Departamento de Matemática Aplicada a las T.I.C. SOLUCIONES
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- Lorenzo Aguilera Méndez
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1 Departamento de Matemática Aplicada a las T.I.C. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS EAMEN FINAL Otoño 25-6 FECHA: 5 de Enero de 26 Fecha publicación notas: 22 de Enero de 26 Fecha revisión examen: 27 de Enero de 26 APELLIDOS: NOMBRE: DNI: TITULACIÓN: Duración: 3 horas SOLUCIONES Ejercicio punto En una carrera sólo compiten los caballos A, B, C y D y las probabilidades de ganar son P A.2, P B.5, P C. y P D.2. Se realizan tres carreras independientes. a Encuentra la probabilidad de que el mismo caballo gane las tres carreras. Para cada i, 2, 3, sean los sucesos A i el caballo A gana la carrera i-ésima B i el caballo B gana la carrera i-ésima C i el caballo C gana la carrera i-ésima D i el caballo D gana la carrera i-ésima El suceso que el mismo caballo gane las tres carreras, S, se expresa como S {A A 2 A 3, B B 2 B 3, C C 2 C 3, D D 2 D 3 }. Entonces, y puesto que los sucesos considerados son incompatibles dos a dos P S P A A 2 A 3 + P B B 2 B 3 + P C C 2 C 3 + P D D 2 D 3 Por ser las carreras independientes P S P A 3 +P B 3 +P C 3 +P D b Halla la probabilidad de que A, B y C ganen una carrera cada uno. Sea el suceso S A B 2 C 3 que la primera carrera la gane A, la segunda B y la tercera C, por ser las carreras independientes P S P A P B P C El suceso, R, de que A, B y C gane una carrera cada uno son todas las posibles ordenaciones de la terna A, B y C. Por tanto, P R P 3 P S 3!..6
2 Ejercicio 2.5 puntos Una agencia inmobiliaria dedicada a la venta de apartamentos en la costa ha realizado un estudio de ventas, comprobando que solo el 5 % de las visitas que ven el piso piloto compran un apartamento. Todas las visitas se consideran independientes. Se pide: a Calcular la probabilidad de que tenga que recibir visitas hasta vender un apartamento. Sea el número de visitas hasta vender un apartamento, es Gp.5 P p q 9.35 b Calcular la probabilidad de que tenga que recibir visitas hasta vender dos apartamentos. Sea Z el número de visitas hasta vender dos apartamentos, Z es BNk 2, p.5 9 P Z p 2 q c Si se han tenido que recibir visitas para vender 2 apartamentos. Cuál es la probabilidad de que las 3 primeras visitas no efectuaran ninguna compra? Equivale a que las tres primeras han sido fracasos y en las siete restantes dos éxitos siendo uno de ellos la última visita es decir Ejercicio 3 punto P Z > 3 sin éxito en las tres primeras Z 6 q q q p 2 q 5 6 P Z 9 Sea una variable aleatoria con la siguiente función de densidad 6 x + k si x k fx en el resto a Halla el valor de k. Imponemos que sea P k k 6 x + k dx 3 x 2 + k x k 3 k2 + k 2 4 k 2 k 2 4 k ± 2 Solo nos vale la solución k, porque k debe ser mayor que cero. 2 b Calcula P.2.6. P x dx + dx x 2 + x
3 c Halla la media y la desviación típica de la variable aleatoria Y 2 +. Por la propiedad lineal del operador esperanza, E[Y ] E[2 + ] 2E[] +. E[].5 x 6 x + 2 dx 2x3 + x2 4 Así, E[Y ] 2E[] V ar[y ] 4 V ar[] 4 E[ 2 ] E[] 2 4 E[ 2 ] E[ 2 ] x 2 6 x + dx 6x x Por tanto, V ar[y ] 4 E[ 2 ] Con lo que la desviación típica de Y es σ Y + V ar[y ] Ejercicio 4.5 puntos Se lanza un dado y se definen las variables aleatorias { si el resultado es par si el resultado es impar si el resultado es menor o igual que 3 Y si el resultado es 4 2 si el resultado es 5 ó 6 a Calcula la función de probabilidad conjunta de, Y. Los posibles resultados del dado, junto con los valores de las v.a. son: Dado Y Teniendo en cuenta que cada resultado al lanzar el dado tiene probabilidad, podemos escribir 6 la función de probabilidad conjunta de, Y Y /6 /3 /6 2 /6 /6 3
4 b Estudia si e Y son independientes. Las variables e Y no son independientes porque no se verifica la igualdad P i, Y j P i P Y j para todos los valores i, ; j,, 2. Por ejemplo, P, Y 6, P 2, P Y 6 y se verifica que c Calcula P Y. d Calcula Cov, Y. 6 P, Y P P Y P Y P, Y Como Cov, Y E[ Y ] E[] E[Y ], calculamos cada término por separado: E[ Y ] i,j i j P i, Y j E[] i E[Y ] j Entonces, Cov, Y i P i 2 2 j P Y j Ejercicio 5.5 puntos Sean, Y y N tres variables aleatorias que verifican Y + N, donde es la señal emitida, Y es la señal observada y N es un ruido. Se sabe que y N son variables aleatorias independientes y que, Nµ, σ, N Nµ N, σ N, con σ σ N a Obtén la distribución conjunta de, Y. Por ser y N variables aleatorias normales independientes, es N N 2 µ µ N, σ 2 N Como Y + N N 4
5 se verifica que + N N 2 µ µ N, σ 2 N Esto es, + N N 2 µ µ + µ N, σ2 + σ2 N b Calcula el coeficiente de correlación entre e Y en términos de σ y σ N. ρ, Y Cov, Y σ σ Y σ + σ2 N σ σ 2 + σ2 N c Expresa el coeficiente de correlación entre e Y en función del cociente señal-ruido σ /σ N. ρ, Y σ σ 2 + σ2 N + σ2 N + σn σ σ /σ N d Cuando la varianza del ruido es despreciable frente a la varianza de la señal emitida, qué ocurre con el valor del coeficiente de correlación? Interpreta esto en términos de la relación lineal entre e Y. Cuando σ N <<<<< σ se verifica que ρ, Y está próximo a y la relación lineal entre la señal emitida y la observada es grande. Ejercicio 6 punto Una variable aleatoria depende de un parámetro desconocido θ y se sabe que el estadístico T θ se distribuye como una normal de media y varianza. Halla un intervalo n de confianza para θ, con nivel de confianza del 9 %, siendo, 2, 4, 6, 8 y 2 una muestra de. n 6 T θ N,. n Por ser el nivel de confianza.9 α α.5. Los cuantiles.5 y.95 de una distribución 2 normal de media y varianza son.64 y.64, respectivamente. Entonces,.9 P.64 θ.64 6 P 6.64 θ Media{, 2, 4, 6, 8, 2} 5 x, por tanto I.C..9 θ 5 ± ± ,
6 Ejercicio 7 punto Se miden los tiempos de reacción, en milisegundos, de 7 sensores frente al estímulo correspondiente y se obtienen unos valores de x y s Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye normalmente, determina un intervalo de confianza para la varianza con un nivel de confianza del 9 %. Nota Sea Y una variable aleatoria con distribución χ 2 con 6 grados de libertad. La siguiente tabla muestra los valores de su función de distribución en diferentes abcisas y P Y y El intervalo de confianza para la varianza de una distribución normal, con un nivel de confianza del 9 %, viene dado por: s 2 n q.95, s 2 n q.5 donde q.5 y q.95 son los cuantiles de orden.5 y.95 de una distribución χ 2 6. Por lo tanto, el intervalo de confianza pedido es: , , Ejercicio 8.5 puntos Sea una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo, y sea el proceso estocástico Y t 2t, t. a Calcula E[Y t] y R Y t, t + τ. La función de densidad de la variable es si x fx en el resto Entonces, E[Y t] E[ 2t ] x 2t dx x2t+ 2t + 2t +. R Y t, t + τ E[Y t Y t + τ] E[ 2t 2t+τ ] E[ 4t+2τ ] 4t + 2τ + x4t+2τ+ 4t + 2τ +. x 4t+2τ dx 6
7 b Calcula V ar[y t]. Es Y t estacionario en sentido amplio? Como V ar[y t] R Y t, t E[Y t] 2 simplemente sustituyendo los resultados del apartado anterior tenemos que V ar[y t] 2 4t + 2t + El proceso Y t no es estacionario en sentido amplio puesto que tanto E[Y t] como la función de autocorrelación del proceso dependen de t. c Calcula P Y 2 6. P Y 2 6 P 4 6 P 2 P 2 2 d Analiza si es estacionario en sentido amplio el proceso aleatorio Zt Y t + Y t dx 2. Y t +. Y t El proceso Zt se puede expresar como Zt 2. Entonces, µ Z E[ 2 ] x 2 dx x R Z t, t + τ E[Zt Zt + τ] E[ 2 2 ] E[ 4 ] x 4 dx x El proceso Zt es estacionario en sentido amplío porque tanto la media, como la función de autocorrelación, no dependen del instante t. 2t+ 2t 7
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