FUNCIONES EXPONENCIALES

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1 1 FUNCIONES EXPONENCIALES Las fucioes epoeciales iee muchas aplicacioes, e especial ellas describe el crecimieo de muchas caidades de la vida real. Defiició.-La fució co domiio odos los reales y defiida por f ( ) = a, co a>, a 1 es llamada fució epoecial co base a. Comearios: 1.- Coviee aclarar que la fució esá bie defiida para odo úmero real. Supoga eemos la p q fució epoecial co base 2. 2 esá defiido como q p 2. Para defiir 2, co irracioal, π se realiza a ravés de aproimacioes. Por ejemplo para defiir 2, lo hacemos por medio de ua sucesió de úmeros racioales que se acerque cada vez más a π como ,,,,,K Se puede mosrar que la sucesió ,2,2, 2,2,K se acerca a u solo úmero posiivo, el cuál es la defiició de 2 π. Para los muy curiosos, la π defiició de 2, es idepediee de la sucesió de úmeros que se acerca cada vez más a π Fucioes como f ( ) = b, h ( ) = b y g( ) = b so de ipo epoecial. Lo 1 verificamos al reescribirlas, la primera como f ( ) = =, siedo eoces epoecial co b b base b 1 ; la seguda como ( ) h ( ) = b y la úlima como g( ) = ( b ), de aquí que la fució h y g so epoecial co base b y b 2 respecivamee. GRAFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Realizaremos la gráfica de f ( ) = 2 Para ello calcularemos alguos valores de la fució y los uiremos a ravés de u razo suave f() 1/8 1/4 1/ Used puede chequear que el comporamieo de la gráfica de las fucioes de la forma f ( ) = a, co a>1, es similar y lo resumimos e el siguiee repore:

2 2 Repore de la gráfica de la fució f ( ) = a,co a>1: 1) El domiio es odos los reales. El rago los reales posiivos 2) La iercepció co el eje y es el puo (,1) 3) La fució crece de izquierda a derecha. 4) La reca y= (el eje ) es ua asíoa horizoal por la izquierda, eso quiere decir que la gráfica de la fució se acerca cada vez más a esa reca. Si embargo cuado icremeamos los valores de eoces la gráfica asciede rápidamee. Ese ipo de fució es coocida a veces como la ley de crecimieo epoecial. Remarcamos que la gráfica aerior es sólo u bosquejo o razo de la fució. Por oro lado, ua mayor o meor icliació e el primer cuadrae depede del valor de a, para a grade la gráfica es más icliada. Para ver el comporamieo de la gráfica f ( ) = a, co <a<1, primero obedremos la gráfica de f ( ) =. Usaremos las écicas apredidas cuado esudiamos operacioes 2 geoméricas de gráficas de fucioes. Tambié se puede obeer ua abla de valores y llevarlos puos al plao caresiao para hacer u razo suave de la curva. 1 La fució f ( ) =, puede ser reescria como f ( ) = = 2. Esa fució puede 2 2 ser obeida de la gráfica de la fució 2 por simería co respeco al eje y. La forma de la gráfica de la fucioes f = ( ) a, co <a<1, es similar a la de f ( ) =, salvo la icliacioes que depede del valor de a. A coiuació preseamos la 2 gráfica de esas fucioes juo co el repore de las caracerísicas más oorias de la gráfica.

3 3 Repore de la gráfica de la fució f ( ) = a co <a<1: 1) El domiio es odos los reales. El rago los reales posiivos 2) La iercepció co el eje y es el puo (,1) 3) La fució decrece de izquierda a derecha. 4) La reca y= (el eje ) es ua asíoa horizoal por la derecha, eso quiere decir que la gráfica de la fució se acerca cada vez más a esa reca cuado oma valores cada vez más grade. Si embargo la fució oma valores a alos como se quiera para valores de egaivos y grades e magiud. Ejemplo 1.- Trazar la gráfica de la fució f ( ) = 3 1 y realizar u repore acerca de su comporamieo. Solució: Para realizar esa gráfica parimos de la forma geeral de la gráfica a, co a>1. La gráfica es u desplazamieo hacia abajo de 1 uidad de la gráfica de f ( ) = 3. Coviee e esos casos desplazar la asíoa para u mejor bosquejo de la gráfica. Repore de la gráfica de la fució f ( ) = 3 1: 1) El domiio es (, ). El rago es el cojuo (-1, ). 2) La iercepció co el eje es el puo (,). 3) La fució crece de izquierda a derecha.. 4) La reca y=-1 es ua asíoa horizoal por la izquierda. Ejemplo 2.- Trazar la gráfica de la fució comporamieo. Solució: Para realizar esa gráfica parimos de la forma geeral de la gráfica a, co a<1, co ua forma relaivamee icliada. Nuesra gráfica es u desplazamieo hacia la derecha de 2 uidades de la gráfica f ( ) =. Coviee e esos 4 casos desplazar la asíoa para u mejor bosquejo de la gráfica 2 f ( ) = y realizar u repore acerca de su 4 La gráfica cora el eje y cuado = Eso es e y= = 4 = Repore de la gráfica de la fució f ( ) = 4 1) El domiio es R. El rago el cojuo (, ) 2) La iercepció co el eje y es el puo (,16) 3) La fució decrece de izquierda a derecha. 4) La reca y= es ua asíoa horizoal por la derecha.

4 4 EJERCICIOS 1) Graficar las siguiees fucioes. Realizar u repore de la gráfica 1.1) ( ) = 3 1 f + 3 ; 1.2) f ( ) = 3 ; 1.3) f ( ) = 3 ; 1.4) f ( ) = 2 e ; 1.5) f 2 ( ) = ; 1.6) 2 f ( ) = 3

5 5 APLICACIONES A) INTERES COMPUESTO La fució epoecial aparece ligada e el cálculo de iereses compuesos. Recordemos que el ierés compueso es aquél dode el ierés geerado por u capial es reiverido de modo que e el siguiee período ése geera ambié iereses. Supoga P, el cual llamaremos moo pricipal, pricipal o capial iicial, es iverido a ua asa simple de por periodo, eoces el ierés fial al cabo del periodo de ierés es P, eiedo como capial al fial de ese periodo : P + P = P( ). Si esa caidad es reiverida a la misma asa, el ierés geerado será de P ( ) y ahora e ese segudo periodo el uevo pricipal será de P ( ) + P(1 + ) = P(1 + )(1 + ) = P(1 ). 3 Podemos chequear que el pricipal al fializar el ercer periodo será de P ( ). Más geeralmee, al fializar el periodo k, el moo acumulado A o moo oal o capial fial será de: k A = P( ) dode es la asa de ierés por periodo y P el capial iicial. k El ierés compueso es la diferecia ere el moo acumulado y el moo iicial (Capial fial meos capial iicial) Coviee hacer las siguiees Observacioes: 1.- Los periodos de iereses puede ser e años, semesres, meses, días, ec 2.-, asa de ierés por periodo, se epresa e decimal. Eso es, si se dice que el capial es 5 iverido a u ierés compueso aualmee del 5%, eoces = = Si se dice que el capial es iverido a u ierés aual compueso rimesralmee del 6 6%, es decir se paga 4 veces e el año eoces = =. 15. Más geeralmee, si se 4 1 deoa r la asa aual compuesa co pagos al año (úmero de periodos auales de r capializació), eoces puede ser epresado e érmios de r como = 3.- Es claro que si se dice que el capial iverido a u ierés compueso aualmee del 5% durae 1 años eoces el úmero de periodos es k=1. Pero si por ejemplo esamos e la siuació de u capial iverido a u ierés aual compueso rimesralmee del 6% por 1 años, eoces el úmero de periodos es 4 por año y el úmero oal de periodos es k = 4 1 Si es el úmero de periodos por año, eoces k = úmero de años. De las observacioes 3 y 4, el moo compueso puede ser epresado como fució de r (asa aual) y (úmero de periodos auales de capializació) como r A = P( )

6 6 dode es el úmero de años e que se iviere P. k ( ) que aparece e la defiició del moo acumulado es ua 4.- La epresió epoecial e la variable k, co base 1 +. Ejemplo 1.- Supogamos que se iviere 1.UM durae 8 años al 9% compueso aualmee. Calcular a) El moo compueso. b) El ierés compueso k Solució: a) Uilizamos la ecuació A = P( r), co P=1, r=.9 y k=8. Teemos eoces 8 A = 1 (1 +.9) b) Sabemos que A = 1(1.9) 8 = 1992,56 Ierés compueso= A-P = = Ejemplo 2.- Supogamos que se iviere 1.UM durae 8 años a ua asa aual de 9% compueso semesralmee. Calcular a) El moo compueso. b) El ierés compueso r Solució: a) Aes de usar uesra fórmula A = P( ), co P=1., debemos precisar quie es e ese caso. Como hay dos pagos al año eemos que = 2, eoces r 9 = =.45 y = 2 8. Así A = 1 (1 +.45) b) Sabemos que A = 1(1.45) 16 = 2.22,27 Ierés compueso= A-P =2.2, =1.22,27 El lecor puede comparar los resulados del ejemplo 1 co el 2. Muchas veces para comparar disios redimieos, por eer diferees periodos, co la misma asa de ierés aual se usa la asa efeciva aual que es la asa que da el mismo ierés compueso ua vez al año. Ejemplo 3.- U baco iee uas asa del 5% compueso mesualmee. Cuál es la asa efeciva aual? Solució: E u año el capial fial a la asa del 5% compueso mesualmee es.5 12 A = P(1 + ) = P(1.512) 12 Se pregua : Cuál será la asa compuesa aualmee para eer ese capial fial. Ese capial fial a ua asa de r compueso aualmee será eoces: A = P( r) y debemos plaear: P ( r) = P(1.512).

7 7 Eso es ua ecuació lieal, simplificado las P obeemos r = , De aquí obeemos r = Así que ua asa del 5.12% aual es equivalee a ua asa del 5% compueso mesualmee. INTERES COMPUESTO CONTINUAMENTE La siguiee abla muesra el comporamieo del Moo oal si se maiee fija la asa r=.8, el capial iicial iverido e u año (1UM), pero el úmero de periodos aumea. Compuesa A = 1(1 + Aualmee 1 15, Semesralmee 2 15,62 Por mes ,16 Por semaa ,25 Por días ,27 Por horas ,27.5 ) Observe como el Moo oal se llega a esabilizar cuado el úmero de periodos es grade. La base maemáica para jusificar ese comporamieo se verá poseriormee y se eucia 1 (se lee el caidad e = 2,71828 cuado iede al úmero e cuado iede a ifiio) Vea la abla dada para por lo meos admiir ese 1 (1,1) resulado. 1 (1,1) 1 2, (1,1) (1,1) (1,1) Ahora eemos que el moo oal a ua asa aual de r, co u capial iicial de P, e años, co u úmero de periodos por años igual a esá dado por: r A = P( ) Haciedo alguas maipulacioes algebraicas co el fi de aplicar el resulado aerior, eemos 1 r r A = P( ) / r

8 8 r A = P ( ), r / Si hacemos la susiució m = / r queda r 1 m P ( ) m si, eoces ambié m y de esa maera usado que m 1 + e = 2,71828 cuado m, eemos m r r A P( e) = Pe. r De aquí obeemos: Fórmula del moo oal co u ierés compueso coiuamee: r A = Pe dode P es el moo pricipal, r la asa de ierés, el úmeros de años de la iversió y A el moo oal después de años. Ejemplo 1.- Supogamos que se iviere 1.UM durae 8 años a ua asa aual de 9% compueso coiuamee. Calcular el moo compueso. r Solució: Al ser el ierés compueso coiuamee se debe usar la fórmula A = Pe, co P=1., =8 y r=.9. Así r A = Pe = 1e = 1e. Al usar la calculadora obeemos que A=254.4UM. B) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO POBLACIONAL Supogamos que el amaño iicial de ua població es P, y la població aumea a ua asa por periodo de r, al fializar u periodo de iempo la població habrá aumeado P r y el amaño oal de la població al fial de ese periodo será de : P + rp = P (1 + r). E u segudo periodo de iempo la població aumeará a ua asa de r sobre ua població de P (1 + ), eoces el aumeo de la població e el segudo periodo de iempo es de r P (1 + r) r y ahora, al fializar ese segudo periodo de iempo, el amaño de la població será de 2 P ( r) + P (1 + r) r = P (1 + r)(1 + r) = P ( r) Podemos chequear que el amaño de la població al fializar el ercer período será de 3 P ( r). Más geeralmee, al fializar el periodo, el amaño de la població P() será P ( ) = P (1 + r)

9 9 dode P es el amaño iicial de la població. Observació: 1.- r viee epresada como ua caidad decimal. Por ejemplo si se habla que la població crece a ua asa del 6%, eoces r=.6. Ejemplo 4.- Ua població de 4 milloes de habiaes crece a ua asa de 3% aual. Esime el amaño de la població al cabo de 5 años. Solució: a) Uilizamos la ecuació P ( ) = P (1 + r), co P =4, r=.3 y =5: P(5)=4(.3) 5 P(5)=4(1.3) 5 =4.63 milloes de habiaes Ejercicio de desarrollo: Ua població crece a ua asa de 2.5% aual. Si acualmee iee 3.3 milloes de habiaes. a) Esime el amaño de la població dero de 3 años. b) Cuáas habiaes eía hace ua década?, supoga que la asa de crecimieo se ha maeido cosae? (Comeario: Podemos emplear el modelo P ( ) = P (1 + r) co que empieza a coar a parir de ese año para a) y para b) que empieza a coar hace 1 años, si se hace así para b), debemos plaear ua ecuació dode P es la icógia.) Observació: Si la població dismiuye a ua asa de r es fácil ver que el amaño de la població después de u periodo de años es P ( ) = P (1 r). Ese modelo de crecimieo poblacioal, P ( ) = P (1 + r), esá sujeo a la codició que el porceaje de crecimieo sea cosae a ravés de los años. Sabemos que a veces eso o es así, eise facores que ihibe el crecimieo idefiido como el haciamieo, la fala de alimeos y oros facores sociológicos e el caso de la població humaa: crisis e la familia, crisis ecoómica, ec. Así que u modelo de crecimieo epoecial es recomedable por periodos pequeños o e poblacioes recié esablecidas dode apareemee o hay limiaes de crecimieo. Para poblacioes creciedo iicialmee rápido y luego se vuelve a umerosas que pierde su capacidad de crecer debido a ieraccioes ere los miembros de la població, resula apropiado u modelo de crecimieo logísico, dado por a P( ) =, k Ce dode a, C y k so cosaes. a represea el amaño de la població límie. Si deoamos por a P = P() = el amaño iicial de la població eoces el lecor puede comprobar que C

10 1 C = a P P Ejemplo 5.- Ciera població crece de acuerdo al modelo logísico co a=75 milloes, C=5 y k =.5. Cuál es el amaño de la població cuado =, para =2, =4 y para =1? Solució: P ( ) = = 12.5 milloes k. 5e P ( 2) = = k 2 5e P ( 4) = = 44.7 k 2 5e P ( 1) = = k 5e Comeario: El modelo logísico o sólo resula úil para modelar crecimieo de deermiadas poblacioes sio ambié para propagació de cieras epidemias, crecimieo de cieros seres vivos, crecimieos de compañías, veas de uevos producos, propagació de rumores, ec. Ua curva como la dada arriba es el comporamieo ípico de ua curva logísica. EJERCICIOS 1) Dibuje las siguiees gráficas para > 1 k k 1.1) f ( ) = c = ce 1.2) f ( ) = c(1 e ) k e c,k> 1.1) Pereece a la familia de decaimieo epoecial usada e desiegració radioaciva, presió amosférica, absorció de luz e el agua. E coaduría: devaluació coiua. Desidad de probabilidad epoecial cuado c=k. 1.2) Pereece a la familia de las curvas de crecimieo limiado. Si c=1 es la fució de disribució de probabilidad epoecial, la cual da la probabilidad que ua variable epoecial sea meor o igual que. PROBLEMAS: 1)Se realiza ua iversió de 1.5UM durae 1 años al 5% compueso aualmee. Calcular a) El moo compueso b) El ierés compueso (Resp. a) ; b) 943,34) 2) Supogamos que se iviere 2.UM durae 1 años a ua asa aual de 5% compueso rimesralmee. Calcular a) El moo compueso. b) El ierés compueso.(resp. a) ; b) ) 3)Ua població de 3 milloes de habiaes crece a ua asa de 2.5% aual. Esime el amaño de la població al cabo de 1 años.(resp )

11 11 4=Si el crecimieo de ua població siguiera el modelo epoecial P()=P., dode P =2. es la població e el año 199 y P() es la població años después de 199 Cuál era la població e 1997? (Resp ) 5)El valor de ua casa ubicada e ciera zoa de la ciudad aumea a ua asa del 5% aual. Si el valor de esa propiedad fue de 7 UM e 199. Calcule el valor de la casa para el año 21. (Resp ) 6)Depreciació. El méodo de saldo decreciee se usa e coabilidad, e él la caidad de depreciació que se calcula cada año es u porceaje fijo del valor presee del arículo. Si y es el valor del arículo e u año deermiado, la depreciació es ay cuado la asa de depreciació es a, dode <a<1, y el valor uevo es (1-a)y. Si el valor iicial del arículo es y, a) demuesre después de años que el valor de depreciació es ( 1 a) y, b) aplique esa fórmula para esimar el valor de u carro que fue comprado hace 6 años a 12UM si se esima la asa de depreciació es.5 (Resp. 882,1) 7)Para ua iversió de 3 co u ierés compueso del 6% aualmee. Calcule el moo oal al cabo de 4 años e los siguiees casos de periodos de capializació: a) mesual, b) rimesral, c)aual d) coiuo (Resp. a) 3811,4 b) 387; c) 3787,43 d) ) 8)Ua iversió P gaa el 8% compueso coiuamee. Al cabo de 5 años el moo oal es de 55UM.Calcule P (Resp UM) 9)Si el crecimieo de la població mudial siguiera el modelo epoecial P()=P e. 12, dode P =6.. es la població e el año 1999 y P() es la població después de años de 1999 Cuál será la població dero de 5 años? (Respuesa: omado de Wikipedia Població humaa acual 6. milloes e Las esimacioes de las Nacioes Uidas para el 24 so de 6.35 milloes, co u crecimieo del 1,2% (77 milloes) por año., resp. de calculo 6.371milloes) Se ajusa ese modelo a las proyeccioes de las Nacioes Uidas.? Proyeccioes 7. milloes hacia el milloes hacia el milloes hacia el 25 1)El porceaje de árboles e ua plaació que se ha ifecado por ciera plaga esa dado por 1 P( ) =.. 5 2e dode es el úmero de semaas después que se reporó la efermedad. Calcule a) P (), b) P (2) y c) P (5) (Resp. a)4.7; b) 12 ;c) 37.8). e 2

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