BLOQUE II : GEOMETRIA EN EL ESPACIO.

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1 MATEMÁTICAS : 2º Curso PROBLEMAS : Bloque II 1 BLOQUE II : GEOMETRIA EN EL ESPACIO. 1.- Sea ABCDA'B'C'D' un cubo.: a) Hállense las coordenadas del centro de la cara CDD'C' en el sistema de referencia R= A;AB,AD,AA ' b) Hállense las coordenadas del punto medio de la arista C'D' en el sistema de referencia R'= A;AB,AC,AA ' 2. - Sean los puntos A(-1,2,3), B(b,1,-3), C(2,c,4) D(5,2,d),se pide: a) Calcular b,c,d sabiendo que ABCD es paralelogramo. b) Hallar el centro del paralelogramo. c) Hallar el simétrico del punto A respecto del B. d) Hallar los puntos que dividen al segmento CD en 3 partes iguales Dado el punto A(-1,0,3) el vector v (2,-1,4), se pide: a) Ecuación de la recta determinada por A por v en sus distintas formas. b) Indicar varios puntos de la recta. c) Hallar las coordenadas que faltan en B(x,,-3), si B es un punto de recta anterior. 4.- Hállense las ecuaciones de la recta que une los puntos medios de los segmentos AB CD, siendo A(-2,3,1), B(2,0,2), C(0,-1,3) D(3,6,-5). 5.- Sean A(-2,1,1), u (3,-1,2), v (2,-2,1).Se pide : a) Ecuación del plano determinado por A, u, v en sus distintas formas. b) Indicar varios puntos del plano. c) Hallar x para que el punto P(x,-3,0) pertenezca al plano. 6.- Compruébese que los planos (A; u, v ) (B; u ', v ' ) coinciden, siendo A(2,- 1,3), B(3,0,3), u (2,0,-1), v (1,1,0), u ' (7,3,-2), v ' (2,2,0). 7.- Hállese la ecuación general del plano determinado por los puntos A(2,3,-1), B(1,2,3) C(-1,0,1). 8.- Sea el punto A(1,2,3). Comprobar que los seis puntos obtenidos al permutar sus coordenadas son coplanarios. 9.- Sean los puntos A(1,-1,0), B(-1,b,4), C(4,-10,c), D(1,2,3) E(0,5,e). a) Hállense las coordenadas que faltan en B, C E sabiendo que A, B C están alineados que A, B, D E son coplanarios. b) Hállese la ecuación de la recta paralela a la la recta por A B que pasa por D. c) Hállense las ecuaciones paramètricas general del plano que contiene a los 5 puntos Qué representan las ecuaciones paramétricas que siguen? : x t x 1 x 1 x t s x 1 t 2s a: 0 b: 1 c: t d: t e: 2 f: z t z 1 z 1 z s z 3 3t 6s x 1 2t s t 2s r z s r 11.- Estudiar la posición relativa de los planos. Si se cortan hallar el vector dirección un punto de la recta que determinan:

2 MATEMÁTICAS : 2º Curso PROBLEMAS : Bloque II 2 x 1 a) 2 z Estudiar la posición relativa de los 3 planos : x + + z = 1 2x + + z = 3 a) 5x - + z = 0 b) x - + 2z = 1 3x + - z = z = 2 ' 3x z 5 0 b) c) x 2 z 0 ' 3x z 5 0 x + + 2z = 3 2x - + z = 3 x z = 4 7x +3 - z = 4 19x z = 23 14x +6-2z = Estudiar la posición relativa entre la recta el plano en los casos siguientes. Si la recta corta al plano hallar el punto de corte: a) r x 1 1 z x 2 3z 9 0 b) r x 1 z 4x 3 2z Estudiar la posición relativa de las rectas siguientes. Si se cortan hallar el punto de corte la ecuación del plano que determinan. Hallar en ambos casos la recta perpendicular a las dos dadas que pasa por el punto (-1,1,3) : a) r 1 5 s b) r x 3 t x 4 1 z s 1 t z Estudiar si la recta 2x 3 5z 6 0 x 5 7z 10 0 corta al eje OY Estudiar la posición relativa de los 3 planos según los valores del parámetro t : a) tx+ + z = 1 x + t+ z = t tx+ + tz= t b) x + t+ z = 0 x - - tz= 0 2x +3 + z = Estudiar la posición relativa de la recta el plano según los valores del parámetro k x 2 z 1 r kx 2z 4 2x z Estudiar la posición relativa de las rectas según los valores del parámetro t x 2z 1 2z 0 2x 3 z t 0 a) r 1 r 2 b) r s El eje tz 0 x tz 1 t 3x 2 2z 6 0 OZ 19.- Hallar la ecuación del plano que pasa por P(2,2,1) contiene a x z 3 0 r 2x 3z Hallar la ecuación del plano que pasa por P(2,2,1) es paralelo a x 1 2 z 1 3 d)

3 MATEMÁTICAS : 2º Curso PROBLEMAS : Bloque II Hallar la ecuación del plano que pasa por A(-1,-1,0) es paralelo a las dos x 3 5t 3x z 0 rectas r 1 2t, s..hallar la intersección de dicho plano z 3 x 2 z 0 con los ejes coordenados. x Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta paralelo al eje OX. 3 z Ecuación del plano que pasa por P(2,-3,3) es paralelo al plano OXY 24.- Ecuación del plano que contiene al eje OY pasa por el punto (1,4,-3) x 3z 1 0 x 2 5z Comprobar que las rectas r s son x z 3 0 x 2 3z 9 0 paralelas calcular la ecuación del plano que las contiene Ecuación de la recta que pasa por P(2,1,1) es paralela a x z 1 0 r 2x 3z 1 0 x Ecuación de la recta que es paralela a los planos 1 2 z x+ - z+3= 0 pasa por A(2,1,0) Ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,1,-1), está contenida en 2x+-z-6=0 es paralela a 3x++z-1= Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,1,1), es paralela al plano x-2-z=0 está en un mismo plano que la recta x 1 z Ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,1,0), corta a la recta x 1 1 z 2 es paralela al plano 2x+-5z= Ecuación de la recta que pasa por el punto P(5,1,0) corta a las rectas r x 1 2 z 3 s x 2 1 z Hallar la ecuación de la recta que se corta a las rectas r s es paralela a la recta t si r x 4 1 z 1 x s 2 4 z t x 2 1 z x 5 2t 33.- Calcular el ángulo que forman las rectas r 2 t s z 7 t x 3 z 2 0. x 3z Calcular el ángulo determinado r x x 1 2 z z 4 3

4 MATEMÁTICAS : 2º Curso PROBLEMAS : Bloque II Hallar el ángulo formado por los planos 3x 2 4z 37 0 ' 5 2z x 3 z Ecuación del plano que es perpendicular a la recta r 3x 2z 8 0 pasa por P(6,0,-2). Hallar el simétrico de P respecto de r Ecuación de la recta perpendicular al plano 3x-2+4z-2=0 que pasa por el punto P(-1,3,2). Hallar el simétrico de P respecto de. x Ecuación de la recta perpendicular a las rectas r 4 z 3 x s 3 z pasa por el punto P(-1,6,0) Ecuación de la recta que pasa por P(1,2,1) corta perpendicularmente a la recta r x 1 2 z Ecuación de la recta a la recta que pasa por P(1,0,3), es perpendicular a x 2 3z 1 0 la recta r está contenida en el plano 3x+-z=0. 2x z 2 0 x 41.- Dada la recta r 1 3 z 2 el plano 2x 3 z 0, hállese la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r está contenida en el plano Ecuación del plano que pasa por P(9,4,-1) es perpendicular a los planos 1 5x z 0 2 x z 0. x z Ecuación del plano que pasa por P(1,2,1), es paralelo a r 2x 1 es perpendicular a 2x z Ecuación del plano que es perpendicular al plano x-+z=0 contiene a la x 1 1 z 1 recta Calcular la longitud de la proección ortogonal del segmento de extremos A(1,0,-1), B(2,3,0) sobre el plano x-+3z+2= Calcular la distancia de P(1,-1,1) a r x z Hallar a b para que las rectas x 2 z x 1 1 z 1 ; sean a b paralelas. Hallar la distancia entre ellas. x 3 9 z 48.-Dadas las rectas 8 x ; 3 z a) Comprobar que se cruzan. b) Hallar la distancia entre ambas. c) Hallar la ecuación de la perpendicular común que las corta. x Calcular la distancia del punto P(3,2,1) al plano 1 3 z Ecuación del plano mediatriz del segmento A(2,-1,0) B(6,3,8) Simétrica de la recta x==z respecto al plano 2x-+3z+5=0

5 MATEMÁTICAS : 2º Curso PROBLEMAS : Bloque II Sabiendo que ABCD es un cuadrado, A(2,0, 2 ), B(1,1,0) C(0,x,), hállense las coordenadas que faltan en C Calcular los puntos de la recta x 1 1 z que equidistan de los planos 3x+4=1 4x-3z= Ecuación del plano perpendicular a la recta x = = z que dista 3 3 del punto (3,-2,0). x Dado el plano 3x b z 2 0 la recta r 2 2 z 7 hallar b para que r sean paralelos, calcular la distancia de r a la recta simétrica de r respecto a Calcular a b para que los planos 3x--bz-2=0 ' ax-2+8z+10=0 sean paralelos hallar la distancia entre ambos. x Dado el plano 3x b z 2 0 la recta r 2 2 z 7 hallar b para que r sean paralelos, calcular la distancia de r a. x Sea A(a,b,-3),B(3,5,6) r 2 2 z 1 3.Sabiendo que el segmento AB es paralelo a r calcúlese el volumen del cilindro generado al girar AB en torno a r Sean A(1,0,0), B(2,1,2) C(1,2,2). Sabiendo que ABCD es un paralelogramo, hállese el punto D, el perímetro el área del paralelogramo Hallar el área del triángulo ABC, siendo A(-1,2,3), B(2,0,4) C(-10,5,0) Comprueba que los puntos A(1,-2,-1), B(2,0,2), C(4,-1,-1) D(5,1,2) son coplanarios calcula el área del cuadrilátero que determinan Hallar el volumen del tetraedro que el plano de ecuación 2x-3+6z-12=0 determina con los ejes de coordenadas Sean A(-1,2,3), B(0,1,b), C(5,0,-1) D(0,d,4). Hállese el volumen del tetraedro ABCD, sabiendo que la cara ABC del mismo es un triángulo isósceles con lados iguales AB BC que la cara ACD es un triángulo rectángulo con ángulo recto en A.