RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS LINEALES, INVARIANTES EN EL TIEMPO.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS LINEALES, INVARIANTES EN EL TIEMPO."

Transcripción

1 Uiversidad Nacioal de Sa Jua Facultad de Igeiería Departameto de Electróica y Automática RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS LINEALES, INVARIANTES EN EL TIEMPO. Cátedra: Cotrol I. Carreras: Igeiería Electróica y Bioigeiería. Autores: Ig. Mario Alberto Perez. Ig. Aalía Perez Hidalgo. Dra. Bioig. Elisa Perez Bereguer. Ate. Alumo Bruo Adrover.

2 RESPUESTA FRECUENCIAL - Itroducció. Ya se ha ivestigado la respuesta de compoetes y sistemas a varios tipos de etradas e el domiio temporal. Se vio que la fució respuesta c t cotiee dos térmios, u térmio trasitorio la solució complemetaria y u térmio de estado estacioario o costate la solució particular, obteidos ambos por la solució de la ecuació del sistema, cuado es aplicada ua excitació e la etrada. El presete capítulo se dedicará al estudio de la respuesta e estado estable de compoetes y sistemas cuado sea excitados por ua señal seoidal de amplitud fia pero co ua frecuecia que varía e u cierto rago. Este cocepto se ilustra e la figura, e la cual u sistema lieal es excitado por ua señal se t b se t φ. a, la respuesta es [ ] Figura. La forma de las odas de etrada y salida se ilustra e la figura. Figura. Este resultado obteido cocuerda totalmete co lo ya visto como solució particular de u sistema cuado era excitado por ua señal armóica de la forma r t H set, dode H es la amplitud costate y la frecuecia agular de etrada, estado el sistema e estado estacioario. Para el caso de u sistema de primer orde la solució particular era: Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -

3 K H c t se t φ arctg T φ Como se ve, tato la amplitud de la respuesta c t como la fase so ambas fucioes de la frecuecia de la etrada, lo que corrobora lo dicho ateriormete. El siguiete gráfico ilustra lo que se acaba de mecioar: Figura 3. Es comú e el aálisis frecuecial que el iterés se cetre e el estudio de las siguietes relacioes: a La relació de amplitud b a la desiga como M., que se la deomia relació de magitud y se b El águlo de fase φ. U águlo de fase egativo recibe el ombre de retardo de fase, y u águlo de fase positiva es deomiado adelato de fase. Se tratará ahora la determiació de iformació sobre la respuesta a la frecuecia, de u modo aalítico, auque tales datos se puede obteer experimetalmete si el sistema existe. Las medicioes de respuesta e frecuecia e geeral so simples y puede ser efectuadas co exactitud usado geeradores de señal seoidales fácilmete obteibles y equipos de medició precisos. Frecuetemete se puede determiar experimetalmete, las fucioes trasferecia de compoetes complicados e prueba de respuesta de frecuecia. Además, el método de respuesta de frecuecia tiee la vetaa de que se puede diseñar u sistema de maera que los efectos del ruido ideseable sea despreciables, y de que ese aálisis y diseño pueda extederse a ciertos sistemas de cotrol o lieales. Obteer la respuesta frecuecial es importate puesto que proporcioa medios coveietes para obteer la respuesta e el estado estable pera cualquier sistema lieal sueto a ua señal seoidal. Tambié está relacioado ítimamete co el método de aálisis frecuecial que se verá más adelate. El procedimieto simple para obteer la respuesta a la frecuecia, coteido e cuatro pasos, es el siguiete: Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -

4 - Se obtiee la fució de trasferecia para el compoete o sistemas a aalizar. Es decir: C s F s R s Dode C s es la trasformada de la salida y R s la trasformada de la etrada, y dode se ha despreciado todas las codicioes iiciales porque se vio o afectada la respuesta e estado estable. - E la fució de trasferecia se sustituye s por. La ustificació de esta sustitució se hará más adelate. 3 - Para varios valores de la frecuecia, se determia la relació de magitud M y el águlo de fase φ. 4 - Se grafica los resultados de 3 e coordeadas polares o rectagulares. Estas gráficas o solamete sa medios coveietes para presetar los datos de respuesta a la frecuecia, sio que tambié so la base para los métodos de aálisis y diseño que se verá e capítulos posteriores. Auque la respuesta de frecuecia de u sistema de cotrol de ua image cualitativa de la respuesta trasitoria, la correlació etre frecuecia y respuestas trasitorias, es idirecta, excepto e el caso de sistemas de segudo orde. Al proyectar u sistema de lazo cerrado, se puede austar la característica de respuesta de frecuecia, usado diversos criterios de diseño para obteer características de respuesta trasitoria aceptables. Ua vez etedida la correlació idirecta etre diversas medicioes de la respuesta trasitoria y la respuesta de frecuecia, puede utilizarse vetaosamete el método de respuesta de frecuecia. El diseño de u sistema de cotrol basado e este procedimieto, se fuda e la iterpretació de las características de respuesta a la frecuecia. Este aálisis de u sistema de cotrol, idica gráficamete qué modificacioes hay que hacer e la fució de trasferecia de lazo abierto para obteer las características deseadas de respuesta trasitoria. Lógicamete se podría hacer la preguta de por qué es ta importate el aálisis de la respuesta de sistemas a ua señal seoidal, cuado e la práctica, los sistemas de cotrol raramete está expuestos a señales armóicas. La respuesta es que la iformació obteida por el aálisis seoidal puede usarse para establecer la aturaleza de la respuesta a ua gra variedad de señales. Además, el aálisis es coveiete para maearlo matemática y experimetalmete. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 3

5 - Justificació de la Sustitució de s por. Ya se ha visto que para realizar el aálisis frecuecial es ecesario sustituir s por e la fució de trasferecia. Esta sustitució será ahora ustificada. El procedimieto cosistirá e trabaar co ua fució de trasferecia geeral, obteiedo primero la respuesta e el estado estable a ua señal seoidal usado la trasformada de Laplace, y después haciedo la sustitució de s por. Si ambas solucioes resulta idéticas la sustitució es válida. Se supoe ua fució de trasferecia geeral co u umerador N s y u deomiador D s. C s N s F s R s D s La señal de etrada será ua seoide co amplitud igual a uo se t. La trasformada de R s es: s ; por lo tato: N s N s N s C s R s D s s D s s s D s Hay que recordar que todas las codicioes iiciales puede despreciarse porque éstas o afecta la respuesta e el estado estable. Desarrollado e fraccioes parciales: C s C C C 3... s s s r s r s r C C 3 s,., so factores de D s. Para u sistema estable los C3 trasitorios desaparece o sea las trasformadas iversas de se s r aula coforme t y la respuesta e el estado estable es: Dode s r, r C t SS t Ce C e t Las costates C y C se determia por el método: 4 C N s lim S r D s s r o sea para este caso: Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 4

6 Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 5 D N s s s s D s N C r s s D s N C S r S D N C 5 D N s s s s D s N C S D N C 6 Como alterativa, la fracció D N puede expresarse de la siguiete forma: B A D N 7 B A D N 8 Dode A y B so úmeros reales y so fucioes de la frecuecia. Por lo tato: [ ] A B C y [ ] A B C Sustituyedo estos valores e la ecuació 4: [ ] [ ] t t SS e B A e B A t C 9 t t t t SS e B e A e B e A t C 0 t t t t SS e e B e e A t C t B t se A t C SS cos La respuesta e estado estable se ve que está compuesta por ua seoide más ua coseoide. La suma de estas dos odas se lleva a cabo por adició vectorial como se muestra e la figura 4.

7 Figura 4. Aquí u vector o fasor de magitud A se cosidera que esta girado e direcció cotraria a las maecillas del relo co ua frecuecia. La proyecció de este vector sobre el ee imagiario produce la seoide requerida. U vector de magitud B se muestra adelatado 90 co respecto al primer vector, su proyecció sobré el ee imagiario produce la coseoide requerida, Los dos vectores puede reemplazarse par u solo vector de magitud: A B Y águlo de fase: B φ arc. tg A Por lo tata la 0 puede escribirse como: C SS t A B se t φ Dode: B φ arc. tg A Hay que recordar que la señal de etrada era ua seoide ca amplitud uitaria Por tato, la relació de magitud, es decir el cociete etre las amplitudes de salida y etrada es: M A B 3 Y el águlo de fase: B φ arc. tg 4 A Debe recoocerse que el águlo de fase tambié puede ser egativo. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 6

8 Habiedo completado la solució usado trasformada de Laplace, falta demostrar que el mismo resultado puede tambié puede obteerse directamete haciedo la sustitució de s por e: Cs Ns C N A B Rs Ds R D 5 C A B se t φ R M A B 6 B φ arctag A 7 Que es el mismo resultado obteido ateriormete, ahora co meos esfuerzo. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 7

9 3- Respuesta de Frecuecia a partir de los Diagramas de Polos y Ceros. Se puede determiar gráficamete la respuesta de frecuecia a partir de los diagramas de polos y ceros de la fució de trasferecia. Sea la siguiete fució de trasferecia: Gs Ks z ss p 8 Dode p y z so reales. Se puede obteer la respuesta e frecuecia de esta fució de trasferecia de la relació: G K z s p 9 Los factores z, p so magitudes compleas como puede verse e la figura 5. Figura 5: Determiació de la respuesta de frecuecia e el plao compleo. La amplitud de G es: G K z p 0 KAP G OP BP Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 8

10 Y el águlo de fase de G es: G z p G arc tag 90º arc tag z p 3 G φφ φ 4 Dode los águlos φ, φ y φ está defiidos e la figura 5. Se hace otar que se defie como setido positivo para la medició de águlo a la rotació ati horaria. Del aálisis de la respuesta trasitoria de los sistemas de lazo cerrado, se sabe que u par de polos compleos cougados cercaos al ee produce u modo altamete oscilatorio de la respuesta trasitoria. E el caso de la respuesta frecuecial, u par de polos así ubicados ha de producir ua respuesta de pico elevado. Sea, por eemplo, la siguiete fució de trasferecia: K Gs s p s p 5 Dode p y p so compleos cougados como se ve e la figura 6. Se puede hallar la respuesta e frecuecia de esta fució de trasferecia. Figura 6: Determiació de la respuesta e frecuecia e el plao compleo. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 9

11 G K p p 6 K G 7 AP BP G φ φ 8 Dode los águlos φ y φ está defiidos e la figura 6. Como AP BP es muy pequeño e la cercaía de, G es muy grade. De maera que u par de polos compleos cougados cerca del ee ha de producir ua respuesta de frecuecia de pico elevado. Iversamete, si la respuesta de frecuecia o es de picos elevados, la fució de trasferecia o ha de teer polos compleos cougados cerca del ee. Ua fució de trasferecia así o ha de presetar respuesta trasitoria altamete oscilatoria. Como la respuesta e frecuecia idirectamete describe la posició de los polos y ceros de la fució de trasferecia, se puede estimar las características de respuesta trasitoria del coocimieto de sus características de respuesta de frecuecia esto se etederá más claramete cuado se estudie el cocepto de estabilidad relativa. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 0

12 4- Especificacioes e el Domiio Frecuecial. Se ha puesto de maifiesto ateriormete que la iformació que se busca e el aálisis de u sistema de cotrol es ormalmete la respuesta temporal. Si embargo, e geeral, la respuesta temporal es difícil de obteer aalíticamete a causa de la catidad de cálculos que implica. Por cosiguiete, la respuesta frecuecial de u sistema de cotrol se obtiee a meudo por medio de métodos gráficos represetacioes polares y rectagulares tales como los diagramas de Nyquist y Bode que se estudia más adelate y luego, la iterpretació del comportamieto del sistema e el domiio temporal se basa e las relacioes etre ambos domiios, temporal y frecuecial. El puto de partida para el aálisis e el domiio frecuecial es la fució de trasferecia. Para u sistema de cotrol co realimetació uitaria, la fució de trasferecia de lazo cerrado es: C s R s G s 9 G s E codicioes de régime siusoidal, s, la ecuació 9 se covierte e: C G M 30 R G Cuado M se escribe e forma de amplitud y fase, se tiee: M M φ 3 Dode: m G M 3 G Y φm G G 33 El sigificado de M e u sistema de cotrol es similar a la gaacia o amplificació de u amplificador electróico. E u amplificador de audiofrecuecia, por eemplo, el criterio ideal de proyecto es que el amplificador tega ua curva de gaacia plaa para las audiofrecuecias. E los sistemas de cotrol, si embargo. La situació ideal e alguas ocasioes es que la salida siga a la etrada e todo istate o, simplemete, que el módulo de M sea igual a la uidad para todas las frecuecias. Pero e la expresió de la ecuació 3 se ve que M solo pede ser igual a la uidad cuado G es ifiito o, e otras palabras, la gaacia del sistema debe ser ifiita para todas las frecuecias. Esto es imposible de coseguir e la práctica y además o es coveiete puesto que la mayoría de los sistemas Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -

13 de cotrol resulta iestables para valores elevados de gaacia. Además, todos los sistemas de cotrol está suetos a ruidos, es decir, además de respoder a la señal de etrada los sistemas debe ser capaces de rechazar y suprimir los ruidos y las señales ivolutarias. Esto sigifica que, e geeral, la respuesta e frecuecia de u sistema de cotrol debe de teer u puto de corte característico y, alguas veces ua bada pasate o o pasate característica. Figura 7: Comparació de las características de magitud y fase de u filtro pasa bao ideal a y de u sistema de cotrol típico b La característica de fase de la respuesta e frecuecia tiee tambié su importacia. La situació ideal es que la fase sea ua fució lieal de la frecuecia detro de la bada de la señal de etrada. La figura 7 represeta las características de gaacia y de fase de u filtro pasa bao ideal, imposible de realizar físicamete. Las características típicas de amplitud y fase de u sistema de cotrol está dibuadas e la figura 7b. Se ve que la gaacia dismiuye al crecer la frecuecia. Ello es debido a los efectos de las iercias e iductacias de los sistemas físicos, por lo que toda respuesta cesa cuado la frecuecia tiede a ifiito. Las especificacioes más usadas de las características de u sistema de cotrol e el domiio frecuecial so las siguietes; - Acho de bada. El acho de bada, A. B., se defie como la frecuecia a la cual el módulo de M vale el 70.7 % del ivel a frecuecia cero o 3 db por debao del ivel de frecuecia ula figura 8. E geeral, el acho de bada idica les características de filtrae de ruido del sistema. El acho de bada da, tambié, ua mecida de las propiedades de la respuesta trasitoria. U acho de bada largo idica, ormalmete, que las señales de alta Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -

14 frecuecia pasará a la salida. Es decir, la respuesta trasitoria debe de teer u tiempo de subida rápido acompañado de u amplio rebase. Por el cotrario, si el acho de bada es chico, solo pasará las señales de baa frecuecia; por cosiguiete, la respuesta temporal será leta. - Factor de resoacia M r. Se defie como el valor máximo de M, que proporcioa además idicació de la estabilidad relativa del sistema. Si se recuerda la figura 0 y como se verá más adelate, cuado se estudió el diagrama de Bode de u sistema de segudo orde se obtiee distitas curvas de respuesta para distitos valores de δ.es evidete que a valores elevados de M correspode amplios rebases de la respuesta temporal. r Cuado se proyecta se admite, geeralmete, que el valor oprimo de estar compredido etre. y.5. M r debe Figura 8: Curva de amplitud de u sistema. 3 Frecuecia de resoacia r. Es la frecuecia para la que se produce el factor de resoacia. 4 - Razó de corte. A meudo para frecuecias elevadas es importate la razó de corte de la curva de respuesta, e frecuecia, puesto que idica la capacidad del sistema para distiguir la señal de ruido. Si embargo, las características de corte agudo se acompañadas ormalmete de valores elevados de M, lo que sigifica que el sistema es poco estable. r 5 - Marge de amplitud y Marge de fase. Estas dos catidades que so ua medida de la estabilidad relativa de u sistema. Será defiidos más adelate cuado se estudie los diagramas de Bode y Nyquist. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 3

15 4.- Especificacioes E El Domiio Frecuecial Para U Sistema De Segudo Orde E u sistema de segudo orde, el factor de resoacia M r y la frecuecia de resoacia depeder, úicamete riel coeficiete de amortiguamieto δ r y de la frecuecia atural si amortiguamieto del sistema. Si se cosidera la fució de lazo cerrado de segudo orde: M 34 δ M 35 δ Al utilizar la frecuecia reducida expresió: u, el módulo de M toma la M u 36a u δu Y la fase de M : δu M : φ m u tg 36b u La frecuecia de resoacia se determia derivado M u co respecto a u e igualado a cero, es decir: M u u [ ] 3 3 u δu 4u 4u 8uδ 0 37 De dode: 3 4u 4u 8uδ 0 38 Por cosiguiete: u 0 39 Y Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 4

16 u u r r δ 40 La solució dada e la ecuació 39 idica meramete que la pediete de la curva M vale cero para 0 0; o es u máximo. De la ecuació 40 se obtiee la frecuecia de resoacia que vale: r δ 4 Evidetemete, la ecuació 4 es válida solamete para δ o δ , puesto que de otra maera r sería imagiario. Esto sigifica simplemete que para todos los valores de δ > o hay resoacia o M r e la curva M e fució de. La curva M es iferior a uo para todos los valores de > 0 si el coeficiete de amortiguamieto es mayor que Sustituyedo la ecuació 40 e la 36a y simplificado se obtiee: M r 4 δ δ Es importate observar que M r es fució de δ solamete, mietras que r es fució de y δ. Las figuras 9 y 0 represeta respectivamete las curvas de M r y de u r e fució de δ. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 5

17 Figura 9: M r e fució de δ para u sistema de segudo orde. Figura 0: u r e fució de δ para u sistema de segudo orde. E resume se observa que a medida que el factor de amortiguamieto δ tiede a cero, la frecuecia de resoacia tiede a r. Para 0 < δ < , la frecuecia de resoacia es meor que la frecuecia atural co amortiguamieto d r δ, que aparece e la respuesta trasitoria. Para δ > o hay pico resoate, la amplitud de G decrece moótoamete cuado la frecuecia crece. Esto sigifica que o hay pico e la curva de respuesta para δ > La amplitud es meor que 0 db para todos los valores de > 0. Debe recordarse que para < δ <, la respuesta escaló es oscilatoria, pero las oscilacioes so muy bie amortiguadas y apeas perceptibles. Cuado δ tiede a cero M r tiede a ifiito. Esto sigifica que si el sistema o amortiguado es excitado a su frecuecia atural, la magitud de G se hace ifiito. Se puede obteer el águlo fase de G, a la frecuecia que se produce el pico de resoacia. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 6

18 δ G tg 43 δ Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 7

19 5 - Gráficas Polares Como se había mecioado ateriormete, para varios valores de se obtiee los valores de M y φ los que podía ser graficados e coordeadas polares o rectagulares. Se verá a cotiuació la primera de estas formas de represetació frecuecial. El diagrama polar de ua fució de trasferecia seoidal G es u diagrama de la amplitud de G e fució del águlo de G e coordeadas polares al variar desde cero a ifiito. Se hace otar que e los diagramas polares, se mide u águlo 'de fase positivo egativo e setido atihorario e setido horario desde el ee positivo real. El diagrama polar frecuetemete recibe el ombre de diagrama de Nyquist. E la figura hay u eemplo de ese diagrama. Cada puto del diagrama polar de G represeta el puto termial de u vector pera u valor determiado de. E el diagrama polar es importate mostrar la graduació de frecuecia sobre el diagrama. Las proyeccioes de G e los ees real e imagiario so sus compoetes real e imagiario. Tato la amplitud G como el águlo de fase G debe ser calculados directamete para cada frecuecia para peder costruir los diagramas polares. Si embargo, como el diagrama rectagular logarítmico que se verá posteriormete es fácil de costruir, la iformació ecesaria para trazar el diagrama polar puede ser obteida directamete del diagrama logarítmico si se dibua previamete aquél y se covierte decibeles e ua magitud ordiaria usado la figura 33. Figura. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 8

20 Pera dos sistemas coectados e cascada la fució de trasferecia total de la combiació, e ausecia de efectos de carga, es el producto de las dos fucioes de trasferecia idividuales. Si se ecesita la multiplicació de dos fucioes de trasferecia seoidales, esta puede lograrse multiplicado las fucioes de trasferecia seoidales e cada frecuecia realizado la multiplicació co álgebra complea. Es decir, si: G G G Etoces: G G G 44 Dode: G G G 45a G G G 45b E la figura se muestra el producto de G. G Figura. E geeral, si se desea u diagrama polar de G. G es coveiete trazar u diagrama logarítmico de G. G y luego covertirla e u diagrama polar Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 9

21 e lugar de dibuar los diagramas polares G y de G multiplicado estos dos e el plao compleo. Ua vetaa de usar u diagrama polar es que preseta las características de respuesta de frecuecia de u sistema e todo el rago de frecuecias e u úico diagrama. Ua desvetaa es que el diagrama o idica claramete las cotribucioes de cada uo de los factores idividuales de la fució de trasferecia de lazo abierto. 5.- Factores Itegral Y Derivativo ±. El diagrama polar de G es el ee imagiario egativo, pues: G 90º 46 El diagrama polar de G es el ee positivo imagiario, pues: G 90º 47 ± 5.- Factores De Primer Orde T Para la fució de trasferecia seoidal: T T G tg T 48 Los valores de G e 0 y so respectivamete: T G 0 0º 49 Y G T 45º Al teder a ifiito: 50 G 0 90º 5 El diagrama polar de esta fució de trasferecia es ua semicircuferecia al variar la frecuecia desde cero a ifiito, como se ve e la figura 3a. El cetro está ubicado e 0.5 sobre el ee real y el radio es igual a 0.5. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 0

22 Figura 3. a: Diagrama polar de T, b: Diagrama de G e el plao x-y. Para probar que el diagrama polar es ua semicircuferecia se defie: G X Y 5 Dode: X T Parte real de G 53 Y T T Parte imagiaria de G 54 Etoces se obtiee: X Y T T T T 55 Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -

23 Etoces e el plao x-y, G es u círculo co cetro e X/; Y0 y co u radio igual a / como puede verse e la figura 3b. La semicircuferecia iferior correspode a 0 y la semicircuferecia superior correspode a 0. El diagrama polar de la fució de trasferecia T es simplemete la mitad superior de la líea recta que pasa por el puto,0 e el plao compleo y paralelo al ee imagiario, como puede verse e la figura 4. El Diagrama polar de T tiee u aspecto totalmete diferete al de T. Figura 4: Diagrama polar de T Si: G T T tg T 56 Para 0 : G 0 0º 57 Para : G 90º Factores Cuadráticos δ Las porcioes de alta y baa frecuecia del diagrama polar de la fució de trasferecia seoidal siguiete: ± Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -

24 G δ > 0 δ Está dadas respectivamete por: 59 lim G 0º y lim G 0 80º 0 El diagrama polar de esta fució de trasferecia seoidal comieza e 0º y fializa e 0 80º al aumetar desde cero a ifiito. Así, la porció alta frecuecia de G es tagete al ee real egativo. Figura 5. Los valores de G e el rago de frecuecias de iterés puede ser catalogados directamete. E la figura 5, hay eemplos de diagramas polares de la fució de trasferecia recié aalizada. La forma exacta de u diagrama polar depede del valor de la relació de amortiguamieto δ, pues la forma geeral es la misma, tato para el caso subamortiguado 0< δ < como para el caso sobreamortiguado δ >. Para el caso subamortiguado e se tiee G y el águlo de δ fase es Por tato, se puede ver que la frecuecia a la cual el lugar G itersecta al ee imagiario es la frecuecia atural o amortigua da. E el diagrama polar, el puto de frecuecia cuya distacia desde el Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 3

25 orige es máxima, correspode a la frecuecia de resoacia r. Se obtiee el valor pico de G como la relació etre el módulo del vector a la frecuecia de resoacia y el módulo del vector e 0. Se idica la frecuecia de resoacia e el diagrama polar como puede verse e la figura 6. Figura 6: Diagrama polar que muestra el pico de resoacia y la frecuecia de resoacia Para el caso sobreamortiguado, cuado δ es bastate mayor que la uidad el lugar de G se aproxima a ua semicircuferecia. Se puede ver esto del hecho de que para u sistema fuertemete amortiguado, las raíces características so reales y es ua mucho más pequeña que la otra. Como para u valor de δ suficietemete grade el efecto de la raíz más grade e la respuesta se hace muy pequeña, el sistema se comporta como u sistema de primer orde. Para la fució de trasferecia seoidal: r G δ δ G 60a 60b La porció de baa frecuecia de la curva es: lim G 0º 6 0 Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 4

26 Y la porció de alta frecuecia es: lim G 80º 6 Como la parte imagiaria de G es positiva para > 0 y es moótoamete creciete; la parte real de G es moótoamete decreciete desde la uidad, la forma geeral del diagrama polar de G de la ecuació 60a es como puede verse e la figura 7. El águlo de fase está etre 0 o y 80. Figura 7: Diagrama polar de G δ Eemplo : Sea la siguiete fució de trasferecia de segudo orde: Gs sts Trazar u diagrama polar para esta fució de trasferecia. E primer lugar se escribe la fució de trasferecia seoidal: T G T T T El tramo de baa frecuecia de la curva es: lim G T 90º 0 El tramo de alta frecuecia de la curva es: lim G º Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 5

27 E la figura 8 se muestra la forma geeral del diagrama polar G.El diagrama de G es asitótico a la recta vertical que pasa por el puto - T, 0. Como esta fució de trasferecia ivolucra itegració s, la forma del diagrama polar difiere sustacialmete de las fucioes de trasferecia que o tiee itegració Retardo De Trasporte. Figura 8. Alguos elemetos e los sistemas de cotrol se caracteriza por su tiempo muerto o retraso de trasporte, durate el cual o da salida a la señal de etrada que se les haya aplicado; hay u periodo muerto de iactividad que demora la trasmisió de la señal recibida. La figura 9 muestra el diagrama de bloques del elemeto demorador. Figura 9. La figura 0 idica la salida ct rt T. ut T que tiee la misma forma que la etrada, pero demora u tiempo T. La demora es ua característica o lieal que, afortuadamete, puede ser represetada por su trasformada de Laplace. Así: Cs st Gs e 63 Rs Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 6

28 Figura 0. T G e 64 Puede ser escrito: G cost set 65 Como el módulo G es simple la uidad y el águlo de fase varía liealmete co, el diagrama polar del retardo de trasporte es u círculo de radio uitario, como puede verse e la figura. Figura : Diagrama polar del retardo de trasporte. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 7

29 A frecuecias baas, el retardo de trasporte T y el retardo de primer orde T se comporta e forma similar, lo que puede verse e la figura. e Figura : Diagramas polares de T e y T T e Los diagramas polares de y T so tagetes etre sí e 0. Puede verse esto del hecho que para T : T e T y T T Si embargo, para T ; hay ua diferecia esecial etre T como puede verse tambié e la figura. T e Eemplo : Obteer el diagrama polar de la siguiete fució de trasferecia L e G T Se puede escribir: L G e T y Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 8

30 El módulo y el águlo de fase so respectivamete: L G e. T T Y L G e T L tg T Figura 3. Como el módulo dismiuye desde la uidad e forma moótoa y el águlo de fase tambié dismiuye moótoa e idefiidamete, el diagrama polar de la fució de trasferecia dada es ua espiral, como puede verse e la figura Formas Geerales De Los Diagramas Polares Los diagramas polares de ua fució de trasferecia de la forma G G K Ta Tb λ T T m m b a b 67 a 0 Dode el grado del poliomio deomiador es mayor que el del deomiador, tedrá las siguietes formas geerales: Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 9

31 - Para λ 0 o sistemas de tipo 0: el puto de iiciació del diagrama polar que correspode a 0 es fiito y está sobre el ee positivo real. La tagete al diagrama polar e 0 es perpedicular al ee real. El puto termial que correspode a, está e el orige y la curva coverge al orige y es tagete a uo de los ees. - Para λ o sistemas tipo : el térmio e el deomiador cotribuye -90 al águlo de fase total de G para 0. E 0, el módulo de G es ifiito y el águlo de fase es -90. A frecuecias baas, el diagrama polar es asitótico a ua líea paralela al ee imagiario egativo. E, el módulo se hace cero y la curva coverge al orige y es tagete a uo de los ees. 3 - Para λ o sistemas tipo : el térmio e el deomiador cotribuye -80 al águlo de fase total de G para 0. E 0, la amplitud de G es ifiita y el águlo de fase es igual a -80. E baas frecuecias, el diagrama polar es asitótico a ua líea recta paralela al ee real egativo. E, el módulo se hace cero y la curva es tagete a uo de los ees. E la figura 4, se ve las formas geerales de las porcioes de baa frecuecia de los diagramas polares de los sistemas tipo 0, tipo y tipo. Se puede ver que si el arado del poliomio deomiador de G es mayor que el del umerador, los lugares de G coverge al orige e setido horario. E, los lugares so tagetes a uo u otro de los ees, como se ve e la figura 5. Figura 4: Diagramas polares de sistemas tipo 0, tipo y tipo. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 30

32 Para el caso e que los grados del poliomio umerador y deomiador de G so iguales, el diagrama polar comieza a ua distacia fiita sobre el ee real y fializa e u puto sobre el ee real. Figura 5: Diagramas polares de fucioes de trasferecia co diámica de umerador. Se hace otar que cualquier forma complicada de las curvas de los diagramas polares es causada por la diámica del umerador, es decir, por las costates de tiempo del umerador de la fució de trasferecia. E la figura 6 se ve eemplos de diagramas polares de fucioes de trasferecia co diámica de umerador. Figura 6: Diagramas polares de fucioes de trasferecia co diámica de umerador. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 3

33 Al aalizar sistemas de cotrol, hay que determiar co exactitud el diagrama polar de G e el rago de frecuecias de iterés. E la tabla se aduta distitos diagramas polares para diversas fucioes de trasferecia. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 3

34 Factor Lugar Polar de la Respuesta a Ts b Ts c Ts, T s d Ts, T s e Ts como g, co δ f Ts Ts como g, co δ > g Ts T s T Tabla. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 33

Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Sistemas de Control. Análisis en el Dominio de la Frecuencia

Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Sistemas de Control. Análisis en el Dominio de la Frecuencia Aálisis e el Domiio de la Frecuecia Sistemas de Cotrol El desempeño se mide por características e el domiio del tiempo Respuesta e el tiempo es díficil de determiar aalíticamete, sobretodo e sistemas de

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

Figura 9.1: Respuesta típica al escalón unitario de un sistema de control. Análisis de Sistemas Lineales 95 Ing. Eduardo Interiano

Figura 9.1: Respuesta típica al escalón unitario de un sistema de control. Análisis de Sistemas Lineales 95 Ing. Eduardo Interiano (VSHFLILFDFLRQHVHQHOGRPLQLRGHOWLHPSR E capítulos ateriores se ha estudiado la respuesta de estado estable de los sistemas lieales ( cuado tæ ), estudiaremos ahora la respuesta trasitoria. La respuesta

Más detalles

8 Funciones, límites y continuidad

8 Funciones, límites y continuidad Solucioario 8 Fucioes, límites y cotiuidad ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Copia y completa la siguiete tabla, epresado de varias formas los cojutos uméricos propuestos. Gráfica Itervalo Desigualdad Valor absoluto

Más detalles

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por:

Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por: Tema 4. Trasformada Z. La trasformada Z para sistemas discretos desempeña u papel aálogo a la trasformada de Laplace para sistemas cotiuos. os va a permitir represetar la relació etrada salida de u sistema

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,

Más detalles

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Itroducció E el Capítulo 5 se itrodujo la trasformada de Laplace. E este capítulo presetamos la trasformada Z, que es la cotraparte e tiempo discreto de la trasformada

Más detalles

Análisis de sistemas en el dominio de la frecuencia

Análisis de sistemas en el dominio de la frecuencia Aálisis de sistemas e el domiio de la frecuecia Prof. Mª Jesús de la Fuete Aparicio Dpt. Igeiería de Sistemas y Automática Facultad de Ciecias Uiversidad de Valladolid maria@autom.uva.es Domiio frecuecial

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se

Más detalles

Capitulo 2. Filtros. 2.1 Antecedentes

Capitulo 2. Filtros. 2.1 Antecedentes Capitulo. Filtros.. Atecedetes U filtro es u elemeto que tiee como fució separar compoetes que se ecuetra mezclados, ser capaz de rechazar los ideseables y así daros como resultado úicamete los deseados.

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIER SARMIENTO LUIS JAIME UNIDAD 3: EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EL VALOR PRESENTE NETO VPN Es ua

Más detalles

Tema 9 Teoría de la formación de carteras

Tema 9 Teoría de la formación de carteras Parte III Decisioes fiacieras y mercado de capitales Tema 9 Teoría de la formació de carteras 9.1 El problema de la selecció de carteras. 9. Redimieto y riesgo de ua cartera. 9.3 El modelo de la media-variaza.

Más detalles

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros

Más detalles

17 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

17 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 7 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA El aálii e el domiio de la frecuecia e u herramieta cláica e la teoría de cotrol, i bie e geeral lo itema que varía co ua periodicidad defiida o uele er lo má

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida. UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios

Más detalles

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FERNANDO ESPINOSA FUENTES Necesidad del reemplazo. Si se matiee u riesgo durate u tiempo

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas La importacia del factor de potecia e las redes eléctricas. Itroducció Las fuetes de alimetació o geeradores de voltaje so las ecargadas de sumiistrar eergía e las redes eléctricas. Estas so de suma importacia,

Más detalles

Planificación contra stock

Planificación contra stock Plaificar cotra stock 5 Plaificació cotra stock Puede parecer extraño dedicar u tema al estudio de métodos para plaificar la producció de empresas que trabaja cotra stock cuado, actualmete, sólo se predica

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos OpeStax-CNX module: m12830 1 Aálisis e el Domiio del Tiempo para Sistemas Discretos Do Johso Traslated By: Erika Jackso Fara Meza Based o Discrete-Time Systems i the Time-Domai by Do Johso This work is

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS Curso Preparació y Evaluació Social de Proyectos Sistema Nacioal de Iversioes Divisió de Evaluació Social de Iversioes MINISTERIO DE DESARROLLO SOCIAL

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

en. Intentemos definir algunas operaciones en

en. Intentemos definir algunas operaciones en OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento. UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses

Más detalles

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida CADENAS DE MARKOV Itroducció U proceso o sucesió de evetos que se desarrolla e el tiempo e el cual el resultado e cualquier etapa cotiee algú elemeto que depede del azar se deomia proceso aleatorio o proceso

Más detalles

ANEXO I ANEXO I CONCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS

ANEXO I ANEXO I CONCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS AEXO I COCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS E este aeo se compila alguos de los coceptos sísmicos básicos pero ecesarios. Se itroduce los tipos de movimietos vibratorios, así como su descripció y otació matemática.

Más detalles

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PRUEBAS DE HIPÓTESIS E vez de estimar el valor de u parámetro, a veces se debe decidir si ua afirmació relativa a u parámetro es verdadera o falsa. Vale decir, probar ua hipótesis relativa a u parámetro.

Más detalles

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010)

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferecial Parcial 3 (27/10/2010) 1. Cosidere la fució f (x) = 3(x 1) 2/3 (x 1) 2 a) Halle el domiio b) Ecuetre los putos críticos,

Más detalles

1.1. Campos Vectoriales.

1.1. Campos Vectoriales. 1.1. Campos Vectoriales. Las fucioes, ampliamete empleadas e la igeiería, para modelar matemáticamete y caracterizar magitudes físicas, y cuyo domiio podría ser multidimesioal, puede teer u rago uidimesioal

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante, 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució

Más detalles

Apuntes De Análisis Numérico.

Apuntes De Análisis Numérico. Aputes De. Prof. Alberto Agarita. Departameto De Ciecias Básicas, Uidades Tecológicas de Satader. y P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) P i (x) P (x) P(x) I 1 I 2 I 3 I x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x x P(x) = P 1 (x) P 2 (x)

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery

Más detalles

Estimación puntual y por intervalos de confianza

Estimación puntual y por intervalos de confianza Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 6.1 Itroducció.......................................... 6.1 6. Estimador........................................... 6. 6.3 Método de costrucció

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA Tema 3- Parte I Etapas del Modelo de Markowitz I. DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN - Se

Más detalles

ANALISIS ESTADISTICO DE VALORES EXTREMOS

ANALISIS ESTADISTICO DE VALORES EXTREMOS ANALISIS ESTADISTICO DE VALORES EXTREMOS Aplicacioes e hidrología Gloria Elea Maggio Dr. Jua F. Aragure 84 - Bueos Aires 4988 0083 www.oldor.com.ar oldor@oldor.com.ar R E S U M E N El objetivo de este

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA José Luis Soto Muguía Departameto de Matemáticas Uiversidad de Soora. INTRODUCCIÓN. Desde los primeros años de la escuela, el estudiate se efreta e matemáticas

Más detalles

Sucesiones y ĺımite de sucesiones

Sucesiones y ĺımite de sucesiones Tema 3 Sucesioes y ĺımite de sucesioes Ídice del Tema Sucesioes........................................ 60 Progresioes....................................... 63 3 Covergecia......................................

Más detalles

7.2. Métodos para encontrar estimadores

7.2. Métodos para encontrar estimadores Capítulo 7 Estimació putual 7.1. Itroducció Defiició 7.1.1 U estimador putual es cualquier fució W (X 1,, X ) de la muestra. Es decir, cualquier estadística es ua estimador putual. Se debe teer clara la

Más detalles

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal.

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal. Departameto de Estadística Uiversidad Carlos III de Madrid BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalecia (trasversales) CONCEPTOS CLAVE 1) Características del diseño e u estudio de prevalecia, o trasversal

Más detalles

APLICACIONES LINEALES.

APLICACIONES LINEALES. APLICACIONES LINEALES. INTODUCCIÓN: APLICACIONES ENTE CONJUNTOS. Ua aplicació etre dos cojutos A y B es ua regla que permite asigar a cada elemeto de A, uo de B. La aplicació del cojuto A e el cojuto B

Más detalles

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada

Más detalles

OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con

OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con Curso -3 OBJETIVOS Objetivos Geerales Itroducir el cálculo de fucioes de ua variable como fudameto del aálisis ecoómico margial y los problemas de optimizació. Matemáticas Empresariales Doble Grado e ADE

Más detalles

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera Cálculo para la igeiería Tomo II Salvador Vera 9 de eero de 5 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 998-4. Ídice geeral 7. Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ... 7... Propiedades

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los

Más detalles

5n la Unidad 4 hemos estudiado las razones trigonométricas de un ángulo y sus relaciones;

5n la Unidad 4 hemos estudiado las razones trigonométricas de un ángulo y sus relaciones; UNIDAD Fucioes trigoométricas y úmeros complejos la Uidad hemos estudiado las razoes trigoométricas de u águlo y sus relacioes; E e esta vamos a estudiar las fucioes circulares a que da lugar las mecioadas

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES Las medidas de PML a ser implemetadas, se recomieda e base a las opcioes de PML calificadas como ecoómicamete factibles.

Más detalles

Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación

Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación Aálisis de Señales y Sistemas Digitales FFT Cocepto Algoritmo Implemetació 2010 FFT Trasformada Rápida de Fourier Cocepto La trasformada rápida de fourier (FFT) es u algoritmo que permite él cálculo eficiete

Más detalles

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones. MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido

Más detalles

Gradiente, divergencia y rotacional

Gradiente, divergencia y rotacional Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para

Más detalles

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...}

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...} ESTADÍSTICA BÁSICA 1.) Coceptos básicos: Estadística: Es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de u equipo de balocesto, temperatura de los meses de verao, etc.)

Más detalles

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio

Más detalles

DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO

DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO Coteido: Resume ejecutivo I. Los estadígraos e la ormació de portaolios de activos iacieros II. Portaolios

Más detalles

CAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD

CAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD MCAL103/03 LIBRO: PARTE: TÍTULO: CAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD 1. CONTROL DE CALIDAD 03. Aálisis Estadísticos de Cotrol de Calidad A. CONTENIDO Este Maual cotiee los procedimietos para aalizar,

Más detalles

RECOMENDACIONES A LOS ALUMNOS

RECOMENDACIONES A LOS ALUMNOS GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº RECOMENDACIONES A LOS ALUMNOS La Asigatura Matemáticas de las carreras Profesorado y Liceciatura e Biología, correspode a primer año; su régime es aual, co tres horas

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS GENNY ALEXANDRA NAVARRETE MOLANO Trabajo de grado para optar por el titulo de Matemático DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA Matemático Uiversidad Nacioal de

Más detalles

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno: Uidad 5 Aualidades vecidas Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: Calculará el valor de la reta de ua perpetuidad simple vecida. Calculará el valor actual de ua perpetuidad simple vecida. Calculará

Más detalles

TEMA 3. ANALISIS DE LA DINAMICA DE PROCESOS EN EL DOMINIO DE LAPLACE: FUNCIONES DE TRANSFERENCIA.

TEMA 3. ANALISIS DE LA DINAMICA DE PROCESOS EN EL DOMINIO DE LAPLACE: FUNCIONES DE TRANSFERENCIA. álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- TEM 3. NLISIS DE L DINMIC DE PROCESOS EN EL DOMINIO DE LPLCE: FUNCIONES DE TRNSFERENCI. La trasformada de Laplace permite

Más detalles

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL Ezequiel Uriel DEFINICIONES Matriz Ua matriz de orde o dimesió p- o ua matriz ( p)- es ua ordeació rectagular de elemetos dispuestos e filas y p columas de la siguiete forma:

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.001-.00 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella,

Más detalles

ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE FLUJO

ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE FLUJO ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE LUJO Elabore diagramas de flujo para expresar la solució de los problemas que se preseta a cotiuació. Auque sólo se pida explícitamete e alguos casos, es ecesario que Ud. siempre

Más detalles

Guía de Cálculo Numérico. Elaborada por: Ramón Medina Copyright 1998 Todos los Derechos Reservados

Guía de Cálculo Numérico. Elaborada por: Ramón Medina Copyright 1998 Todos los Derechos Reservados Guía de Cálculo Numérico Elaborada por: Ramó Media Copyright 998 Todos los Derechos Reservados Sistemas de Numeració y Errores. Sistemas de Numeració y Errores.. Tipos de Errores Error por Trucamieto.

Más detalles

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA ESCUELA DE QUIMICA FACULTAD DE CIENCIAS INSTRUMENTAL ANALITICO GUIA DE CROMATOGRAFÍA

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA ESCUELA DE QUIMICA FACULTAD DE CIENCIAS INSTRUMENTAL ANALITICO GUIA DE CROMATOGRAFÍA UNIVESIDD CENTL DE VENEZUEL ESCUEL DE QUIMIC FCULTD DE CIENCIS INSTUMENTL NLITICO GUI DE COMTOGFÍ Caracas 2008 Tabla de Coteido DEFINICIONES IMPOTNTES...3 Cromatografía...3 Clasificació de los Métodos

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL ) MEDIA ARITMÉTICA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL Las medidas de tedecia cetral so medidas represetativas que como su ombre lo idica, tiede a ubicarse hacia el cetro del cojuto de datos, es decir,

Más detalles

7 Energía electrostática Félix Redondo Quintela y Roberto Carlos Redondo Melchor Universidad de Salamanca

7 Energía electrostática Félix Redondo Quintela y Roberto Carlos Redondo Melchor Universidad de Salamanca 7 Eergía electrostática Félix Redodo Quitela y Roberto Carlos Redodo Melchor Uiersidad de alamaca Eergía electrostática de ua distribució de carga eléctrica Hasta ahora hemos supuesto distribucioes de

Más detalles

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a) Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

Variables aleatorias. Distribución binomial y normal

Variables aleatorias. Distribución binomial y normal Variables aleatorias. Distribució biomial y ormal Variable aleatoria Def.- Al realizar u experimeto aleatorio teemos u espacio muestral E. A cualquier ley o aplicació que a cualquier suceso de E le asocie

Más detalles

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) = Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar

Más detalles

ESCUELA DE FISICA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR 2. OSCILACIONES Y ONDAS

ESCUELA DE FISICA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR 2. OSCILACIONES Y ONDAS ESCUELA DE FISICA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICA UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR. OSCILACIONES Y ONDAS CONTENIDO.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.. RELACION ENTRE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y CIRCULAR

Más detalles

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 1) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS

ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS NÁLSS Y ESOLCÓN DE CCTOS. Las Leyes de Kirchhoff..- Euciado de las Leyes de Kirchhoff. Defiició de Nodo y Lazo Cerrado. Las Leyes de Kirchhoff so el puto de partida para el aálisis de cualquier circuito

Más detalles

APLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS

APLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS APLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS Esperaza Mateos, Aa Elías, Gabriel Ibarra Uiversidad del País Vasco iapmasae@lg.ehu.es Resume Ua de las asigaturas

Más detalles

SUCESIONES TI 83. T 3 España T 3 EUROPE

SUCESIONES TI 83. T 3 España T 3 EUROPE SUCESIONES TI 83 T 3 España T 3 EUROPE Ferado Jua Alfred Mollá Oofre Mozó José Atoio Mora Pascual Pérez Tomás Queralt Julio Rodrigo Salvador Caballero Floreal Gracia Sucesioes TI83 ÍNDICE. Itroducció...

Más detalles