Departamento Administrativo Nacional de Estadística

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1 Departamento Admnstratvo Naconal de Estadístca Dreccón de Censos Demografía METODOLOGIA ESTIMACIONES Y PROYECCIONES DE POBLACIÓN, POR ÁREA, SEXO Y EDAD PARA LOS DOMINIOS DE LA GRAN ENCUESTA INTEGRADA DE HOGARES ( ) Julo de 2008

2 Contendo INTRODUCCION 3 I. PROYECCIONES DE POBLACIÓN POR ÁREA, EDAD Y SEXO, A NIVEL NACIONAL MODELO DE AREAS MAYORES.. PROYECCIÓN DE LA POBLACIÓN POR SEXO Y GRUPOS QUINQUENALES DEL RESTO NACIONAL 6..2 ESTIMACIÓN DE LA FECUNDIDAD PARA EL RESTO NACIONAL 6..3 ESTIMACIÓN DEL SALDO NETO MIGRATORIO TOTAL DEL RESTO NACIONAL 7..4 ESTIMACIÓN DE LA MORTALIDAD PARA EL RESTO NACIONAL 7 II. PROYECCIONES DE POBLACIÓN POR ÁREA, EDAD Y SEXO, A NIVEL DEPARTAMENTAL III. PROYECCIONES DE POBLACIÓN POR ÁREA, EDAD Y SEXO, A NIVEL MUNICIPAL IV- ESTIMACION DE LA POBLACIÓN POR ÁREA, EDAD Y SEXO, PARA LOS DOMINIOS DE LA GEIH,

3 INTRODUCCION Los resultados del Censo 200 evdencan una dnámca demográfca dferente a la consderada en las últmas proeccones, en cada uno de los entes terrtorales, lo cual se refleja en la dstrbucón espacal de la poblacón, su estructura etárea, dstrbucón por seo en los prncpales ndcadores determnantes de la dnámca poblaconal. Por tener dcos cambos, efectos sobre la dstrbucón espacal de la poblacón sus estructuras, es básco consderarlos en los procesos de epansón que se llevan a cabo en la Gran Encuesta Integrada de Hogares. Bajo este conteto, las proeccones de poblacón deben garantzar la coerenca de las estmacones entre los nveles naconal, departamental muncpal consderando el uso de esta nformacón en la decsón de polítca públca sobre dstrbucón de recursos de nversón sectoral, evaluacón de polítca en salud educacón, así como en la parte laboral. Por todo lo anteror, el DANE a mplementado una sere de adecuacones metodológcas para la elaboracón de las proeccones, con el fn de garantzar la maor robustez técnca en los modelos de acuerdo con los nveles terrtorales, dado que a medda que el nvel de desagregacón es menor, los nsumos de nformacón dsponbles, presentan defcencas en su caldad. En este orden de deas, en éste documento se detalla la nueva metodología utlzada para obtener los nsumos de poblacón por quncenas, para el perodo desagregados por seo, edad a nvel total, cabecera resto de cada uno de los domnos de la encuesta. Este modelo metodológco garantza la coerenca de las estructuras poblaconales de dcos domnos, con los nveles departamental naconal a publcados por el DANE. 3

4 I. PROYECCIONES DE POBLACIÓN POR ÁREA, EDAD Y SEXO, A NIVEL NACIONAL Como resultado de la evaluacón del Método de Coortes aplcado para obtener las proeccones de las cabeceras departamentales por dferenca las del resto, se encontró que éstas últmas en varos departamentos Bogotá mostraban unas dstrbucones no compatbles desde el punto de vsta de tendencas demográfcas para los perodos fnales de la proeccón. Por este motvo, se planteó un nuevo proceso que consste en proectar el área resto por Coortes obtener la cabecera por dferenca. Para realzar lo anteror, se requere obtener como nsumo para el nvel naconal las tasas globales específcas de fecunddad, así como la relacón de sobrevvenca al nacer. Consderando la falta de nformacón para construr tablas de vda para ésta área, se utlzó un modelo demográfco denomnado de Áreas Maores que permte estmar por dferencas de dos áreas jerárqucas maores proectadas por componentes, en éste caso total cabecera, las componentes demográfcas del área resto por lo tanto la estructura por edad seo calbrada para proectar por Coortes el resto de cada departamento. Como se ndca, el total naconal se proectó por el Método de las Componentes, resultados que se utlzan en la aplcacón de la metodología propuesta. Para el caso de la cabecera a nvel naconal, tambén se utlzó la msma metodología, lo cual permte obtener los resultados de los ndcadores demográfcos que se presentan en la tabla. Tabla No. Colomba Cabecera: Prncpales Indcadores Demográfcos TASAS MEDIAS ANUALES TASAS IMPLICITAS DE CRECIMIENTO (%) ( POR MIL ) NUMERO ESTIMADO DE MIGRANTES NETOS PERIODO EXPONENCIAL GEOMETRICO CRECIMIENTO BRUTA BRUTA TASA NATURAL NATALIDAD MORTALIDAD NACIMIENTOS DEFUNCIONES TOTAL (POR MIL) ,03,764 90,36 33, ,094,9 93,86 3, ,23,44 998, ,03.49 Para los aspectos metodológcos ver: DANE, Proeccones naconales departamentales de poblacón Septembre de

5 TASAS DE TASAS DE FECUNDIDAD EDAD MEDIA DE REPRODUCCION (POR,000 MUJERES) LA FECUNDIDAD AÑO BRUTO NETO GLOBAL GENERAL (AÑOS) ESPERANZA DE VIDA AL NACER TASA DEFUNCIONES (A Ñ O S) MORTALIDAD AÑOS HOMBRES MUJERES TOTAL INFANTIL EDAD 0 EDAD 0-4 EDAD ,22 49,879 3, ,33 44,73, ,40 39, Fuente: Censo 200. Estmacón a través del Paquete PRODEM Tenendo en cuenta los resultados naconales, así como los presentados en la tabla anteror, se aplcó el Modelo de Áreas Maores para obtener los ndcadores demográfcos la estructura etárea del área resto. Los aspectos metodológcos de éste modelo se presenta a contnuacón.. MODELO DE AREAS MAYORES Es un método demográfco que requere dsponer de las proeccones de dos áreas jerárqucas maores obtendas por el método de las componentes, para lo cual se utlza el paquete PRODEM (Nacones Undas:982). El objetvo de este proceso es obtener por dferenca el Resto Naconal, para lo cual se requere tener los sguentes nsumos:. Las proeccones por seo edad del perodo por componentes total naconal, cuos resultados corresponden a los obtendos en la prmera fase del proceso (DANE: 2007). Para efectos de este procedmento, se denomna Área Geográfca del Nvel Jerárquco Superor la cual se denota con la sgla JS. Se debe ngresar los resultados de PRODEM en un arcvo ndependente, los cuales durante el proceso la aplcacón toma los nsumos necesaros. 2. Los nsumos para la cabecera naconal (200), se organzaron por edad seo, así como los nveles estructuras de las componentes de fecunddad, mortaldad mgracón para aplcar el método de las componentes

6 obtener los nsumos requerdos por el modelo del Área Maor que denotaremos como AM. Para éste proceso se aplcaron los msmos nstrumentos metodológcos computaconales utlzados en la proeccón del total naconal. Los componentes del crecmento demográfco para el Resto Naconal, se obtenen por dferenca de los nsumos anterores, utlzando los algortmos que a contnuacón se eplcan:.. Proeccón de la poblacón por seo grupos qunquenales del Resto Naconal Se obtene por dferenca entre la poblacón del nvel Jerárquco Superor (NJS) la del Área Maor (NAM) para el msmo grupo qunquenal de edades seo en el nstante es decr: NR seo, t Seo, t Seo, t, NJS, NAM,..2 Estmacón de la fecunddad para el Resto Naconal Para la obtencón de las TGF las Específcas parar cada qunqueno de la proeccón, se deben estmar en prmer lugar los nacmentos por edad de la madre del resto (BR) para cada grupo de edad entre 49 años, medante la sguente epresón: BR t, [ fjs t, * ( NFJS t, NFJS t, ) fam 2 t, * ( NFAM t, NFAM t, )] Entonces las tasas específcas de fecunddad se obtene como: far t, [ [ * t 2*( NFR BR, t, ] NFR t, )] TGF t t 20 4 t 2000 far t, 6

7 Con. far t, t fjs t, Tasas de fecunddad del Total Naconal Tasas de fecunddad del Resto Naconal NFJS, Poblacón femenna meda en edad fértl del Total Naconal NFAM, poblacón femenna meda en edad fértl de la Cabecera Naconal t Evaluada la estructura de la fecunddad resultante, se encontró que su tendenca es completamente ncoerente. Por lo tanto, se realzó un ajuste tenendo en cuenta las estructuras modelo de fecunddad de Nacones Undas (Nacones Undas: 96). El resultado del proceso determnó que para el Resto de Colomba, la estructura que mejor se adapta es la de alta fecunddad, tpo A, tenendo en cuenta la coerenca con la estructura total encontrada en las proeccones por componentes de éste nvel...3 Estmacón del Saldo Neto Mgratoro Total del Resto Naconal Para la proeccón de cabecera naconal, se realzó la estmacón del componente de mgracón nterna con el fn de obtener el saldo neto mgratoro total, es decr nternaconal más nterno. Esto permte que la mgracón de resto contenga el efecto de la emgracón nterna aca cabecera, con lo cual se puede obtener el saldo neto mgratoro de la sguente forma: SNMR t t, SNMJS, SNMAM t,..4 Estmacón de la mortaldad para el Resto Naconal El modelo estma en prmer lugar la relacones de sobrevvenca luego calcula en funcón de éstas otros ndcadores como la esperanza de vda al nacer por seo total. La relacón de sobrevvenca por seo edad, a partr de los años de edad se obtene medante la epresón: PR t, NR t, SNMR NR t, t, Para el caso del grupo 0 a 4 años, se estma la sobrevvenca al nacer que aplcada a los nacmentos permte estmar la poblacón de dco grupo. Esta relacón se obtene de la sguente forma: 7

8 NR t t 0,6 PR b t BR SNMR t 0,4 II. PROYECCIONES DE POBLACIÓN POR ÁREA, EDAD Y SEXO, A NIVEL DEPARTAMENTAL Tenendo en cuenta la nestabldad del área resto en la maoría de los departamentos, cuando se obtenen por dferenca entre el total conclado la cabecera obtenda por el Método de Coortes, se cambó el proceso de estmacón. Este cambo consste en obtener prmero por el Método de Coortes 2 la parte resto de cada departamento a partr de los nsumos naconales como teco, con lo cual se tene en cuenta de acuerdo con las estructuras calbradas de los censos , cua combnacón permte consderar la dnámca dferencal estente en cada resto departamental; la cabecera se obtene por dferenca garantzando la calbracón al total muncpal generando un proceso fnal de calbracón parar garantzar que la sumatora de muncpos por departamento sea gual al total departamental defndo. Como resultado del análss de los resultados al aplcar el Método de Coortes en el área resto departamental, fue necesaro ajustar los factores K de crecmento de cada coorte seo, con lo cual se obtuvo la tendenca nvel más coerente para cada una de las coortes por seo, por lo tanto los ndcadores demográfcos adecuados para el perodo de proeccón que para este nveles corresponde al ntervalo Para elaborar las proeccones cabecera-resto departamentales se utlzó el aplcatvo PeqAr desarrollado por el Insttuto Braslero de geografía Estadístca IBGE, el cual recoge la metodología de relacón de coortes adconalmente, permte la obtencón de edades smples por seo para cada área proectada. Los nsumos requerdos en este proceso son: Relacones de sobrevvenca al nacer, tasas específcas de fecunddad Proeccones de cabecera resto naconales las estructuras censales ajustadas por área Es mportante señalar que para la obtencón del área geográfca resto, por ser más pequeña que las de la cabecera más volátl se realzó por el Método de Coortes con el fn de garantzar la coerenca de las estructuras de cada departamento con el naconal. La obtencón de cabecera se zo restándole a la 2 DANE. Proeccones Muncpales Cabecera-Resto por seo edad Captulo

9 estructura total el valor proectado de resto; asmsmo, lo que se obtuvo con PeqAr fue prncpalmente las estructuras en térmnos porcentuales a que los totales de poblacón estaban calculados con anterordad. Las dferencas resultantes entre la suma de los departamentos el naconal fueron dstrbudas proporconalmente al tamaño de cada departamento. Entre los nstrumentos utlzados en esta etapa se tenen la plantlla desarrollada en Ecel llamadas 00 Naconal resto área menor.ls, la cual permte analzar dar parámetros para los ajustes de las saldas del programa PeqAr (factor K), asmsmo, admte la mputacón de estas estructuras coerentes a los nveles de poblacón preestablecdos. Entre los crteros para evaluar la consstenca de estos resultados se tenen prámdes de poblacón, índces de masculndad, % de grandes grupos de edad, relacones de dependenca, relacón nños mujeres, entre otros. El proceso de mputacón de estructuras a los nveles a defndos se aplca de la sguente manera: Se calculan los coefcentes de ajuste Coef para cada grupo de edad dvdendo el valor de cada grupo de edad por la suma de todos los grupos de tal manera que la suma de estos coefcentes sempre es gual a, garantzando que dcos nveles a defndos sempre se respetan. Una vez calculados esos coefcentes, se multplcan por el nvel a establecdo quedando así la msma estructura de poblacón obtenda con PeqAr, pero ajustado al nvel prevamente calculado publcado. GE De forma general se puede epresar que el coefcente de ajuste se calcula así: 200 Coef ( GE ) mas 200 ( GE ) 80 X 04 donde: Coef es el coefcente de ajuste para la edad 200 ( ) GE es el grupo de edad resultante del modelo PeqAr (relacón de coortes) 80 mas 200 ( GE ) X 04 es la suma de todos los grupos de edad obtendo de PeqAr La estructura ajustada con nveles predefndos se obtene con el algortmo 9

10 200 GE Coef * Nv_ pred 200 en donde 200 GE es el grupo de edad ajustado, acorde con los nveles defndos con anterordad Nv_ pred es el nvel prevamente calculado o teco muncpal 0

11 Fgura. Vsta de la oja consulta de la plantlla 00 Naconal resto área menor.ls,

12 III. PROYECCIONES DE POBLACIÓN POR ÁREA, EDAD Y SEXO, A NIVEL MUNICIPAL Para la elaboracón de las proeccones muncpales por área, no se cuenta con los nsumos necesaros para utlzar el método de los componentes n el de relacón de coortes, lo cual mplcó desarrollar una estructura teórca cabecera resto 2020, tenendo como elementos las proeccones departamentales cabecera resto para el 2020 las proeccones de poblacón por grupos de edad para los muncpos total Esta etapa se puede dvdr en tres sub etapas, a saber: a. Estmacón de estructuras cabecera - resto 200. Para este proceso se tuvo en cuenta las estructuras censales por área, se zo un proceso de suavzacón de índces de masculndad de la cabecera, el resto se calculó por dferenca entre el total muncpal la cabecera. En esta sub etapa se utlzó la plantlla Estmacón Cabecera Conclada Muncpos v3 Ecel2003 (con deptos modf).ls, en donde es posble ajustar en las cabeceras cada grupo de edad seo de manera que se pueden obtener estructuras coerentes demográfcamente de acuerdo con ndcadores tales como índce de masculndad, Índce de Nacones Undas entre otros. Una vez alladas estas estructuras es necesaro dstrbur las dferencas resultantes de la suma muncpal por edades el departamento de manera proporconal al tamaño de cada muncpo. En esta parte se recurró a la plantlla Tabla Calbre prorrateo.ls, la flosofía de esta es bastante smple: Al selecconar el departamento a calbrar, aparecen todos los muncpos que lo conforman con sus respectvas estructuras de poblacón por grupos de edad seo; aparecen las dferencas (suma muncpos menos conclado departamental) a dstrbur entre todos de manera proporconal a su peso dentro de su respectvo grupo, se mnmzan dcas dferencas se utlza al fnal un comodín el cual va a absorberlas cudando de no alterar su estructura orgnal. El resultado son estructuras de poblacón por grupos de edad total, cabecera resto armonzadas con los valores departamentales. 2

13 Fgura 2. Vsta de la oja prámdes de la plantlla Estmacón Cabecera Conclada Muncpos v3 Ecel2003 (con deptos modf).ls, 3

14 El prorrateo tene como fn elmnar las dferencas estentes al sumar todos los muncpos con sus respectvos grupos de edad compararlos con la correspondente estructura departamental al cual pertenecen esos muncpos. Este algortmo se puede formular a través de la epresón Δ GE depto GE 200 _ donde: Δ es la dferenca del grupo de edad departamental la suma de ese msmo grupo de todos los muncpos. 200 GE depto es el grupo de edad del departamento _ GE es la suma de todos los muncpos del grupo de edad. Δ Cuando >0, sgnfca que los muncpos están subvalorados en el grupo de edad, por lo tanto, esas dferencas se deben sumar de manera proporconal al tamaño de cada muncpo, en el caso contraro (dferencas <0), se deben restar a que estos grupos de edad están sobrevalorados. La proporcón para redstrbur esas dferencas es la msma partcpacón o peso relatvo del grupo de edad del muncpo n, sobre la suma de ese grupo de edad de todos los muncpos que pertenecen al departamento, es decr: Peso_ % ( GE ) n Peso _% ( GE ) Donde es la partcpacón del grupo de edad del muncpo respecto a la suma de todos grupos de edad de todos los muncpos que componen un departamento es el grupo de edad del muncpo n, ( GE ) n ( asta n GE ) es la suma de todos los grupos de edad de los muncpo de Una vez allada esa proporcón, se multplca por Δ Δ _ aj GE Peso _% * ( GE_aj ( >0) o restado ( <0) al grupo de edad del muncpo. ( ) ( ) ( Δ GE ) ) es el grupo de edad ajustado del muncpo. Δ, cuo resultado es sumado, tenendo en cuenta que 4

15 Fgura 3. Vsta de la oja consulta de la plantlla Tabla calbre prorrateor.ls,

16 b. Estmacón de la estructura teórca Con las estructuras calbradas cabecera resto 200, la proeccón de poblacón por grupos de edad seo departamental 2020 muncpal total, por seo edad 2020, se procede a estmar una posble estructura de cabecera para este últmo año, tenendo como supuesto que las proporcones del resto de los muncpos guardan la msma relacón del departamento. De manera formal, se puede epresar que la estructura teórca para el año 2020 se efectúa a partr del algortmo: MN ( MN * DP ) DP 200 Donde: 2020 MN es el grupo de edad teórco del año 2020 de la cabecera muncpal 200 MN Es el grupo de edad de la cabecera muncpal en el DP Es el grupo de edad de la cabecera departamental del DP Es el grupo de edad de la cabecera departamental del 200 Una vez calculadas estas estructuras se calbran para que la suma de los muncpos por grupos de edad seo concda con la estructura departamental del área respectva. Para este proceso se contó con la plantlla Proeccones Cabecera-Resto Estructura Teórca 2020.ls, la cual efectúa de manera automátca los cálculos descrtos para cada muncpo departamento. 6

17 Fgura 4. Vsta de la oja etapa 2 de la plantlla Proeccones Cabecera-Resto Estructura Teórca

18 c. Interpolacón de las estructuras cabecera resto Una vez fnalzadas las sub etapas anterores, tenemos estructuras cabecera resto , quedando faltantes los datos para el 2006 asta el 209. Este problema se solucona medante nterpolacón lneal por mínmos cuadrados ordnaros - MCO. La forma lneal generalmente se representa medante la ecuacón ab en donde a es la línea que nterseca el eje en el plano cartesano b es la pendente de la recta. Tanto a como b se calculan a través de las ecuacones de regresón por mínmos cuadrados ordnaros. ( )( ) ( ) b 2 a b En donde: varable ndependente (se tomaron los años a nterpolar) t varable dependente (son los grupos de edad para el año t ) son las medas correspondentes de é MN En esta etapa, se utlzó la plantlla modelo ajuste MCO.ls, en donde se puede de manera automátca acer la nterpolacón con la metodología atrás descrta, para cada muncpo por separado en todos los departamentos. 8

19 Fgura. Vsta de la plantlla modelo ajuste MCO.ls 9

20 Una vez termnada la nterpolacón se procedó a garantzar que la suma por edades seo concdera con los respectvos valores departamentales, en caso que esto no sucedera, se dstrbuían las dferencas proporconalmente al tamaño del muncpo dentro del total departamental 20

21 IV- ESTIMACION DE LA POBLACIÓN POR ÁREA, EDAD Y SEXO, PARA LOS DOMINIOS DE LA GEIH, El objetvo fundamental de este proceso es obtener las estmacones que requere de poblacón, la Gran Encuesta Integrada de Hogares GEIH, para realzar los procesos de epansón tenendo en cuenta las nuevas tendencas determnadas por los resultados del censo 200. Este proceso, requró la mplementacón de tres fases fundamentales. La prmera consstó en realzar la calbracón del pvote correspondente al censo de 993 a nvel cabecera resto; la segunda, la realzacón de una nterpolacón lneal por mínmos cuadrados ordnaros MCO la tercera, la quncenalzacón del perodo , para cada uno de los domnos de la encuesta. Fase: Calbracón estructuras cabecera resto censo 993. Para realzar este proceso se realza una omologacón de cada muncpo con el año 200 consderando que en el transcurso del perodo ntercensal se an creado varos muncpos, lo cual requere garantzar la comparacón tanto de nveles como de estructura en el área resto del muncpo segregante. Una vez defnda esta omologacón entre la geografía de 200 con la omologada 993, se realza el proceso de calbracón de la estructura de las áreas cabecera - resto de cada uno de los muncpos, con ecepcón del grupo amazonas que no forma parte del domno de la encuesta, para lo cual se controlan ndcadores como el Índce de Masculndad por Edad, Índce de Nacones Undas como Pro de ajuste de la estructura por edad seo, dstrbucón cabecera resto la coerenca con la estructura del año 200 Para realzar este proceso se utlza la plantlla que aparece en la fgura 6, la cual permte realzar la calbracón utlzando factores dnámcos de ajuste por grupo de edad seo, que en el caso de los domnos de la GEIH, al ajustar el muncpo automátcamente realza un ajuste a la estructura resdual departamental. Esta estructura resdual se obtene como la dferenca entre los muncpos que pertenecen al domno en un departamento la estructura departamental total obtenda por componentes o coortes según sea el caso del tpo de área. 2

22 Fgura. Vsta de la plantlla Estmacón Estructuras Concladas Suavzado Retro GEIH v2.ls CONSULTA DE PIRÁMIDES DEPARTAMENTOS-MUNICIPIOS Las estructuras Concladas para Cabecera Resto son estmadas. Conclada Total provene de estmacón por componentes (Deptos) Coortes (Mpos). Base 0088-Bello Prámde Conclados993 Lsta de muncpos a utlzar Incalzar Contraste 0800-Barranqulla Prámde Conclados200 Todos los muncpos Deptos Modfcar Consulta Bello Barranqulla Total Cabecera Resto Total Cabecera Resto Grupo de Edad Total Hombres Mujeres Total Hombres Mujeres Total Hombres Mujeres Total Hombres Mujeres Total Hombres Mujeres Total Hombres Mujeres Total CONTRASTE PIRÁMIDES TOTAL HOMBRES MUJERES Mu dferentes TOTAL Dferentes CABECERA Ajuste Dnámco Estructura Cabecera RESTO Conclada Modfcar Estructura Conclados200 Gráfcar por área > Resto 7 Gráfcar muncpo > Base Inco Ajuste Fn Ajuste INDICADORES 200 BASE vs CONTRASTE (elegr área) SEGÚN ÁREA (elegr Base o Contraste) 0088-Bello 0800-Barranqul Incremento Cabecera 0.0 Conclados993 Conclados200 Hombres Mujeres Poblacón conclada Total 37,9,46, Cabecera 38,39,42, Resto 3,42 4, % Cabecera % Cabecera Índce de Masculndad Total Cabecera Resto Omsón Censal Total Cabecera Resto INDICE DE NACIONES UNIDAS Total Satsfactoro Satsfactoro 0% 8% 6% 4% 2% 0% 2% 4% 6% 8% 0% 0% 8% 6% 4% 2% 0% 2% 4% 6% 8% 0% Cabecera Satsfactoro Satsfactoro Resto Satsfactoro Satsfactoro Barranqulla Conclados200 Bello Conclados993 Total Cabecera Resto Comparacón Caldad de Prámdes ESTRUCTURA DE EDADES POR SEXO 0088-Bello 0800-Barranqulla Conclados993 Conclados200 Base - Total Base - Cabecera Base - Resto 6.0% % % 40.0% 20.0% % % % 00.0% % % % 3.0% % % % 40.0% 20.0% 20.0% % % Hombres Mujeres IM IM00 Hombres Mujeres IM IM00 Hombres Mujeres IM IM00 Indce de Masculndad (IM) 0088-Bello 0800-Barranqul Contraste - Total Contraste - Cabecera Contraste - Resto Conclados993 Conclados200 Total Total % % % % % % % % % 4.0% % % 3.0%.0% % % 2.0% % %.0%.0% % % 0 0.0% 0 0.0% Hombres Mujeres IM Hombres Mujeres IM Hombres Mujeres IM IM00 IM zq IM00 IM zq IM00 IM zq ESTRUCTURA DE EDADES POR ÁREA %

23 Fase2: Interpolacón Lneal de las Estructuras por Mínmos Cuadrados Ordnaros para cada año del perodo Para realzar este proceso se utlzó el msmo procedmento plantlla mplementada para obtener las estructuras cabecera resto del perodo , el cual esta referdo en el punto c del capítulo anteror. Resultado de este proceso, se obtene entonces las estructuras por edad seo para cada uno de los domnos de la GEIH, las cuales se aplcan a los totales cabecera resto de cada muncpo obtendos en los pasos ncales del proceso de proeccón 3. Fase3: Interpolacón no Lneal de las Estructuras para cada quncena del perodo Dada las característcas de la Encuesta Contnua de Hogares, a través de la cual se estman los prncpales ndcadores del mercado laboral, las estmacones de poblacón por seo, edad área se requeren para cada una de las 24 quncenas de año calendaro en todo el perodo. Un aspecto mportante a tener en cuenta al realzar este proceso, es que al pasar de la quncena 24 del año j a la prmera o la 26 del año (j) se puede regstrar saltos que determnan alteracones en las tendencas de la sere en cada grupo de edad o coorte. Con el fn de mnmzar éste problema de saltos al cambo de año calendaro, se optó por realzar una nterpolacón de todo el perodo medante una Funcón Splnes la cual está formada por varos polnomos, cada uno defndo sobre un subntervalo, que se unen entre sí obedecendo a certas condcones de contnudad, cuos pvotes son las estmacones anualzadas obtendas en la fase anteror. La característca de las funcones que determnan el comportamento de las seres por seo edad, así como los dferencales de áreas determnan funcones dfícles de manejar por lo cual nteresa encontrar una más senclla que corresponda a la sere de datos conocda. Una de las clases de funcones más útles mejor conocdas es la de los polnomos algebracos, es decr el conjunto de funcones de la forma n n 0 P( ) an an K a a0, donde n es un entero no negatvo an, an, K, a, a0 son constantes reales. La nterpolacón polnómca se basa en la susttucón de una funcón o de un conjunto de valores por un polnomo que toma dcos valores. Cuando el número de puntos aumenta, tambén aumenta el grado del polnomo, que se ace más osclante (lo cual se traduce en un aumento de los errores). Un enfoque alternatvo para consegur mejores apromacones polnomales es el uso de polnomos de grado menor en subntervalos. Esta es la base de la nterpolacón con Splnes. La apromacón polnómca por segmentos 3 Los totales cabecera resto para el perodo se obtene medante un modelo logístco. 23

24 más común utlza polnomos de grado tres entre cada par de puntos consecutvos recbe el nombre de Interpolacón de Trazadores Cúbcos o Splnes Cúbcos. El modelo matemátco que permte estructurar este procedmento para quncenalzar las seres de poblacón por seo edad en el perodo esta fundamentado en lo sguente: Dados n puntos a 0 < < < n b, dada una funcón f defnda en [ a, b], una Funcón Splne Cúbca S que nterpola la funcón f, es una funcón que cumple con las sguentes condcones: s ( ) ( ). es un polnomo cúbco denotado por q en el ntervalo [, así: ( ) q ( ) [, ] s, 0,, K, n. en, ] 2. Para que ( ) verfcar: s nterpole en los puntos P, P,,, los q k an de 0 K P n ( ) q q ( ) ( ) 0,, K, n. () 3. En los puntos en común de cada sub-ntervalo se cumple ( ) ( ) b. Los polnomos ( ) a. q q para, K, n (lo que asegura la contnudad) q tenen la msma pendente la msma concavdad en los nodos que los unen, es decr q q ( ) q ( ) ( ) q ( ), K, n. (2) S s ( ) es cúbca a trozos en el ntervalo [, ] 0 n, su dervada segunda ( ) ( s ) (, s ( )) lneal en el msmo ntervalo e nterpola en los puntos ( ) [, ] q ( ) puntos (, s ( )) s ( )), esta dada por: s es, en. Por tanto, es un polnomo de grado uno que nterpola en los (, 24

25 q ( ) s ( )( ) s ( )( ), 0,, K, n. Denotando con s ( ), s ( ), 0, K, n, tenemos, 0, K, n, donde q ( ) ( ) ( ) son constantes. Integrando dos veces:, 0,, K, n, (3) 3 ( ) ( ) 3 q ( ) C 6 6 Donde el térmno lneal se puede escrbr como: D, 0,, K, n, (4) ( ) B ( ) C D A, Donde A B son constantes arbtraras, luego tenemos q ( ) 3 ( ) ( ) A ( ) B ( Aplcando a () las condcones (), obtenemos: ), 0,, K, n, () ( ) 3 2 B 6 6 ( ) B (6) ( ) 3 2 A 6 6 ( ) A (7) Despejando de (6) (7) A B, obtenemos 2

26 6 A 6 B Al reemplazar en () tenemos la ecuacón del Splne A B ( ) q : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q ( ) ( ), 6,,, 0 n K. (8) Dervando en (8) obtenemos: ( ) ( ) ( ) q (9) Aplcando a (9) las condcones (2), obtenemos: ( ) q 6 3 (0) ( ) q 6 3 () Utlzando la condcón de contnudad ( ) ( ) q q, se reemplaza por en () para obtener e gualando a (0) se obtene: ( ) q ( ) 6 2,,, n K. 26

27 La ecuacón anteror, genera un sstema de n ecuacones lneales con n ncógntas,, 0 K, n, lo cual produce un sstema subdetermnado que tene nfntas solucones. Esten varas estrategas para elmnar 0 de la prmera ecuacón n de la ( n -)- ésma ecuacón, producendo un sstema trdagonal de orden (n-) en las varables, 2, K, n, que se puede resolver medante elmnacón Gaussana sn pvoteo. Las sguentes alternatvas permten resolver el anteror sstema de ecuacones a. s ( ) s ( ) o ben 0 0 n n. S se supone que n se denomna Splne Natural. ( 0 ) ( 0 ) s ( n ) f ( n ) b. s f, se denomna Splne Cúbco. Para el caso de la obtencón de las seres de poblacón por seo edad para cada uno de los domnos de la Encuesta, se optó por la alternatva Splan Natural, que garantza un maor suavzamento de la sere, con lo cual se logra mnmzar la posbldad de saltos en la sere que pueden ocasonar dstorsones en las estmacones de los ndcadores. La mplementacón de este modelo de nterpolacón se realzó utlzando el Software lbre R versón 2. 27

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