9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras.

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1 Hoja de Problemas º Algebra II 9. Hallar u úmero de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Solució: Sea el úmero buscado co a que si o, o seria de cuatro cifras. Teemos que ( ) como < ( ) < ( ) Como todo úmero se puede escribir de la forma, o, etoces el cubo de dicho úmero, es decir, se puede escribir de la forma 9K, 9K, 9K, aplicado el criterio de divisibilidad del 9, se tiee que es de la forma 9K, 9K o 9K, es decir, que tiee que ser el, el 7, el 8 o el 9. Etoces: Este úmero o es solució. 7 9 ( 9 ) 7 Es solució del problema. 8 8 ( 8 ) 8 Es solució del problema (6 8 9) 8 Este úmero o es solució. La solució del problema es: 9 8. Hallar e el sistema de base 9 u úmero formado por tres cifras sigificativas, tal que trasportado al sistema de base se escriba co las tres mismas cifras. Solució: Sea N el úmero buscado, como tiee las tres mismas cifras sigificativas e base 9 e base se tiee que N < 9 69 N 78, o lo que es lo mismo ) N ). Supogamos que N etoces por lo dicho ateriormete se tiee ) que, 8 8. Etoces: a) Si N ) 88 que o tiee solució. /8

2 b) Si N ) 88 8 pero 8 6 < 88 No tiee solució. c) pero co o es múltiplo de 7 No tiee solució. d) Si N 9) dode ha de ser par: para 7 co para para 6 7 que o tiee solució para 68 7 que o tiee solució. e) Si N 9) ( ) tiee que ser múltiplo de teemos:,,,,,, 6,, 8 porque si > 8 f) Si N 9) tiee que ser par, es decir, ( ), pero como es maor que 6 No ha solució. Las solucioes so: Base Base /8

3 . Probar que es múltiplo de 7. Solució: Sea A { / 7k} ι) A? 7 A ιι) Supogamos cierto que A, es decir: 7k Veamos si A, 7k? (7 ) 7 7 ( ) 7 7k 7( k) 7k A A. Los coeficietes de los térmios t, t, t que ocupa los lugares,, e el desarrollo de (a b) está e progresió aritmética. Calcular sabiedo que es meor que 7. Solució: El desarrollo del biomio de Newto para (a b) es (a b) a j b j j Etoces las posicioes, las ocupa los térmios: j t a b ; t a b ; t a b como los coeficietes está e progresió aritmética, se tiee que:!!!!!( )! ( )( )! ( )!( )!!( )! pero multiplicado por ( )!( )!! os queda: ( ) ( )( ) ( ) ( ) /8

4 ( )(-) ( ) ( )( ) ( )( ) ± 96 8 ± 9 pero como < 7. Se coloca al aar bolas e uras. Calcular las probabilidades siguietes: a) de que las uras quede ocupadas b) de que quede ua sola ura vacía Solució: a) El úmero de cosas favorables es! que so las formas diferetes de colocar bolas e uras (permutacioes si repetició de elemetos). Etoces:! P b) El úmero de cosas posibles es que es el úmero de variacioes co repetició de elemetos tomados de e. El úmero de cosas favorables viee dado por: Primero elegimos que uras vamos a dejar vacía etre las que ha esto es. Segudo elegimos que ura va a teer dos bolas, porque las demás va a teer ua, esto es. Tercero elegimos que dos bolas de las que ha vamos a situar e la ura que ( ) tedrá dos bolas, esto es,. Y por último situemos las ( ) bolas restates e las ( ) uras restates ( )! ( ) Etoces las cosas favorables so: ( ) ( )! /8

5 Etoces la probabilidad es: P ( ) ( ) ( )! ( ) ( )! Solucioes:! a) P ( ) ( )! b) P. E u armario ha pares de apatos distitos, es decir, cada par es diferete de los restates pares. Se toma r apatos al aar. Se pide la probabilidad de que etre los apatos elegidos apareca eactamete h pares. Solució: El úmero de casos posibles es elemetos tomados de r e r. que so el úmero de combiacioes de r El úmero de casos favorables viee dado por: Primero elegimos h pares etre los que ha, esto es: h E segudo lugar debemos elegir etre los ( h) pares que queda los r h de h los cuales vamos a sacar u apato de cada uo, esto es: r h Y por último, ha formas de elegir u apato de las dos que ha e cada par, de maera que uca elijamos u par completo. h Etoces ha casos favorables. r h Etoces la probabilidad viee dada por: h r h P r /8

6 6/8. Resolver e 7 el sistema: Solució: ' ' 7 7 ' 8 co 7 6. Demostrar que siedo u úmero etero, la epresió siempre es divisible por. Solució: Sea Vamos a itetar factoriar el umerador a que, si uo de los factores fuese el propio ( ) podríamos simplificar la epresió. ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) etoces ( )( ) ( ).

7 Como queremos demostrar que es divisible por 8, es suficiete que demostremos que es divisible por 8 por. será divisible por ocho, porque como teemos que es u producto de úmero cosecutivos, etoces como míimo dos de ellos so pares, como cada cuatro úmeros ha uo que es divisible por etoces uo de ellos será divisible por el otro al ser par por, etoces es divisible por 8. es divisible por porque cada tres úmeros cosecutivos ha uo que es divisible por es divisible por. es divisible por. 7. a) Sea u úmero racioal, qué codició debe cumplir para que eista sea distitos,,,?. b) Sea e dos úmeros racioales que cumple la codició del apartado a), además las siguietes: <, <. Idicar que úmeros so positivos del cojuto. H,,,,,,, c) Si además se cumple MaH, úmeros del cojuto HU{, -,}. <, ordear de meor a maor los Solució: a) Para que sea distitos, como - debe ocurrir que {}. Pero por otro lado se tiee que si ± {,, } como la solució de este apartado es: {,, } b) Como < además < e tiee distito sigo, a que si o < <. E cocreto < < Se tiee que los elemetos positivos del cojuto H (que los deotaremos como el cojuto H ) será: H {-,,, } 7/8

8 c) Como < co <, se tiee que > - por lo tato < - además MaH > <. Pero al ser MaH >. Por lo tato, el orde de los elemetos es: - < < - < < < < < - < < - < - 8/8

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