Tema 7: FLEXIÓN: HIPERESTATICIDAD

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1 Tea 7: Flexió: Hiperestaticidad Tea 7: FEXÓN: HPERESTTCDD Prof.: Jaie Sato Doigo Satillaa E.P.S.-Zaora (U.S.) - 008

2 Tea 7: Flexió: Hiperestaticidad 7..- NTRODUCCÓN Segú vios e la secció 4.4 ua viga o ua estructura se dice ue es hiperestática cuado: úero de ecuacioes de euilibrio < úero de icógitas de las reaccioes Éstos casos suele presetarse cuado la viga o la estructura tiee apoyos (ligaduras) de ás Se deoia grado de hiperestaticidad :a la diferecia etre el úero de icógitas de las reaccioes y el úero de ecuacioes de euilibrio de la estática. Tabié vios ue para resolver la hiperestaticidad era ecesario añadir ecuacioes de deforació, tatas coo sea el grado de hiperestaticidad, de tal fora ue: º ecuacioes de euilibrio º ecuacioes de deforacióº icóitas El étodo de resolució será el trasforar la viga hiperestática e ua viga isostática euivalete, liberádola de sus ligaduras de ás y sustituyedo sus accioes por fueras o oetos de agitudes tales ue la viga isostática coserve las coaccioes ue las ligaduras ejercía sobre la viga hiperestática. E este tea estudiareos las vigas hiperestáticas de u solo trao y las de dos o as traos (vigas cotiuas), trabajado a flexió. 7..-VGS DE UN SOO TRO Hagaos su estudio a través del siguiete ejeplo: º ecuacioes euilibrio: R R Fig.7. F 0 0 R R. R. ().. º icógitas de las reaccioes: R,, R () Es ua viga hiperestática de prier grado. Tiee ua ligadura de ás, pues podríaos supriir e ella el apoyo o bie sustituir el epotraieto e por u apoyo articulado fijo, segú se uestra a cotiuació: Fig.7.

3 Secció 7.: Vigas de u solo trao Si supriios el apoyo, la viga isostática ue resulta, para ue fuera euivalete a la dada, deberíaos icluir la fuera R e ipoer la codició (ecuació de deforació): y 0 () R R Fig.7. Resolviedo el sistea forado por las ecuacioes: (), () de euilibrio y la ecuació () de deforació obtedríaos las reaccioes e los apoyos: R,, R Si hubiéseos optado por supriir el epotraieto e por u apoyo articulado fijo, la viga isostática ue resulta, para ue fuera euivalete a la dada, deberíaos icluir el oeto e ipoer la codició (ecuació de deforació): ϑ 0 () R R Fig.7.4 Resolviedo el sistea forado por las ecuacioes: (), () de euilibrio y la ecuació () de deforació obtedríaos las reaccioes e los apoyos: R,, R 7..-VGS CONTNUS as vigas cotiuas so vigas ue tiee ás de dos apoyos. Noralete se utilia cuado los vaos a cubrir so grades. Fig.7.5 No obstate, para cubrir esos vaos grades, se podría optar por colocar varias vigas de u solo trao a cotiuació ua de otra: Fig.7.6

4 Tea 7: Flexió: Hiperestaticidad Vetajas de las vigas cotiuas frete a las varias vigas de u solo trao as vigas cotiuas da oetos flectores y flechas de eor agitud ue las de u solo trao. Ésto se puede apreciar e el ejeplo de las figuras 7.7.a y b., abajo represetadas, lo ue lleva cosigo vigas de eor secció trasversal y por tato, ás ecoóicas y Fig.7.7.a y Fig.7.7.b Por el cotrario, los icoveietes ue preseta las vigas cotiuas frete a las de u solo trao, es ue auellas so sesibles a los desplaaietos (asietos) ue pueda sufrir los apoyos, lo ue proporcioaría uevos oetos flectores y por cosiguiete ás tesioes iducidas. Procediieto para el cálculo de las vigas cotiuas as vigas cotiuas so vigas hiperestáticas y por tato podreos resolverlas segú el procediieto geeral, visto e 7., a través de la viga isostática euivalete Ejeplo: H R R R - R - R Fig.7.8 Esta viga tedrá: º ecuacioes de euilibrio: ( Fx 0 Fy 0 0) º icógitas de las reaccioes: (H, R, R, R, R -, R ) Es ua viga hiperestática de grado -. 4

5 Secció 7.: Vigas cotiuas Utiliado para su cálculo el procediieto descrito e 7., la viga isostática euivalete, sería: H - R R R R - R Fig.7.9 y las - ecuacioes de deforació ue habrá ue añadir a ésta viga isostática para ue sea euivalete a la dada será: y ; y 0 ; y hora ya co el sistea forado por las ecuacioes de euilibrio y las - ecuacioes de deforació idicadas, podreos resolver las icógitas de las reaccioes. No obstate para el cálculo de las vigas cotiuas existe otro procediieto específico para ellas, ue se deoia: Ecuació de los tres oetos ECUCÓN DE OS TRES OENTOS Este étodo toa coo icógitas hiperestáticas los oetos flectores:,, - ue actua e las seccioes trasversales correspodietes a los - apoyos iteredios. étodo de cálculo: se sustituye la viga cotiua por - vigas isostáticas euivaletes, sipleete apoyadas, e cuyos extreos se sitúa las ligaduras iteras co los traos cotiguos de los ue las heos liberado, es decir, las resultates y los oetos resultates de las cargas ue ueda a u lado de dichos extreos.: F,, F,, F -, - H R R R - R - R F F F F F - - H R R R R - R - R Fig.7.0 R los oetos Flectores:,,. -, se obtiee plateado las siguietes ecuacioes de deforació: ϑ (,) ϑ (,), ϑ (,) ϑ (,4),..., ϑ (, ) ϑ (, ) 5

6 Tea 7: Flexió: Hiperestaticidad Desarrolleos pues a cotiuació estas ecuacioes de deforació y para ello toeos dos vigas isostáticas euivaletes, correspodietes a dos traos cosecutivos y de la viga cotiua: F - - F F F - R - R R R Fig.7. la ecuació de deforació a platear será: ϑ (, ) ϑ (, ) (7.) y para el cálculo de estos giros aplicaos el Pricipio de Superposició: θ θ - θ - θ - θ θ - Fig.7..a Fig.7..b la ecuació de deforació aterior será: ϑ (, ) ϑ (, ) ϑ (, ) ϑ (, ) ϑ (, ) ϑ (, ) (7.) Calculeos a cotiuació cada uo de estos valores: 6

7 Secció 7.: Vigas cotiuas Cálculo de: ϑ (, ) y ϑ (, ) : - δ -, θ θ tag e tag e δ, Fig.7..a Fig.7..b Por el étodo de los Teoreas de ohr:,,, (, ). (, ) E.. E.,,, (, ). (, ) E.. E. (7.) (7.4) Cálculo de: ϑ (, ) y ϑ (, ) : δ -, tag e tag e - θ θ δ, - - Fig.7.4.a Fig.7.4.b Por el étodo de los Teoreas de ohr:...,., (, ). (, ) E. E....,., (, ). (, ) E. E. (7.5) (7.6) 7

8 Tea 7: Flexió: Hiperestaticidad Cálculo de: ϑ (, ) y ϑ (, ) : tag e δ θ -, tag e θ δ, - Fig.7.5.a Fig.7.5.b...,., (, ). (, ) E. E.. E....,., (, ). (, ) E. E.. E. (7.7) (7.8) llevado fialete todos los valores obteidos a la ecuació (7.):,. E.... E.,. E.... E. y ultiplicado todos los térios por: (6.E. ) y ordeado, uedará fialete la deoiada ECUCÓN DE OS TRES OENTOS:...( ). 6.,, (7.9) Está ecuació se irá aplicado cada tres apoyos sucesivos de la viga cotiua 8

9 Secció 7.: Vigas cotiuas CSO DE SENTOS EN OS POYOS h - - h h - separado abas vigas: Fig.7.6 h - - h θ 4 - θ 4 Fig.7.7.a θ 4 h h θ 4 Fig.7.7.b h h h h tagϑ ϑ tagϑ ϑ (7.0) plateado de uevo la ecuació (7.): ϑ (, ) ϑ (, ) y añadiedo este uevo tério, uedará: ϑ ϑ ϑ 4 ϑ ( trao, ) ϑ ϑ ϑ 4 ϑ ( trao, ) (7.) y sustituyedo los valores obteidos para cada uo de ellos:,. E.... E. h h,. E.... E. h h y ultiplicado por (6.E. ) y ordeado, la Ecuació de los tres oetos uedará ahora, teiedo e cueta el desceso de los apoyos:,, h h ( ) 6 6E h h (7.) 9