Álgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción

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1 FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203 Álgebra I Práctica 2 - Números aturales e iducció. Reescribir cada ua de las siguietes sumas usado el símbolo de sumatoria (a) , (b) , (c) + ( 4) ( 6) ( 44), (d) , (e) (2 + ), (f) i Reescribir cada ua de los siguietes productos usado el símbolo de productoria y/o de factorial (a) , (b) , (c) Escribir los dos primeros y los dos últimos térmios de las expresioes siguietes 2(i 5), i i=6 3. Probar que, N, 2 i= i(i + ), i = sombreados del diagrama ii ( + ) 2 + i, 2i iv) 2 i, v) + i 2i 3. cotado de dos maeras la catidad de cuadraditos i Deducir que, N, = ( + ). 4. Probar que, N, (2i ) = 2 : cotado de dos maeras la catidad total de cuadraditos del diagrama i usado el ejercicio 3, ii usado el pricipio de iducció. 5. Calcular (4i + ), i 2(i 5). i=6 6. (Suma de cuadrados y de cubos) Probar que para todo N se tiee

2 Álgebra I Práctica 2 Págia 2 i 2 = ( + )(2 + ), i 6 i 3 = 2 ( + ) Probar que para todo N se tiee i ii ( ) i+ i 2 = ( )+ ( + ), 2 4i 2 = + 2 +, (2i + ) 3 i = 3, i=0 iv) v) i 2 i (i + )(i + 2) = , + i 2i 3 = 2 ( 2). 8. Sea (a ) N ua sucesió de úmeros reales. Probar que 9. Calcular i(i + ) i 0. Calcular (2i )(2i + ) (Sugerecia: i(i + ) = i i + ), (Sugerecia: calcular ( ) i i (2i )(2i + ), N.. Probar que para todo 3 vale que (a i+ a i ) = a + a. 2i 2i + ). ( 3) la catidad de diagoales de u polígoo de lados es, 2 i la suma de los águlos iteriores de u polígoo de lados es π ( 2). 2. Probar que las siguietes desigualdades so verdaderas para todo N < 2, i , ii 3 3, + i iv) + ( ), i + 3. Probar que, N, vale v) v 2 i= 2 i 2 i, 2i > ! 3 2, i 4. Probar que ( ) ( ) = 0 (o hace falta usar iducció). i! Cuátos subcojutos de 4 elemetos tiee el cojuto {, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? i Y si se pide que perteezca al subcojuto? ii Y si se pide que o perteezca al subcojuto? iv) Y si se pide que ó 2 perteezca al subcojuto, pero o simultaeamete los dos? FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203

3 Álgebra I Práctica 2 Págia 3 6. E este ejercicio o hace falta usar iducció: se puede pesar e el sigificado del úmero combiatorio e cuato a catidad de subcojutos de cierta catidad de elemetos e u cojuto dado. Probar que 2 ( ) 2 = 4 y deducir que ( ) 2 < 4. ( ) 2 + i Calcular. ( ) ( ( ) ( ) ) ii Probar que = 2 sug: =. = ( ) 2 ( ) 2 ( ( ) ( ) ) iv) Probar que = sug: =. 7. Derivar a izquierda y derecha la igualdad (x + ) = ( ) x y evaluar lo obteido e x =. Qué se obtiee? (Comparar co el Ej. 6(ii.) 8. Sea a, b R. Probar que para todo N, a b = (a b) serie geométrica: para todo a, i=0 a i = a+ a. 9. Sea a R, a. Probar que, N, ( + a) + a. E qué paso de la demostració se usa que a? a i b i. Deducir la fórmula de la 20. Probar que! 3, 5, i 3 2 > 3, 4, 3 i ii < 6 5, 3, i! iv) ( ) 2 > 2, Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a = a = 5, a + = 3a 2 ( N) i Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a = 2!. a = 2, a + = 2 a + 2 +! ( N) ii Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a = 2 ( ). a = 0, a + = a + (3 + ) ( N) iv) Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por (2)! a = 2, a + = 4a 2 ( + )!! ( ) 2 Probar que a =. ( N) 22. Para cada ua de las siguietes sucesioes defiidas por recursió, hallar ua fórmula para el térmio geeral y demostrar su validez FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203

4 Álgebra I Práctica 2 Págia 4 a =, a + = ( + a ) 2 ( N) i a = 3, a + = 2a + 3 ( N) ii a =, a + = a ( N) iv) a = 2, a + = 2 a ( N) 23. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de la sucesió (a ) N defiida por a =, a + = a + 3 ( N). i a =, a + = a + ( ) + 2 ( N). ii a = 3, a + = a + (2 + )3 ( N). (Sugerecia: usar los Ejercicios 8, 6 y 7.) 24. Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a + = a +! ( N) Probar que a =! y, aplicado el Ej. 8, calcular 25. Sea (a ) N la sucesió defiida por i i! a =, a + = a ( N) Probar que a = 3 y, aplicado el Ej. 8, calcular de otra maera 26. Sea (a ) N la sucesió defiida por i 2 (c.f. Ej. 6). Probar que a 2 i Probar que a > 3 a =, a + = a ( N) ( ) 2 para todo N ( ) 2 para todo Para cada ua de las siguietes sucesioes defiidas por recursió, cojeturar ua fórmula para el térmio geeral y probar su validez a =, a 2 = 2, a +2 = a + + 2( + )a ( N) i a =, a 2 = 4, a +2 = 4 a + + a ( N) ii a =, a + = + i a i ( N) iv) a = 2, a + = 2 ( ) a i 28. Sea (a ) N la sucesió defiida por ( N) a =, a 2 = 3, a +2 = a + + 5a ( N) Probar que a < + 3 para todo N. i Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a 2 = 3 2, a +2 = a a ( N) Probar que a > + 3 para todo N, 4. FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203

5 Álgebra I Práctica 2 Págia Cálculo de a 2 para u úmero a dado y N (más adelate se verá el cálculo rápido de a ) Se asume u modelo ideal dode dados dos úmeros b y c, se puede calcular b c exactamete realizado ua sola operació. Algoritmo recursivo secuecial: Calcular las distitas potecias de a mediate a + = a a, Esribir el algoritmo e pseudocódigo y e algú leguaje fucioal. Cuátas operacioes se realizaro para calcular a? y a 2? i Algoritmo recursivo dividir y coquistar: Calcular a 2 mediate a 2 = a a, a 2+ = a 2 a 2, Esribir el algoritmo e pseudocódigo y e algú leguaje fucioal. Cuátas operacioes se realizaro para calcular a 2? 30. E este ejercicio se admite idealísticamete que sumar, multiplicar, dividir, y sacar raíz cuadrada requiere cada uo ua sola operació. Comparar la catidad de cuetas que se tiee que hacer para calcular el 2 -ésimo úmero de Fiboacci F 2 usado por u lado la defiició recursiva y por otro lado la fórmula geeral obteida. (Más adelate se hará para F e geeral.) 3. Algoritmos de ordeació de datos: Dada ua lista ordeada (a(),..., a()) de úmeros reales, se la quiere ordear de meor a mayor. Por ejemplo dada la lista (4, 3, 5, 7, 2, 9,, 8) se quiere obteer la lista (, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9) haciedo comparacioes etre elemetos a( < a(j)? y e fució de la respuesta itercambiado si ecesario los elemetos comparados. Algoritmo igeuo ( burbujeo ): Compara el er elemeto de la lista co el 2do itercambiádolos si ecesario, luego pasa al 2do y hace lo mismo co el siguiete, luego al 3ro etc. hasta recorrer todos los elemetos de la lista (ua pasada). E ua pasada por todos los elemetos de la lista, el elemeto más grade quedará etoces a la derecha Por qué? Luego repite el procedimieto desde el comiezo hasta o haber producido igú cambio e ua pasada. E ese puto la lista estará ordeada Por qué? Por ejemplo ua pasada del ejemplo de arriba da: Cuátas comparacioes se usa e la primer pasada de esta lista? Y e la seguda? Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear esta lista? Cuátas comparacioes se usa e la primer pasada de ua lista de elemetos? Y e la seguda? Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear ua lista de elemetos? i Algoritmo merge (fusioa): Fucioa e 3 etapas usado el importatísimo mecaismo de dividir y coquistar. Por simplicidad lo vamos a aplicar aquí para listas de logitud 2 : (a) Divide : divide la lista e dos sublistas de tamaño 2. (b) Coquista : ordea cada sublista por separado (utilizado el mismo algoritmo para listas de tamaño 2 ). (c) Fusioa : fusioa e forma adecuada las dos sublistas e ua sola. Ejemplo: Sea la lista (4, 3, 5, 7, 2, 9,, 8) de logitud 2 3 : (a) Divide : divide la lista e las dos sublistas (4, 3, 5, 7) y (2, 9,, 8) de logitud 2 2. (b) Coquista : Aplica el algoritmo para estas dos sublistas (e forma recursiva, o sea partiedo cada ua de ellas e dos sublistas de logitud 2) y termia obteiedo: (4, 3, 5, 7) (3, 4, 5, 7) y (2, 9,, 8) (, 2, 8, 9). FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203

6 Álgebra I Práctica 2 Págia 6 (c) Fusioa : fusioa iteligetemete las dos sublistas, como lo hacemos aturalmete si pesar: Se compara el primer elemeto de cada sublista, se poe el más chico primero, luego se compara los dos primeros elemetos que quedaro (si ese) de cada lista, y se repite el procedimieto hasta agotar. Para fusioar (3, 4, 5, 7) y (, 2, 8, 9) se obtiee y y y y y y y y Esribir el algoritmo e pseudocódigo y e algú leguaje fucioal. Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear la lista origial del ejemplo? Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear ua lista de 2 elemetos? ii Algoritmo quic sort : Es el algoritmo de ordeamieto más rápido coocido e la práctica. Tambié utiliza el mecaismo de dividir y coquistar, eligiedo u pivote p e la lista (que puede ser el primer elemeto, o elegido al azar, o de algua otra maera): luego de ua primer pasada el algoritmo colocará el pivote elegido e su lugar correcto e la lista, colocado todos los meores que él a su izquierda y todos los mayores a su derecha. Luego ordea las dos sublistas (de la izquierda y de la derecha) por separado. La forma establecida de colocar el pivote e su lugar correcto (que resulta más coveiete que cualquier forma igeua) es aplicado lo que se llama partitioig i place, trabajado co dos puteros, i por izquierda (que se mueve de izquierda a derecha) y d por derecha (que se mueve de derecha a izquierda) y compara los elemetos correspodietes a esos puteros. Por coveció el pivote p se itercambia co el elemeto a() de más a la derecha de la lista, para quedar él a la derecha. Se tiee etoces p = a(). Fijar los puteros i y d a la izquierda y a la derecha de la lista (si el pivote). Icremetar i hasta que coicida co u elemeto a( mayor que p Dismiuir d hasta que coicida co u elemeto a(d) meor que p. Itercambiar a( y a(d). Repetir hasta que i y d se cruce (es decir i d). Itercambiar el pivote p = a() co a(. E el ejemplo aterior, si el putero p elegido es el 4, primero se itercambia co el 8 de la derecha: Y luego la primer pasada del algoritmo fucioa de la maera siguete: i d i d i d i d i d i d i d i d i d d i d i Eteder cómo fucioa este algoritmo. Este algoritmo tiee la particularidad que e promedio fucioa muy rápido (como el algoritmo merge, icluso más rápido), auque para alguas listas iiciales requiere ua catidad de itercambios similar a la del algoritmo burbujeo. FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203

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