ENLOSúltimos quince años, la extensión del método

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1 Esabilidad y Exaciud de una Exensión del Méodo FDTD Para la Incorporación de Ferrias Parcialmene Magneiadas José A. Pereda, Ana Grande, Oscar Gonále, y Ángel Vegas Deparameno de Ingeniería de Comunicaciones(DICom, Universidad de Canabria. Correo elecrónico: gonaleo@unican.es Absrac En esa comunicación se presena una exensión del méodo de las diferencias finias en el dominio del iempo (FDTD para incorporar ferrias parcialmene magneiadas. El comporamieno macroscópico de las ferrias se describe a ravés de un ensor permeabilidad obenido de forma empírica. Con el objeivo de esudiar las caracerísicas numéricas (esabilidad y excaiud de la formulación FDTD resulane, se considera el problema de la propagación de ondas planas en medios que conengan ferrias magneiadas longiudinalmene. Uiliando el méodo de von Neuman para esudiar la esabilidad numérica del algorimo, se demuesra analíicamene que la exensión propuesa conserva la condición de esabilidad del méodo FDTD convencional y que, además, el algorimo no presena el fenómeno de disipación numérica. Por úlimo, ambién se comprueba que la exaciud de los resulados numéricos obenidos no se deeriora en comparación a la obenida para el caso de ferrias desmagneiadas. Keywords Magneied ferrie, FDTD mehods, sabiliy I. I ENLOSúlimos quince años, la exensión del méodo de las diferencias finias en el dominio del iempo(cuyas siglas en inglés son FDTD para incorporar ferrias magneiadas ha recibido mucha aención. La mayoría de los rabajos presenados hasa ahora se cenran en ferrias sauradas, pudiéndose clasificar en dos grandes caegorías: los méodos que describen la ferria en el dominio de la frecuencia a ravés del ensor de Polder []-[3]; y aquellos que planean el problema direcamene en el dominio del iempo a ravés de la ecuación de movimieno de Gilber [4]-[6]. En ambos casos y, posiblemene, debido a la complejidad de los algorimos FDTD resulanes, el esudio de las propiedades numéricas de las disinas formulaciones nunca han sido esudiadas con la profundidad necesaria. En muchas aplicaciones prácicas del campo de las microondas, las ferrias polariadas no esán sauradas, por lo que las formulaciones aneriores dejan de ser válidas. En [7]elméodoFDTDseexendióalcasodeferriasparcialmene magneiadas y se aplicó al cálculo de diagramas de dispersión en guías de onda cargadas con ferrias. En ese caso, la ferria se describe, en el dominio de la frecuencia, por un ensor permeabilidad empírico[8],[9]. Elobjeivodeeserabajoesesudiarlaesabilidadyla exaciud de una exensión de méodo FDTD que permie Ese rabajo ha sido financiado por la Dirección General de Invesigación del MEC a ravés del proyeco TEC C03-03/TCM. incorporar ferrias parcialmene magneiadas. Esa nueva formulación se basa en las mismas ideas que la presenada previamene en[7]. Sin embargo, el méodo se aplica ahoraalcasodelapropagacióndeondasplanasalolargode ferrias longiudinalmene magneiadas. Esa siuación se puede resolver con una formulación FDTD en D, lo que nos permie esudiar las propiedades numéricas del algorimo de una forma analíica. Comoveremos,aravésdeunesudiodelaesabilidad uiliando el méodo de von Neumann, se mosrará que nuesra formulación maniene la condición de esabilidad del méodo FDTD convencional. Además, ambién obendremos la ecuación de dispersión numérica, demosrando que nuesra formulación no presena disipación numérica. Por úlimo, para validar la exaciud del algorimo, se calculan los errores absoluos de la consane de propagación de las dos ondas propias en una ferria magneiada, es decir, una onda circularmene polariada a derechas (cuyas siglas en inglés son RHCP y una onda circularmene polariada a iquierdas (LHCP. Los errores obenidos se comparan con el caso de la ferria desmagneiada. II. T Nuesro puno de parida son las ecuaciones de Maxwell del roacional, en el dominio de la frecuencia, para un medio lleno de ferria magneiada: jω[µ(ω] H(ω = E(ω, jωɛ E(ω = H(ω, (a (b dondeɛeslapermiividady[µ(ω]eselensorpermeabilidad. Asumiendo que la ferria esá, en promedio, magneiada según la dirección, los elemenos del ensor[µ(ω] disinos de cero vienen dados por[9] ( 3/ ] M µ xx = µ yy =µ=µ 0 [µ d +( µ d,(a M s µ = µ 0 µ d ( M M s 3/, (b µ xy = µ yx =jκ=j µ 0ω M ω, (c dondem eslamagneiación, M s eslamagneiaciónde sauraciónyω M =γµ 0 M,siendoγlaraóngiromagnéica.

2 En(,µ d eslapermeabilidadrelaivadelaferriaparael caso en la que ésa se encuenre desmagneiada, y viene dadapor[8] µ d = ( 3 + ωm. 3 ω Para desarrollar un modelo FDTD para la propagación deondasenferriasmagneiadas,µ d seaproximaporun valor consane en la banda frecuencial de inerés, es decir µ d µ d = ce. Como resulado de la aproximación, µ en (a ambién se conviere en una consane, quedando µ µ=ce. AparirdeahoraconsideramoselproblemaDdeondas planas propagándose en la dirección. En ese caso, las ecuaciones diferenciales que describen el problema son: µ H x µ H y ɛ E x ɛ E y = E y +µ 0ω M H y, = E x µ 0ω M H x, = H y, = H x. (3a (3b (3c (3d Unaversióneneldominiodeliempodiscreodelasecuaciones aneriores se obiene reemplaando las derivadas por diferencias cenradas y uiliando promediado emporal parah y en(3ayparah x en(3b. Lasecuacionesendiferencias resulanes, en forma operacional, son: µ δ H n x(k+ = δ E n y(k+ +µ 0ω M µ H n y(k+,(4a µ δ H n y(k+ = δ E n x(k+ µ 0ω M µ H n x(k+,(4b ɛ δ E n+ x (k= δ H n+ y (k, ɛ δ E n+ y (k= δ H n+ x (k, (4c (4d donde µ es el operador promedio cenrado enel iempo, y δ y δ son, respecivamene, los operadores diferencia cenradaenelespacioyeneliempo,definidoscomo δ F n (k = F n+ (k F n (k, δ F n (k = F n (k+ Fn (k, µ F n (k = ] [F n+ (k+f n (k. Ahora cabe reseñar que (4a esá acoplada a (4b ya que losérminosh n+ x (k+ yhn+ y (k+ aparecenenlas dos ecuaciones. Aforunadamene, esas ecuaciones pueden desacoplarse anes de programarse, quedando H n+ x (k+ = { ( A +A H n x (k+ + µ [ E n y (k+ E n y(k ] A µ [E n x(k+ E n x(k] +AH n y (k+ }, (5a H n+ y (k+ = { (+A A H n y (k+ µ [E n x (k+ En x (k] +A µ [ E n y (k+ E n y(k ] } AH n+ x (k+, (5b Ex n+ (k=ex(k n [ ] H n+ y (k+ ɛ Hn+ y (k,(5c Ey n+ (k=ey(k+ n [ ] H n+ x (k+ ɛ Hn+ x (k,(5d donde A= µ 0ω M. µ Esas ecuaciones dan lugar a un algorimo FDTD que implica los siguiene pasos en casa ieración emporal: H n+ x se calcula uiliando(5a. H n+ y se acualia por medio de(5b. 3Ex n+ se obiene uiliando(5c. 4Finalmene,Ey n+ se calcula gracias a(5d. Para mosrar la aplicación prácica de ese algorimo, hemos considerado la propagación de dos ondas planas linealmene polariadas viajando en direcciones opuesas a ravés de una lámina de ferria. Para conseguirlo, hemos colocadodosfuenes, unaacada lado deldominio decómpuo. Cada fuene excia una onda plana linealmene polariada según el eje x que se propaga hacia la lámina de ferria, al y como se muesra en la figura. Se puede apreciar como, si miramos en la dirección de propagación, el campo elécrico de la onda que se propaga en el senido de la posiiva gira en dirección conraria a las agujas del reloj. Tal y como era de esperar, y de acuerdo al fenómeno de roacióndefaraday, elcampoelécricodelaondaquese propagaenladireccióndela negaivagiraenelsenido de las agujas del reloj. Los parámeros del medio simulado fueronm =400G,ε r =0, µ r =0.9. A. Esabilidad III. C N Para realiar el esudio de la esabilidad del esquema FDTD para ferrias que acabamos de presenar, uiliamos elméododevonneumann. Tomandocomopunodeparida las ecuaciones en diferencias obenidas aneriormene, la écnica de von Neumann nos permie obener un polinomio de esabilidad S(Z[0]. La condición de esabilidad

3 3 donde S ± (Z=( jaz + ( ν Z+±jA. (7 LasraícesdeS + (Zson ( [ ν Z, + = ±j ( ] ν / ++A, ja ylasraícesdes (Z ( [ ν Z, = ±j ( ] ν / ++A. +ja Fig.. Roación de Faraday esqueodaslasraícesz i des(zquedendenro,osobre, el círculo unidad en el dominio de la ransformada Z, es decir Z i i. Deacuerdocon[0],paraobenerS(Zsecomienareemplaando en la ecuaciones del méodo(5 los campos por sus correspondienes ampliudes complejas F F 0 y los operadores en diferencias por sus correspondienes auovalores: δ jsin( k, δ Z Z, µ ( Z +Z. donde k [ π/, π/ ] es el número de onda de un modo de Fourier. Eliminando Ẽ 0x y Ẽ 0y del sisema homogéneo resulane, llegamos a con (Z Z H 0x = 4ν H 0x +A(Z Z H 0y, (Z Z H 0y = 4ν H 0y A(Z Z H 0x, ν = ɛ µ ( sin ( k. (6 Igualando el deerminane de la mari de los coeficienes acero: S(Z= (Z Z +4ν A(Z Z A(Z Z (Z Z +4ν =0, obenemos el siguiene polinomio de esabilidad: S(Z= [ Z + ( 4ν Z+ ] +A ( Z =0. Ese polinomio se puede facoriar como S(Z=S + (ZS (Z, Sepuedeverfácilmeneque,paraν eindependienemene del valor de A, el radicando es siempre posiivo y, además =. Z ±, Por lo ano, la formulación propuesa no inroduce disipación numérica. Por ora pare, considerando la definición de ν dada en (6 y omando el peor caso para sin ( k /,esdecir, k =±π,lacondiciónν se puede expresar como: ɛ µ =s, que inmediaamene se reconoce como el límie de esabilidad del méodo FDTD convencional, siendo s el facor de esabilidad. Para visualiar el resulado eórico que acabamos de obener, hemos considerado una ferria con M = 3000 G, ε r = 0 y µ r = 0.9. Para ese medio, hemos calculado numéricamene las raíces de S ± (Z. Los cálculos se han realiadocon =0.89psyν variandodesde0.a.0. La figura muesra el lugar de las raíces de los polinomios S + (Z y S (Z. Se puede observar como odas las raícessesiúansobreelcírculounidadcuandoν,por lo que el esquema FDTD correspondiene se dice que es no disipaivo y que maniene el límie de esabilidad del méodofdtdconvencional. Paraν >,exiseunaraí de S + (Z y ora de S (Z que salen del círculo unidad, haciendo inesable el algorimo FDTD. B. Dispersión numérica La ecuación de dispersión numérica puede obenerse facilmene, sin mas que evaluar S(Z en el círculo unidad eneldominiodelaransformadaz eigualarelresulado a cero. En nuesro caso, haciendo S ± (e jω =0en (7, obenemos la siguiene relación de dispersión: sin ( k± =ɛ µ ± eff sin ( ω, (8 donde k ± sonlosnúmerosdeondanuméricosdelasondas propias RHCP y LHCP. En el análisis de dispersión k ± pueden ser, en general, números complejos.

4 Error Absoluo, [m - ] Consane de Propagación, [m - ] 4 S + (Z ν = S - (Z Frecuencia [GH] Fig. 3. Consanes de propagación exacas ν = Error Abs Error Abs - Error Abs + Error Abs + - Fig..Lugarde lasraícesdes ± (Zpara ν variandode0.a.0. En(8, la expresión de la permeabilidad numérica efeciva para las ondas propias viene dada por: con µ ± eff = µ± κ, µ κ= 0 ω M an ( ω. De(8 ambién obenemos la siguiene expresión para la consane de propagación numérica: [ j k ± α ± +j ± = j sin ɛ µ ± eff sin( ] ω, (9 donde α ± y ± son,respecivamene,lasconsanesdefase y aenuación de las ondas propias. Con el objeo de validar(8 hemos realiado simulacionesfdtdyhemoscalculadonuméricamene k ± parauna ondaviajandoenunaferriaconm =3000G,ε r =0y µ r =0.9. Ladiscreiaciónespacialuiliadafue =90 µmyelfacordeesabilidads=0.99. Duranelasimulación FDTD, se almacenaron las secuencias emporales de lascomponenesdecampoelécricoe x ye y endosnodos espaciales consecuivos de la malla FDTD. Poseriormene, en la eapa de posprocesado, se obuvieron los valores Frecuencia, [GH] Fig. 4. Error absoluo en el cálculo de la consane de propagación. de las consanes de propagación, uiliando para ello la relación: e j k ± = DFT[E x (k]±jdft[e y (k] DFT[E x (k+]±jdft[e y (k+], donde DFT represena la ransformada discrea de Fourier. Lafigura3muesralosvaloresfísicosexacosdeα ± y ± en función de la frecuencia. Además, como referencia, ambiénsehadibujadoelvalordelaconsanedefaseparael caso en el que la ferria esá desmagneiada. Por úlimo, la figura 4 recoge los errores absoluos de las consanes de propagación cuando ésas se calculan mediane FDTD. Esos errores concuerdan con los calculados analíicamene aparirdelaexpresión(9. IV. C En ese rabajo se ha inroducido una exensión del méodo FDTD convencional que permie la simulación de

5 5 la propagación de ondas planas en medios que conienen ferrias parcialmene magneiadas. Se ha demosrado que, al menos para la propagación D, y para ferrias polariadas longiudinalmene, la nueva formulación FDTD conserva las mismas propiedades numéricas del méodo FDTD convencional: la misma condición de esabilidad, no presena el fenómeno de disipación numérica y maniene, en esencia, el mismo grado de exaciud. R [] J. W. Schuser and R. J. Luebbers, Finie difference ime domain analysis of arbirary biased magneied ferries, Radio Sci., vol. 3, pp , Jul-Aug 996. [] H. Kruger, H. Spachmann, T. Weiland, Time domain modeling of gyromagneic maerials using he finie inegraion echnique, IEEE Trans. Magneics, vol.37, pp , Sep. 00. [3] W.K. Gwarek, A. Moryc, An alernaive approach o FD-TD analysis of magneied ferries, IEEE Microwave and Wireless Componens Le.,vol.4, pp , July 004. [4] A. Reineix, T. Monediere, F. Jecko, Ferrie analysis using he finie-difference ime-domain (FDTD mehod Microwave and Opical Tech. Le.,vol.5,no.3, pp ,dec.99, [5] J. A. Pereda, L. A. Vielva, A. Vegas, and A. Prieo, A reamen of magneied ferries using he FDTD mehod, IEEE Microwave Guided Wave Le., vol. 3, pp , May 993. [6] M. Okoniewski and E. Okoniewska, FDTD analysis of magneied ferries: a more efficien approach, IEEE Microwave Guided Wave Le., vol. 4, pp. 69-7, June 994. [7] J. A. Pereda, L. A. Vielva, A. Vegas and A. Prieo, An exended FDTD mehod for he reamen of parially magneied ferries, IEEE Trans. Magneics, vol. 3, pp , May 995. [8] E. Schlomann, Microwave behavior of parially magneied ferries, J. Applied Physics, vol. 4, pp. 04-4, Jan [9] J. J. Green and F. Sandy, Microwave characeriaion of parially magneied ferries, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol., pp , June 974. [0] J. A. Pereda, L. A. Vielva, A. Vegas and A. Prieo, Analying he sabiliy of he FDTD echnique by combining he von Neumann mehod wih he Rouh-Hurwi crierion, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 49, no., pp , Feb. 00.