INTERESES SIMPLES Y COMPUESTOS

Transcripción

1 INTERESES SIMPLES Y COMPUESTOS En Curso 2 estudiantes son introducidos al interés simple, el interés se paga sólo sobre el importe inicial invertido. La fórmula para el interés simple es: I = Prt y el monto total incluyendo intereses sería: A = P + I. En Curso 3, los estudiantes son introducidos al interés compuesto con la fórmula: A = P(1 + r) n. El interés compuesto se paga tanto en el importe inicial invertido y el interés ganado con anterioridad. Tenga en cuenta que en estas fórmulas, P = capital (importe invertido), r = tasa de interés, t y n ambos representan el número de períodos de tiempo para el que se calcula la cantidad total A y I = intereses devengados. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del texto Core Connections en español, Curso 3. Ejemplo 1 Wayne gana 5.3% de interés simple durante 5 años en $3000. Cuánto interés es lo que gana y cuál es la cantidad total de la cuenta? Ponga los números en la fórmula I = Prt. Cambie el porcentaje a un decimal. Multiplique. Sume principal e interés. I = 3000(5.3%)5 = 3000(0.053)5 = 795 Wayne ganaría $795 en intereses $ $795 = $3795 en la cuenta Ejemplo 2 Use los números en el ejemplo 1 para hallar la cantidad de dinero que Wayne tendría si se ganó el interés de 5.3% anual compuesto. Ponga los números en la fórmula A = P(1 + r) n. Cambie el porcentaje a un decimal. Multiplique. A = 3000( %) 5 = 3000( ) 5 o 3000(1.053) 5 = Wayne tendría $ Se les pide a los alumnos que comparen la diferencia en las ganancias cuando una cantidad se está ganando el interés simple o compuesto. En estos ejemplos, Wayne tendría $88.86 más con el interés compuesto que iba a tener con el interés simple: $ $3795 = $88.86.

2 Problemas Resuelva los siguientes problemas. 1. Tong le prestó $50 a Jody por un mes. Le cobró 5% de interés simple para el mes. Cuánto dinero tiene Jody que pagarle a Tong? 2. Los abuelos de Jessica le dieron $2000 para la universidad para poner en una cuenta de ahorros hasta que ella empiece la universidad en cuatro años. Sus abuelos accedieron a pagarle un 7.5% de interés simple adicional en los $2000 por cada año. Cuánto dinero adicional tendrán que darle sus abuelos al final de cuatro años? 3. David leyó un anuncio ofreciendo % de interés simple en cuentas que tiene más que $500 por un mínimo de 5 años. Él tiene $500 y piensa que esto parece un buen negocio. Cuánto dinero se gana en los 5 años? 4. Los padres de Javier invirtieron una cantidad de dinero cuando él nació. Se ganaron 4.5% de interés simple sobre ese dinero cada año. Cuando Javier tenía 15 años, la cuenta tenía un total de $ de interés pagado. Cuánto invirtieron los padres de Javier cuando nació? 5. Kristina recibió $125 para su cumpleaños. Sus padres le ofrecieron pagarle 3.5% de interés simple anual si ella los ahorrara por lo menos durante un año. Qué interés podría ganar Kristina? 6. Kristina decidió que sería mejor si ella pusiera su dinero en el banco, que pagan intereses de 2.8% compuesto anualmente. Tenía razón? 7. Supongamos que Jessica (del problema 2) hubiera puesto sus $2000 en el banco a un interés del 3.25% anual compuesto. Cuánto dinero le habría ganado allí después de 4 años? 8. Mai puso $4250 en el banco a un interés de 4.4% anual compuesto. Cuánto había en su cuenta después de 7 años? 9. Cuál es la diferencia en la cantidad de dinero en el banco después de cinco años, si se invierte $2500 a un interés del 3.2% anual compuesto, o con un interés del 2.9% anual compuesto? 10. Ronna estaba escuchando a sus padres hablar de que tan buena oferta el interés compuesto era para una cuenta de jubilación. Se preguntó cuánto dinero tendría si ella invirtiera $2000 a los 20 años en el 2.8% de interés compuesto trimestralmente (cuatro veces al año) y lo dejara hasta que llegara a los 65 años. Determine el valor que la capital original de $2000 tendría.

3 Respuestas 1. I = 50(0.05)1 = $2.50; Jody pagó $ I = 2000(0.075)4 = $ I = $500(0.0875)5 = $ $ = x(0.045)15; x = $ I = 125(0.035)1 = $ A = 125( ) 1 = $128.50; No, por un año ella necesita tomar la tasa de interés más alta si se compone anualmente. Sólo después de un año el interés compuesto ganará más que el interés simple. 8. A = 4250( ) 7 = $ A = 2500( ) ( ) 5 = $ $ = $ A = 2000( ) 180 (porque 45 4 = 180 cuartos) = $288,264.15

4 EXPONENTES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA EXPONENTES En la expresión 5 2, 5 es la base y el dos es el 2 es el exponente. Para x a, x es la base y a es el exponente. 5 2 significa 5 5 y 5 3 significa 5 5 5, así que puede escribir (que significa ) o lo puede escribir como: Puede usar el Uno Gigante para encontrar los números en común. Hay dos Unos Gigantes, es decir, 5 5 doble, así que = 5 3 o 125. Escribiéndolo como 5 3 es usualmente suficiente. Cuando hay un variable, se usa de la misma manera. x 7 x 3 significa x x x x x x x x x x. El Uno Gigante aquí es x x (tres de estos). La respuesta es x significa (5 5)(5 5 5), que es 5 5. (5 2 ) 3 significa (5 2 )(5 2 )(5 2 ) o (5 5)(5 5)(5 5), que es 5 6. Cuando el problema tiene variables como x 4 x 5, solamente necesita sumar los exponentes. La respuesta es x 9. Si el problema es (x 4 ) 5 (x 4 al quinto poder) significa x 4 x 4 x 4 x 4 x 4. La respuesta es x 20. En este caso, multiplique los exponentes. Si el problema es x10, reste el exponente de abajo del exponente de arriba (10 4). La x4 respuesta es x 6. También puede tener problemas como x10. Aun debes restar, 10 ( 4) es 14 x 4 y la respuesta es x 14. Tiene que asegurarse de que las bases sean iguales para usar estas reglas. x 5 y 6 no pueden ser más simplificadas. En general las reglas de los exponentes son: x a x b = x (a + b) (x a ) b = x ab x 0 = 1 x n = 1 x n Estas reglas aplican si x 0 e y 0. x a = x(a b) xb (xa y b ) c = x ac y bc Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del texto Core Connections en español, Curso 3.

5 Ejemplos a. x 8 x 7 = x 15 b. x 19 x 13 = x6 c. (z 8 ) 3 = z 24 d. (x 2 y 3 ) 4 = x 8 y 12 e. x 4 x 3 = x7 f. (2x 2 y 3 ) 2 = 4x 4 y 6 g. (3x 2 y 2 ) 3 = 27x 6 y 6 o 27x6 y 6 h. x 8 y 5 z 2 x 3 y 6 z 2 = x5 z 4 y o x 5 y 1 z 4 i. 2 3 = = 1 8 j = 5 2 = = 1 25 Problemas Simplifique cada expresión x 3 x x 10 x 6 5. (53 ) 3 6. (x 4 ) 3 7. (4x 2 y 3 ) (4a 2 b 2 ) (y 2 ) 3 x 5 y 4 z 2 x 4 y 3 z x 6 y 2 z 3 x 2 y 3 z x2 2x (3 1 ) 2 Respuestas x x x x 8 y y 6 o 1 y a 6 b 6 o 64a6 b xy 13. x 8 z 4 y o x 8 y 1 z x

6 NOTACIÓN CIENTÍFICA La notación científica es una manera de escribir números muy grandes y chicos de modo compacto. Se dice que un número está en notación científica cuando está escrito como un producto de dos factores y como descrita a continuación: El primer factor es menor de 10 y mayor que o igual a 1. El segundo factor tiene una base de 10 y un exponente entero (potencia de 10). Los factores están separados por un signo de multiplicación. Un exponente positivo indica un número con un valor absoluto mayor que uno. Un exponente negativo indica un número con un valor absoluto menos que uno. Notación científica Forma estándar ,000,000, Es importante tomar nota que el exponente no necesariamente significa que debes usar este número de ceros. El número significa ,000,000,000. Así, dos de los 11 lugares en la forma estándar del número son el 3 y el 2 en La forma estándar en este caso es 532,000,000,000. En este ejemplo usted va a mover el punto decimal hacia la derecha 11 lugares para hallar la forma estándar. El número significa Usted está moviendo el punto decimal hacia la izquierda 15 lugares para encontrar la forma estándar. Aquí la forma estándar es Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del texto Core Connections en español, Curso 3. Ejemplo 1 Escriba cada número en forma estándar ,000,000 y Cuando toman un número en forma estándar y escribiéndolo en notación científica, recuerde que solamente hay un digito antes del punto decimal, es decir, el número deber estar incluido entre el 1 y el 9 (con los dos incluido).

7 Ejemplo 2 52,050, y El exponente denota el número de lugares que mueve el punto decimal en la forma estándar. En el primer ejemplo arriba, el punto decimal esta al final del número y fue movido 7 lugares. En el segundo ejemplo arriba, el exponente es negativo porque el número original es muy chico, es decir, menos de uno. Problemas Escriba cada número en forma estándar Escriba cada número en notación científica ,000,000, ,600, ,700,000,000,000 Nota: En su calculadora científica, muestra como y son números expresados en notación científica. El primer número significa y el segundo significa La calculadora hace esto porque no hay suficiente espacio en la ventana de muestra para enseñar todo el número. Respuestas ,000,000, ,235,000,