema se nos dice que la tasa media de llegada (producción) es y que la tasa de salida (pedidos) es λ or lo tanto el sistema queda: λ or lo tanto, la condición de estabilidad para el inventario es μ b) Establezca el nivel medio del inventario (no es necesario desarrollarla). (6 puntos) En este caso como la tasa de salida es y la de entrada es μ: μ μ c) A partir de la tasa de salida del productos del sistema en equilibrio, determine la probabilidad de no satisfacer un pedido, es decir, estar sin inventario. (7 puntos) Tal como se explicó en clases: Donde el coeficiente de ocupación es: μ / /μ μ
8 Así, la probabilidad de encontrar al sistema sin productos para satisfacer un pedido es: μ μ d) Establezca las ecuaciones de equilibrio para los estados 0,, n productos en inventario. (7 puntos) Estado Salida Entrada 0 0 λ λ n n + λ n λ n- + λ n+
S = N λ = 5 5 = 1 hora.
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