Dinámica en una dimensión I

Transcripción

1 Capítulo 5. Dináica en una diensión I 1. uerzas de rozaiento Si en una esa horizontal larga arrojaos un bloque de asa con una velocidad inicial v o, llegará a detenerse. Esto significa que ientras se está oviendo, experienta una aceleración edia a que apunta en sentido opuesto a su oviiento. Si veos que un cuerpo está siendo acelerado, siepre pensareos en una fuerza, relacionada con el oviiento, definida de acuerdo con la segunda ley de Newton. En este caso declaraos que la esa ejerce una fuerza de rozaiento sobre el bloque que se desliza, cuyo valore edio es a. En realidad, siepre que la superficie de un cuerpo desliza sobre la de otro, cada cuerpo ejerce una fuerza de rozaiento sobre el otro cuerpo, siendo dichas fuerzas paralelas a las superficies. Las fuerzas de rozaiento autoáticaente se oponen al oviiento y nunca lo ayudan. Aunque no hay oviiento relativo, puede haber fuerzas de rozaiento entre las superficies. En lo sucesivo considerareos el deslizaiento de una superficie seca (no lubricada) sobre otra superficie Rozaiento estático Las fuerzas de rozaiento que obran entre superficies que se encuentran en reposo una con respecto de la otra, se llaan fuerzas de rozaiento estático. La áxia fuerza de rozaiento estático será igual a la ínia fuerza necesaria para iniciar el oviiento. El valor áxio de la fuerza de rozaiento estático entre un par cualquiera de superficies secas sigue las siguientes dos leyes epíricas. (1) Es aproxiadaente independiente del área de contacto, dentro de uy aplios líites y (2) es proporcional a la fuerza noral. Esta fuerza noral es la que ejerce cualquiera de los dos cuerpos sobre el otro perpendicularente a la cara de contacto utuo. La relación de la agnitud de la áxia fuerza de rozaiento estático a la agnitud de la fuerza noral se llaa coeficiente de rozaiento 107

2 108 Capítulo 5 estático para las superficies de que se trata Rozaiento cinético Una vez coenzado el oviiento, las fuerzas de rozaiento que obran entre las superficies ordinariaente disinuyen, de anera que basta una fuerza enor para conservar el oviiento unifore. Las fuerzas que obran entre superficies que se encuentran en oviiento relativo se llaan fuerzas de rozaiento cinético. La relación de la agnitud de la fuerza de rozaiento cinético a la agnitud de la fuerza noral se llaa coeficiente de rozaiento cinético. Tanto el coeficiente de rozaiento estático µ s coo el coeficiente de rozaiento cinético µ k son constantes sin diensiones, puesto que abas son la relación de (las agnitudes) dos fuerzas. Ordinariaente, para una pareja dada de superficies, µ s > µ k. Los valores nuéricos de µ s y µ k dependen de la naturaleza de las dos superficies que están en contacto. 2. uerzas dependientes del tiepo Hasta ahora heos visto las definiciones ás generales que pueden construirse sin tener en cuenta por el oento la dependencia de. En efecto, puede ser función de x, v, y t. Ahora bien, sólo en el caso de que se conozca adeás e independienteente de la segunda Ley de Newton las funciones x = x(t) y v = v(t), es posible expresar = (t) y realizar la integración del segundo iebro de = a (2.1) que es una ecuación diferencial de segundo orden la cual no siepre tiene solución. Coo sabeos una ecuación diferencial de este tipo posee dos constantes arbitrarias. Para deterinarlas se necesitan dos condiciones iniciales (i.e. valores que toan x 0 y v 0 para un t 0 dado). Si = (t) solaente, entonces (2.1) queda de la fora: v v 0 = t t 0 (t)dt (2.2) cuyo segundo iebro es una integral calculable. Despejando v: y realizando una nueva integración: v = v t x = x 0 + v 0 (t t 0 ) + 1 t 0 (t)dt (2.3) t t t 0 t 0 (t )dt (2.4)

3 Dináica en una diensión I 109 Esta expresión da x x(t) en función de dos integrales calculables. Si dichas integrales no tienen priitiva explícita siepre podrán calcularse por étodos nuéricos. Ejeplo Coo ejeplo veaos el de un electrón libre de carga e soetido a un capo eléctrico oscilante a lo largo del eje x: La fuerza sobre el electrón es: = ee = ee 0 cos(ωt + α) y ahora (t 0 = 0) queda para la velocidad v = v 0 e E 0 t 0 cos(ωt + α)dt = y para la posición, (x 0 = 0): = v 0 + ee 0 sin α ω ee 0 sin(ωt + α) ω x = E 0e cos α ω 2 que puede escribirse tabién coo: + E 0e sin α ω 2 ωt + E 0e cos(ωt + α) ω2 x = E 0e [ cos α + ωt sin α + cos(ωt + α)] ω2 El térino constante es la elongación necesaria, inicial, para que en t 0 = 0 se verifique x 0 = 0 (ajuste del origen de espacios). En general el espacio auenta indefinidaente con el tiepo debido al térino lineal aunque con las oscilaciones del tercer térino, queda en la fora: Sin ebargo, si la fase se ajusta de fora que α = 0, queda para x x = [cos ωt 1] ee 0 ω 2 esto es oscilante con el tiepo y el electrón queda confinado entre 0 y ee 0 ω 2

4 110 Capítulo 5 Representación de x para diferentes valores de α 3. uerzas dependientes de la velocidad Si ahora = (v) (2.1) queda en la fora dv = (v), o lo que es lo iso: dt t t v 0 = 1 (v)dv (3.1) v 0 con la integral del segundo iebro calculable. La única dificultad consiste en que con esa expresión obteneos una función t = t(v) que en general puede no ser invertible dando una v = v(t). Si consideraos casos en donde es posible hallar la función inversa, obteneos y para x x = x 0 + v = f(v 0, t t 0 ) (3.2) t f(v 0, t t 0 t 0 )dt (3.3) Ejeplo El caso ás iportante de fuerzas dependientes de la velocidad es el caso de las fuerzas de rozaiento. Estas son siepre proporcionales a ella y de sentido contrario. En general la fora funcional (v) será uy coplicada pero en casos sencillos puede considerarse coo una potencia siple de la velocidad en la fora: (v) = ()kv n

5 Dináica en una diensión I 111 Si n es ipar elegireos el signo enos, pero si n es par no sabeos a priori cual es el signo y heos de elegirlo opuesto a la velocidad por análisis de las condiciones físicas del problea. El ejeplo ás siple es n=1. En ese caso, si la única fuerza existente es la de rozaiento, es decir: y para la x, x = t v 0 0 exp kt es decir: dv dt = kv v = v 0 exp kt x = v 0 k kt (1 exp ) a tiepo infinito v 0 y x v 0, valor líite de la posición alcanzada. k

6 112 Capítulo 5 4. Probleas 1.) Una partícula de asa cae verticalente en el seno de un fluido que le opone una resistencia proporcional tanto a su asa coo a su velocidad. Deteinar la posición, velocidad y aceleración al cabo de un tiepo t Solución Toando el origen en la superficie del líquido, el vector posición es: La ecuación del oviiento será o sea En térinos de la velocidad v = ż r = z k g k b r = r g + bż = z g + bv = v que podeos escribir en fora integral coo: ( ) dv 1 g bv = dv dt = g 1 (bv/g) = dt Haciendo la integral [ b ln 1 bv g v = g b ] = t + t 0 [ 1 e b (t+t 0) Suponiendo que se suelta en t = 0 con velocidad cero 1 = e bt 0 v = g b [ ] 1 e bt de anera que tiende a una velocidad líite v li = g b g [ dz = b 1 e bt ] ] dt

7 Dináica en una diensión I 113 z = g [ t + ] bt e + k b b ijando z(0) = 0 (se encuentra en la superficie del líquido z = g b k = 2 g b 2 [ t + bt ] e b b

8 114 Capítulo 5 2.) Hallar el oviiento de una partícula que se ueve a lo largo de una recta bajo la acción de una fuerza = kv 2. Solución La ecuación del oviiento es: ẍ = kv 2 Integrando Integrando de nuevo dv dt = kv2 dv v = 2 kdt 1 v = kt 1 v 0 = v = dx = v 0 dt 1 + v 0 kt v v 0 kt x = 1 k ln(1 + v 0kt) + x 0

9 Dináica en una diensión I ) Una fuerza = 6kt actúa sobre una partícula de asa que se ueve sobre una recta. Si la partícula parte del reposo, deterinar su velocidad y su posición al cabo de un tiepo t. Solución 6kt = dv dt dv = 6ktdt v = v 0 + 3kt 2 dx = (v 0 + 3kt 2 )dt x = x o + v o t kt 3

10 116 Capítulo 5 4.) Una partícula en una diensión está soetida a una fuerza = a o e kt. Si parte del reposo, Que velocidad áxia alcanza?. Que espacio ha recorrido cuando la velocidad alcanza dicho áxio? Solución La ecuación del oviiento es: a 0 e kt = dv dt integrando a o k e kt = v + c 1 Coo v(0) = 0 = c 1 = ao, luego k Integrando de nuevo Si x(0) = 0 = c 2 = a o k 2 v = a o [ ] 1 e kt k x = a o [t + 1k ] k e kt + c 2 y por tanto x = a o [ kt + e kt 1 ] k 2 La velocidad áxia se alcanza para t v = li t v = a o k Para entonces ha recorrido un espacio infinito

11 Dináica en una diensión I ) Un conejo se acerca a una zanahoria con una velocidad que es siepre proporcional a la distancia que hay entre abos. Deterinar el tiepo que necesitará el conejo para alcanzar la zanahoria. Solución dx dt = kx dx x = kdt ln x = kt + ln x 0 x = x 0 e kt Para que x se haga cero hace falta un tiepo infinito

12 118 Capítulo 5 6.) Una pelota se lanza verticalente con una velocidad inicial v 0. Deterinar la altura que alcanza si la fuerza de rozaiento es proporcional a la velocidad. Solución Si toaos el origen de coordenadas en el suelo r = z k la ecuación del oviiento es: r = g k b r o bien Cálculo de la velocidad z = g bż haciendo v = ż v = g bv v = g(1 + b g v) dv 1 + b v = gdt g ( ln 1 + b ) g v = b (t + t o) ( ) Coo v(0) = v 0 = ln 1 + b v g 0 = b t 0. Por tanto 1 + b ( g v = 1 + b ) g v 0 e bt v = g [( 1 + b ) ] g v 0 e bt 1 Tiepo de subida La velocidad se anulará cuando e bts = b g v 0 = T s = ( b ln 1 + b ) g v 0 (1)

13 Dináica en una diensión I 119 Cálculo del espacio z = g b [ b ( 1 + b ) ] g v 0 e bt t + c 0 ( ) c 0 lo fijaos con la condición z(0) = 0 = c 0 = 2 g 1 + b v b 2 g 0. x = 2 g b 2 [( 1 + bv ) ( ) 0 1 e bt bt ] g y Altura que alcanza Coo ln(1 + x) x 1 2 x2 h = z(t s ) = 2 g b 2 [ ( bv0 g ln 1 + bv )] 0 g lib 0h v2 0 2g Podeos tabién expresar h en térinos de T s eliinando v 0 entre (1) y (2) ( ) h = 2 g e bts bt s b 2 1 = v ( 0 2 g ln 1 + bv ) 0 b b 2 g (2) (3)

14 120 Capítulo 5 7.) Dos cuerpos de asas y M con M > se dejan caer desde la torre de Pisa. Si la fuerza de rozaiento es proporcional a la velocidad, Cúal llega antes al suelo? Solución Espacio y velocidad iniciales de anera que: El problea es coo el anterior pero con condiciones v(0) = 0 v = g b z = h 2 g b 2 x(0) = h bt (1 e ) ( e bt ) bt 1 + Tiepo de caída. Corresponderá a z(t c ) = hb2 2 g bt c = btc e (4) 1+b/(hb/g-t) exp(-bt/) T bh/g+/b En la figura se han representado graficaente los dos iebros de la ecuación para T c. Es fácil concluir que: T c < bh g + b Si consideraos el rozaiento suficienteente iportante coo para que b2 h 2 g > 1 entonces T < bh g

15 Dináica en una diensión I 121 la cota para T es inversaente proporcional a la asa luego tarda en caer ás que M Podeos ahora cobinar estos resultados con los del problea anterior. Si consideraos una pelota lanzada al aire, con velocidad v 0 que alcanza una altura h y luego vuelve a caer, podeos coparar el tiepo de subida T s y el tiepo de bajada T c dados por (3) y (4) 1 + hb2 2 g = btc e bt c + = e bts bt s En la figura se han representado graficaente los tres iebros de la expresión anterior. Es fácil concluir que T s < T c exp(bt/)-bt/ 1+b/(hb/g) exp(-bt/)+bt/

16 122 Capítulo 5 8.) Una platafora de ferrocarril va cargada con cajas de ebalaje que tienen un coeficiente de rozaiento estático con el piso de 0, 25. Si el tren se va oviendo a razón de 48, 3 k/h. Cúal será la ínia distancia en que puede detenerse sin que resbalen las cajas?. Solución Las ecuaciones para el frenado son = a s = v o t 1 2 at 2 de anera que, eliinado el tiepo 0 = v o at s = v2 0 2a = v2 0 2s Para que las cajas no resbalen r > µ s g > v2 0 2s s > v2 0 2gµ s = 37 puesto que v 0 = 13, 6/sg 9. Un cuerpo cuya asa es = 0.80 kg se encuentra sobre un plano inclinado 30. Deterinar la fuerza que ha de aplicarse al cuerpo de odo que (a) ascienda por el plano con aceleración a = 0.1 s 2 y (b) descienda por el plano con dicha aceleración. El coeficiente de rozaiento con el plano es µ = 0.3.

17 Dináica en una diensión I 123 Solución a) Ascenso El análisis de fuerzas en la dirección paralela a la superficie nos lleva a r g sin α = a α r g α siendo r la áxia fuerza de rozaiento y por tanto r = µg cos α. Luego = (a + µg cos α + g sin α) Obteniendo = 6.04 N. b) Descenso Suponiendo que es necesario aplicar una fuerza en el sentido del oviiento tendreos r + g sin α = a α g α r siendo r la áxia fuerza de rozaiento y por tanto r = µg cos α. Luego = (a + µg cos α g sin α) Obteniendo = 1.81 N. El sigo negativo nos indica que en realidad tendreos que aplicar la fuerza en sentido contrario al supuesto inicialente.

18 124 Capítulo 5 10.) Calcular las aceleraciones de las asas y la tensión de la cuerda para el sistea de la figura. Los coeficientes de rozaiento con los planos son µ 1 y µ 2 para 1 y 2 respectivaente. Solución x 1 x 2 T N 1 T N 2 α g 1 β g 2 Si suponeos que hay oviiento entonces las fuerzas de rozaiento que intervienen son áxias. Hagaos los análisis de fuerzas por separado para las dos asas. Toareos el sentido descendente coo el sentido positivo para abos cuerpos. De odo que tendreos para 2 y 1 respectivaente 2 ẍ 2 = 2 g sin β T sgn(ẍ 2 )µ 2 2 g cos β, 1 ẍ 1 = 1 g sin α T sgn(ẍ 1 )µ 1 1 g cos α donde sgn(x) significa el signo de x. Heos de tener en cuenta que la fuerza de rozaiento se opone al oviiento y por tanto a la velocidad. En este caso puesto que las dos asas parten del reposo, el signo de la velocidad se corresponde con el signo de la aceleración. Dependiendo de si el oviiento de una asa es ascendente o descendente la fuerza de rozaiento tendrá una orientación u otra siepre opuesta al oviiento, no así la tensión o la coponente del peso cuyas orientaciones son siepre las isas independienteente del sentido del oviiento. Por otro lado existe la restricción x 1 + x 2 cte, de odo que ẍ 1 = ẍ 2 y por tanto sgn(ẍ 1 )= sgn(ẍ 2 ). Aplicando estas relaciones a las ecuaciones anteriores y eliinando T llegaos a ( )ẍ 2 = g( 2 sin β 1 sin α) sgn(ẍ 2 )g( 2 µ 2 cos β + 1 µ 1 cos α). (4.4) Para calcular la aceleración heos de suponer que el oviiento se produce en un sentido deterinado. Si suponeos que ẍ 2 > 0 y por tanto la asa 2 desciende tendreos ẍ 2 = g 2(sin β µ 2 cos β) g 1 (sin α + µ 1 cos α) 1 + 2, y para la tensión T = g [(sin β µ 2 cos β) + (sin α + µ 1 cos α)].

19 Dináica en una diensión I 125 Los valores nuéricos de las asas, ángulos y coeficientes de rozaiento deterinan unívocaente el sentido del oviiento. De odo que si introducios dichos valores en las expresión para ẍ 2 y obteneos un valor positivo, eso significa que heos hecho la suposición correcta y por tanto el problea está bien resuelto. Por el contrario si obteneos un valor no positivo para ẍ 2 esto significa que la suposición del signo es incorrecta, por tanto heos de volver a la ecuación (4.4) y toar ẍ 2 < 0 lo cual nos dará otras expresiones distintas para la aceleración y la tensión: ẍ 2 = g 2(sin β + µ 2 cos β) g 1 (sin α µ 1 cos α) 1 + 2, T = g [(sin β + µ 2 cos β) + (sin α µ 1 cos α)], y ahora esta fórula para la aceleración nos daría correctaente su valor negativo. En general cuando hay fuerzas de rozaiento y oviientos relativos heos de recordar que para hacer el análisis de fuerzas tendreos que asuir un sentido para el oviiento. Si al final los resultados nuéricos no son copatibles con nuestra suposición, tendreos que volver al principio y rehacer el análisis de fuerzas asuiendo el sentido contrario para el oviiento. Esto es así por el hecho de que las fuerzas de rozaiento cabian su orientación en función del sentido del oviiento.

20 126 Capítulo 5 11.) Deterinar el coeficiente de rozaiento ínio µ entre las cubiertas de las ruedas y la superficie de una carretera en cuesta, con ángulo de inclinación α = 30, para que un autoóvil pueda subir por ella con la aceleración a = 0.6 s 2. Solución N g r r r El rozaiento entre las cubiertas y el paviento es precisaente lo que posibilita que la fuerza de giro del otor pueda transferirse al vehículo. De odo que la fuerza áxia con la que el otor puede over el coche es precisaente la fuerza áxia de rozaiento. El coeficiente de rozaiento ínio para que el coche ascienda con aceleración a será aquel que garantice que dicha aceleración se adquiere con la fuerza áxia de rozaiento. De odo que tendreos luego r g sin α = a µ in g cos α g sin α = a, µ in = a + g sin α g cos α Obteniendose µ in = Si el coeficiente de rozaiento es ayor que este valor entonces la fuerza de rozaiento áxia auenta y la fuerza del otor necesaria para antener la acelaración de subida será enor que la fuerza áxia de rozaiento.

21 Dináica en una diensión I ) Sobre una esa horizontal lisa descanda un cuerpo de asa M = 2 kg, sobre el cual se encuentra otro cuerpo de asa = 1 kg. Abos cuerpos están unidos entre sí por edio de un hilo que pasa por una polea de peso despreciable. Qué fuerza hay que aplicar al cuerpo inferior para que epiece a overse alejándose de la polea con aceleración constante a = g/2?. El coeficiente de rozaiento entre los cuerpos es µ = 0.5. El rozaiento entre el cuerpo inferior y la esa es despreciable. Solución T r T r g x Si hay oviiento relativo intervendrán las fuerzas de rozaiento áxias. La asa inferior M se overá hacia la derecha alejándose de la polea, de odo que la asa superior ejercerá la fuerza de rozaiento áxia r sobre la inferior en dirección opuesta al oviiento. A su vez, por el principio de acción y reacción, la asa inferior ejercerá una fuerza de igual agnitud y sentido opuesto sobre la superior a la que intentará arrastrar. Por tanto el balance de fuerzas para cada asa es T r = Mẍ, r T = ẍ. Cobinando abas expresiones teneneos 2 r = (M + )ẍ. Luego Con los datos del problea = 24.5 N. = 2µg + (M + ) g 2.

22 128 Capítulo 5 13.) Sobre una esa horizontal lisa descanda un cuerpo de asa M, sobre el cual se encuentra otro cuerpo de asa < M. El coeficiente de rozaiento entre las asas es µ 1 y el de la asa inferior con la esa es µ 2. Si se aplica una fuerza sobre la asa inferior, estudiar las aceleraciones de los cuerpos en función de en los siguientes casos: (a) µ 2 = 0, (b) µ 2 0. Considérense tabién abas situaciones cuando es aplicada sobre el cuerpo superior en vez del inferior. Solución 1.a) uerza aplicada en el cuerpo inferior con µ 2 = 0 Al aplicar la fuerza podeos esperar varios coportaientos: que las asas peranezcan en reposo, que abas se uevan solidariaente con la isa aceleración o que la superior deslice sobre la inferior y por tanto las dos asas se uevan con distintas aceleraciones. f r Al aplicar la fuerza sobre M, la asa superior ejercerá una fuerza de rozaiento f r sobre la inferior que se opondrá al sentido del oviiento, y a su vez la asa inferior ejercerá una fuerza de igual agnitud f r y sentido contrario para intentar arrastrar a la asa superior. Si las asas no se ueven, es decir a = 0 para abas, los balances de fuerzas serán f r = 0 f r = 0 = 0. Por tanto en cuanto > 0 las asas coenzarán a overse. La priera etapa será aquella en que las asas se ueven solidariaente con la isa aceleración, lo cual iplica que no hay deslizaiento entre ellas y por tanto que f r < r siendo r la fuerza áxia de rozaiento. En esta etapa tendreos f r M f r = a f r = Ma a = M + ; f r = M +. Luego la aceleración que adquieren las asas es la que le corresponde a un cuerpo cuya asa sea la sua de abas que está soetido a la isa fuerza. A edida que auente llegareos a a la segunda etapa en la que la asa superior coience a deslizar sobre la inferior, y por tanto las asas tengan distintas aceleraciones. En esta situación la fuerza de rozaiento se hace áxia r = a 1 a 1 = µ 1 g, r = Ma 2 a 2 = M M µ 1g,

23 Dináica en una diensión I 129 utilizando que r = µ 1 g. El valor a 1 es la áxia aceleración que puede adquirir la asa superior. El deslizaiento iplica que a 2 > a 1 lo que nos conduce a > µ 1 g(m + ). Si la fuerza excede este valor coenzará el deslizaiento entre los bloques. El siguiente diagraa uestra las aceleraciones de abas asas en función de la fuerza aplicada: a a 2 = M µ 1 g M µ 1 g a 1 = µ 1 g a = (+M) µ 1 g(+m) 1.b) uerza aplicada en el cuerpo inferior con µ 2 0 En este caso al aplicar la fuerza sobre la asa inferior aparecerá adeás una fuerza de rozaiento f r1 con la esa f r2 que se opondrá al oviiento. f r1 Igualente podreos distinguir distintos tipos de f r2 M oviiento. Si aplicando las asas peranecen en reposo: a = 0 para abas y las fuerzas de rozaiento que aparecen no son áxias. De odo que f r1 = 0 f r1 f r2 = 0 f r 2 = 0. Luego ientras < r2 la ecuación anterior podrá verificarse y no tendreos oviiento alguno. En este case la noral que define r2 es la sua del peso de abas asas luego 0 < < µ 2 g(m + ) REPOSO. Cuando exceda la fuerza áxia de rozaiento con la esa coenzará el oviiento solidario de las asas. En este caso f r1 = a f r1 r2 = Ma a = M + µ 2g; f r1 = M + µ 2g.

24 130 Capítulo 5 Si la fuerza sigue auentando entrareos en la etapa de deslizaiento en la que las asas tendrán distintas aceleraciones y todas las fuerzas de rozaiento serán áxias: r1 = a 1 a 1 = µ 1 g, r1 r2 = Ma 2 a 2 = M µ 2g M (µ 1 + µ 2 )g, donde adeás se verifica que a 2 > a 1 lo cual iplica que > g(m + )(µ 1 + µ 2 ). Por tanto teneos µ 2 g(m + ) < < g(m + )(µ 1 + µ 2 ) MOVIMIENTO CONJUNTO > g(m + )(µ 1 + µ 2 ) DESLIZAMIENTO El siguiente diagraa uestra las aceleraciones de abas asas en función de la fuerza aplicada: a a 2 = M µ 2 g (µ +µ ) M 1 2 g µ 1 g a = (+M) µ 2 g a 1 = µ 1 g µ (µ +µ ) 2 g(+m) g(+m) a) uerza aplicada en el cuerpo superior con µ 2 = 0 En este caso al aplicar la fuerza sobre, la asa inferior ejercerá una fuerza de rozaiento f r sobre la superior que se opondrá al sentido del oviiento, y a su vez la asa superior ejercerá una fuerza de igual agnitud f r y sentido contrario para intentar arrastrar a la asa inferior. f r Dado que no existe rozaiento con la esa, en cuanto sea no nula, las asas coenzarán a overse. Inicialente tendreos oviiento conjunto, de odo que f r = a f r = Ma a = M + ; f r = M +. M f r

25 Dináica en una diensión I 131 Si auentaos la fuerza la asa superior coenzará a deslizar sobre la inferior: y tendrá que ser a 1 > a 2, lo que iplica r = a 1 a 1 = µ 1g, r = Ma 2 a 2 = M µ 1g, > M ( + M)µ 1g. El deslizaiento coienza cuando verifique la relación anterior. El diagraa uestra las aceleraciones de abas asas en función de la fuerza aplicada: a a 1 = µ 1 g µ 1 g M a 2 µ 1 g = M a = (+M) µ 1 g(+m) M Si coparaos este diagraa con el diagraa para el caso 1.a) veos que no son iguales, es decir que aplicar la fuerza sobre la asa inferior o superior no es equivalente. Aunque la fuerza áxia de rozaiento que interviene es la isa, la fuerza líite para que coience el deslizaiento cabia, debido a que la aceleración áxia de oviiento solidario está deterinada por la asa del cuerpo sobre el que no actúa la fuerza. Mientras las asas de los cuerpos sean distintas, los diagraas del caso 1.a) y el superior no pueden ser idénticos. 2.b) uerza aplicada en el cuerpo superior con µ 2 0 Ahora heos de contar con la fuerza de rozaiento f r2 que surge entre la asa inferior y la esa. f r1 M f r1 f r2 Esta situación es ligeraente distinta. Si nos fijaos veos que la fuerza resultante que puede over la asa inferior es f r1 f r2. Por tanto esta asa sólo podrá overse si se verifica que r1 > r2, es decir que la áxia fuerza de rozaiento entre las asas pueda vencer a la áxia fuerza de rozaiento con la esa. Considerareos por separado las situaciones:

26 132 Capítulo 5 2.b.I) Si r1 > r2, ( µ 1 > M+ µ 2) En este caso sabeos que la asa inferior podrá overse. Inicialente para que abas asas peranezcan en reposo tendreos f r1 = 0 f r1 f r2 = 0 f r 2 = 0. Luego ientras < r2 oviiento alguno: la ecuación anterior podrá verificarse y no tendreos 0 < < µ 2 g(m + ) REPOSO. Cuando exceda la fuerza áxia de rozaiento con la esa coenzará el oviiento solidario de las asas. En este caso f r1 = a f r1 r2 = Ma a = M + µ 2g; f r1 = Si auentaos la fuerza llegará el deslizaiento: r1 = a 1 a 1 = µ 1g, M M + µ 2g. r1 r2 = Ma 2 a 2 = M (µ 1 µ 2 )g µ 2 g, siendo a 1 > a 2 lo que significa > M g(µ 1 µ 2 )(M + ). Por tanto teneos µ 2 g(m + ) < < M g(m + )(µ 1 µ 2 ) MOVIMIENTO CONJUNTO > M g(m + )(µ 1 µ 2 ) DESLIZAMIENTO Por tanto si r1 > r2 (µ 1 > M+µ 2), el diagraa a vs es el siguiente: a = a 1 µ 1 g (µ 1 µ 2) g M µ 2 g a = (+M) µ 2 g a 2 µ 2 g(+m) g(+m) (µ 1 µ 2) M

27 Dináica en una diensión I b.II) Si r1 < r2, ( µ 1 < M+µ 2) En esta situación la asa inferior no podrá desplazarse puesto que la fuerza áxia de arrastre no puede vencer a la fuerza de rozaiento con la esa. Por tanto solo el bloque superior puede overse. Para que coience a desplazarse tendrá que ser > r1 y en ese caso adquiere una acelaración a = µ 1g.

28 134 Capítulo 5 14.) Sobre un plano inclinado, con ángulo de inclinación α = 30, se coloca una plancha plana de asa 2 = 10 kg y sobre ella un cuerpo de asa 1 = 5 kg. El coeficiente de rozaiento entre el cuerpo y la plancha es µ 1 = 0.15, y entre la plancha y el plano µ 2 = 0.3. Deterinar las aceleraciones de abos cuerpos. Con qué coeficiente de rozaiento µ 2 la plancha no se overá?. Solución Para hacer el análisis de fuerzas debeos suponer un tipo de oviiento para las asa de entre todos los posibles. Supongaos que abas asas descienden, y que la asa superior lo hace con una aceleración ayor que la plancha y por tanto desliza sobre ésta. Veaos que fuerzas actúan sobre cada asa. Para el cuerpo superior teneos: 1 g sin α r1 = 1 a 1, r1 µ 1 N 1 = µ 1 1 g cos α, r1 N 1 despejando la aceleración a 1 = g(sin α µ 1 cos α). Y para la plancha inferior: α g 1 2 g sin α + r1 r2 = 2 a 2, r1 = µ 1 1 g cos α, r2 µ 2 N 2 = µ 2 ( )g cos α, despejando la aceleración ( [ 1 a 2 = g sin α + (µ 1 µ 2 ) µ 2 2 Con los valores del enunciado obteneos ] ) cos α. a 1 = 0.37g = 3.63 s 2, a 2 = 0.18g = 1.72 s 2, valores copatibles con la suposición inicial para el oviiento, de odo que la solución es correcta. Para que la plancha no se ueva se tiene que verificar que r2 > r1 + 2 g sin α, lo que nos conduce a µ 2 > 2 sin α + µ 1 1 cos α. ( ) cos α Con los datos del enunciado debería ser µ 2 > r2 N 1 α 2 r1 g N 2