Restricciones sobre dominios finitos con Gprolog

Transcripción

1 Autores: Rubén García Portal Nikolai Smirnov Restricciones sobre dominios finitos con Gprolog Introducción. Este documento explicará brevemente las funciones que se utilizan en Gprolog para resolución de restricciones, veremos cómo se utilizan y unos ejemplos resueltos para facilitar la comprensión. Esta guía puede ser una pequeña ampliación del apartado 8. Finite domain solver and built-in predicates del manual de gprolog. Gprolog es un compilador libre de Prolog con resolución de restricciones sobre dominios finitos (FD) desarrollado por Daniel Díaz [1], autor también del manual. Variables FD Para trabajar con las funciones de dominio finito se necesita un nuevo tipo de datos, estas son las variables FD que tienen asociado un dominio que acota los valores que pueden tomar. Inicialmente este dominio comprende el rango de 0..fd_max_integer, siendo la constante el valor máximo que puede tomar la variable. Estas variables son totalmente compatibles con las variables y enteros de prolog, si un predicado de restricciones espera una variable fd, se le puede pasar una variable de prolog que tomara los valores de todo el rango o un entero que sera considerado como un rango de un solo valor. Se puede representar una variable FD de 2 formas: 1- Interval representation, en esta representación solo se indican el menor valor y el mayor valor que comprenden el intervalo, ambos dentro del intervalo máximo. 2- Sparse representation, se utiliza un vector para indicar los posibles valores de la variable (el dominio). Los valores posibles que se pueden establecer estan en el rango 0..vector_max, esta constante esta inicialmente definida con el valor 127, para cambiarlo se utiliza el predicado set_vector_max/1, y para conocer el valor actual el predicado vector_max/1.

2 Algunos ejemplos de representación: Restricción X #=< X \= : Dominio Se debe tener en cuenta el tamaño del vector para elegir valores adecuados, que no se salgan de los rangos ni por exceso ni por defecto. Recordemos que si no definimos un tope de dominio por defecto con fd_set_vector_max/1 antes de otras restricciones, el valor tope (fd_vector_max/1) por defecto es 127. fd_set_vector_max/1 tiene la peculiaridad de que en máquinas de 32 bits asignará el valor M=(32*k)-1 más cercano por arriba al valor que pasemos como parámetro. Así que si ejecutamos fd_set_vector_max(256), el fd_vector_max se establecerá en 287 (32*9)-1.? fd_set_vector_max(256). (1 ms)? fd_vector_max(a). A = 287 Una variable común se convierte en una variable de dominio finito implícitamente al definir una restricción sobre ella. Ejemplo: Tenemos una variable X y definimos la restricción que ésta no puede tomar valores mayores que 5. El mecanismo de resolución integrado basado en restricciones asocia a la variable X una variable FD _#2 con dominio que por la restricción impuesta (más las restricciones que se han establecido por defecto como la del fd_vector_max/1) se queda en [0..5].? X #=<5. X = _#2(0..5) Veremos más adelante que hay predicado especiales como el fd_domain que permiten definir más cómodamente variables FD con dominios que representen rangos contínuos, discontinuos o simplemente un conjunto de valores arbitrario.

3 Predicados FD Estos predicados son muy útiles a la hora de resolver problemas de satisfacción de restricciones ya que permiten declarar implícitamente las variables FD (asociando un dominio a una variable común) y trabajar con esas variables y sus dominios. Vamos a describir los predicados FD más importantes que se han utilizado en los problemas de ejemplo resueltos. Estos predicados son: fd_domain/2, fd_domain/3 fd_labeling/1, fd_labeling/2 fd_all_different/1 Dominio de las variables Predicados : fd_domain/2, fd_domain/3 Los predicados fd_domain restringen una variable a tomar valores dentro de un dominio. Definiendo una restricción para una variable común de prolog creamos una variable con un dominio finito (variable FD). Veamos unos ejemplos: fd_domain/3 Este predicado se utilizará para definir variables con un dominio finito que es un rango continuo. fd_domain(a,b,c) A variable FD B cota inferior del rango del dominio finito C cota superior del rango del dominio finito Ejemplo: Queremos definir una variable con un dominio finito que es el rango [5..25].? fd_domain(variablefd,5,25). VariableFD = _#3(5..25) (En la invocación al fd_domain VariableFD era una variable normal, que finalmente se mapea a una variable _#3 con un dominio finito [5..25]. Aunque ponga (5..25), los valores 5 y 25 forman parte del dominio.) En el siguiente ejemplo vemos que fd_domain establece restricciones sobre el

4 dominio y que su acción es consistente con otras restricciones que hayamos podido definir antes. Ejemplo: Definimos una restricción sobre la variable X, no puede tomar el valor 5, con ello implícitamente hemos declarado una variable FD con dominio [0..4,6..127]. Para a continuación, agregar otra restricción con fd_domain, reduciendo el dominio de X a [0..4,6..10].? X#\=5, fd_domain(x,1,10). X = _#2(1..4:6..10) fd_domain/2 Este predicado se utilizará para definir variables con un dominio finito formado por un conjunto de valores arbitrarios que se representarán por una lista. fd_domain(a,b) A variable FD B lista de valores que representa el dominio Ejemplo: Queremos definir una variable con un dominio finito que es el rango [2..4]. Algo, que podíamos tambien haber hecho con fd_domain(variablefd,2,4).? fd_domain(variablefd,[2,3,4]). VariableFD = _#2(2..4) Como curiosidad vemos que podemos definir el mismo rango, desordenando los valores. El dominio resultante es el mismo que en el ejemplo anterior.? fd_domain(variablefd,[2,4,3]). VariableFD = _#2(2..4) El uso por supuesto más apropiado de este predicado es la restricción del dominio a un rango discontinuo de valores sueltos. Por ejemplo el dominio [2,33,69] para la VariableFD.? fd_domain(variablefd,[2,33,69]). VariableFD = _#2(2:33:69)

5 fd_domain_bool/1 Este predicado sirve para asignar un rango booleano a una variable sería equivalente a utilizar el predicado fd_domain(variable,0,1). Predicados de control Hay varios predicados que sirven para saber si las variables que estamos utilizando son variables fd y cuáles son los valores máximos y minimos de los dominios de esas variables. Predicados como fd_max_vector/1, fd_set_max_vector/1, fd_dom/2, fd_size/2, fd_max/2, fd_min/2,... Son predicados simples que vienen descritos en el manual de Gprolog, nosotros vamos a centrarnos en las empleadas en los problemas de ejemplo y las más comunes. Etiquetado de las variables (Labeling) Predicados : fd_labeling/2, fd_labeling/1 Aplicando el mecanismo de resolución de restricciones integrado en gprolog, podemos encontrarnos en 3 escenarios: Se obtiene el dominio vacío para una o más variables FD. Esto significará que el problema es insatisfactible. Los dominios de todas las variables FD se han reducido a un sólo elemento (pueden ser valores distintos para cada variable). Esta situación se define como valuation domain. De esta situación se deduce una asignación a las variables que representa una solución del problema. No hay dominios vacíos, pero algunos dominios tienen más de un elemento. Esta situación no nos permite saber si el problema es satisfactible. El tercer escenario da lugar a la conclusión de que el mecanismo de resolución intergrado basado en restricciones sin más es incompleto. Necesitamos un procedimiento que nos permita iterar sobre esos dominios multivaluados, reduciendo en cada iteración el dominio de cada variable al sucesivo valor y volviendo a propagar las restricciones esperando obtener un valuation domain. Cada valuation domain representará una solución al problema. Este procedimiento viene implementado en gprolog con el predicado fd_labeling (fd_labeling/1 y fd_labeling/2) (que por otro lado se puede programar fácilmente haciendo uso de varios predicados sencillos de fd, como fd_dom). Con el uso de fd_labeling ya obtenemos un mecanismo de resolución de restricciones sobre dominios finitos completo. El predicado fd_labeling/1 recibe como primer parámetro la lista con las variables con dominio finito y prueba a asignar a cada variable un valor dentro de su dominio y realiza backtracking sobre esas asignaciones permitiendo encontrar todas las posibles soluciones. Ejemplo: Tenemos un problema con dos variables A y B que tienen ambas dominios de más de un elemento [1..3], a aparte de la restricción del dominio a

6 [1..3], también definimos por ejemplo que A debe ser distinta de B. La resolución intergrada en gprolog basada sólo en restricciones, lo máximo que ha podido es reducir los dominios de las variables a los que se ven [1..3], pero no es capaz de proporcionarnos una respuesta concreta determinista. Necesitamos que el dominio de cada variable se reduzca a un sólo valor, obteniendo una asignación que representa una solución al problema.? fd_domain([a,b],1,3),a#\=b. A = _#3(1..3) B = _#25(1..3) Ahora aplicamos fd_labeling sobre las lista de variables FD (A y B) y vemos que se realiza un backtracking sobre la reducción de cada dominio a los sucesivos valores que lo formaban, en cada iteración se propagan las restricciones en función de los monovalores concretos a los que quedan restringidas las variables y se obtienen todas las soluciones.? fd_domain([a,b],1,3),a#\=b, fd_labeling([a,b]). A = 1 B = 2? ; A = 1 B = 3? ; A = 2 B = 1? ; A = 2 B = 3? ; A = 3 B = 1? ; A = 3 B = 2 El orden de la selección de los valores a los que quedará reducido el dominio, así como por qué variable empezará la acción del etiquetado pueden tener un

7 efecto notable en el rendimiento de la búsqueda, que es al fin y al cabo. El predicado fd_labeling/2 permite definir con su segundo parámetro distintas estrategias para la selección del valor y la variable. Algunas de estas estrategias son por ejemplo empezar por las variables cuyo dominio es el más reducido de todos o por las variables que intervienen en un mayor número de restricciones,... En fd_labeling/1 se omite la especificación de las estrategias lo que supone utilizar las estrategias establecidas por defecto. Para más información remitimos al manual de gprolog y el ejemplo del problema de resolución de Sudoku. Normalmente la metodología más eficiente para la definición de los predicados que resuelven un problema con restricciones es generar las restricciones y despues aplicar el etiquetado con fd_labeling ( constrain and generate methodology ). El establecimiento de restricciones hace que el solver basado en restricciones reduzca los dominios de las variables como consecuencia de las mismas. Tras lo cual, el espacio de valores sobre los que tendrá que trabajar fd_labeling será normalmente mucho menor. fd_all_different/1 Este predicado sirve para establecer la restricción de que todas las variables tomen valores distintos entre sí. Como único parámetro recibe la lista con las variables FD sobre las que se quiere establecer dicha restricción. Ejemplo: Tenemos 3 (A,B,C) variables con rango [1:3] y queremos que tomen valores distintos entre sí (A\=B and B\=C and A\=C).? fd_domain([a,b,c],1,3),fd_all_different([a,b,c]), fd_labeling([a,b,c]). A = 1 B = 2 C = 3? ; A = 1 B = 3 C = 2? ; A = 2 B = 1 C = 3? ; A = 2 B = 3 C = 1? ; A = 3 B = 1 C = 2? ; A = 3 B = 2 C = 1

8 Restricciones Aritméticas Son expresiones que representan funciones aritméticas compuestas por variables o enteros y los operadores. Se pueden utilizar los siguientes, siendo Exp$ donde $ es el número de la expresión FD que se utiliza: + Exp1 : El mismo valor. - Exp1 : El valor opuesto. Exp1 + Exp2 : La suma de las 2 expresiones. Exp1 Exp2 : La resta de las 2 expresiones. Exp1 * Exp2 : El producto de las 2 expresiones. Exp1 / Exp2 : El cociente de las 2 expresiones, solo se cumple si el resto es 0. Exp1 ** Exp2 : La Exp1 elevada a Exp2, una de las 2 debe ser entera. min(exp1, Exp2) : El mínimo de las 2 expresiones. max(exp1, Exp2) : El máximo de las 2 expresiones. dist(exp1, Exp2) : La distancia entre las 2 expresiones, Exp1 Exp2. Exp1 // Exp2 : El cociente de la división entera de las expresiones. Exp1 rem Exp2 : El resto de la división entera de las expresiones. quot_rem(exp1,exp2,r) : Cociente de la división entera de las expresiones devolviendo el resto en la variable R. Las siguientes restricciones pueden utilizarse con arco consistencia completa o parcial, se puede utilizar la parcial para reducir el dominio de las variables complejas. Hay una menor propagación de las variables en la arco consistencia parcial, pero aumenta la eficiencia y es mejor para las variables aritméticas. Cuando se utiliza una arco consistencia completa es a la inversa. Estos operadores se colocan entre las 2 expresiones como los operadores aritméticos anteriores. AC Descripción AC Total Parcial #= #=# Las expresiones deben ser iguales. #\= #\=# Las expresiones deben ser diferentes. #< #<# La primera expresión debe ser menor a la segunda. #=< #=<# La primera expresión debe ser menor o igual a la segunda. #> #># La primera expresión debe ser mayor a la segunda. #>= #>=# La primera expresión debe ser mayor o igual a la segunda. Ejemplos:? A #\= 5, B#>=6, A#>=B+7. A = _#2( @) B = _#27(6..120)

9 ? A #\= 5, B#>=6, A#>=B. A = _#2(6..127@) B = _#27(6..127) Referencias [1] Daniel Díaz: [2] Kim Marriott and Peter J. Stuckey Programming with constraints: an introduction, Cambrigde, Massachusetts London: The MIT Press, cop. 1998