Matemáticas UNIDAD 7 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 7 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS UNIDAD 6 TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La Unidad trata los siguientes puntos: Identificación y teoremas de igualdad referidos a ángulos opuestos por el vértice y a ángulos en paralelas cortadas por una transversal. Identificación y teoremas referidos a ángulos interiores y exteriores en triángulos y cuadriláteros. Generalización a polígonos. Ángulos interiores en polígonos regulares. 2. DURACIÓN APROXIMADA 5 semanas. 3. CONTENIDOS - Teoremas relativos a igualdad de ángulos - Ángulos interiores y exteriores en polígonos 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Teoremas relativos a igualdad de ángulos En geometría plana los teoremas relativos a igualdad de ángulos son especialmente relevantes pues a partir de ellos es posible demostrar numerosos teoremas especialmente en relación con los polígonos. El primer aprendizaje esperado se refiere a la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice. El segundo aprendizaje esperado considera otro importante teorema de igualdad de ángulos: el teorema relativo a los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas se cortan por una tercera recta. APRENDIZAJES ESPERADOS Teoremas relativos a igualdad de ángulos Identifican ángulos iguales en los ángulos formados por dos rectas que se cortan. Identifican ángulos iguales en los ángulos formados en paralelas cortadas por una transversal. Aplican estos teoremas para demostrar o establecer igualdad de ángulos en diferentes figuras geométricas. En el tercer aprendizaje esperado se aplican los teoremas anteriores a diversas situaciones geométricas. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 4.2 Ángulos interiores y exteriores en polígonos A partir de los teoremas estudiados en el contenido anterior es posible establecer que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º. A este punto se refiere el primer aprendizaje esperado. A su vez, este teorema permite analizar la suma de los ángulos interiores de diferentes polígonos. Este es el contenido del segundo aprendizaje esperado. El tercer aprendizaje esperado apunta al hecho que la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º. El cuarto aprendizaje esperado se refiere a la identificación y caracterización de los polígonos regulares y a la posibilidad de determinar la medida de los ángulos interiores en triángulos. 5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS APRENDIZAJES ESPERADOS Ángulos interiores y exteriores en polígonos Conocen y aplican el teorema relativo a la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Determinan la suma de los ángulos interiores en polígonos aplicando el teorema referido a los ángulos interiores de un triángulo. Determinan la suma de los ángulos exteriores en triángulos. Determinan la medida de los ángulos interiores en polígonos regulares. 5.1 La demostración de teoremas en geometría. Las demostraciones de teoremas geométricos constituyen ejemplos clásicos de razonamiento matemático. Si bien en años anteriores los estudiantes han tenido numerosas oportunidades de conocer formas de razonamiento matemático, el estudio de algunos teoremas geométricos, sus demostraciones y sus aplicaciones en la demostración de nuevos teoremas proporciona una muy buena oportunidad para que los estudiantes tomen conciencia de un tipo de forma de razonamiento que hasta ahora han realizado sin prestarle la debida atención. Los teoremas de geometría tienen la ventaja de que pueden mostrar la línea de razonamiento en una forma muy clara, lo que le da a la enseñanza de la geometría un valor especial en el marco de la educación matemática. Pero para que las demostraciones geométricas puedan entregar su riqueza debemos cuidar la forma en que se presentan a los estudiantes. Es importante que los estudiantes se den cuenta de la fuerza del razonamiento que permite asegurar, si la demostración es correcta, que una determinada propiedad se cumplirá en todos los casos particulares en que sean válidas las condiciones establecidas en la hipótesis. Es necesario resaltar la estructura si p, entonces q de los teoremas geométricos. Esta estructura nos permite asegurar que si se cumple p, también se cumplirá necesariamente q. Gracias a los teoremas podemos obtener información que no está dada explícitamente. Así, por ejemplo, si puedo mostrar que un determinado triángulo es un triángulo rectángulo, entonces no solo puedo afirmar que uno de sus ángulos mide 90º. También puedo asegurar que el lado opuesto al ángulo recto es mayor que los otros dos lados, que los ángulos que no son rectos son necesariamente agudos, que su suma es necesariamente 90º, que la transversal de gravedad es igual a la mitad de la hipotenusa, que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, etc., etc., etc.

4 Lo importante no es que los estudiantes aprendan demostraciones y las puedan repetir. Lo importante es comprender la línea de razonamiento que lleva a demostrar lo que se quiere demostrar, comprender las consecuencias que se desprenden de las conclusiones logradas, visualizar las posibilidades de demostrar nuevos teoremas a partir de los ya demostrados, e incluso aplicar teoremas geométricos para resolver problemas del mundo real. 5.2 Ángulos en paralelas cortadas por una transversal. Al trazar una recta de modo que corte a dos rectas que son paralelas, se forman 8 ángulos. Si dicha recta es perpendicular a las rectas paralelas, los 8 ángulos son rectos y, por lo tanto, todos son iguales entre sí. Si la recta no es perpendicular a las rectas paralelas se formarán 4 ángulos agudos y 4 ángulos obtusos. Lo interesante es que los 4 ángulos agudos son iguales entre sí y los 4 ángulos obtusos son iguales entre sí. Además los ángulos agudos y los ángulos obtusos son suplementarios entre sí. Es decir, su suma es 180º. Para demostrar estas igualdades de ángulos podemos partir estableciendo la igualdad de uno de los ángulos que se forman en torno a una de las paralelas con el correspondiente ángulo en torno a la otra paralela. Consideremos, a modo de ejemplo, la figura 1. En esta figura, las rectas P y Q son paralelas entre sí y son cortadas por la recta T. Se han formado 8 ángulos que se han designado con los números del 1 al 8. T Figura 1 P Q Si trasladamos la recta Q paralelamente a sí misma, el ángulo 6 que forma la recta Q con la recta T se mantiene igual a sí mismo, de modo que irá a coincidir totalmente con el ángulo 2. Importante es subrayar que cuando trasladamos la recta Q paralelamente a sí misma, esta solo llegará a coincidir con la recta P si las rectas P y Q son paralelas entre sí. Las igualdades de ángulos que veremos a continuación sólo se cumplirán si P y Q son paralelas. De modo que tenemos que: áng 6 = áng 2. Pero el ángulo 7 es opuesto por el vértice con el ángulo 6 y el ángulo 4 es opuesto por el vértice con el ángulo 2. Por lo tanto: áng 6 = áng 7 áng 2 = áng 4 Y por lo tanto, el ángulo 2, el ángulo 4, el ángulo 6 y el ángulo 7 son iguales entre sí. Asimismo, utilizando el hecho que estos ángulos son suplementarios con el ángulo 1, el ángulo 3, el ángulo 5 y el ángulo 8, resulta que estos últimos ángulos son también iguales entre sí. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 En resumen, cada vez que tengamos 2 rectas paralelas entre sí, cualquier otra recta que las corte formará 8 ángulos entre los cuales se deben cumplir las igualdades que acabamos de ver. 5.3 La suma de los ángulos interiores de un triángulo. Uno de los teoremas geométricos más conocidos es el relativo a la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Este teorema establece que en cualquier triángulo la suma de sus 3 ángulos interiores es igual a 180º. Esto vale para todo tipo de triángulo, independientemente de si son triángulos acutángulos, obtusángulos o rectángulos e independientemente de si son triángulos escalenos, isósceles o equiláteros. Es decir, se trata de un teorema muy general y, por lo tanto, de una gama muy amplia de aplicaciones. Es posible demostrar este teorema aplicando el teorema relativo a la igualdad de ángulos en paralelas cortadas por una transversal (punto 5.2). En un triángulo no hay rectas paralelas. Pero podemos formar un par de rectas paralelas trazando por uno de los vértices una paralela al lado opuesto del triángulo. Por ejemplo, en la figura 2 se ha trazado una paralela al lado BC que pasa por el vértice A. Se forman los ángulos δ y ε. C γ Tenemos, así, dos paralelas (la recta recién trazada y el lado BC) que están cortadas tanto por la recta AB como por la recta AC. Se verifican, por lo tanto, las condiciones para que se cumpla una serie de igualdades de ángulos. En especial, se cumple que: áng β = áng ε y áng γ = áng δ A δ ε α β B Figura 2 Pero: áng δ + áng α + áng ε = 180º Y si en esta última igualdad reemplazamos áng δ por áng γ y áng ε por áng β, tenemos que: áng γ + áng α + áng β = 180º Es decir, la suma de los 3 ángulos interiores del triángulo es 180º. Este razonamiento puede aplicarse para cualquier triángulo y siempre llegaremos a la misma conclusión. El teorema es válido, por lo tanto, para cualquier triángulo. Recalcamos la importancia de que los estudiantes comprendan el razonamiento que lleva a establecer la conclusión y tomen conciencia del carácter general de su validez. Conviene insistir en que, una vez demostrado el teorema, si establecemos que una determinada figura es un triángulo de cualquier FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4

6 tipo, entonces podemos afirmar sin necesidad de ninguna medición, que la suma de sus 3 ángulos debe ser 180º. Este teorema permite concluir, por ejemplo, que si un triángulo tiene un ángulo recto u obtuso, los otros dos ángulos deben ser agudos. O que la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo debe ser 90º. 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE En esta guía se caracterizan y definen los ángulos opuestos por el vértice y se ofrece una línea de razonamiento que demuestra que siempre que dos rectas se cortan, los ángulos que son opuestos por el vértice son iguales entre sí. Se proponen también algunas situaciones en que la aplicación del teorema demostrado permite obtener información adicional en figuras geométricas. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL) RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (I) En esta guía se plantea una nueva situación que da origen a igualdades de ángulos: dos paralelas cortadas por una transversal. Se definen los ángulos correspondientes y se ofrece un razonamiento para mostrar que los ángulos correspondientes son iguales. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO GRUPAL) RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (II) En esta guía se prosigue la situación anterior. Se definen los ángulos alternos internos y los ángulos alternos externos en el caso de rectas paralelas cortadas por una transversal y se demuestra luego que los ángulos alternos internos deben ser iguales entre sí y que los ángulos alternos externos también deben ser iguales entre sí. La demostración se basa en los dos teoremas demostrados anteriormente: el relativo a ángulos opuestos por el vértice y el relativo a ángulos correspondientes entre paralelas. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL) APLICACIONES DE LOS TEOREMAS RELATIVOS A IGUALDAD DE ÁNGULOS En esta guía se ofrecen varias situaciones en las que se puede obtener información adicional o demostrar nuevos teoremas aplicando los teoremas vistos en las guías anteriores. Es conveniente hacer resaltar los razonamientos que permiten obtener en cada caso los resultados esperados. GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO GRUPAL) LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO En esta guía se demuestra en forma general el teorema relativo a la suma de los ángulos interiores del triángulo. Generalmente este teorema se ha presentado en años anteriores sin ofrecer una demostración, haciéndolo plausible mediante manipulación de material concreto o a través de mediciones en casos particulares. El teorema relativo a ángulos entre paralelas permite ofrecer ahora una demostración FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5

7 general concluyente. Este teorema permite calcular el tercer ángulo cuando se conoce la medida de 2 de ellos. También ofrece argumentos para concluir que todo triángulo debe tener por lo menos 2 ángulos agudos. GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO INDIVIDUAL) ÁNGULOS EXTERIORES EN TRIÁNGULOS En esta guía se introduce la noción de ángulo exterior de un triángulo y se demuestran algunas de sus propiedades. GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL) ÁNGULOS INTERIORES EN POLÍGONOS La suma de los ángulos interiores de polígonos ofrece una buena oportunidad para aplicar los teoremas anteriores y para mostrar ejemplos de razonamiento matemático en el análisis de situaciones geométricas. Una vez más insistimos en la conveniencia de resaltar los razonamientos que permiten obtener en cada caso los resultados esperados. GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO INDIVIDUAL) POLÍGONOS REGULARES En la última guía de esta Unidad se muestran algunas propiedades de los polígonos regulares basándose en la propia definición de polígono regular y en los teoremas vistos en las guías anteriores. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6