Análisis del error relativo en K II en problemas de contacto en caras de grieta mediante X-FEM

Transcripción

1 Asociación Esañola de Ingeniería Mecánica XVIII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA Análisis del error relativo en K II en roblemas de contacto en caras de grieta mediante X-FEM M. Sabsabi, E. Giner, M. Tur, F.J. Fuenmayor Dto. de Ingeniería Mecánica y de Materiales-CITV. Universidad Politécnica de Valencia, Camino de Vera s/n, 460-Valencia mosab@doctor.uv.es; eginerm@mcm.uv.es Resumen En este trabajo se ha modelado el contacto en caras de grieta (sin fricción y considerando fricción) con dos objetivos: or un lado, determinar las condiciones de contacto en caras de grieta (adhesión, deslizamiento, aertura), y or otro, calcular el factor de intensidad de tensiones en modo II de aertura, K II. Para ello, se ha utilizado la integral de dominio J incororando la integral de línea J ara considerar la fricción entre caras de grieta. Para llevar a cabo este estudio se han utilizado dos técnicas: el método segmento-segmento, basado en el método mortar, y el método de restricciones untuales utilizando elementos adicionales (elementos TD). Como solución de referencia se ha considerado un roblema de una laca infinita sometida a una tensión remota tangencial (roblema de Westergaard). Se ha rouesto una modificación de la solución de Westergaard ara considerar el contacto en caras de grieta alicando una tensión normal remota y fricción en caras de grieta. INTRODUCCIÓN Habitualmente, los estudios de roagación de grieta basados en el enfoque de mecánica de fractura se han centrado en los mecanismos de aertura de grieta en modo I []. Sin embargo, en el roblema de fretting fatiga y otros roblemas sometidos a estados de carga comlejos, el extremo de grieta exerimenta un modo mixto de aertura de grieta en la fase I de roagación [,]. Además, en fretting fatiga la variación de las cargas alicadas es no roorcional y la relación entre los factores de intensidad de tensiones, K I /K II, no ermanece constante durante los ciclos de carga [,3-5]. Bajo estas condiciones de carga, las grietas generadas tras la fase de nucleación exerimentan rocesos de cierre de grieta con contacto entre sus caras, donde ueden encontrarse en estado de adhesión o deslizamiento con fricción [4,6]. La evolución no lineal del estado de grieta y su configuración son fuertemente deendientes del coeficiente de fricción considerado entre las caras e influyen de manera imortante en los valores de K II [7]. Generalmente, ara estudiar el roblema de fretting fatiga se consideran dos fases en la roagación de grieta. La fase I se resenta en los rimeros estadios de la roagación de grieta, donde las tensiones del contacto tienen una influencia muy imortante, y está esencialmente controlada or el modo II [8,9]. La fase II está regida or el crecimiento en modo I y es la que rácticamente domina la mayor arte de la etaa de roagación. Los criterios utilizados en cada una de las fases ara redecir la orientación de grieta son diferentes. Uno de los arámetros decisivos que afectan a la orientación y roagación de grieta en la fase I es K II, arámetro que controla el crecimiento colanar en modo II [9]. Por otro lado, en los últimos años, el análisis de contacto en caras de grieta mediante el método de elementos finitos extendido (X-FEM) ha desertado gran interés en la literatura, y existen varios métodos disonibles ara el modelado del contacto con X-FEM [4,9-]. En este trabajo, se han utilizado dos métodos ara considerar el contacto en caras de grieta en X-FEM ara analizar el error relativo en K II y obtener la velocidad de convergencia de la solución. Se han emleado tanto mallas estructuradas como no estructuradas con refinamiento h-uniforme, estudiando el roblema sin y con fricción. Se ha considerado un roblema de referencia que consiste en una laca que contiene una grieta central de longitud a, sometida a una tensión tangencial remota (roblema de Westergaard). Se ha introducido una rouesta ara la modificación de la solución de Westergaard ara considerar el contacto en caras de grieta

2 M.Sabsabi et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (00) alicando una tensión normal remota y la fricción en caras de grieta. CONTACTO DE CARAS DE GRIETA EN X-FEM En los últimos años el método X-FEM [9] se ha mostrado como una herramienta muy eficiente ara el modelado numérico de grietas de la MFEL, resentando grandes ventajas. La rincial ventaja es que no necesita la generación de una malla que tenga en cuenta la discontinuidad geométrica ocasionada or la resencia de las caras de grieta. Por consiguiente, una única malla generada inicialmente es utilizada ara cualquier longitud y orientación de grieta. La solución de X-FEM ara un unto de coordenadas x viene dada or [9]: 4 uxfem( x) Nixui NixHxHxiai Ni( x) Fl( x) Fl( xi) b il ii ij ik l donde I es el conjunto de todos los nodos de la malla, J es el subconjunto de nodos que se enriquecen con la función de discontinuidad H(x), K es el subconjunto formado or los nodos enriquecidos con funciones F l (r, θ) que reroducen el camo asintótico de extremo de grieta, Ec. (). Por otra arte, N i (x), u i son las funciones de forma y los grados de libertad (gdl) convencionales de cada nodo i, a i son los gdl adicionales asociados a las funciones de Heaviside H(x) y b il los gdl adicionales asociados a las funciones de extremo de grieta. La base de funciones de enriquecimiento de extremo de grieta es: Fl ( r, ) rsin, cos, sin sin, cos sin () A continuación se revisan las dos estrategias utilizadas ara establecer el contacto en X-FEM: mediante el método de elementos adicionales ara el contacto tio barra TD (restricciones untuales) rouesta or Sabsabi [,3], y la segunda es mediante el lanteamiento segmento-segmento (también denominado mortar) rouesta or Giner et al []. Método de elementos adicionales tio barra TD Este método fue rouesto or Sabsabi [,3] y se uede considerar como un método en el que las restricciones de contacto se establecen untualmente entre los untos de intersección (restricciones untuales). La imlementación del contacto en caras de grieta en X-FEM se ha llevado a cabo mediante elementos unidimensionales tio barra (o truss ) de nodos y gdl or nodo (denominados TD en ABAQUS). En cada unto donde la geometría de la grieta corta el lado de un elemento se crean dos nodos en la misma ubicación (.ej. A y B en la Fig. ()). () R F D S A B Elementos D (TD) Fig.. Nodos y elementos adicionales ara el contacto de caras de grieta en X-FEM. Los grados de libertad de estos nodos se vinculan a la solución de X-FEM a través de las ecuaciones de restricción, es decir, que ara untos de corte entre dos nodos tio Heaviside (untos A y B en la Fig. ()) se debe cumlir la Ec. (3). u N ( x ) u H( x ) H( x ) a A i A i A i i i donde se describe el deslazamiento en el unto A como interolación entre los gdl de los nodos del lado (3)

3 Análisis del error relativo en K II en roblemas de contacto en caras de grieta mediante X-FEM 3 asociado. Para untos de corte entre dos nodos con enriquecimiento de extremo de grieta (untos R y S en la Fig. ()) se debe cumlir la Ec. (4). Para generar las suerficies de contacto a lo largo de las caras de grieta, los nodos que definen la cara suerior de la grieta (.ej. nodos R y F) y la cara inferior (.ej. S y D) se unen mediante elementos unidimensionales de rigidez desreciable. 4 u j R N ( x i R) u i Fj( x R) Fj( x i) b i i j Se establece el contacto entre caras de grieta (elementos TD) mediante los rocedimientos usuales del rograma ABAQUS. Para garantizar que los nodos F y D reresentan adecuadamente el extremo de grieta, se introduce otra ecuación de restricción adicional que iguala sus gdl en el extremo de grieta (u F = u D ). Método segmento-segmento Giner et al [] han imlementado el método mortar en X-FEM ara modelar en contacto en caras de grieta teniendo en cuenta los distintos tios de enriquecimiento resentes en X-FEM (enriquecimiento Heaviside y enriquecimiento de extremo de grieta). Generalmente, el lanteamiento del roblema del contacto se basa en encontrar el camo de deslazamientos que minimiza la energía otencial total y cumle las condiciones de Kuhn-Tucker [4]. El método mortar imone las restricciones de contacto de forma integral (forma débil) a lo largo de cada segmento. Bajo la hiótesis de equeños deslazamientos y condiciones de adhesión la restricción del contacto en la dirección normal imlica que el ga normal entre dos untos homólogos P y Q, Fig. (), situados en las caras de grieta sea cero: u P u n Q QδλNd0 δλ (5) N () c (4) Fig.. Malla con distintos tios de elementos enriquecidos ara el lanteamiento de las restricciones. donde u P y u Q están exresados en comonentes cartesianas {u x u y } T, λ N es el multilicador de Lagrange en la dirección normal y las comonentes del vector unitario normal en Q son n Q = { sin β cos β} T. La restricción análoga en la dirección tangencial ara el caso de adhesión será: u P u s Q QδλNd0 δλ (6) T () st siendo s Q = {cos β sin β} T y λ T es el multilicador de Lagrange en la dirección tangencial. La interolación del camo de los multilicadores de Lagrange (en dirección normal y tangencial) se define únicamente en función de los valores en los untos de corte de la grieta con los lados de los elementos (los triángulos en la Fig. ()). h λ M x λ (7) N mr donde R es el conjunto de untos de intersección (triángulos) de la Fig. () y M m (x) corresonde a la función de interolación de los multilicadores de Lagrange, que están asociados con un unto de intersección genérico m. La función de interolación es lineal en todos los segmentos de la grieta, exceto en el segmento del elemento extremo de grieta (el segmento que une el unto 4 con el extremo de grieta, Fig. ()), donde se debe tomar m Nm

4 M.Sabsabi et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (00) 4 constante ara que la interolación ueda reroducir estados de resión de contacto uniforme. Las integrales de las ecuaciones de restricción (5) y (6) deben ser evaluadas a lo largo de los segmentos de grieta. EJEMPLOS NUMÉRICOS Una de las dificultades que surgen a la hora de estimar el error en K II ara roblemas de contacto con fricción en caras de grieta es la ausencia de roblemas de referencia con una solución exacta de K II. En este trabajo, se ha utilizado un roblema de referencia ara calcular el error exacto en K II considerando el contacto con fricción entre caras de grieta. El roblema de referencia está basado en el roblema de Westergaard: una laca infinita con una grieta de longitud a sometida a tensiones remotas tangenciales τ. La solución exacta del camo de tensiones ara el roblema de Westergaard ara cualquier unto, alicando únicamente la tensión remota tangencial, uede exresarse en términos de funciones de tensión de Airy [5]. Giner [6,7] desarrolló las exresiones exlícitas ara los camos de tensiones y deslazamientos en función de x, y, asociados al modo II. Con las mismas definiciones y cambios de variable que ara el caso de modo I, los camos de las tensiones exactas en un unto (x, y) erteneciente al semilano x 0 (sin considerar la tensión de comresión en la Fig. (4)) vienen dadas or la Ec. (8). En esta ecuación, m, n, t, y son valores reales de funciones de x, y definidas en [6,7]. y h = 4 a a x h = 4 a = Fig. 4. Placa infinita sometida a tensiones remotas uniformes de comresión y tangenciales τ. II W a σx ycos x sen y cos sen m n t t II a W σy y mcos n sen t t II W a τxy xcos y sen y m sen ncos t t Para el modelo de elementos finitos, se han alicado las tensiones exactas de tracción al contorno del dominio finito h x h mostrado en la Fig. (4). Además, se ha alicado una tensión remota de comresión ara establecer el contacto en caras de grieta. La solución exacta de K II ara el roblema de Westergaard alicando la tensión tangencial remota (sin considerar la fricción en caras de grieta) viene dada or la siguiente exresión: KII a (9) (8) Al considerar la fricción en caras de grieta, la solución exacta es: K a II (0)

5 Análisis del error relativo en K II en roblemas de contacto en caras de grieta mediante X-FEM 5 donde μ es el coeficiente de fricción entre caras de grieta. En este trabajo, se ha modificado las tensiones exactas de Westergaard ara obtener la distribución exacta de σ x, σ y, τ xy considerando el contacto y el deslizamiento con fricción en caras de grieta. Para ello, se ha alicando el rinciio de suerosición mostrado en la Fig. (5). Como uede observarse, la geometría estudiada (caso H en la Fig. (5)) uede exresarse como la suma del roblema de Westergaard sin fricción (caso J en la Fig. (5)), una distribución uniforme tangencial μ (caso K en la Fig. (5)) y una tensión de comresión uniforme (caso L en la Fig. (5)). H µ x y τ xy a y τ = τ W µ J K L xw yw τ xyw + x =0 µ + y =0 τ =µ xy Fig. 5. Princiio de suerosición ara incluir la fricción en la solución de Westergaard. Nótese que ara el caso K, la tensión τ xy es uniforme e igual a μ, or tanto no roduce K II. De igual modo, ara el caso L, la tensión es uniforme de comresión con una grieta cerrada, y or tanto, tamoco roduce K II. Por tanto: () Por el rinciio de suerosición se obtiene: KII,H KII,J KII,K KII,L Así: W x =0 y =- τ xy =0 () 0 0 a a a W W (3) Por tanto, la tensión τ W de Westergaard que hay que introducir en la solución exacta del camo de tensiones es la tensión obtenida de la Ec. (). La solución exacta modificada de las tensiones de Westergaard ara considerar la fricción en caras de grieta, de acuerdo con los ejes x, y de la Fig. (4), quedan como sigue: II a σxw ycos x sen y cos sen m n t t II a (4) σyw y mcos n sen t t II a τxyw xcos y sen y m sen ncos t t Convergencia de K II ara contacto sin fricción En este aartado se alica la solución de Westergaard de una laca sometida a una carga de comresión uniforme = [u.d.resión] y una carga tangencial remota uniforme, tal que roduce un valor de K II ex =. Esta laca contiene una grieta central de longitud a (véase Fig. (4)). Al alicar la Ec. (9) se obtiene un valor de tensión tangencial remota τ = [u.d. resión]. Las roiedades del material son: E =0 5 [u.d. resión], ν = 0.3. Se ha realizado el cálculo bajo condiciones de deformación lana. El coeficiente de fricción entre las caras de grieta es μ = 0. El dominio finito modelado con X-FEM es el cuadrado 4x4 [u.d.l]. Se ha utilizado la

6 M.Sabsabi et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (00) 6 integración cuasi-olar en el elemento extremo de grieta con 5x5 untos de Gauss ara las integraciones de las ecuaciones de restricción del método mortar []. Malla uniforme Se han utilizado 7 mallas con refinamiento h-uniforme (véase Fig. (6)) ara calcular el error relativo en función del tamaño de elemento. Además, se comaran los dos enfoques emleados ara establecer el contacto en caras de grieta, mortar y TD. Fig. 6. Primera y tercera malla de una secuencia de 7 mallas con refinamiento h-uniforme. En este roblema, el valor del factor de intensidad de tensiones ara el modo I es nulo, K I = 0, or lo que se calcula K II mediante la integral J (sin considerar la fricción). El error relativo exacto en K II se define como: K ex K K donde K II ef es el valor calculado mediante la ecuación KII fe J E'. Donde J es la integral J, siendo E = E en tensión lana y E = E ( ν ) en deformación lana. En la Fig. (7) se reresenta el error relativo (en %) ara la secuencia de mallas con refinamiento h-uniforme frente al tamaño de elemento en escalas logarítmicas. Puede observase que ambos métodos dan rácticamente el mismo error. Se tiene una notable disminución del error al disminuir el tamaño de elemento, desde valores sueriores al 6% ara la rimera malla, hasta valores róximos al 0.% ara la última malla. II ex II ex II fe (5) 0 Elementos tio TD Error relativo en K II (%) h µ= 0 Malla estructurada Fig. 7. Error relativo de K II frente al tamaño de elemento h. Problema con contacto en caras de grieta sin fricción μ= 0. Se define la velocidad de convergencia de la solución como la variación del error resecto a la variación del tamaño de elemento en escala log-log, es decir, la endiente de la recta, y viene dada or: logex log KII j exkii i KII (6) log h log h j siendo i,j dos mallas del roceso h-uniforme. La tendencia de las soluciones muestra que la velocidad de convergencia con resecto al tamaño de elemento es igual a la unidad. Este valor coincide con el valor teórico i

7 Análisis del error relativo en K II en roblemas de contacto en caras de grieta mediante X-FEM 7 eserado ara la convergencia en el FIT con elementos lineales, uesto que en la solución de X-FEM se ha utilizado un enriquecimiento toológico que no elimina la influencia de la singularidad. Dado que el roblema es singular y se ha refinado uniformemente, el error en norma energética es: e E Ch min(,) = Ch Ch 0.5. Por otro lado, es conocido que el error en FIT es el mismo que en energía de deformación, siendo éste e u E C h. Por consiguiente la velocidad de convergencia ótima en estas condiciones es [6]. En la Fig. (8) se reresenta la tensión normal al lano de grieta a lo largo de la misma. Como uede observarse, la tensión normal (multilicador de Lagrange) obtenida mediante el método mortar es exactamente la tensión de comresión alicada a la laca =, mientras que la tensión normal (fuerza dividida or el área) ara el elemento extremo de grieta, obtenida al alicar el método TD, es mayor que la tensión de comresión alicada. Esto es debido a que en este tio de elementos las funciones de interolación incluyen términos no lineales, lo que imlica, en general, interenetración entre caras de grieta. Por tanto, el método mortar ermite calcular mucho mejor las tensiones locales a lo largo de la cara de grieta. Este hecho es de vital imortancia cuando se analiza el roblema con fricción en caras de grieta. yy Elementos tio TD Tensión de comresión, = x/a Fig. 8. Tensión normal a la grieta a lo largo de la grieta ara la malla estructurada Nº3, comarando los dos métodos. Problema con contacto en caras de grieta sin fricción μ= 0. Malla no uniforme En este caso, se han utilizado 6 mallas no estructuradas ara calcular el error relativo en K II en función del tamaño de elemento, Fig. (9), y se han comarado los dos enfoques emleados, mortar y TD. Fig. 9. Primera y tercera malla de una secuencia de 6 mallas no estructuradas. En la Fig. (0) se reresenta el error relativo (en %) ara la secuencia de mallas frente al tamaño de elemento en escala logarítmica. Se observa que el método TD ara las cuatro rimeras mallas da valores del error relativo menores que los obtenidos mediante el método mortar. Posteriormente, ambos métodos resentan valores del error similares. A esar de este mayor error del método mortar en las rimeras mallas, uede observarse que su velocidad de convergencia resenta un comortamiento mucho más uniforme y se aroxima a la unidad, mientras que la velocidad de convergencia obtenida ara el método TD resenta valores variables en cada tramo, sin ninguna tendencia definida. La tensión normal a lo largo de la grieta ara el caso estudiado se reresenta en la Fig. (). Puede observarse que la tensión normal obtenida mediante el método mortar es muy arecida a la tensión de comresión alicada. Al alicar el método TD se obtienen valores muy diferentes a la tensión de comresión, alcanzándose valores

8 M.Sabsabi et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (00) 8 de tensión normal nulos en determinadas osiciones a lo largo de la grieta, debido a que en estos untos no se cumlen las restricciones del contacto. De otra manera, en estos untos (sólo uno en el caso de la Fig. ()) la grieta está abierta, y or lo tanto la tensión normal es nula. 0 Elementos tio TD Error relativo en K II (%) h µ= 0 Malla no estructurada Fig. 0. Error relativo de K II frente al tamaño de elemento h. Problema con contacto en caras de grieta sin fricción μ= 0. Malla no estructurada..5 Elementos tio TD Tensión de comresión, = yy x/a Fig.. Tensión normal a la grieta a lo largo de la grieta ara la malla no estructurada Nº3, comarando los dos métodos. Problema con contacto en caras de grieta sin fricción μ= 0. Convergencia de K II ara contacto con fricción En este aartado se alica la solución de Westergaard modificada ara condiciones de rozamiento entre caras de grieta exlicada anteriormente. Se utiliza la misma laca del caso estudiado sin fricción, alicando una carga de comresión uniforme = [u.d. resión] y una carga tangencial remota uniforme, tal que roduce un valor de K II ex =. Al alicar la Ec. (0), y conociendo el valor del coeficiente de fricción entre caras de grieta, que se ha tomado μ = 0., se obtiene un valor de tensión tangencial remota de τ = [u.d. resión]. Se ha considerado las roiedades del material mencionadas anteriormente, y el mismo dominio finito modelado con X-FEM 4x4 [u.d.l]. Malla uniforme Se ha utilizado la misma secuencia de 7 mallas mostrada en la Fig. (6) ara calcular el error relativo en función del tamaño de elemento y comarar los dos métodos emleados, mortar y TD. Puesto que existe coeficiente de fricción entre caras de grieta μ = 0., ara cálculo de K II a través de la integral J, Ec. (6), es necesario considerar la energía disiada or fricción J [,3]. En la Fig. () se resenta el error relativo (en %) ara la secuencia de mallas utilizada frente al tamaño de elemento en escala logarítmica. Se observa que el método mortar da resultados mucho mejores que el método TD. Para la rimera malla el método mortar da un error inferior al 8% mientras que el error obtenido mediante el método TD resulta suerior al %. Para la última malla el método mortar reduce el error hasta valores róximos al 0.%, mientras que ara el método TD se tienen valores todavía sueriores al 0.9%. Los

9 Análisis del error relativo en K II en roblemas de contacto en caras de grieta mediante X-FEM 9 resultados obtenidos muestran velocidad de convergencia con resecto al tamaño de elemento uniformes ara ambos métodos. En el caso del método mortar la velocidad de convergencia resecto al tamaño de elemento es aroximadamente igual a, mientras que ara el método TD es aroximadamente igual a 0.6. Por tanto el lanteamiento tio mortar es el que ermite un cálculo ótimo de K II en condiciones de contacto en caras de grieta con rozamiento cuando se utiliza el método X-FEM. La distribución de la tensión normal a la grieta es la misma que la obtenida sin fricción, Fig. (8). El hecho de que σ xy no está bien calculada de forma local a lo largo de las caras de grieta cuando se utilizan restricciones untuales (elementos TD) hace que el cálculo de J sea más imreciso, afectando al error y a la velocidad de convergencia, como se ha visto en la Fig. (). Por el contrario, el método mortar resenta una gran calidad en la solución de σ xy (σ xy = μσ yy ), lo que ermite calcular J con gran recisión y, or tanto, K II. 0 Elementos tio TD Error relativo en K II (%) h µ= 0. Malla estructurada Fig.. Error relativo de K II frente al tamaño de elemento h ara el contacto en caras de grieta con coeficiente de fricción μ= 0.. Malla estructurada. Malla no uniforme Se ha utilizado la secuencia de 6 mallas no estructuradas mostradas en la Fig. (9), ara calcular el error relativo en K II en función del tamaño de elemento, y se han comarado los dos enfoques emleados. En la Fig. (3) se reresenta el error relativo (en %) ara la secuencia de mallas frente al tamaño de elemento en escala logarítmica. Se observa, que el método TD resenta eores resultados que el método mortar, no sólo resenta errores mayores sino que además éstos no convergen. 0 Elementos tio TD Error relativo en K II (%) h µ= 0. Malla no estructurada Fig. 3. Error relativo de K II frente al tamaño de elemento h ara el contacto en caras de grieta con coeficiente de fricción μ= 0.. Malla no estructurada. La velocidad de convergencia ara el método mortar resenta un comortamiento mucho más consistente con un valor romedio aroximado a. Como ara el caso de la malla estructurada, la falta de convergencia cuando se utilizan los elementos TD es debida a la mala estimación de las tensiones locales en caras de grieta, que hace que la integral J no sea calculada con recisión. Esta recisión es mucho mayor con el lanteamiento segmentosegmento (mortar).

10 M.Sabsabi et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (00) 0 CONCLUSIONES En este trabajo se ha estudiado el error relativo en K II considerando el contacto con fricción entre caras de grieta mediante dos métodos: la introducción de elementos adicionales TD y el método mortar. Para ello, se ha rouesto una modificación del roblema de referencia (roblema de Westergaard). Los resultados obtenidos mediante los dos métodos han mostrado un comortamiento similar ara el caso de mallas estructuradas sin fricción, aunque el método mortar ha ermitido obtener una distribución de la tensión normal al lano de grieta rácticamente idéntica a la tensión externa alicada. Emleando malla no estructurada, el método mortar ha ermitido obtener una distribución de la tensión normal al lano de grieta similar a la tensión externa alicada, mientras que el método TD roorciona valores anómalos en determinadas osiciones. Al considerar la fricción, tanto con malla uniforme como no estructurada, el método mortar ermite obtener errores relativos de K II muy inferiores a los obtenidos mediante el método TD, con una velocidad de convergencia ótima. AGRADECIMIENTOS Los autores desean agradecer al Ministerio de Ciencia e Innovación or la financiación recibida a través del royecto DPI C03-0. REFERENCIAS [] P.E. Bold, M.W. Brown, R.J. Allen, A review of fatigue crack-growth in steels under mixed mode-i and mode-ii loading, Fatigue Fract Engng Mater & Struct, 5 (99), [] M.O. Wang, R.H. Hu, C.F. Qian, J.C.M. Li, Fatigue crack growth under mode II loading, Fatigue Fract Engng Mater & Struct, 8 (995), [3] F. Hourlier, H. d`hondt, M. Truchon, A. Pineau, Fatigue crack ath behavior under olymodal fatigue, Multiaxial fatigue, STP 853, ASTM, Philadelhia (985), [4] R. Ribeaucourt, M.C. Baietto-Dubourg, A. Gravouil, A new fatigue frictional contact crack roagation model with the couled X-FEM/LATIN method, Com Meth Al Mech Engng, 96 (007), [5] M.C. Dubourg, V. Lamacq, A redictive rolling contact fatigue crack growth model: Onset of branching, direction, and growth - Role of dry and lubricated conditions on crack atterns, ASME J Tribology, 4 (00), [6] D.A. Hills, D. Nowell, Mechanics of Fretting Fatigue, Solid mechanics and its alications, Kluwer Academic Press, (994). [7] A. Dorogoy, L. Banks-Sills, Shear loaded interface crack under the influence of friction: a finite difference solution, Int J Num Methods Engng, 59 (004), [8] V. Lamacq, M.C. Dubourg, Stage II crack roagation direction determination under fretting fatigue loading: A new aroach in accordance with exerimental observation, Fretting Fatigue: Current Technology and Practices, STP 367, ASTM (000), [9] J. Dolbow, N. Moës, T. Belytschko, An extended finite element method for modeling crack growth with frictional contact, Com Meth Al Mech Engng, 90 (00), [0] F. Liu, RI. Borja, A contact algorithm for frictional crack roagation with the extended finite element, Int J Numer Meth Engng, 76 (008), [] E. Giner, M. Tur, JE. Tarancón, FJ. Fuenmayor, Crack face contact in X-FEM using a segment-to-segment aroach, Int J numer Meth Engng, 8 (00), [] M. Sabsabi, E. Giner, M. Tur, F.J. Fuenmayor, Modelado con contacto de caras de grieta de roblemas de fretting-fatiga mediante X-FEM, XXV Encuentro del gruo esañol de fractura, Sigüenza, Esaña (008). [3] M. Sabsabi, Modelado de grieta y estimación de vida en Fretting Fatiga mediante el Método de los Elementos Finitos Extendido X-FEM, Tesis Doctoral, Univ. Politécnica de Valencia, Valencia, (00). [4] P. Wriggers, Comutational Contact Mechanics, John Wiley & Sons, Ltd., (00). [5] E.E. Gdoutos, Fracture Mechanics: an Introdution. Solid Mechanics and its Alications, Kluwer Academic Publishers, Holland, (993). [6] E. Giner, Estimación del error de discretización en el cálculo del Factor de Intensidad de Tensiones mediante Elementos Finitos, Tesis Doctoral, Univ. Politécnica de Valencia, Valencia, (00). [7] E. Giner, FJ. Fuenmayor, L. Baeza, JE. Tarancón, Error estimation for finite element evaluation of G I and G II in mixed-mode LEFM, Fin Elem Anal Design, 4 (005),