FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

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1 FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Llmmos correspondenci entre dos conjuntos A B culquier form de signr lgunos o todos los elementos de A otros elementos de B. Al conjunto A se le llm conjunto inicil de l correspondenci. Al conjunto B se le llm conjunto finl de l correspondenci. Cd elemento del conjunto A que tiene signdo lguno de B se llm origen. Cd elemento del conjunto B que h sido signdo lguno de A se llm imgen. Ejemplo : Ejemplo : Llmremos función culquier correspondenci estblecid entre dos conjuntos de números de form que cd número del conjunto inicil se le signe uno sólo un número del conjunto finl. Ejemplo : Ejemplo : Ejemplo 3: Regl: cd número se le sign su cudrdo Regl: cd número se le sign su vlor bsoluto Regl: cd origen se le sign su doble ms 3 BLOQUE ANÁLISIS

2 Pr llmr un función se suele empler un letr. Hblmos de ls funciones f,g,h, Pr llmr un origen culquier se utiliz un letr culquier, por ejemplo, l que se le llm vrible independiente. Pr llmr un imgen culquier se utiliz un letr culquier, por ejemplo, l que se llm vrible dependiente. Pr epresr que, en l función f, un número b del conjunto finl es imgen de un número del conjunto inicil, pondremos f()=b, que leeremos f de () igul (b). A veces, l regl de signción de un función puede epresrse medinte un fórmul que nos dice como hllr l imgen f() de un origen culquier. Est fórmul puede epresrse de vris forms: Ejemplo : Ejemplo : Ejemplo 3: f ó f ( ) = ó = g ó g( ) = ó = h + 3 ó h( ) = + 3 ó = + 3 En este cso solo veremos funciones donde los conjuntos inicil finl son conjuntos de números reles. Ests funciones se llmn funciones reles de vrible rel, unque nosotros los llmremos simplemente funciones.. DOMINIO Y RECORRIDO Dd un función f() llmremos dominio suo l conjunto de todos los números reles los que se pueden signr otro número rel medinte l fórmul o regl de signción de us función. Se simboliz Dom(f), que se lee dominio de f. Ejemplos: Si f ( ) Dom( f ) = = { todos los números reles menos el 0 }= { 0} BLOQUE ANÁLISIS

3 Si 3 g( ) = + 5 Dom( g) = + 9 Si h( ) = Dom( h) = { 3, 3} Si r( ) = Dom( r) = { números reles mores o igules que -7 }= =[ 7, + ) Si 5 p( ) = Dom( p) = ( por que tiene ríz impr). Dd un función f ( ) llmremos recorrido suo l conjunto de todos los números reles que son imágenes de lgún otro número rel en es función. Se simboliz Rec(f), que se lee recorrido de f. Ejemplos: Si f ( ) Re c( f ) { = = números reles no negtivos } = + { 0} Si g( ) = Re c( g) = [ 5, + ) Si 4 h( ) = Re c( h) = { 0} Si r( ) = 4 3 Re c( r) = 6 Si p( ) = Re c( p) = { 0} 3. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES REALES 3.. Sum, rest, producto cociente. Por nlogí con los números reles se definen ests operciones entre funciones. Dds ls funciones f g. Llmmos función sum f+g l que cumple (f+g)()=f()+g(); Llmmos función diferenci f-g l que cumple (f-g)()=f()-g(); Llmmos función producto f g l que cumple ( f g)( ) = f ( ) g( ) ; BLOQUE ANÁLISIS 3

4 Llmmos función cociente f g l que cumple f f ( ) ( ) = g g( ) Si f ( ) = + g( ) = : L sum será l función de fórmul: ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) = + + L diferenci será l función de fórmul: ( f g)( ) = f ( ) g( ) = + El producto será l función de formul: ( f g)( ) = f ( ) g( ) = ( + ) f f ( ) ( + ) El cociente será l función de fórmul: ( )( ) = = g g( ) 3.. Composición de funciones. Dds ls funciones f g llmmos f o. función que cumple ( f g )( ) = f ( g( ) ) o g que se lee función compuest con g l Si f ( ) = g( ) = + f o g( ) = f ( g( )) = f ( + ) = + L composición de funciones no es un operción conmuttiv. Así, en el ejemplo nterior: go f ( ) = g( f ( )) = g = + + L función llmd identidd, que tiene de fórmul i( ) l composición de funciones. Es decir f oi = f e io f = f. = hce de elemento neutro de 4. FUNCIÓN INVERSA BLOQUE ANÁLISIS 4

5 Dd un función f ( ) llmmos correspondenci invers su quell que hce corresponder cd número que es imgen en f, su origen. Se simboliz por f. Si entonces Es decir f ( f ( )) = Si en f lgun imgen tiene más de un origen, l correspondenci no será un función. Si en f cd imgen tiene sólo un origen, entonces f f = i o f o f = i f tmbién será función se cumple Ejemplo BLOQUE ANÁLISIS 5

6 Clcul l función invers de l f ( ) = 5.Debe ser f ( f ( )) = = f ( ) 5 = f ( ) 5 f o f = i, es decir + 5 = + f ( ) = 5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. Si, pr cd vlor de l vrible independiente del dominio de un función f, representmos el punto (, f ( )) en un sistem de coordends crtesins, prece un conjunto de puntos que se dice representción gráfic de l función. En ls funciones reles que nosotros vmos estudir estos conjuntos de puntos formn línes diverss. 6. FUNCIONES POLINÓMICAS. Son quells cu fórmul es f ( ) =polinomio en l vrible. Ejemplos: f ( ) = ; = + ; 3 = 3 Su dominio es todo lgunos csos prticulres estudidos en el curso nterior son: 6.. Funciones constntes. Son ls funciones f ( ) f ( ) = 4 ó = 4 = k ó = k Sus gráfics son rects horizontles. 6.. Funciones de proporcionlidd Son ls de fórmul f ( ) f ( ) = 3 ó = 3 = mó = m Sus gráfics son rects que psn por el centro de coordends. Recuerd que el coeficiente m se llm pendiente es l tngente del ángulo que formn l rect con l dirección horizontl hci l derech Funciones fines. BLOQUE ANÁLISIS 6

7 Son ls de fórmuls f ( ) = m + n ó = m + n f ( ) = + ó = + Sus gráfics son rects oblicus que cortn l eje Y en n tiene pendiente m Funciones cudrátics. Son ls de fórmul: f ( ) = + b + c Sus gráfics son prbólics de eje verticl. recordr que: Debe Su vértice está en b = Si es positivo l prábol es cóncv, es decir biert hci rrib. Si es negtivo l prábol es conve, es decir biert hci bjo. f ( ) = ; b 4 = = = Vértice 9 Corte eje 0 5 Corte eje FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. k Son ls de fórmuls f ( ) = ó k =, donde k es un constnte. Y que no podemos dividir por cero Dom( f ) = { 0} L más sencill es k = vmos estudirl con tbls de vlores: Observmos en ls tbls que, l dr vlores próimos cero positivos, los vlores de se hcen cd vez mores. Si son próimos cero pero negtivos l result de vlor bsoluto mu grnde. BLOQUE ANÁLISIS 7

8 Tmbién, l dr vlores grndes positivos negtivos los vlores de se hcen próimos cero. Esto s punt os obte nido s en ls tbl s prod ucen l gráfic djunt. En ell vemos que l gráfic se cerc cd vez más mbos ejes, medid que se lej hci el infinito por el ldo positivo negtivo de los ejes X e Y. Decimos que est gráfic tiene un síntot verticl, que es el eje Y (rect =0) un síntot horizontl, que es el eje X ( rect =0). 8. FUNCIÓN RAIZ CUADRADA. X Y 0,5 0,5 4 0,5 0, 5 0 0, 0, ,0 0, , ,5-0, , -0, ,0-0, ,00-0, ,000 De fórmul f ( ) = + Te hgo notr que de los dos posibles vlores, uno positivo otro negtivo, que puede tomr l ríz cudrd se h elegido quí solo uno. Si no lo hubiérmos hecho, no tendrímos un función, que pr un mismo vlor de (origen) tendrímos dos vlores pes (imágenes). = + = { números positivos el cero } = [ 0, + ) Dom( ) 9. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Ver puntes de trigonometrí. 0. FUNCIONES EXPONECIALES Y ECUACIONES EXPONENCIALES. BLOQUE ANÁLISIS 8

9 0.. Definición propieddes de ls potencis. Definiciones n =... ( n veces) 0 = n = n p q = q p Pr n entero positivo Pr eponentes negtivos Pr eponentes frccionrios Propieddes ( b) n = n b n m n m n = + n = b b m n n n b n m m n = ( ) p b = = n n m p 0.. Funciones eponenciles. Son quells que llevn en su fórmul l vrible independiente en un eponente. Ls más simples son ls de l form =, donde es un constnte positiv. 0.. Funciones = con > Su domino es todo. Como ejemplo, vmos estudir, medinte un tbl, l función = BLOQUE ANÁLISIS 9

10 X Y ,5-0,5-3 0,5-0 0 = = 0, = = 0, Como vemos: Su recorrido es ( 0, + ); L gráfic cort l eje Y en el punto ( 0, ); El vlor de f() crece l crecer l, más lento cunto mor es ; El eje es síntot por l izquierd Funciones = con 0<< Su dominio es todo Como ejemplo, vmos estudir, medinte un tbl, l función = ó = ( ) 0,5 0 0,5 0,5 3 0,5 4 0, , , BLOQUE ANÁLISIS 0

11 Vemos que: Su recorrido es ( 0, + ); L gráfic cort l eje Y en el punto ( 0, ); El vlor de f ( ) decrece l crecer l, más lento cunto mor es ; El eje X es síntot por l derech Ecuciones eponenciles Son ecuciones que llevn l incógnit en un eponente. H lgunos tipos sencillos de ecuciones eponenciles que podemos resolver Ecuciones cuos dos miembros pueden ponerse como un potenci de l mism bse. 4 Ejemplo : = 6 = como tienen igules ls bses, ests dos potencis igules deberán tener igules los eponentes = 4 = 5. Ejemplo : 5 5 = 3 (5 ) 5 = = = 5 3 = 0 =. 3 0 = Ejemplo 3: = = = = BLOQUE ANÁLISIS

12 = = = = = = Ecuciones que se resuelven por cmbio de incógnits. 4 Ejemplo 4: = = 00 (hciendo el cmbio z z 0 = z) + + z = 00 00z + z z = z = z = = 0000 = 4 Ejemplo 5: ( ) ( ) = = = = = 4 3 (3 ) 3 + = 4 3 z z = z + = 4 9z + z = 36 z + 9z 36 = z =... z = ó 3 = 3 = 3 = Sin solución porque 3 siempre es positivo Sistems de ecuciones eponenciles. Ejemplo 6: + 5 = = = 9 hciendo los cmbios = 9 5 z + t = 9 z + t = 9 z + 5t = 9 z + 0t = 8 = z = t z t = 9 restndo mbs ecuciones obtenemos 9t = 9 t = con + z + 0t = 8 l ecución z t = 9tenemos: BLOQUE ANÁLISIS

13 z + t = 9 = 8 = 3 t = 5 = = 0 Ejemplo 7: = 04 0 ( ) ( + ) = = 048 ( ) + = ( ) = 0 = = 0 00 = 99 = = = ; + = = = = = = = ; = LOGARITMOS. FUNCIONES Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS... Concepto de logritmo. Ddo un número positivo M otro número positivo, llmmos logritmo de M en bse l eponente l que h que elevr l bse pr que nos resuelve el número M. Se escribe log M, que se lee logritmo en bse de M. Es decir: log M = t si solo si t = M Ejemplos: log 8 = 3 porque Los logritmos más usdos son: =, log5 = log 0 =, 0 Los logritmos decimles o vulgres, que son los que tienen por bse el número 0 se escribe sí: log M, sin escribir eplícitmente l bse. Tienen un tecl en ls clculdors científics. Los logritmos neperinos o nturles, que son los que tienen por bse el número irrcionl e =,7888.Este número e es de much importnci en Mtemátics estudirs fondo en cursos posteriores. Estos logritmos se escriben ln M, que se lee logritmo neperino de M tmbién vienen en ls clculdors científics. NOTA: Pr = l definición de log M t = t no tiene sentido que = pr todo t... Propieddes de los logritmos. BLOQUE ANÁLISIS 3

14 (I) log 0 = pr culquier bse. Es evidente prtir de l definición. (II) log =. Tmbién es inmedito comprobrlo prtir de l definición. (III) Signo de log M = t + M+ log M = t > > + > < - < > - < < + Pr comprobr los resultdos del cudro djunto, t bst sber que = M tener en cuent ls gráfics de ls funciones eponenciles. (IV) Logritmo del producto El logritmo del product de los números es igul l sum de los logritmos de cd uno de los números. Es decir: log ( M N) = log M + log N Demostrción: t log ( M N) = t = M N t log M = = M = t = + t = + log z N = = N log ( M N) = log M + log N (V)Logritmo del cociente: El logritmo del cociente de dos números es igul l logritmo del dividendo menos el logritmo M del divisor. Es decir: log = log M log N Demostrción: log log log t = t = M M N N M = = M = = t = t t N = = N M log = log M log N N N BLOQUE ANÁLISIS 4

15 (VI) Logritmo de un potenci. El logritmo de un potenci es igul l eponente por el logritmo de l bse. Es decir: log n ( ) M = n log M Demostrción: ( ) n t n log M = t = M t n t n = ( ) = t = n log M = = M n log ( ) M = n log M (VII) Logritmo de un ríz El logritmo de un ríz es igul l logritmo del rdicndo dividido entre el índice ó, lo que es igul, el logritmo de un ríz es igul l inverso del índice múltiplicdo por el logritmo del rdicndo. Es decir: log r M log M = log M = r r Demostrción: log r M ( M ) r = log =(Aplicndo l propiedd (VI))= log M r (VIII) Cmbio de bse: Pr trnsformr logritmos en bse en logritmos de bse b podemos utilizr l fórmul: log M log M = log b Demostrción: log log log b b Ejemplos: t M = t = M t t logb M M = b = M ( b ) = b b = b t = t = log M = log b = b = Cmbio de bse 5 bse log8 log58 = log 5 Cmbio de bse 3 bse 0 log 53 log3 53 = log 3 BLOQUE ANÁLISIS 5

16 Est fórmul del cmbio de bse es útil pr clculr logritmos que no sen de bse 0 ó ó e usndo ls clculdors científics. log 7, log 7 =, 0478 log 5 0, Funciones logrítmics: Son quells en cus fórmuls l vrible independiente viene fectd por logritmos. Ls más útiles son ls fórmuls = log ó f ( ) = log. L función f ( ) = log es invers de l g( ) = que f o g go f resultn ser l función identidd: f og( ) = f ( g( )) = f ( ) = log = log = = f og = id. ^ ( log ) go f ( ) = g( f ( )) = g(log ) = = go f = id. Ls funciones f ( ) = log g( ) = son inverss un de otr:.3. Funciones = log con > Su dominio es + Como ejemplo, vmos estudir, medinte un tbl, l función = log : Y log = 0 BLOQUE ANÁLISIS 6

17 log = ,5 = - 0, 5 4 = El eje Y es síntot por bjo. Vemos que: Su recorrido es todo L gráfic cort el eje X con (,0) El vlor de f ( ) crece l crecer, pero más lentmente cunto mor es.3.. Funciones = log con 0 < < Su dominio es + = (0, + ) Como ejemplo, vmos estudir medinte un tbl, l función = log 0,5 : Y log = 0 0,5 log0,5 = 8 log0,5 8 = 3 0,5 0,5 BLOQUE ANÁLISIS 7

18 0,5 3 Vemos que: Su recorrido es todo L gráfic cort l eje X en (,0) El vlor de f ( ) decrece l crecer más lentmente cunto mor es El eje Y es síntot por rrib..4 Ecuciones logrítmics eponenciles resolubles con logritmos. H lguns ecuciones con logritmos que podemos resolver utilizndo diverss técnics sencills. A veces ls soluciones obtenids no son válids porque l sustituir en l ecución inicil producen logritmos de números negtivos o de cero que, como sbes, no se pueden clculr en. Por esto deberís sustituir pr comprobr l finl de l resolución..4.. Ecuciones que se resuelven consiguiendo que los dos miembros de l ecución prezcn como un solo logritmo de l mism bse. log( + 3) log( + ) = log log = log 3 = + 3 = + 4 = = + + log(55 ) = log 300 log( + ) 300 log(55 ) = log = (55 ) ( + ) = = = ± = =... = 5 BLOQUE ANÁLISIS 8

19 En este cso ls dos soluciones son válids..4.. Ecuciones que se resuelven trnsformándols hst l form: log (epresión)=nº plicndo l definición de logritmo. 5 log 5 log = log ( ) log = 5 log = 5 4 = 6 = 4 6 = ( inválid) log = 5 4 = 5 4 = 3 4 ( ).4.3. Sistem de ecuciones. log log = log log = log log + log = 3 log( ) = 3 log( ) = = = 000 = = 0 = 0 0 = 0 = 0 = Clculndo el vlor de l : = = = = = = (3 ) Solución: = ; = BLOQUE ANÁLISIS 9

20 .4.4. Ecuciones eponenciles resolubles con logritmos. = 7 log( ) = log 7 log = log 7 log 7 =,80735 log = log( ) = log(5 3 ) ( + 5) log = log5 + ( )log3 log + 5log = log 5 + log 3 log 3 log log 3 = 5log log3 + log5 (log log 3) = log5 log 3 5log log 5 log 3 5log, = = 7, 877 log log 3 0, = = = 7 3 ( + 9) = = 7 3 = 0,7 log 3 = log 0,7 log 3 = log 0,7 log 0,7 = 0,347 log3 BLOQUE ANÁLISIS 0

21 FUCIONES ESPECIALES: Función vlor bsoluto: (Recordtorio: En mtemátic, el vlor bsoluto o módulode un número rel es su vlor numérico sin tener en cuent su signo, se este positivo (+) o negtivo (-). Así, por ejemplo, 3 es el vlor bsoluto de 3 de -3.) Ls funciones en vlor bsoluto se trnsformn en funciones trozos, siguiendo los siguientes psos:. Se igul cero l función, sin el vlor bsoluto, se clculn sus ríces.. Se formn intervlos con ls ríces se evlú el signo de cd intervlo. 3. Definimos l función trozos, teniendo en cuent que en los intervlos donde l es negtiv se cmbi el signo de l función. 4 Representmos l función resultnte. D= BLOQUE ANÁLISIS

22 D= Función prte enter de L función prte enter de hce corresponder cd número rel el número entero inmeditmente inferior. f() = E () f() = E() BLOQUE ANÁLISIS

23 f() = - E () f() = - E() f() = + E() f() = + - E() BLOQUE ANÁLISIS 3

24 f() = E() E() BLOQUE ANÁLISIS 4

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