PROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD (MÉTODOS ALGEBRAICOS) lím. lím. Las descomposiciones factoriales se hacen dividiendo sucesivamente por x + 2.
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- Pilar Iglesias Araya
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1 PROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD MÉTODOS ALGEBRAICOS) Cálculo de ites or métodos algebraicos Resuelve los siguientes ites: a) 8 b) 8 c) a) ) ) 6) ) 8 Se reite el roceso) ) ) ) ) Las descomosiciones factoriales se hacen dividiendo sucesivamente or + b) 8 c) Halla, en función de los valores de, los siguientes ites: a) b) 8 a) En consecuencia, si el ite será infinito: no eiste el ite Pero, si, se tiene: b) 8 En consecuencia, si el ite valdrá Pero, si, se tiene: 8 Calcula los siguientes ites: a) b) c) ) a) Es una indeterminación: Puede resolverse transformando la función inicial, multilicando los términos de la eresión or el conjugado del numerador Así:
2 b) Es similar al anterior Para resolverlo hay que multilicar or la eresión conjugada del denominador 8 c) ) dividiendo numerador y denominador or ) Calcula: a) b) c) Mediante la comaración de grados los tres ites ueden hacerse directamente, resultando: a) b) c) 7 Calcula el valor de los siguientes ites: a) b) c) a) b) ) c)
3 Los roblemas marcados con * no son imrescindibles) * A artir de la definición del número e, e, utilizando las roiedades de los ites, demuestra que e b) e a), c) a) Para demostrarlo se transforma la eresión inicial como sigue: e b) Para demostrarlo uede hacerse t y observar que si + t Por tanto: t t t e c) Para demostrarlo se transforma la eresión inicial como sigue: e *6 Alicando los resultados anteriores calcula: a) b) c) a) e / e b) / e / c) ) ) ) ) e
4 7 Calcula: a) log b) log c) log a) log log log d) ln e b) log log log log c) log log log d) ln ln e e ln e ln e 8 Calcula: a) sin b) cos a) sin sin sin c) tan b) cos cos cos c) tan tan tan No eiste 9 Calcula: sin a) b) c) d) sin / tan tan a) El ite no eiste) Debe observarse que sin sin sin sin b) Debe observarse que sin + / c) / tan tan / d)? tan tan Debe observarse que tan no eiste
5 Halla el valor de los siguientes ites: a) ) / b) ) / c) 9 a) / ) /, que no eiste Puede ser de interés hacer los ites laterales Por la izquierda: / ) / Por la derecha: / ) / b) ) / c) Calcula los siguientes ites: a) ) b) 9 6 c) Surgen indeterminaciones del tio [ ] Para transformarlas se hace la resta inicial a) ) ) ) b) 9 6 [ ] ) ) ) ) 9 c) 9
6 6 * Calcula los ites: a) b) c) Ambos ites dan lugar a la indeterminación de la forma [ ] Para resolverla se multilica y divide or la eresión conjugada a) [ ] dividiendo or ) b) [ ] dividiendo or ) c) Ahora uede dividirse or )
7 7 Asíntotas de una función Halla las asíntotas de la función f ) Indica la osición de la curva resecto de sus asíntotas La función no está definida en En ese unto hay una asíntota vertical, ues: Cuando, f ) Y cuando +, f ) Como el grado del numerador es igual al grado del denominado más, también tiene una asíntota oblicua f m ) ; n f ) ) La asíntota es la recta y Si se hace la resta curva menos la asíntota se tiene: f ) y Cuando +, esa diferencia tiende a + la curva va or encima de la recta Cuando, esa diferencia tiende a la curva va or debajo de la recta Dada la función f ) de la curva resecto a ellas La función no está definida cuando 6, halla con detalle sus asíntotas; e indica la osición 6 ; esto es, si o Por tanto, Domf) R {, } La función tiene dos asíntotas verticales Las rectas y, ues: lim 6 y lim 6 También tiene una asíntota horizontal, la recta y, ues lim 6 Tiene tres asíntotas, las rectas: ; ; y Posición de la curva resecto de las asíntotas Si, f ) + ) ) Si +, f )
8 8 Si, Si +, f ) ) ) f ) + Tanto hacia como hacia + la función se acerca al eje OX or arriba, ues la función toma valores ositivos cuando es grande ) Halla las asíntotas de la función f ) La función no está definida en En ese unto tiene una asíntota vertical, ues: ) la recta es AV También tiene una asíntota oblicua, ues el grado del numerador es igual al del denominador más La asíntota oblicua es la recta y m + n, siendo: f ) ) m ; ) n f ) m) La recta y es asíntota oblicua De otra manera Descomoniendo dividiendo) la eresión dada: ) f ) La asíntota es la recta y, ues ara valores de muy grandes cuando +) f ), ues el término se hace cada vez más equeño, aunque ositivo, lo que indica que la curva va or encima de la asíntota De manera análoga, cuando ) f ), lo que indica que la curva va or debajo de la asíntota 6 Sea f ) Halla su dominio y sus asíntotas La función dada está definida ara todo valor de distinto de La curva tiene or asíntota vertical la recta, ues También tiene una asíntota oblicua, ues el grado del numerador es igual al del denominador más Como f ), la asíntota oblicua es y Nota: También odría obtenerse mediante ites La asíntota oblicua es y m + n, siendo:
9 9 f ) m y n f ) m) 7 Eiste algún valor de ara el que la función f ) tenga solamente una asíntota vertical? La función ueden tener asíntotas verticales en los untos que anulan el denominador: en las soluciones de, que son y ) ) Luego f ) ) ) ) ) Si ±, en no habría ) ) asíntota ) ) Seguiría habiéndola en, ues ) ) Si ±, habría una asíntota vertical en ; ero no en El razonamiento es análogo) También tiene una asíntota horizontal, la recta y, ues, cualquiera que sea el valor de 8 Comrueba que la función f ) sin no tiene asíntotas La función está definida ara todo R Por tanto no tiene asíntotas verticales sin Tamoco tiene asíntotas horizontales, ues Veamos si tiene oblicuas: y m + n f ) sin m Por tanto, tamoco hay asíntota oblicua ; n f ) m) sin 9 Halla las asíntotas de las siguientes funciones: a) a) f ) e f ) e b) f ) e c), que no eiste f ) e d) f ) e tiene una asíntota horizontal hacia, ues e e es el eje de abscisas b) f ) e no está definida en En este caso conviene considerar los ites laterales, cumliéndose: Por la izquierda: / e e e La asíntota Por la izquierda no hay asíntota vertical
10 Por la derecha: e e e / derecha La recta y es asíntota vertical or la Además, tiene una asíntota horizontal hacía, ues e e La asíntota es la recta y Hacia la asíntota va or encima de la curva; hacia +, la asíntota va or debajo c) f ) e no tiene asíntotas verticales, ues está definida en todo R Tamoco tiene e y segundo ite se necesita alicar L Hôital Se verá en su momento) asíntotas horizontales ni oblicuas, ues e e Para hacer este d) La función f ) se conoce con el nombre de función logística Tiene dos e asíntotas horizontales, una hacia y otra hacia + En efecto: e e La recta y es asíntota horizontal de la curva e e La recta y es también asíntota horizontal Su gráfica es la que se indica Halla las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ) log b) f ) log c) f ) log d) f ) log a) La función f ) log está definida ara > Tiene una asíntota vertical en, or la derecha, ues log b) La función f ) log está definida ara > Tiene una asíntota vertical en, or la derecha, ues log Puede verse que f ) log log log log f está definida si < o > Tiene dos asíntota verticales; una a la izquierda de, otra a la derecha de, ues: log y log c) La función ) log
11 d) La función f ) está definida ara >, menos en log En tiene una asíntota vertical, ues log También tiene otra asíntota horizontal hacia +, ues log Continuidad Indica los untos de discontinuidad de cada una de las siguientes funciones Justifica la resuesta en cada caso a) f ) 8 b) f ) c) f ) d) f ) e) f ) 8 f) f ) g) f ) h) f ) f ) e j) f ) e i) k) f ) log 6 l) f ) log sin m) f ) tan n) f ) sin o) f ) cos ) f ) cos Las funciones dadas son continuas en todos los untos de su dominio de definición Por tanto, en los casos dados, hay que ecluir los untos en los que no están definidas, que son: a) f ) 8 es continua en todo R Los olinomios son funciones continuas siemre b) f ) es continua en R { } Puede observarse que en se anula el 8 denominador Las funciones racionales son continuas siemre, menos en los ceros del denominador c) f es continua en R 8, 8 ) 8 d) f ) es continua en todo R, ues está definida siemre 8 e) f ) 8 es continua ara todo Estas funciones están definidas cuando el radicando no es negativo f) f ) es continua en todo R, ues está definida siemre g) f ) es continua en todo R, ues está definida siemre h) f ) es continua cuando ; esto es cuando,,
12 i) f ) e es continua en todo R, ues está definida siemre j) f ) e es continua en R {} k) ) log 6 f es continua ara todo > 6/ Para valores de 6/ la función no está definida l) f ) log es continua en todo R, ues está definida siemre m) f ) tan es continua ara todo k Recuérdese que la tangente, tan, no está definida cuando k En este caso, k k n) f ) sin es continua en R {} o) ) cos f es continua en todo R, ues está definida siemre ) sin f ) es continua en todo R, ues está definida siemre cos Indica los untos de discontinuidad de cada una de las siguientes funciones Justifica la resuesta en cada caso, si, si cos, si a) f ) b) f ) c) f ), si, si, si, si e, si, si d) f ) e) f ) f) f ), si sin, si ln si Las funciones definidas a trozos son continuas cuando lo son en cada intervalo y, además, sus ites laterales son iguales en los untos de división del dominio, si a) f ) Cada función es continua en su intervalo de definición, si resectivo; ero es discontinua en, ues en ese unto los ites laterales no son iguales: Por la izquierda: f ) Por la derecha: f ), si b) f ) En este caso, la función es continua en todo R, ues en, si los ites laterales coinciden Por la izquierda: f ) Por la derecha: f )
13 cos, si c) f ) La función está definida en todo R La única dificultad ara su, si continuidad se da en Como los ites laterales coinciden, la función también es continua en En efecto: Por la izquierda: f ) cos Por la derecha: f ), si d) f ) La función está definida en todo R La función f ) sin, si es discontinua en, ero ese unto está en el segundo trozo En, los ites laterales valen: Por la izquierda: f ) Por la derecha: f ) sin Como no coinciden, la función no es continua en e, si e) f ) La función no está definida en Por tanto, en ese unto es, si discontinua El otro unto conflictivo es Hay que estudiar los ites laterales Por la izquierda: f ) e e Por la derecha: f ) Como son iguales, la función es continua en, si f) f ) La función no está definida ara Por tanto, sólo uede ln si ser continua si < Por otra arte, en uede resentar dificultad: hay que estudiar los ites laterales en ese unto f ) Por la izquierda: Por la derecha: f ) ln ln Como son iguales, la función es continua en 8 Estudia la continuidad de función f ) Si tuviese alguna discontinuidad 6 evitable cómo odría evitarse? La función es discontinua cuando 6 o La discontinuidad uede evitarse si eiste el ite 8 En, como, la discontinuidad no uede evitarse es de salto 6 infinito) La función tiene una asíntota vertical:
14 8 En, como 6 la discontinuidad uede evitarse definiendo f ) Determina el tio de discontinuidades que resenta la función Es discontinua en los ceros del denominador: 7 8 En la discontinuidad es evitable, ues eiste el ite: En la discontinuidad es inevitable, ues no eiste el ite: Por tanto, en, f ) Deendiendo de los valores de, tiene la función f ) alguna discontinuidad? Si la tuviese, odría evitarse en algún caso? Es discontinua en los ceros del denominador: Por tanto, si > o <, la función tiene dos discontinuidades; si, tiene una discontinuidad; en caso contrario es continua ara todo Para, la función es: f ), que es discontinua en Como, la discontinuidad no uede evitarse En los demás casos cuando > o ) la discontinuidad no uede evitarse, ues en todos ellos el ite en se hace infinito k 6 La función f ) es discontinua en los untos y Podría evitarse alguna discontinuidad ara algún valor de k? La función no está definida cuando ±; en esos untos se anula el denominador Pero si el numerador de la función fuese es osible que la discontinuidad ueda evitarse en algún caso Para ello es necesario que los valores o sean raíz del numerador El valor es raíz de k si k Si k
15 En este caso, lim lim lim discontinuidad uede evitarse en No se uede evitar en ) Por tanto, la El valor es raíz de k si k Si k En este caso, lim lim lim La discontinuidad uede evitarse en No uede evitarse en ) 7 Para qué valores de a es continua en la función En el unto deben ser iguales los ites laterales Por la izquierda: f ) a Por la derecha: f ) a a Como deben ser iguales: a a, si f )? a, si sin a 8 Determina los valores de a y b que hacen que la función f ) cos b e sea continua en todo R Hay que estudiar los ites laterales en los untos y En cada caso esos ites deben ser iguales En : Por la izquierda: f ) sin a sin a Por la derecha: f ) a cos b cos b b Como deben ser iguales: a b a b En : Por la izquierda: f ) cos b cos b Por la derecha: f ) b e e Como deben ser iguales: b b a sin Luego, la función continua es: f ) cos e
16 6 Teorema de Bolzano 9 Enuncia el teorema de Bolzano Alicando dicho teorema comrueba que la función f ) corta al eje OX en el intervalo [, ] El teorema de Bolzano dice: Si f ) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en sus etremos f a) f b) o f a) f b) ), entonces eiste algún unto c a, b) tal que f c) Alicando el teorema de Bolzano a la función continua f ) se observa: Para, f ) 7 < Para, f ) < En consecuencia, no uede concluirse que la función corte al eje OX entre y No obstante, como se indica que se comruebe que corta, uede robarse con algún otro unto del intervalo; or ejemlo, con, observándose que f ) > Por tanto, se tiene: En el intervalo [, ]: f ) 7 < ; f ) > Como la función toma valores de distinto signo en los etremos del intervalo [, ], se deduce que se anula en algún unto c, ) Ese es el unto de corte En el intervalo [, ]: f ) > ; f ) En consecuencia, la función vuelve a cortar al eje OX en algún unto del intervalo [, ] Luego se concluye que la función corta dos veces al eje OX entre y Comrueba que la ecuación e tiene una raíz en el intervalo [, ] Calcula un valor de esa raíz con una aroimación del orden de las centésimas La función ) f e es continua y, además, cumle que: f ) e,89 > y f ) e,8 < Entonces, or el teorema de Bolzano, eiste un unto c, ) tal que f c) Este valor c es la raíz de e en el intervalo [, ] Cálculo de la raíz:, En,, f,) e,8 La raíz está entre, y, En,, f,) e, 6,69 La raíz está entre, y, En,, f,) e,,7988 La raíz está entre, y,, En,, f,) e,,967 Valor muy róimo a ) El valor aroimado ara c uede ser, Comrueba que el olinomio P ), tiene dos raíces negativas y otra ositiva Da una solución aroimada de la raíz ositiva La función es continua en todo R Por tanto uede alicarse el teorema de Bolzano Se cumle que: P) < ; P) > ; P) < ; P) > Esquemáticamente se comortaría como se indica en la figura Por tanto, entre y hay una raíz negativa); entre y hay otra raíz negativa); entre y hay una tercera raíz ositiva)
17 7 Cálculo de la raíz ositiva, que está entre y, ues P ), < y P ), 8 > La raíz debe estar róima a ; se rueba con, P,),68 La raíz está entre, y En,, P,),6 La raíz está entre, y, ero muy cerca de, En,, P,),87 La raíz está entre, y, En,, P,),69 La raíz está entre, y, En,, P,),8 Como el valor está muy róimo a, el valor aroimado ara c uede ser, Determina los valores que uede toma ara que la función f ) corte al eje de abscisas como se indica: a) Una vez en el intervalo [, ] b) Una vez en el intervalo [, ] c) Dos veces en el intervalo [, ] A la función uede alicársele Bolzano a) f ) ; f ) Para que esos valores tengan distinto signo es necesario que > Luego, la función corta una vez en el intervalo [, ] si > b) f ) ; f ) Para que esos valores tengan distinto signo es necesario que > Luego, la función corta una vez en el intervalo [, ] si > c) f ) ; f ) ; f ) Para que esos valores tengan, sucesivamente, distinto signo es necesario que y que Por tanto, > En ese caso la función corta una vez en el intervalo [, ] y otra en el intervalo [, ] Halla el valor de ara que la función f ) tome con seguridad el valor en algún unto del intervalo [, ]: Esta función es continua siemre; en articular en el intervalo [, ]; además: f ) y f ) Por el teorema de los valores intermedios, la función toma todos los valores comrendidos entre + y + Para que debe cumlirse que Para qué valores del arámetro a uede asegurarse que la función f ) a corta dos veces al eje OX, en el intervalo [, ]? La función es continua en todo R Por tanto cumle el teorema de Bolzano Además, es conveniente observar que en, la función vale : f ) Luego, se tiene: f ) a, f ), f ) a
18 8 f ) a > si a < y f ) a < si a > f ) a > si a < y f ) a < si a > En consecuencia: Si a < f ), f ), f ) No uede asegurase el corte entre y ; ero sí entre y Si < a < f ), f ), f ) Puede asegurase el corte entre y ; ero no entre y Si a > f ), f ), f ) Seguro que corta dos veces: una vez entre y y otra entre y Puede alicarse el teorema de Bolzano a la función f ) en el intervalo [, ] cos La función toma signos distintos en los etremos del intervalo: f ) ; cos f ) Pero no es continua en dicho intervalo Por tanto, no uede alicarse el cos teorema 6 Puede alicarse el teorema de Bolzano a la función f ) sin cos en el intervalo [, ]? Encuentra, si eiste, un unto de [, ] en el cual se anule esta función La función f ) sin cos es continua en todo R Además: f ) sin cos y f ) sin cos Luego verifica las hiótesis del teorema de Bolzano Por tanto, eiste un unto erteneciente al intervalo [, ] tal que f ) sin cos Observaciones: ) A ojo, se ve que una solución de esa ecuación trigonométrica es / ) Aunque resulte más comlicado también uede resolverse la ecuación trigonométrica sin cos sin cos sin cos cos sin sin *) Sacando factor común y alicando la fórmula de sin y cos : *) sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin La última ecuación tiene, al menos, la solución cos, que en el intervalo considerado es / 7 Alicando el teorema de Bolzano halla un intervalo en el que las siguientes funciones corten al eje de abscisas: a) ) f 6 b) g ) c) h ) e Las tres funciones dadas son continuas en todo R a) Como f ) 6 y f ) La función corta al eje en el intervalo [, ] También vale en el intervalo [, ])
19 9 b) Como g ) y g ) La función corta al eje en el intervalo [, ] También vale en el intervalo [, ]) c) Como h ) e y h ) La función corta al eje en el intervalo [, ] 8 Por qué no se uede alicar el teorema de Bolzano, en el intervalo [, ], a las siguientes funciones? a) f ) b) h ) c) g ) d) i ) tan e sin Ninguna de las funciones es continua en el intervalo [, ] a) Es discontinua en / No obstante, odría alicarse en el intervalo [, ] b) Discontinua en c) Discontinua en d) Discontinua en /6 9 Comrueba que la ecuación sin cos tiene alguna solución real en el intervalo [, ] La función f ) sin cos es continua en [, ] Además: f ) y f ) Por tanto, alicando Bolzano se deduce que eiste un unto c, tal que f c) Ese valor de c será la raíz de la ecuación sin cos, ues cumle que f c) csin c cosc c c csin c cosc * Demuestra que la función f ) e cos corta infinitas veces al eje OX Da dos intervalos distintos en los que ueda asegurarse que la gráfica de f corta al eje OX Las funciones g ) e y h ) cos son continuas en toda la recta real Además: ) La función g ) e toma valores menores que ara todo < : e si < ) La función h ) cos toma valores comrendidos entre y en cada intervalo de la forma [ k, k ] ; en concreto en los intervalos [, ], [, ], [, ] Por tanto, en cada uno de esos intervalos la función f ) e cos toma valores ositivos y negativos y, en consecuencia, corta al eje OX Por ejemlo: En [, ]: f ) e cos > ; f ) e cos e < En [, ]: f ) e cos e ; f ) e cos e Luego f ) e cos corta infinitas veces al eje OX Al menos una vez en cada intervalo [ k, k] con k entero ositivo Demuestra que la función f ) e sin corta al eje OX en algún unto del intervalo /, ) Es una cuestión similar al roblema anterior La función es continua en todo R; or tanto cumle el teorema de Bolzano desde hasta + / Como f / ) e sin y f ) e sin la función se / e e anula en algún entre / y Ese será el unto de corte
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