Péndulo reversible de Kater

Transcripción

1 Autores Péndulo reversible de Kater Elizabeth Aballay Eduardo Avilés aboratorio de Física I - Año - Universidad Favaloro - 00 Resumen Se estudia el movimiento de un péndulo reversible de Kater, basada en un péndulo físico de masa constante que puede oscilar alrededor de dos puntos de suspensión O y O. Aplicando las leyes de rotación de sólidos ríidos a los sistemas oscilantes con pequeñas amplitudes, es posible explicar la relación de la distribución de masa para la cual los períodos de oscilación respecto de los puntos O y O sean iuales. Al oranizar los datos experimentales, se verifica lo anterior, a través del análisis rafico. Introducción Existen varias realizaciones del péndulo reversible, inventado por Henry Kater en 85. odos ellos se basan en un péndulo físico (típicamente una barra) que puede oscilar alrededor de cualquiera de dos puntos de suspensión O y O, como se ilustra esquemáticamente en la Fiura. o que se busca es una distribución de masa para la cual los períodos de oscilación respecto de los puntos de suspensión O y O sean iuales. Esto se consiue ajustando la posición de las masa M y M, lo que cambia el momento de inercia del péndulo respecto al eje de iro. Una posible realización de este péndulo se muestra esquemáticamente en la parte derecha de la fiura. M z O M O y Fiura : Péndulo reversible de Kater. Este péndulo puede oscilar de cualquiera de los puntos de suspensión O y O. a separación entre ambos,, es fija y conocida. Consta además de dos masas de posición variables, M y M. a primera permite una variación ruesa de la distribución de masas y por ende de los períodos respecto de O y O. a seunda masa (la menor) sirve para realizar un ajuste fino de los períodos. Péndulo Kater E. Aballay E. Avilés UF 00

2 a distancia entre los puntos de suspensión es fija y conocida,. Si llamamos K al radio de iro del péndulo respecto de su centro de masa y desinamos por a y a las distancias del centro de masa a punto de suspensión O y O respectivamente, tenemos que los períodos del péndulo respecto de estos dos puntos de suspensión serán, respectivamente: y: con: K a a () K a a () a a () Si, variando la distribución de masas (ubicación de M y M ), loramos que estos dos períodos se iualen, entonces tenemos que: K a a () y, por lo tanto: comun (5) Para el caso de una barra uniforme, los períodos serán iuales cuando las distancias y de los puntos de suspensión al centro de masa cumplan las expresiones, seún la siuiente deducción: Deducción teórica Deduciremos para el péndulo como el que raficamos en la Fiura, la relación que cumplen las distancias y de los puntos de suspensión al centro de masa en una barra uniforme, cuando sus períodos y con la lonitud de la varilla, para pequeñas amplitudes de oscilación (aproximadamente para ánulos menores a 0º) son iuales. El momento de inercia de una varilla que ira sobre su centro de masa es: M pero en nuestro caso ira a una distancia entonces: El período para un péndulo físico esta dado por: Ι 0 (6) ( x) M M M I (7) Péndulo Kater E. Aballay E. Avilés UF 00

3 Péndulo Kater E. Aballay E. Avilés UF 00 ( ) M M md x I (8) elevando ambos miembros al cuadrado: M M Si δ con δ 0, entonces: Iualo ( )() ( ) ( ) entonces: 0 de este modo a traves de la ecuación cuadrática formada hallo los valores de : 9 ± ± Si δ es distinto de cero, los períodos y serán iuales si las distancias y de los puntos de suspensión al centro de masa cumplan las expresiones: δ (9)

4 δ 6 (0) Método Experimental En este proyecto se utilizó una péndulo reversible construido con una barra de sección uniforme metálica, de lonitud 00, ± mm. a barra tiene dos puntos de suspensión que distan del centro de masa distancias y ; δ es la distancia del extremo superior al punto de suspensión, en este caso δ 0, 6 ± mm. a sobrecara está ubicada en la posición y que se mide desde un punto arbitrario de la barra. Ésta sobrecara, se loró usando un clip de papeles (como se muestra en la fi. ). Se utilizó un fotointerruptor conectado a una PC, que reistró el paso de la barra, para determinar los períodos y variando la distancia y. a barra que obstruyó el haz de luz del instrumento, midió los tiempos con una apreciación nominal del orden de ms. El prorama de control del fotointerruptor, utilizado en el modo Pendulum imer, reistró esos tiempos. δ sobrecara Fiura : Péndulo reversible de Kater. Una barra de sección uniforme con dos puntos de suspensión. ueo se procedió a medir las distancias y del dispositivo con una rela, con un error nominal de apreciación del orden de mm. os resultados de las mediciones fueron: 65 ± mm 96 ± mm os cuales coincidieron con las distancias requeridas y, medidos de los puntos de suspensión al centro de masa, para lorar que los períodos sean iuales, seún lo indica las siuientes ecuaciones para el caso de una barra uniforme, de una lonitud y δ dadas. δ Péndulo Kater E. Aballay E. Avilés UF 00

5 δ 6 A continuación, usando el péndulo con estas condiciones, representamos ráficamente los períodos y en función de la posición de la sobrecara, y. Para poder visualizar la información experimental obtenida, utilizamos el método de cuadrados mínimos para buscar una relación analítica que mejor ajusta a nuestros datos. Se puede observar en la fiura, que los ráficos de los períodos y en función de la posición de la sobrecara (y), el ajuste fue polinomial de seundo rado. os modelos utilizados para cada uno de los ráficos son los adecuados para describir los datos experimentales, debido a que el R se aproxima a en ambos casos. Período(se) Péndulo de Kater Y (cm) (y) E-05x x.656 R (se) (se) Poly. ( (se)) Poly. ( (se)) (y) E-05x x.675 R Fiura : ráfico de los períodos y en función de la posición de la sobrecara (y), de acuerdo a los datos experimentales obtenidos y ajustados a lineas de tendencia por el método de cuadrados mínimos. A partir del ráfico se determinó el valor de y y* para lorar la iualdad de los períodos en función de y. El punto y* es el valor óptimo de y, donde las curvas (y) y (y) se cortan. De este modo se determina el mejor valor de: Y* 67, 6 ± 0, cm, 6 ± 0, se Utilizando la ecuación (5), determinamos el valor de la aceleración de la ravedad con su incertidumbre: ( m / s ) 0, ± 0, 5m s / Discusión Al comparar y analizar los datos de la experiencia realizada, se comprobó que los resultados obtenidos son consistentes debido a que coinciden con el marco teórico propuesto. Péndulo Kater E. Aballay E. Avilés UF 00 5

6 Se puede observar que se cumplieron las ecuaciones para un péndulo de Kater, y en la experiencia realizada se pudo lorar una distribución de masa de modo tal que se loró que los períodos de oscilación respecto de los puntos de suspensión O y O sean iuales. El análisis ráfico y el método de ajuste a una línea de tendencia se utilizó para observar los datos experimentales y hacer la comparación con los ráficos propuestos por la ecuaciones del movimiento, y observar la relación que debe haber entre las distancias y para que los períodos y sean iuales, los cuales coincidieron con los resultados esperados. Conclusiones De acuerdo a lo observado en la experiencia se comprobó efectivamente que a una determinada distribución de masa del dispositivo utilizado, los períodos de oscilación respecto de los puntos de suspensión O y O son iuales, los cuales coinciden con la distancia necesaria de los puntos de suspensión propuesta por la ecuaciones para el movimiento del péndulo de Kater, dado en el marco teórico. Al utilizar el método de cuadrados mínimos, el cual ajusta los datos obtenidos de la experiencia a una línea de tendencia, coinciden perfectamente con las ecuaciones correspondientes al movimiento estudiado. Referencias. Gil, S. y Rodríuez E., Física re-creativa, ra. Ed.- Buenos Aires: Prentice Hall, 00.. Meyer, P., Probabilidad y aplicaciones estadísticas, da. Ed.- México: Prentice Hall, Resnick, R., Halliday, D., Física para estudiantes de Ciencias e Ineniería, ra. Ed.- Buenos Aires: Compañía Editorial Continental, Sears, Zemansky, Youn, Freedman, Física Universitaria, 9na Ed.- Arentina: Pearsn Educación, 999. Péndulo Kater E. Aballay E. Avilés UF 00 6