Solución de la ecuación de onda como un problema de valores iniciales usando diferencias finitas

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1 Solución de la ecuación de onda como un problema de valores iniciales usando diferencias finias F. S. Guzmán Insiuo de Física y Maemáicas, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Edificio C-3, Cd. Universiaria, 584 Morelia, Michoacán, México. (Daed: June 29, 29) Se presena la solución de la ecuación de onda como ejemplo paradigmáico de la solución de problemas de valores iniciales con condiciones de fronera usando la aproximación de diferencias finias. Primero se desarrolla una solución elemenal y una discreización direca a manera de inroducción. Poseriormene se resuelve la ecuación de onda como un sisema de primer orden, se esudia la hiperbolicidad del sisema de ecuaciones resulane, se calculan los modos y velocidades caracerísicas del sisema y se imponen condiciones de fronera en érminos de las variables caracerísicas. En ese caso se adopa el méodo de líneas como esquema de evolución. Además se hace especial énfasis en que los resulados numéricos necesian un crierio de validez. En el caso de la aproximación con diferencias finias de una ecuación diferencial parcial se presena la convergencia a una solución correca en el límie coninuo. Finalmene, se espera que ese manuscrio sirva de guía para la correca solución de problemas de valores iniciales con condiciones de fronera en general. PACS numbers: En ese rabajo se presena la solución de la ecuación de onda como la solución de un problema de valores iniciales con condiciones de fronera usando una aproximación en diferencias finias. Se consider dicho caso como el ejemplo emblemáico de la solución de problemas de evolución de sisemas hiperbólicos. En pare, la moivación para proceder de esa manera es que conviene conar con un código compuacional simple que funciona, que es capaz de reproducir los resulados en ese arículo y después será simple aplicar las ideas aprendidas en problemas más complicados relacionados con la solución de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) asociadas con problemas de valores iniciales. Hay disinos ipos de méodos numéricos usados para resolver sisemas de EDPs, por ejemplo la aproximación de los méodos especrales supone que las funciones involucradas en un sisema de EDPs puede expanderse como una serie de funciones orogonales en un dominio dado; enonces las condiciones de orogonalidad de la base y las relaciones de recurrencia de las funciones base se uilizan para reducir el sisema a un sisema más simple de ecuaciones para los coeficienes de la expansión. En el presene caso se uiliza una aproximación disina, basada en la discreización del dominio en el que se define el sisema de EDPs, conocida como aproximación en diferencias finias. Además de presenar esa herramiena se muesra el ipo de pruebas que debe cumplir la solución numérica de EDPs. El caso de la ecuación de onda se esudia de dos maneras, i) la primera uilizando una discreización simple que usa res niveles emporales, con la cual se ilusra el funcionamieno de la aproximación en diferencias finias, y ii) la segunda, en la que la ecuación de onda se descompone en un sisema de ecuaciones de primer orden en el espacio y en el iempo, cuya solución se consruye uilizando el méodo de líneas con dos niveles emporales. Ese segundo caso además se resuelve para sisemas de coordenadas espacio-emporales generales, se esudia la hiperbolicidad del sisema de ecuaciones de primer orden, se consruyen las variables caracerísicas y las velocidades caracerísicas de las variables involucradas y se imponen condiciones de fronera usando las variables caracerísicas. Para mejor enendimieno y para ejerciar los concepos presenados aquí, los códigos uilizados se encuenran disponibles públicamene []. Las herramienas que se presenan se aplican a gran variedad de problemas de la física eórica acual, como es el caso de la solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales de la relaividad numérica [2], la ecuación de Schrödinger asociada a condensados de Bose en la aproximación de campo medio o gases aómcios [3], parcialmene los problemas asociados con la evolución de fluidos que obedecen las ecuaciones de Euler [4], enre oros ambién de gran imporancia. En la sección I se describen los méodos numéricos relacionados con la aplicación de las diferencias finias a las EDPs. En la sección II se ejemplifica el funcionamieno de la aproximación en diferencias finias con la ecuación de onda y una discreización simple. En la sección III se presena la formulación de primer orden de la ecuación de onda en el espacio-iempo de + dimensiones y la hiperbolicidad del sisema. Finalmene, en la sección IV se mencionan algunos comenarios finales.

2 2 I. INTRODUCCIÓN A LAS DIFERENCIAS FINITAS A. Ingredienes de la aproximación discrea de EDPs en el coninuo Primer ingrediene. La aproximación en diferencias finias de una ecuación diferencial parcial (EDP) consise en definir las funciones y variables involucradas en un conjuno discreo de punos del dominio donde se busca una solución de la ecuación. Con el fin de ilusrar ese concepo, supóngase que una EDP que involucra la función f esá definida en un dominio que iene dos coordenadas y x (v. gr.: el iempo y una coordenad espacial). Una manera de discreizar la ED consise en considerar que las variables y funciones de la ED esán definidas en en conjuno de punos ano en el espacio x j = j x como en el iempo n = n, donde j y n son eneros que eiquean los punos donde esará definida la ecuación. Así, la función f queda definida solamene en los punos del dominio ( n, x j ) y denoamos dichos valores de la función por f n j. Se considera además que j =,,..., N y n =,,..., N. Limiar los valores de las eiqueas j y n ilusra el hecho de que se ha elegido un dominio finio para calcular la solución. La razón principal es que si a cada elemeno de la malla se asigna un valor de cada variable independiene y de cada función involucrada en la EDP, es necesario ajusar la memoria de la compuadora, que es finia. Nauralmene los valores x y x N corresponden a los valores que delimian el dominio de x y de manera análoga los valores y N delimian el dominio de. Ese prodecimieno de discreización define una malla en el dominio, en cuyos nodos quedan definidas las funciones involucradas en la EDP. La malla mas elemenal es aquella cuyos nodos se encuenran igualmene espaciados, cuya gráfica se muesra en la Figura. En ese manuscrio se considera solamene el caso en que la discreización es uniforme. = Froneras Daos iniciales Dominio espacial x = Froneras Daos iniciales Dominio espacial x Puno del dominio discreo FIG. : En la primera figura se muesra el dominio de un problema de valores iniciales con condiciones de fronera y en la segunda la versión discrea del dominio, que define una malla sobre la que quedan definidas las funciones involucradas en la EDP. El crierio para deerminar una discreización queda al arbirio de quien resuelve un problema, o de las propiedades de la ecuación diferencial que se desea resolver. Para la discreización uniformemene espaciada en nuesro caso, se definen las resoluciones espacial x = x j+ x j y emporal = n+ n. Segundo ingrediene. Una vez definido el dominio discreo de la EDP, es necesario aproximar la ecuación diferencial, es decir, los operadores diferenciales que aparecen en dicha ecuación usando solamene los valores de las funciones involucradas que esan definidos en la malla. Una condición que se demanda es que dichas funciones sean analíicas, lo cual implica que las funciones involucradas ienen definida una expansión en serie de Taylor, lo cual a su vez permie consruir aproximaciones de los operadores diferenciales. Derivada de primer orden. Sea f n j una función como la definida anes con n fijo, enonces es posible calcular valores aproximados de la función en los punos adyacenes a parir de expansiones en serie de Taylor a segundo orden de f en orno a f n j :

3 3 f(x j ) = f(x j ) xf (x j ) + x2 2 f (x j ) + O( x 3 ) f(x j ) = f(x j ) () f(x j+ ) = f(x j ) + xf (x j ) + x2 2 f (x j ) + O( x 3 ) donde la prima denoa derivada con respeco a x. A parir de esas aproximaciones es posible consruir diferenes operadores diferenciales para las derivadas de fj n. Por ejemplo, sumando la primera y la ercera expresiones, y dividiendo por x, se obiene la expresión para la primera derivada en el puno x j con un error de segundo orden: f (x j ) = f(x j+) f(x j ) 2 x + O( x 2 ). (2) Conviene observar que para calcular esa aproximación es necesario conocer los valores fi+ n y fn i, por lo que esa aproximación se llama cenrada. Un comenario adicional es juso aquí: la expresión (2) es la definición de derivada en cálculo de una variable en el límie cuando x. Es posible calcular la derivada de primer orden usando aproximaciones no cenradas, desbalanceadas, usualmene llamadas upwind. Para al efeco basa considerar las expansiones sigueines f(x j) = f(x j) f(x j+) = f(x j) + xf (x j) + x2 2 f (x j) + O( x 3 ) f(x j+2) = f(x j) + 2 xf (x j) + 4 x2 f (x j) + O( x 3 ) (3) 2 donde ahora se ha hecho la expansión hasa dos punos a la derecha de x j. Una combinación que cancela los érminos que conienen la segunda derivada y el érmino de orden cero es f(x j+2 ) 4f(x j+ ) + f(x j ), que al ser dividida por x resula en una expresión para la derivada de f en x j usando solamene valores en los punos x j+ y x j+2 : f (x j ) = f(x j+2) + 4f(x j+ ) 3f(x j ) 2 x + O( x 2 ). (4) De manera análoga, la consrucción de la aproximación de la derivada que usa solamene punos a la izquierda de x j es la siguiene: f (x j ) = f(x j 2) 4f(x j ) + 3f(x j ) 2 x + O( x 2 ). (5) Para calcular operadores con un orden de aproximación mayor basa con generalizar el procedimeino ilusrado aneriormene. Supóngase que se desea calcular la derivada de primer orden con un error de cuaro orden, enonces basa con considerar el siguiene conjuno de aproximaciones f(x j 2 ) = f(x j ) 2 xf (x j ) + 4 x2 2 f (x j ) 8 x3 6 f (x j ) + 6 x4 f (x j ) + O( x 5 ), 24 f(x j ) = f(x j ) xf (x j ) + x2 2 f (x j ) x3 6 f (x j ) + x4 24 f (x j ) + O( x 5 ), f(x j ) = f(x j ) f(x j+ ) = f(x j ) + xf (x j ) + x2 2 f (x j ) + x3 6 f (x j ) + x4 24 f (x j ) + O( x 5 ), f(x j+2 ) = f(x j ) + 2 xf (x j ) + 4 x2 2 f (x j ) + 8 x3 6 f (x j ) + 6 x4 f (x j ) + O( x 5 ). 24 Para calcular una aproximación a la primera derivada de f en x j es necesario enconrar la combinación correca del ipo af(x j 2 ) + bf(x j ) + cf(x j ) + df(x j+ ) + ef(x j+2 ) al que elimine f(x j ) y las derivadas de segundo orden y superiores. En el caso cenrado la expresión es la siguiene

4 4 f (x j ) = 2 x [f(x j 2) 8f(x j ) + 8f(x j+ ) f(x j+2 )], (6) y para combinaciones desbalanceadas se sugiere revisar la Tabla I. Derivada de segundo orden. Para obener una aproximación de las segundas derivadas de una función respeco a x en x j, se procede nuevamene mediane la búsqueda de una combinación de las expansiones en serie de Taylor en disinos punos vecinos de x j, pero en esa ocasión buscando que los érminos de orden cero, orden uno, ercero y superiores se cancelen. Procediendo de dicha manera, la derivada de segundo orden con una aproximación de segundo orden puede esimarse a parir de las expresiones () desarrolladas hasa orden O( x 4 ), con la combinación f(x j+ ) 2f(x j ) + f(x j ) dividida por x 2 implica f (x j ) = f(x j+) 2f(x j ) + f(x j ) x 2 + O( x 2 ), (7) que resula ser una aproximación cenrada. Así pues, el algorimo para consruir aproximaciones en diferencias finias de operadores diferenciales es el siguiene: i) Hacer la expansión en serie de Taylor en punos cercanos a aquel donde se quiere evaluar la derivada de f. ii) Enconrar una combinación de las expansiones escrias al que se cancelan las derivadas de orden superior e inferior a la derivada del orden deseado. Una vez conocido el procedimieno para calcular aproximaciones de derivadas de funciones, basa con mencionar los coeficienes de las combinaciones lineales necesarias para calcular los operadores diferenciales de primero y segundo orden, cenrados y desbalanceados con disinos ordenes de precisión. En la Tabla I se muesran los coeficienes de las funciones evaluadas en los disinos punos vecinos a x j en las expresiones para el cálculo de las derivadas de primer orden con precisión de segundo orden y los coeficienes cuando la precisión es de cuaro orden. En la Tabla II aquellos coeficienes para las derivadas de segundo orden. x j 4 x j 3 x j 2 x j x j x j+ x j+2 x j+3 x j+4 Segundo orden Cuaro orden TABLE I: Coeficienes en las expansiones según el orden de precisión de la aproximación, para las derivadas de primer orden. Las aproximaciones con segundo orden de precisión significan f = [...] + 2 x O( x2 ) y f = [...] + 2 x O( x4 ) para las aproximaciones con cuaro orden de precisión. Las expresiones (2), (4), (5) y (6) ilusran el uso de esa abla. Los desarrollos hasa el momeno en ese capíulo ilusran las aproximaciones en diferencias finias de los ingredienes de una EDP. El hecho de haber elegido un dominio espacioempral, permie considerar direcamene la discreización de la ecuación de onda: φ xx φ =, (8) donde se ha elegido la noación con la que un subíndice indica una derivada con respeco a la variable represenada con el índice. Originalmene puede enerse la ecuación φ v 2 xx φ = donde v es la velocidad de propagación de la onda, pero se usará v = porque es posible reescalar la coordenada emporal o la espacial para que la ecuación resulane sea (8). Para consruir la aproximación en diferencias finias (DF) de (8) basará con escribir la aproximación de derivadas de segundo orden. El único obsaculo es la aproximación de la derivada empral; esa dificulad se resuelve inercambiando x j por n en las expresiones y ablas aneriores, que corresponde a escoger una variable independiene más. El resulado es el siguiene cuando se usan operadores con aproximación de sugundo orden:

5 5 x j 5 x j 4 x j 3 x j 2 x j x j x j+ x j+2 x j+3 x j+4 x j+5 Segundo orden Cuaro orden TABLE II: Coeficienes en las expansiones según el orden de precisión de la aproximación, para las derivadas de segundo orden. Las aproximaciones con segundo orden de precisión son del ipo f = [...] + O( x 2 ), mienras que las aproximaciones de x 2 cuaro orden de precisión van como f = [...] + O( x 4 ). La expresión (7) ejemplifica el uso de esa abla. 2 x 2 φ n+ j 2φ n j + φn j ( ) 2 φn j+ 2φn j + φn j ( x) 2 = O( x 2, 2 ), (9) para odo j =,,..., N y n =,,..., N. En ese puno es preciso noar que la aproximación con diferencias finias ha inroducido un error, es decir, el lado derecho de la ecuación no es necesariamene cero, sino que es del orden O( x 2, 2 ). La cereza de que eso ocurre deermina el ercer ingrediene. Tercer ingrediene de la aproximación en diferencias finias de una EDP. Al usar ese méodo numérico es necesario ener en mene que la aproximación en DF provee de una versión aproximada de la ecuación en el coninuo y que la ecuación que se resolverá en adelane es solamene una aproximación de la original, es decir, la que es definida en el dominio coninuo. Es preciso enonces esablecer crierios que indiquen que cuando se resuelve la versión discrea de una EDP, al menos en el límie coninuo se esá calculando la solución correca. B. Convergencia Hemos mosrado que las aproximaciones de los operadores diferenciales son solamene una aproximación con un error asociado de ciero orden (segundo y cuaro orden en los ejemplos mosrados en las ablas I y II). Es de esperar que cuano mayor sea la resolución con que se consruya la malla, cuano menor será el error con que se esan aproximando los operadores diferenciales y por ano la aproximación en diferencias finias de una ecuación diferencial es mas precisa. Sin embargo, es de gran imporancia deerminar el rimo al cual converge una solución a una solución exaca conocida de la ecuación, o una solución numérica en el límie coninuo de una ecuación cuya solución es desconocida. La convergencia es la noción que relaciona el rimo al cual decrece el error en érminos del orden de aproximación en diferencias finias de los operadores en una ecuación diferencial. Es decir, no basa con saber que si la resolución aumena el error disminuye, sino que es necesario saber si el error decrece al rimo esperado en érminos de la resolución. Para ilusrar el concepo de convergencia en diferencias finias considérese una función f l que es solución numérica de una EDP a un iempo dado, y que ha sido consruida bajo la discreización de dicha ecuación con una aproximación de segundo orden. Suponinendo además que se conoce la solución exaca f (x), el resulado numérico puede escribirse en la forma f(x) = f (x) + E(x)( x 2 ) + O( x 3 ), donde E denoa un coeficiene del error, que ha de ser de segundo orden. Dado que se conoce la solución exaca, es posible conocer el error con que se calcula la solución numérica usando disinos valores de x. Sean f y f 2 dos soluciones numéricas calculadas usando las resoluciones x y x/2 respecivamene. La razón enre los errores es la siguiene: f f = x2 + O( x 3 ) f 2 f 4 x2 + O( x 3 ) = 4 + O( x3 ). () En ese caso se ha supueso que la función f depende solamene de la variable x. El número cuaro en () se llama facor de convergencia y debe ser evaluado en cada puno de la malla donde se ha calculado la función f. Cuando en un cálculo numérico que se ha llevado a cabo a parir de una aproximación de segundo orden el facor de convergencia

6 es cuaro, se dice que la solución converge con segundo orden, es decir, cumple con lo predicho por la eoría en (). De manera análoga, es posible mosrar que si la aproximación es de cuaro orden, el facor será 6. Por ejemplo, para la ecuación de onda (9) la solución exaca es conocida, y basará calcular la solución numérica con dos resoluciones disinas para deerminar si los algorimos uilizados producen una solución que converge correcamene. Podría parecer que lo mencionado en esos párrafos es elemenal, pero el siguiene ejemplo ilusra la inporancia del facor de convergencia: sopóngase que se discreiza el dominio x [, ] con la opción (i) x =. y con x =.5 para esudiar el facor de convergencia en el caso de una ED elemenal, es muy probable que la solución numérica no enga facor de convergencia cuaro, pero es probable que lo endrá cuando se usan resoluciones (ii) x =. y x =.5; si ese es el caso, se dice que los cálculos en la opción (ii) han sido ejecuados en el régimen de convergencia, mienras la opción (i) no apora condiciones para que se obenga la convergencia deseada. Regularmene los cálculos que no convergen con el orden deseado se desechan (o debieran desecharse), mienras que aquellos realizados en el régimen de convergencia son acepables. Ese ejemplo ilusra claramene el hecho de que no oda solución numérica realizada con la aproximación de DF es acepable, y que ningún cálculo que no converja debe gozar de credibilidad. El caso en que se desconoce la solución exaca es posible hacer un esudio de convergencia de ipo Cauchy usando los cálculos numéricos resulado de usar res disinas resoluciones (no dos como en el caso anerior). Si además de f y f 2 definidas anes se calcula la solución f 3 de la EDP con resolución x/4 se puede calcular la razón siguiene: 6 f f 2 = x2 4 x2 + O( x 3 ) f 2 f 3 4 x2 6 x2 + O( x 3 ) = x2 + O( x 3 ) 4 x2 + O( x 3 ) = 4 + O( x3 ), () donde una vez más el resulado se llama facor de convergencia, y una vez más resula ser cuaro cuando la aproximación de la EDP es de segundo orden. De igual modo, si la aproximación fuera de cuaro orden el facor sería 6 en lugar de 4. Finalmene, es úil saber que si cuando el facor de convergencia es menor que cuaro, es necesario acepar varias posibilidades: (a) hay un error en la implemenación del programa, (b) los algorimos no permien la convergencia en el rango x elegido, es decir, no se han hecho los cálculos en el régimen de convergencia. II. LA ECUACIÓN DE ONDA CON UNA DISCRETIZACIÓN SIMPLE El problema a resolver es enonces el siguiene: xx =, φ(x, ) = φ (x), φ(x, ) = φ (x), φ(, ) = φ L (), φ(, ) = φ R () x [, ], >. (2) Para consruir la solución de una EDP que admie por solución global la evolución de daos iniciales es necesario proveer dichos daos iniciales. En el caso de la ecuación de onda, la solución numérica mas simple consise en evolucionar los daos iniciales usando la ecuación (9). De hecho, dados los valores de la función de onda en oda la malla al iempo n, es posible consruir los valores de φ al iempo n +. Para conseguirlo basa con resolver φ n+ j en (9), lo cual implica: φ n+ j = ( ) 2 [φ n j+ 2φ n j + φ n x j ] + 2φ n j φ n j + O( x 2, 2 ), (3) que permie conocer los valores de la función de onda para odos los punos de la malla al iempo n +, excepo aquellos que esan en los bordes x = y x N = +, debido a que la molécula de ese algorimo requiere los valores de un puno a la derecha y oro a la izquierda para odo x j en la malla. Para ilusrarlo, en la Figura 2 se muesra el elemeno conenido en la expresión (3), llamado molécula del algorimo de evolución. En al diagrama aparece como un círculo negro la posición del dominio discreo ( n+, x j ) que se puede calcular en érminos de los valores de φ en las posiciones inidicadas con círculos blancos. Además, esa figura ilusra la necesidad de conocer el valor de la

7 7 j,n+ j,n j,n j+,n j,n FIG. 2: Molécula correspondiene a la consrucción de daos al iempo n+ a parir de daos en los iempos n y n según la ecuación (3). función de onda en odos los punos del espacio para n y n, y en especial los valores de la función en las posiciones ( n, x ) y ( n, x N ) que no esán definidos cuando el puno negro se localiza en ( n+, x ) y ( n+, x N ). Aforunadamene los valores φ n+ y φ n+ N+ pueden ser calculados imponiendo una condición de fronera de igual modo que se hizo para la consrucción de la solución exaca. Finalmene, la expresión (3) permie la evolución de valores de la función de onda en iempos previos a n+, y además indica que para iniciar la evolución es necesario conocer los valores de la función en dos iempos previos. En ese puno es cuando es necesario llenar el dominio espacial con daos iniciales en dos niveles de iempo. Esabilidad del algorimo. Exise una resricción del algorimo descrio por (3) respeco a la esabilidad de la solución que se esá calculando. Es evidene de dicha expresión que un valor del facor / x mayor que uno implicaría que la ampliud de la función de onda en cada puno crecería al iempo n+ con respeco al valor que enía en el iempo n. Al facor / x se le conoce como facor de Couran Friedrichs Lewy (CFL). Para que la discreización (3) sea esable es necesario que el facor CFL sea menor que (ver el apéndice para una demosración de esa condición). Daos iniciales. Cuando se raa de resolver una ecuación de segundo orden es necesario proveer el valor inicial de la función y de su primera derivada emporal. De manera equivalene, basa con proveer el valor inicial de la función en dos niveles de iempo. En el caso de la ecuación de onda cuya evolución esá dicada por (3), dado que son necesarios los daos en dos niveles de iempo anes de proceder a llevar a cabo la evolución, diremos que los daos iniciales esarán definidos en los niveles de iempo y un hipoéico, con el fin de que se obenga en el primer paso de iempo el valor de φ en el iempo. Específicamene se elige aquí un perfil gaussiano en = =, y dado que se conoce la solución exaca de la ecuación de onda, se iene que φ j = Ae x2 j /σ2 φ j = 2 Ae (xj+ )2 /σ Ae (xj )2 /σ 2 (4) para j =,,...N. Condiciónes de fronera periódicas. en ese caso, el dominio es al que el exremo derecho del dominio espacial se idenifica con el exremo izquierdo, o bien, que la opología del dominio espacial pasa de ser un rozo de la reca real en la circunferencia S, de perímero x N x. En la Figura 3 se ilusra esa ransformación cuando se ha considerado el dominio discreo. Condicion de onda saliene. Se raa de una condición que se impone para modelar froneras abieras que permien el flujo hacia fuera de las soluciones pero no hacia denro. En el caso de la ecuación de onda, se sabe que la solución general presena una solución general del ipo φ(, x) = f(x + ) + g(x ) para f y g arbirarias, cada una de las cuales corresponde al desplazamieno hacia la izquierda y a la derecha respecivamene de los pulsos iniciales. Tales funciones f, g son soluciones de las ecuaciones ( x )φ = (5) ( + x )φ = (6)

8 8 2 N 2 N N N 2 N N 2 FIG. 3: Idenificación del dominio espacial que es pare de la reca real con una circunferencia. El mecanismo consise en igualar los valores de φ en ambos exremos del dominio φ n = φ n Nx para odo n. respecivamene. Así pues, la condición de onda saliene en el caso de la ecuación de onda se reduce a imponer en el borde izquierdo x = la relación (5) y en el borde derecho x N = + la condición (6). Es imporane para imponer la condición del borde izquierdo solamene se cuena con valores de la función de onda en punos vecinos hacia la derecha, y de manera análoga, para imponer la condición en el borde derecho solo se cuena con valores de la función de onda en punos vecinos hacia la izquierda. Por ano, esa condición de fronera ilusra la uilidad de las aproximaciones en diferencias de derivadas que consideran punos de un solo lado. Por ejemplo, la aproximación en DF de (5) y (6), uilizando las expresiones (4) y (5) son respecivamene: φ n 4φ n + 3φn+ φn φ n+ 3φ n+ 2 2 x φ n N 4φn N + 3φn+ N 2 + φn+ N 2 4φn+ N + 3φn+ N 2 x = O( x 2, 2 ), = O( x 2, 2 ) donde además se ha usado la discreización para la derivada emporal que solamene uiliza valores de φ y φ N a los iempos n y n. Las moléculas involcradas en esas aproximaciones aparecen en la Figura 4. La información conocida en esas expresiones es la siguiene: odos los valores de φ en los iempos n y n, y los punos inernos de la malla al iempo n+ que ya han sido calculados a ravés de (3), de modo que los valores incógnia son aquellos valores de φ marcados con punos negros en la Figura 4. Aforunadaamene es posible resolver las expresiones aneriores para esos valores desconocidos de la función de onda, lo que da como resulado: φ n+ = φ n+ N = x ( φn φ n+ ) + 4φ n φ n 3( + x ), (7) x ( φn+ N 2 + 4φn+ N ) + 4φn N φn N 3( + x ). (8) Usando esas expresiones para los valores del campo en los bordes del dominio debiera implicar el resulado correco. En la Figura 5 se muesra la solución calculada con esas condiciones de fronera. Error y convergencia. El error de la solución numérica con respeco a la solución exaca queda definido en cada puno del dominio espacial como e j = φ num j φ ex j. (9) En la Figura 6 se muesra el error caculado mediane el uso de (3,7,8) y la solución exaca para el caso de condiciones de fronera de onda saliene. Para saber si los cálculos convergen a la solución exaca, basa con aprovechar el hecho de que en el límie coninuo (o de resolución infinia) el error es cero. Enonces se usa la expresión () y se ejecua el código con dos resoluciones disinas para mosrar la convergencia de segundo orden del error a cero.

9 9,n+,n+ 2,n+ N 2,n+ N,n+ N,n+,n N,n,n N,n FIG. 4: Moléculas de la versión discrea de las condiciones de fronera de onda saliene (5,6). Al igual que anes, se desea calcular la función de onda en los punos negros y los punos blancos son los daos necesarios para conseguirlo. φ Condiciones periódicas φ Froneras abieras x x.5 FIG. 5: Solución numérica de la ecuación de onda que usa la discreización (3). En el lado izquierdo se muesra el caso que usa condiciones periódicas, y es evidene que la señal que sale de un lado del dominio enra por el oro ad infinium. En el lado derecho se muesra el resulado de aplicar las condiciones de fronera de onda saliene (5,6), y es de noar que la señal sale por las froneras al iempo, que corresponde al caso de que la onda viaja a velocidad. El esudio del error de un cálculo numérico para varios iempos es exhausivo y parece poco prácico. Es por al razón que es prácica común esudiar alguna función escalar del error y esimar la convergencia de esa. Ejemplos de ales funciones son: i) El error en algún puno paricular del dominio espacial, por ejemplo en las froneras o en el máximo de la disribución gaussiana. ii) La norma L (e) del error, definida como L (e) = N j= e j. N iii) La norma L 2 (e) del error, definida como L 2 (e) = j= e2 j. de modo que dichas funciones escalares del error se pueden moniorear como funciones del iempo. Como ejemplo, en la Figura 7 se muesran las normas L (e) y L 2 (e) para las simulaciones mencionadas. Queda manifieso que esa función escalar iene convergencia de segundo orden a cero. El monioreo de la precisión a ravés de funciones escalares del error es un procedimieno muy eficiene, pues permie deerminar si las ejecuciones y la implemenación de los programas es correca, sin necesidad de revisar direcamene las soluciones numéricas en cada paso de iempo. III. LA ECUACIÓN DE ONDA COMO SISTEMA DE PRIMER ORDEN En ese capíulo se resuelve la ecuación de onda para ilusrar la solución de problemas en el espacio-iempo plano en coordenadas arbirarias. Además, se muesra la solución de una EDP hiperbólica de manera complea y la serie de ingredienes necesarios para la solución de un problema de valores iniciales con condiciones de fronera.

10 .3 =.25 =.25 = =.75 =. = FIG. 6: Error para disinos valores del iempo de la solución para daos iniciales de perfil gaussiano siméricos en el iempo con condiciones de fronera de onda saliene y dos resoluciones disinas x =.2 y x =.. El error de la solución con menor resolución ha sido dividido por 4 con el fin de mosrar la convergencia de segundo del error con segundo orden...6 9e-5 8e-5 7e-5 6e-5 x=.2 x=. x=. muliplicado por x=.2 x=. x=. muliplicado por 4 L (e) 5e-5 4e-5 L 2 (e) 8e-5 6e-5 3e-5 2e-5 4e-5 e-5 2e FIG. 7: Normas L y L 2 del error como función del iempo para las simulaciones mosradas en la figura anerior. La línea coninua indica la norma del error cuando se usa resolución x =.2, la disconinua corresponde a la resolución x =. y los punos son una muesra de la norma calculadoa con resolución x =. muliplicada por 4. De ahí que a convergencia de esas normas del error a cero es de segundo orden. La ecuación de onda esá definida en el espacio de Minkowski en + dimensiones, cuyo elemeno de línea es ds 2 = d 2 + d x 2. Aplicando la ranformación general de coordenadas d = αd y dx = d x βd, donde α juega el papel de eiquea enre los valores del iempo considerados y β es una velocidad a la que se desplaza la coordenada x. La mérica resulane en forma maricial es la siguiene: g µν = g µν = ( ( ) ( α 2 + β 2 ) β, (2) β ) /α 2 β/α 2 β/α 2 ( β 2 /α 2, (2) )

11 donde α > es la función lapso y β es la única componene del shif, además µ, ν =, x. En general el operador D Alamberiano para un espacio-iempo dado esa definido por φ = g µ [ gg µν ν φ] = donde g = de(g µν ). De (2) se iene que g = α. Enonces la ecuación de onda en su forma general se escribe = φ = g µ [ gg µν ν φ] = α [αg ν ν φ] + α x[αg xν ν φ] = α [αg φ + αg x x φ] + α x[αg x φ + αg xx x φ] = α [ α φ + β α xφ] + α x[ β α φ + α( β2 α 2 ) xφ]. (22) Obsérvese que cuando α = y β = se recupera la ecuación de onda sencilla (8). Es deseable escribir un sisema de EDPs que conengan derivadas solamene de primer orden. La razón es que se simplifica el esudio de las propiedades del sisema de ecuaciones con la idea de consruir una solución global a parir de una evolución de Cauchy, así que es conveniene deerminar la hiperbolicidad del sisema. La expresión anerior sugiere la definción de dos nuevas variables ψ := x φ y π := ( φ β x φ)/α. Obsérvese que π es el argumeno de la derivada emporal de primer orden en (22). El objeivo es separar la ecuación de onda en un sisema de dos ecuaciones de primer orden para esas dos nuevas variables. La primera de esas ecuaciones es obvia de (22): π = x (αψ + βπ). (23) Si ahora se supone que φ es al menos de clase C 2, la ecuación para ψ es ψ = x ( φ) lo que implica ψ = x (απ + βψ). (24) Las ecuaciones (23-24) consiuyen la versión de primer orden de la ecuación de onda con la consricción ψ = x φ. Eso recuerda que la función incógnia original φ no aparece en el sisema de ecuaciones, pero puede reconsruirse a parir de la definición de π una vez calculados π y ψ, o sea φ = απ + βψ. Finalmene, el problema de valores iniciales con condiciones de fronera es el siguiene: con la consricción x φ = ψ. π = x (αψ + βπ), ψ = x (απ + βψ) π(x, ) = π (x), ψ(x, ) = ψ (x), π(, ) = π L (), π(, ) = π R (), ψ(, ) = ψ L (), ψ(, ) = ψ R (). x [, ], >, (25) A. Análisis caracerísico Si se define el vecor de esado u = (π, ψ) T, es posible escribir la ecuación de onda (23-24) como donde u + A x u = x (A)u, (26)

12 2 A = ( ) β α. (27) α β Las direcciones caracerísicas, o sea, las direcciones locales de propagación de las señales en el plano x se obienen de los valores propios de la mariz A, para lo cual se resuelve la ecuación de(a I 2 λ) = con λ = dx/d, donde I 2 es la mariz idenidad 2 2. Los resulados son los siguienes λ ± = β ± α. (28) Dado que los dos valores propios son disinos y reales, el sisema es esrícamene hiperbólico [6], además los vecores propios forman un sisema compleo de vecores, lo que garaniza que se iene un problema de valores iniciales bien planeado [6]. En el caso β = y α = (la ecuación de onda usual) se obienen las velocidades caracerísicas λ = ±, lo que implica que las rayecorias de los daos iniciales son recas con pendienes ± que definen el cono x = x ±, cuyas recas corresponden a las caracerísicas de la solución, es decir, aquellas curvas (recas en ese caso) a lo largo de las cuales el valor de la solución es el mismo que el valor al iempo inicial. Los vecores propios correspondienes a λ ± son u = (, ) T y u 2 = (, ) T. La mariz que diagonaliza A es por ano P = ( ) ( ), P =. (29) 2 De aquí, A puede escribirse como A = PΛP con Λ = diag(λ +, λ ). Muliplicando la ecuación (26) por P se iene donde P u + P A x u = x (P A)u w + Λ x w = x (Λ)w, (3) w = P u = 2 (π ψ, π + ψ)t = (R, L) T (3) son las variables caracerísicas. De ese modo, las dos ecuaciones (23) y (24) se desacoplan, y la dinámica del campo escalar ha quedado descompuesa en un modo que se mueve a la derecha (R = /2(π ψ)) y oro que se mueve a la izquierda (L = /2(π + ψ)). La ecuación (3) desacopla enonces el sisema en un par de ecuaciones de advección para las variables R y L. B. Daos iniciales En la versión de primer orden de la ecuación de onda es necesario conocer al iempo inicial los valores de π(, x) y ψ(, x). Eso es equivalene a demandar valores para φ y su derivada emporal al iempo inicial. Con el fin de enfocarnos en la evolución de daos iniciales es posible elegir simplemene daos siméricos en el iempo para un perfil gaussiano: φ(, x) = Ae (x x)2 /σ 2 ψ(, x) = 2 (x x ) φ(, x), σ 2 π(, x) =. (32) Se sabe que la solución de la ecuación de onda es la superposición de un pulso que se mueve a la derecha y oro que se mueve a la izquierda (φ(, x) = f(x + ) + g(x )). Enonces la evolución de los daos iniciales (32) debieran

13 mosrar la descomposición de los daos iniciales en dos gaussianas. De hecho para el caso usual (α =, β = ) y los daos iniciales (32) se endría 3 φ(, x) = 2 Ae ([x+] x)2 /σ 2 = + 2 Ae ([x ] x)2 /σ 2 =, (33) que involucra en realidad dos pulsos gaussianos superpuesos que al iempo = aparecen como uno solo. C. Evolucionando los daos iniciales La evolución de daos consise en el cálculo de la función f n+ j a parir de daos en los niveles de iempo previos. Para ilusrarlo considérese la ecuación (23) con β = y α =. En ese caso paricular la discreización en el puno ( n, x j ) es π n+ j π n j π n+ j ψn j+ ψn j (34) 2 x = πj n + 2 x (ψn j+ ψj ), n donde se ha supueso que y x son pequeños. Una expresión similar se encuenra para la evolución de ψ a parir de (24). Para conocer el valor π( n+, x j ) es necesario conocer los valores de ψ en los punos vecinos ( n, x j+ ), ( n, x j ) y el valor de π en ( n, x j ). Tal discreización se conoce como hacia delane en el iempo y cenrada en el espacio (FTCS); la molécula usada para consruir daos al iempo n + se muesra en la Figura 8. Se raa de una discreización ilusraiva y fácil de implemenar, pero inesable. Ese hecho muesra que la discreización por si sola no basa para calcular la solución del problema y en el presene caso es necesario recurrir a algorimos mas elaborados. Sin emabrgo la discreización en ese ejemplo ilusra el méodo que es esable y muy poderoso: el méodo de líneas (MoL). En el concepo de MoL se supone que para cada j la EDP saisface una ecuación diferencial ordinaria (EDO) a lo largo de las líneas vericales en el plano x según se ilusra en la Figura 8. Con esa información en mene, basa con escribir (34) en forma semidiscrea, o sea, se escribe la derivada respeco al iempo como una operación coninua y el reso de la ecuación en su versión discrea, y después inegrar en el iempo π. Enonces basa con un inegrador de EDOs para evolucionar daos de un iempo al siguiene. Se elige dicho inegrador en érminos de la precisión deseada, la disipación que inroduce en los cálculos y sus propiedades de esabilidad, lo que implica resricciones en el valor del facor de Couran / x (para aprender más acerca de las propiedades y esabilidad de los algorimos de evolución conviene revisar las referencias [5, 9]). Para obener los resulados de ese manuscrio se ha usado un algorimo Runge-Kua de ercer orden. Así pues, la función f saisface una ecuación del ipo f = S, donde S es la pare derecha de la ecuación de evolución para f y que puede incluir funciones y derivadas de funciones conocidas en su versión discrea. Enonces el algorimo para calcular f n+ en érminos de valores de funciones en el iempo previos se resume así: f = f n + S n, f = 3 4 fn + 4 f + 4 S, f n+ = 3 fn f S. Ese algorimo es usado comunmene porque requiere de res ieraciones solamene, es preciso y esable para valores suficienemene pequeños del facor de Couran. D. Condiciones de fronera Como se puede ver de la ecuación (34) y de la Figura 8, el valor de la variable que se desea acualizar puede calcularse solamene en los punos ineriores del dominio, y no en aquellos localizados en las froneras x, x N ; la razón es que en la pare derecha de π aparece una derivada espacial. Ese no es un obsáculo sino una oporunidad para imponer condiciones de fronera que involucran direvadas espaciales. Como ejemplos de condiciones de fronera para

14 4 j,n+ j,n j,n j+,n FIG. 8: Ilusración de la molécula usada en la consrucción de la solución al iempo n +. Los círculos llenos indican el puno donde se desea calcular el valor de una variable, mienras que los vacíos indican la posición de los punos donde son conocidas las funciones involucradas. la ecuación de onda se consideran nuevamene las periódicas y las de onda saliene. En el caso de las condiciones periódicas se procede de manera análoga a la impleneada en el capíulo anerior, es decir se cambia la opología del dominio finio a la de S. Sin embargo, en el caso de las condiciones de onda saliene, el operador de onda general usado aquí no se facoriza an facilmene como se hizo en (5,6), pues ahora se raa de coordenadas generales. Sin embargo, la descomposición en modos derecho e izquierdo de la solución permien implemenar de manera elegane las condiciones de fronera. La condición en la fronera izquierda consise en la eliminación del modo que viaja hacia la derecha (R = ), lo que significa que no se permie la reflección hacia denro del dominio, y la condición en la fronera derecha consise en eliminar el modo que viaja a la izquierda (L = ). Explíciamene, en la fronera izquierda x se exige 2 (πn + ψ n ) = L 2 (πn ψn ) = R =, (35) cuya solución es π n = ψn = L. De modo equivalene, la condición en la fronera derecha es πn N = R N y ψ n N = R N. El problema se reduce a calcular L, R, L N y R N. Para conocer esos valores basa con hacer una exrapolación usando los punos inernos de la malla. E. Resulados φ Froneras abieras con α=, β= φ Froneras abieras con α=, β= x x.5 FIG. 9: Solución de la ecuación de onda para dos casos. (Izquierda) La ecuación de onda usual; la gaussiana inicial se pare en dos gaussianas de ampliud igual a la miad de la original y mismo ancho, cada una de las cuales viaja hacia las froneras. (Derecha) La ecuación de onda con β =, lo que implica que las coordenadas viajan a la velocidad de propagación de uno de los pulsos.

15 Con odos esos concepos en mene: daos iniciales, un algorimo de evolución para las funciones de un iempo al siguiene, condiciones de fronera y un código que coniene odos esos ingredienes, es posible consruir soluciones de la ecuación de onda bajo disinas condiciones sobre las coordenadas. Aquí, se presenan algunos ejemplos ilusraivos. Nuevamene, se elige el dominio [, ] [, ). En la Figura 9 se presenan dos casos con α =. En el primer caso β =, lo que corresponde al caso usual de la ecuación de onda. De hecho, puede verse que la gaussiana inicial se divide en dos gaussianas pequeñas que llegan a las froneras al mismo iempo (alrededor ). Sin embargo, en el segundo caso β =, eso es, las coordenadas se mueven hacia x > a la velocidad de propagación de la onda; enonces el sisema de coordenadas sigue a uno de los pulsos, lo que en la figura se raduce en un pulso cenrado permanenemene en x = ; el oro pulso alcanza la fronera en la miad del iempo que oma en el caso anerior. Un ejemplo que ilusra el papel del lapso α es el mosrado en la Figura. En al caso el lapso iene el perfil de una función escalón suavizada al que el lapso va de.5 a.. El efeco que produce esa elección es que -siendo α 2 el coeficiene de d 2 - deermina qué an separados se encuenran los niveles de iempo. Por ano, la evolución en la región donde α =.5 (x < ) es más lena que en la región donde α = (x > ). De hecho, en el primer caso al pulso le oma un iempo 2 para llegar a la fronera, mienras que en el segundo caso el pulso llega a la fronera en un iempo. Ese ipo de comporamieno es muy úil en escenarios de Relaividad General. Por ejemplo, cuando se forma un hoyo negro debido al colapso de algún ipo de maeria, lo que se encuenra es que los invarianes geoméricos cominezan a diverger en la región de la singularidad, y por ano una posibilidad para suavizar los efecos de gradienes grandes de funciones consise en elegir una condición de foliación que comprime la separación emporal enre un iempo dado y el siguiene en la región cercana al origen demandando que α en esa región, de modo que la evolución iende a congelarse ahí. 5 Froneras abieras con α=α(x), β= φ x.5 FIG. : La ecuación de onda para el caso β = y α =.25 anh(x) +.75, que es una versión suave de una función escalón que sala de.5 a.. Puede observarse que en la región donde α =.5 (x < ) la onda se propaga con baja velocidad en esas coordenadas (el pulso arda mas en llegar que el pulso en la ora miad del dominio). Eso es así porque se ha usado una foliación con inervalo de iempo.5d de modo que los inervalos de iempo en esa región se encuenran mas cercanos uno al oro, mienras que en la región con x >, para el cual el inervalo de iempo es como en los casos aneriores.d. Como ejemplo final, en la Figura se presena la solución para el caso α = y β = x. En ese caso las coordenadas viajan a la velocidad de la onda en las froneras x = ±, porque en esos dos punos β = ±. Eso implica que las señales nunca llegarán a las froneras numéricas. El efeco es que los pulsos en esas coordenadas se comprimen conforme se acercan a las froneras. Por una pare esa es una venaja, porque no es necesario imponer condiciones de fronera (las señales nunca llegarán a las froneras), y por ora pare, los pulsos esán siendo resuelos con cada vez menos punos del dominio espacial, lo que afeca la precisión de los cálculos. En cualquier caso, ese ejemplo ilusra las posibilidades que se ienen cuando se puede elegir un lapso y un shif. IV. COMENTARIOS FINALES Un puno imporane relacionado con los algorimos es que en los ejemplos desarrollados en ese manuscrio, la resolución en odos los casos es uniforme. Esa condición es suficiene para resolver los casos descrios, pero no necesariamene lo es en casos mas generales. La razón es que cuando las ecuaciones involucran res dimensiones espaciales la memoria de la compuadora se conviere en una limiane. Es enonces necesario opimizarla y hacer

16 6 φ Froneras abieras con α=, β=x x.5 FIG. : Solución para el caso β = x y α =. Debido a que el valor del shif iguala al valor de la velocidad de propagación de la onda en las froneras, las señales nunca llegarán a las froneras. Las gaussianas se comprimen conforme se aproximan a las froneras pues en esa región el dominio físico esa represenado por una región de amaño menor al real..3 =.25 =.5 = =.5 =2. = FIG. 2: Se presena la auoconvergencia de la solución para el caso en que β = x y α =. Para al efeco se usa el resulado (). Para consruir esa gráfica se usan las resoluciones x =.2, x 2 =. y x 3 =.5. La línea coninua corresponde a la resa de solución calculada con x y x 2, mienras que la muesra de punos corresponde a la resa de las soluciones calculadas con x 2 y x 3 muliplicada por 4. De los resulados se iene que los resulados convergen hasa 2, y que a parir de enonces las dos curvas no se superponen, por lo que no se puede confiar en los resulados a parir de enonces pues no convergen. uso de algorimos de refinamieno de mallas que permien asignar memoria solamene en aquellas regiones donde los gradienes de las funciones involucradas en las EDPs son grandes. El elemeno más imporane en los cáculos numéricos basados en la aproximación en diferencias finias es la convergencia a una solución en el coninuo. Sin un crierio de convergencia basa para desechar los resulados de cualquier cálculo. Respeco a la solución de un sisema de primer orden, es imporane ener en cuena la noción de velocidades caracerísicas y modos caracerísicos de propagación. Esos permien enender si un problema de valores iniciales es bien planeado o no, además de la uilidad que ienen para imponer condiciones de fronera correcamene. En ese manuscrio se ha presenado ano la manera más simple de resolver la ecuación de onda usando diferencias

17 7 finias, como la más complea que involucra el análisis caracerísico. Acknowledgmens Al auor agradece q Jesús M. Rueda y a Fabio D. Lora por haber hecho observaciones imporanes que mejoraron el exo. Ese rabajo recibe apoyo parcial de los proyecos CIC-UMSNH-4.9, PROMEP UMICH-CA-22 y CONACyT [] hp:// [2] M. Alcubierre, Inroducion o 3+ Numerical Relaiviy, Oxford Universiy Press, 28. [3] R. Becerril, F. S. Guzmán, A. Rendón-Romero, S. Valdez-Alvarado, Rev. Mex. Fis. E 54 (28) [4] E. F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Mehods for Fluid Dynamics, Springer 999. [5] J. W. Thomas, Numerical Parial Differenial Equaions, Texs in Applied Mahemaics. Springer, 995. [6] B. Gusafsson, H-O. Kreiss, J. Oliger, Time Dependen Problems and Difference Mehods. Wiley-Inerscience, 996. [7] R. J. LeVeque, in Numerical mehods for conservaion laws. Birkhauser, Basel (992). [8] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Waerling and B. P. Flannery, Numerical Recipes in Forran. Cambridge Universiy Press, 992. [9] C. W. Gear, Numerical Iniial Value Problems in Ordinary Differenial Equaions, Prenice-Hall, EUA, 97. V. APÉNDICE A Aquí se presena una prueba de esabilidad para el esquema de discreización (3) y las resricciones del facor CFL. En esa prueba se esudia el crecimieno del error con el iempo. Así a = en x [, N x] se considera que el error en cada puno del dominio espacial es e j = e(j x). Debido a que la aproximación en diferencias finias (3) es lineal basará con calcular la propagación del error para un solo j. Se propone la expresión para el error con propagación exponencial del error al iempo inicial como e n j = eiµj x e νkn = e iµj x ξ n (36) donde para = se iene e j = e iµj x. Se propone ξ = e νk y ν C, lo que permie que si ν es imaginario el error solamene oscilará en el iempo, pero no crecerá, y por el conrario, si ν es real posiivo el esquema el error crecerá exponencialmene. El crierio de esabilidad se reduce a pedir que ξ para un esquema esable. De (3) se iene que el error saisface la misma ecuación que φ, por lo que es úil inroducir la expresión (36) en (3): 2e n j + en j = ρ 2 (e n j+ 2en j + en j ) e iµj x ξ (ξ n 2 + ) ξ = ρ2 (e iν x 2 + e iν x ) e n+ j ξ 2 2ξA + = (37) donde ρ = / x y A = 2ρ 2 sin 2 (ν x/2). Las raíces de dicha ecuación son: ξ + = A+ A 2 y ξ = A A 2. Ahora, A porque para odo valor de ν se cumple 2ρ 2 sin 2 (ν x/2). Se ienen pues dos casos i) A, lo que implica que ξ + = ξ =, y basa para inidicar que el esquema es esable, y ii) A <, lo que implica que ξ >, lo cual basa para que el esquema sea inesable. Enonces hay solamene una condición que se debe cumplir para que el esquema sea esable, A, o sea 2ρ 2 sin 2 (ν x/2), siendo la primera desigualdad la única que implica una resricción sobre el valor en ρ, a saber, para que el esquema se esable es necesario que ρ 2. Finalmene, reomando la noación de la discreización se iene que el facor CFL esá someido a la resricción / x. El lecor puede usar el código para resolver la ecuación de onda con disinos valores del facor CFL y verificar en la prácica esa condición de esabilidad.