Tema 5. Introducción al Teletráfico y a la Teoría de Colas

Transcripción

1 Redes y Servicios de Telecomunicaciones Tema 5. Introducción al Teletráfico y a la Teoría de Colas Bertsekas: 3.1, 3.2, 3.3. Iversen: 1.1, 1.2, 1.5, 1.8, (Repaso), 3.3. o Schwartz: 2.1 y 2.2 (sin modelo finito) Portal Moodle Copyright 2010, Elsevier Inc. All rights Reserved 1

2 Contenido Introducción a la Teoría de colas. El proceso de Poisson y la distribución exponencial. Llegadas aleatorias. El proceso de llegadas. Uso aleatorio de los recursos. El tiempo de servicio. Fórmula de Little. Estudio del sistema M/M/1. Propiedades de la cola M/M/1. 2

3 Introducción a la teoría de colas Define matemáticamente el comportamiento aleatorio de los sistemas de colas Sistema de colas: representación de un comportamiento aleatorio en el que usuarios quieren utilizar unos servicios servidores proveen esos servicios colas lugares donde se espera a ser servido Cola simple: M/M/1 Usuarios ( ) cola de espera 3

4 Sistema de colas: Comportamientos Es aleatorio: cuándo y cuántos usuarios llegan cuánto tiempo usan el recurso Proceso aleatorio de llegadas Tasa de llegadas: λ llegadas/seg. Es determinista El número de servidores Variable aleatoria: Tiempo de servicio la política de asignación de servicio: FIFO, LIFO, PRIORIDADES, ROUND-ROBIN, PÉRDIDAS, t s E( t s ) = t s 1 µ =, "tasa de servicio" t s Respuestas a pedir al sistema de colas: Cuál es la probabilidad de encontrar el servidor ocupado? Cuánto hay que esperar para obtener el servicio? Cuánto espacio hay que reservar para que los usuarios esperen?... 4

5 Aplicación a redes de comunicaciones Redes de conmutación de paquetes: Recurso => Enlace troncal Servicio => Utilización del enlace durante el tiempo de transmisión del paquete (l p / V tx ) Modelo => Espera λ t s = l V p tx µ =1/ t s 5

6 Aplicación a redes de comunicaciones Redes de conmutación de circuitos: Recurso => Punto de conmutación en Central de conmutación. Servicio => Utilización del punto de conmutación durante el tiempo de la llamada Modelo: RTC => Pérdidas, TIN (Red inteligente) => Espera λ λ µ µ 6

7 Sistema de colas: Parámetros Tasa de llegadas (λ) (usuarios/unidad de tiempo) Tasa de servicio (μ) (usuarios/unidad de tiempo) Tiempo medio de servicio (E(t s ) = 1/μ) (unidad de tiempo) Tamaño de la cola (Q) Pérdidas Número de usuarios en el sistema (n), en la cola (q) Disciplina: FIFO, LIFO, PRIORIDADES, ROUND-ROBIN Carga del sistema/factor de utilización/intensidad de tráfico (A= λ/μ Erlangs) n... λ Q A= λ / μ q µ =1/ t s 7

8 Dimensionamiento El problema del dimensionamiento Cuántos recursos? Cuántos Recursos?: Nº de servidores, Tasa de servicio de cada servidor, Tamaño de la cola Coste 8

9 Calidad del servicio Sistemas puros de espera: Q = QoS = Tiempo medio de espera ó Probabilidad de esperar Sistemas puros de pérdidas: Q = 0 QoS = Probabilidad de pérdidas Sistemas míxtos: Q = N (finito) Ambos parámetros de QoS Aproximación a infinito => tiempo medio de espera 9

10 Con qué tráfico?: La hora cargada Modelo de colas <=> procesos estacionarios Ejemplo de Sistema de pérdidas Qué Probabilidad de bloqueo es mejor?: a.- 5% de pérdidas constantes durante todo el día b.- 1% de pérdidas (10% en dos horas, 0% resto del día) Ref: ITU-D: Handbook, TELETRAFFIC ENGINEERING. Sección

11 La hora cargada: Definición Hora Cargada: Concepto experimental Análisis para caso peor Características constantes en el tiempo. λ = 99 cpm Días Laborables Promediado cada 15 min. Ref: ITU-D: Handbook, TELETRAFFIC ENGINEERING. Sección

12 Llegadas => Proceso aleatorio Usuarios ( ) El proceso de llegadas cola de espera servidor Características: Las llegadas son independientes entre sí. Las llegadas son equiprobables en el tiempo. => Llegadas modelables por un proceso de Poisson. Ejemplos: Autobuses llegando a una parada: NO Llamadas en una central telefónica: SI 12

13 Proceso de Poisson n llegadas poissonianas en un intervalo T (independientes y equiprobables) T = m Δt Con una observación larga (T ), y con Δt 0: la tasa de llegadas es: Prob (1 Llegada en Δt) = n/m+o(δt ) = n/(t/δt)+o(δt ) = λ Δt+O(Δt ); Prob (0 Llegada en Δt) = 1- λ Δt + O(Δt ) Concepto físico de Tasa de llegadas (λ): Δt λ limt Es una velocidad (número de llegadas / unidad de tiempo) (λ = cte) Es el factor de proporcionalidad de probabilidad de llegada en Δt t n T 13

14 La distribución de Poisson Llegadas Poissonianas Δt T = m Δt Distribución de Poisson Probabilidad de k llegadas en T: Basándose en los experimentos de Bernouilli (Distribución binomial) t p k P k m p k k m k ( ) lim T t 0 ( ) = lim T m (1 ) = p ( k λt ) λt k! e k entero >= 0 (nº llegadas); T = m Δt (periodo de observación) p = Prob (1 Llegada en Δt) = λ Δt 14

15 La distribución de Poisson: Propiedades p( k) T = ( T ) k! k λ λt e T=1 Media: E( k) = λt Varianza: σ 2 k = λt k 15

16 Llegadas en redes de telefonía y datos Redes telefónicas: Independencia -> Hipótesis (gran número de usuarios) Equiprobabilidad -> Experimental (solo con el concepto de Hora cargada ) Redes de datos: Independencia: Hipótesis (gran número de fuentes en Troncales) Equiprobabilidad -> Experimental Existen modelos más precisos: Población finita, tráfico auto-semejante... -> Este modelo es una Primera aproximación 16

17 Combinación de procesos de Poisson λ 1 Teorema: Un número finito de procesos de Poisson Independientes Seleccionados aleatoriamente Se comporta como un proceso de Poisson de tasa la suma de las tasas de los individuales. λ 2 Equivale a λ = λ 1 + λ λ N λ N Demostración: La probabilidad del conjunto es el producto de las probabilidades (independencia). Despreciando términos de orden superior se obtiene la suma de las tasas. 17

18 Llegadas Poisson k ( T ) P( k) = e T k! λ λt Distribución exponencial En un proceso aleatorio de Poisson. La variable aleatoria: (tiempo entre llegadas) está distribuida exponencialmente Demostración: "τ" Tiempo entre llegadas λx p( τ > x) = p( k = 0) = e ; > F τ f τ τ λx ( x) = λe ; x > x T = x λx ( x) = p( τ x) = 1 e ; x > t 18

19 Distribución exponencial. Propiedades f ( x) = e x τ λ λ Media: E( τ ) = Varianza: 1 λ 2 1 σ τ = λ 2 19

20 Propiedad sin memoria de la distribución exponencial Dado un comportamiento Poisson / Exponencial de distribución conocida: (x) F τ Y dado un tiempo t en el que no se ha producido la llegada. Sea * τ = τ t el"tiempo restante"( τ > t) tiempo que falta para la siguiente llegada Se demuestra que: F * ( x) F ( x) τ = La distribución Exponencial NO TIENE MEMORIA τ 20

21 Servicio en redes telefónicas En redes telefónicas el tiempo de servicio se puede representar como una variable aleatoria distribuida exponencialmente Justificación: Experimental Puntos singulares en: 0 (tasa cero), 10'' (llamadas fallidas) λ µ µ x ft s ( x) = µ e Duración de la conversación 21

22 Servicio en redes de datos Distribución de longitudes de paquete en Internet Fuente: The Cooperative Association for Internet Data Analysis ( Analysis- >Resources) Tiempo de servicio constante (justificación Experimental) λ Modelo exponencial como modelo de caso peor. µ x ft s ( x) = µ e l p t s = µ V tx 22

23 Distribución de los instantes de salida Usuarios ( ) cola de espera Salidas? Llegadas Poisson servidor t Salidas tiempo de servicio tiempo de servicio + cola Caso 1.- Servidor siempre ocupado, tiempo entre salidas = tiempo de servicio (exponencial) => Salidas Poisson Caso 2.- Servidor no siempre ocupado, se separan dos estados: Ocupado => p (1 en t) = μ t No ocupado => p (1 en t) = 0 => Salidas Poisson (si no hay pérdidas) 23

24 Fórmula de Little Nº de llegadas α(t) Nº de salidas β(t) N(t) α(t) N(t) β(t) T 3 T 2 T 1 t α(t) y β(t) Procesos de llegadas y salidas al sistema. N(t) = α(t) β(t) Proceso del número de clientes en el sistema. T i Tiempo de estancia del cliente i-simo en el sistema. En Bertsekas se encuentra la demostración 24

25 Fórmula de Little. Válida para cualquier sistema de colas (cola, redes de colas,...) en: estado estacionario y sin pérdidas γ Sistema Estacionario Sin pérdidas E(n) E(T) γ E(n) <=> E(T) n : número de usuarios en el sistema E( n) = γ E( T ) Fórmula de Little (Si hay pérdidas recursos finitos -- sólo se deben tener en cuenta los clientes que consiguen entrar en el sistema). 25

26 Notación de Kendall Un sistema de colas se representa con la notación: A/B/X/Y/... A.- Distribución de llegadas. B.- Distribución del servicio. Valores Posibles de A y B: M: Poisson/Exponencial, D: Determinista, G: General X.- Número de servidores Y.- Capacidad del sistema: Colas + servidores Ejemplos: M/M/1, M/M/N/N, M/M/1/N, M/D/1, G/G/1 26

27 Análisis de la cola M/M/1. λ n p n E(n), E(T) cola servidor μ q p q E(q), E(W) El comportamiento es derivable del cálculo de p n (probabilidades de estado) El cálculo se realiza en régimen estacionario. Procedimiento de análisis por ecuaciones diferenciales: Calcular la ecuación diferencial: p n (t+ t) en función de p n (t) En estado estacionario se cumple: dp n (t)/dt = 0 Imponer condiciones de contorno para obtener p 0 27

28 Análisis por equilibrios de flujo λ λ λ λ λ λ λ λ Estados n-1 n n+1 μ μ μ μ μ μ μ μ Flujos de entrada = flujos de salida (en estado estacionario) λ p = μ p n n+1 λ p + μ p = (λ+μ) p n-1 n+1 n 28

29 Análisis de M/M/1 (cont). λ cola n p n servidor μ p µ p λ = p ( λ + n+ 1 + n 1 n µ p 1µ = p0λ ) p n λ p µ 1 = ρ pn 1 para n > = n 0 = n p 0 n p n n = ρ p para n = 1 0 > 0 (condición necesaria) n= 0 p n = n ρ n= 0 p 0 = 1 SOLO SI ρ < 1 p0 = (1 ρ) p = ρ n n ( 1 ρ) ρ < 1 n 0 29

30 Factor de utilización Para M/M/1 Prob. de servidor ocupado factor de utilización Físicamente: si λ => ρ si μ => ρ Si ρ 1 => Sistema no estacionario. Demostración: Probabilidad de servidor ocupado 1- p 0, 1- p 0 = 1 - (1- ρ) = ρ 30

31 Equilibrio de caudales en M/M/1 Como NO hay pérdidas, en régimen estacionario: Caudal de entrada = Caudal de Salida λ 0 p 0 + μ (1-p 0 ) Comprobación: Caudal de salida = 0 p 0 + μ (1-p 0 ), p 0 = (1- ρ) => 0 p 0 + μ (1 - (1-ρ)) = λ = Caudal de entrada μ Servidor desocupado => 0 Servidor ocupado => μ 31

32 Número medio de usuarios E(n) Por definición: E( n) = np n n=0 Para M/M/1: E( n) = n nρ (1 ρ) = n= 0 1 Conclusión: El número medio de usuarios en la cola, y por tanto el retardo, tiende a infinito cuando ρ tiende a 1. Por lo tanto, los sistemas poissonianos de capacidad infinita no pueden cargarse a sus capacidades máximas. ρ ρ Eficiencia (ρ) Calidad Estabilidad solo en la zona de trabajo 32

33 Aplicación de Little: Tiempo de espera para M/M/1 γ = λ cola servidor μ q p q E(q), E(W) n p n E(n), E(T) E( T ) = E( n) γ = E( n) λ E( T ) = 1/ µ = 1 ρ 1 µ λ 33

34 Normalización de E(T) en M/M/1 cola servidor E( T ) t s = E( T ) 1 = µ E( T ) = 1/ µ 1 ρ γ = λ μ q p q E(q), E(W) n p n E(n), E(T) 34

35 Tiempo de espera en cola en M/M/1 λ cola servidor μ q p q E(q), E(W) n p n E(n), E(T) Tiempo medio de espera en cola: E(w) Se obtendría del tiempo de espera en el sistema: E(T) = E(w) + 1/μ Y, aplicando la fórmula de Little sólo a la cola, se obtendría el número medio de usuarios en la cola: E(q) = λ E(w) 35

36 Resumen Se ha visto: Una introducción a la teoría de colas. Su aplicabilidad a las redes de comunicaciones. Los modelos matemáticos que describen el comportamiento de los usuarios pidiendo y usando recursos de comunicaciones. El concepto de hora cargada. La relación entre la ocupación media de un sistema y el tiempo medio de permanencia en el mismo (fórmula de Little). El análisis del sistema de colas más simple y su modelado por las probabilidades de estado. Propiedades del comportamiento de la cola M/M/1. 36