Práctica 2. Continuidad de funciones de varias variables

Transcripción

1 Práctica 2. Continuidad de funciones de varias variables Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas. Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión 1.- GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL Ejemplo 1. (Ejercicio 4) Representar gráficamente la superficie dada por la función. (a) f(x,y)= x 2 9 y 2 In[108]:= f@x_, y_d := x^2 9 y^2 Plot3D@f@x, yd, 8x, 2, 2<, 8y, 2, 2<D Out[110]= (d) f(x,y)=cos J x2 +2 y 2 N 5

2 2 Practica2_Continuidad.nb Ejemplo 2. (Ejercicio 6) Representar gráficamente las curvas de nivel de las siguientes funciones. (a) f(x,y)= x x 2 +y 2 In[114]:= x f@x_, y_d := x^2+ y^2 Plot3D@f@x, yd, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<D Out[116]= In[117]:= ContourPlot@f@x, yd, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<, Contours 50D Out[117]=

3 Practica2_Continuidad.nb 3 (c) f(x,y)=3 senh»x» +» y»l 2.- LÍMITES Ejemplo 3. Calcular los límites iterados y direccionales de la función f: 2 ô definida en la forma f(x,y) = x2 y 2 x 4 +y 4, (x,y)œdã 2 In[121]:= f@x_, y_d := x2 y 2 x 4 + y 4 Plot3D@f@x, yd, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<D Out[123]= Los límites iterados y direccionales de f en el punto (0,0) vienen dados por: In[124]:= Out[124]= 0 Out[125]= 0 Limit[Limit[f[x,y],x 0],y 0] Limit[Limit[f[x,y],y 0],x 0] Limit[f[x,m x],x 0] Out[126]= m m 4 De los resultados obtenidos vemos que la función f no tiene límite en el punto (0,0), ya que los límites direccionales de f en (0,0) dependen del parámetro "m". Ejemplo 4. Calcular los límites iterados, direccionales y en

4 4 Practica2_Continuidad.nb coordenadas polares de la función g: 2 ô definida en la forma g(x,y) = xy3, x 2 +y 9 (x,y)œdã 2 Definimos la función y calculamos los límites iterados y direccionales In[127]:= Out[129]= 0 Out[130]= 0 Out[131]= 0 g@x_, y_d := x y3 x 2 + y 9 Limit@Limit@g@x, yd, x 0D, y 0D Limit@Limit@g@x, yd, y 0D, x 0D Limit@g@x, m xd, x 0D In[132]:= Plot3D@g@x, yd, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<D Out[132]= In[133]:= A la vista de los resultados obtenidos, nos planteamos la siguiente pregunta: Es posible afirmar que existe el límite de g en el punto (0,0)? Hacemos el cambio a coordenadas polares. In[134]:= Out[134]= In[135]:= F@ρ_, θ_d = g@ρ Cos@θD, ρ Sin@θDD êê Simplify ρ 2 Cos@θD Sin@θD 3 Cos@θD 2 +ρ 7 Sin@θD 9 Limit@F@ρ, θd, ρ 0D Out[135]= 0 Aunque el límite es independiente del valor de q, se observa que el denominador de F(r,q) podría anularse para algunos

5 Practica2_Continuidad.nb 5 valores de r y q. Además la gráfica de la función parece indicarnos que el límite no existe. Probamos a calcular el límite a través de distintas curvas. In[136]:= LimitAgAx, x 2 E,x 0E Out[136]= 0 In[137]:= LimitAgAx, x 3 E,x 0E Out[137]= 0 In[138]:= LimitAgAy 2,yE, y 0E Out[138]= 0 In[139]:= LimitAgA y 3,yE, y 0E Out[139]= 1 Luego el límite de g en el punto (0,0) no existe, ya que el límite depende de la trayectoria seguida. Ejemplo 5. Calcular los límites iterados, direccionales y en coordenadas polares de la función h: 2 ô definida en la forma h(x,y) = xy2 x 2 +y 2, (x,y)œdã 2 In[140]:= h@x_, y_d := x y2 x 2 + y 2 In[142]:= Out[142]= 0 Out[143]= 0 Limit@Limit@h@x, yd, x 0D, y 0D Limit@Limit@h@x, yd, y 0D, x 0D In[144]:= Limit@h@x, m xd, x 0D Out[144]= 0 Hacemos el cambio a coordenadas polares In[145]:= F@ρ_, θ_d = h@ρ Cos@θD, ρ Sin@θDD êê Simplify Out[145]= ρ Cos@θD Sin@θD 2 In[146]:= Limit@F@ρ, θd, ρ 0D Out[146]= 0 In[147]:= Out[147]= Abs@F@ρ, θd 0D AbsAρ Cos@θD Sin@θD 2 E Observamos, por último, cómo en este caso la utilización de coordenadas polares no presenta problemas, ya que la expresión F(r,q) tiende a cero para cualquier valor del ángulo q cuando r tiende a cero y la expresión»f(r,q)-l» está

6 6 Practica2_Continuidad.nb mayorada por una función j que depende sólo de r y es tal que lim rø0 j(r)=0, por lo que es suficiente para afirmar que lim Hx,yLØH0,0L hhx, yl = CONTINUIDAD Ejemplo 6. (Ejercicio 18) Discutir la continuidad de la siguiente función en el punto (0,0) (a) f(x,y)= xy x 2 +y 2 si (x,y)π(0,0) y f(0,0)=0. In[148]:= x y f@x_, y_d := x^2+ y^2 Plot3D@f@x, yd, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<D Out[150]= Viendo la gráfica parece que la función es discontinua en (0,0). Vamos a comprobarlo calculando los límites direccionales. In[151]:= Out[151]= Limit@f@x, m xd, x 0D m 1 + m 2 Como los límites direccionales dependen de m quiere decir que no existe el límite. Por tanto la función no es continua en (0,0).

7 Practica2_Continuidad.nb 7 Ejemplo 7. (Ejercicio 19) Analizar la continuidad de la siguiente función: f(x,y)= x^2+2 x y^2+y^2 x^2+y^2 si (x,y)π(0,0) y f(0,0)=0. In[152]:= x^2+ 2 x y^2+ y^2 f@x_, y_d := x^2+ y^2 Plot3D@f@x, yd, 8x, 2, 2<, 8y, 2, 2<D Out[154]= Gráficamente se observa que existe el límite cuando Hx, yl Ø H0, 0L. Vamos a calcular los límites direccionales. In[155]:= Limit@f@x, m xd, x 0D Out[155]= 1 Si el límite existe debe valer 1 f(0,0)=0. Por tanto la función no es continua en (0,0). Si hubiéramos definido f(0,0)=1 la función sería continua. 4.- EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1. Representar la gráfica y las curvas de nivel de las siguientes funciones: (a) f(x,y)=e 1-x2 +y 3 (d) f(x,y)=ln I y x 2 M

8 8 Practica2_Continuidad.nb Ejercicio 2. Analizar el límite cuando Hx, yl Æ H0, 0L de las siguientes funciones: (a) f(x,y)= senix2 +y 2 M x 2 +y 2 (b) g(x,y)= Ix 2 + y 2 M lnix 2 + y 2 M Ejercicio 3. Demuestra que no existe el límite cuando Hx, yl Æ H0, 0L de la función f(x,y)= 2 x2 +3 xy+4 y 2. Representa su gráfica y analiza el resultado. 3 x 2 +5 y 2 Ejercicio 4. Analizar la continuidad en (0,0) de la función f(x,y)= x2 y 3 f(0,0)=0. si (x,y)π(0,0) y 2 x 2 2 +y Ejercicio 5. Determinar el conjunto más grande en el que la función f(x,y)= 2 x-y2 si yπ -2x 2, f(x,y)=0 si y=-2x 2 es continua. 2 x 2 +y