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1 ersión: Septiembre 01 Áreas y volúmenes Por Sandra Elvia Pérez Márquez Áreas de figuras planas Las aplicaciones de las figuras planas requieren, por lo general, conocer (o calcular) dos características principales: el perímetro y el área de la figura plana en cuestión. La tabla 1 muestra algunas de las figuras planas más representativas y las fórmulas para calcular su área. Para el caso del perímetro de polígonos, éste se determina sumando la longitud de sus lados. Solamente el círculo y la sección transversal incluyen una fórmula específica para determinarlo. Figura plana Área Ejemplo Cuadrado Determina el perímetro y el área de un cuadrado que tiene 5 centímetros de lado. Rectángulo lado lado A l l base altura A B h Perímetro Suma de lados Perímetro Perímetro 0cm lado lado ( 5)( 5) 5cm Calcula el perímetro y el área de un rectángulo con una base de 0 metros y una altura de 1 metros. Perímetro Suma de lados Perímetro Perímetro 64m Triángulo base altura (0)(1) 40m Calcula el área de un triángulo con una base de 15 centímetros y una altura de 10 metros. A B h (15)(10) 75cm 1

2 ersión: Septiembre 01 Trapecio Base mayor + base menor altura B + b A h Calcula el área de un trapecio con una base mayor de 18 centímetros, una base menor de 14 centímetros y una altura de 1 metros cm Rombo Romboide P B + L Diagonal mayor diagonal menor D d A base altura A B h Encuentra el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 pulgadas y su diagonal menor mide 8 pulgadas. (10)(8) 40cm Calcula el área de un romboide con una base de 4 centímetros y una altura de 18 centímetros. ( 4)( 18) 4cm Polígono regular perímetro apotema Calcula el área de un hexágono regular cuyos lados miden cm y su apotema mide 1.7 cm. P a A La apotema de un polígono regular, es decir, polígonos con todos los lados iguales, es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Para determinar el área de un polígono regular, primero calculamos su perímetro: perímetro perímetro 1cm Con el perímetro y el valor de la apotema tenemos que: ( 1)( 1.7) 10.9cm

3 ersión: Septiembre 01 Círculo π radio radio Determina el perímetro y el área de un círculo cuyo radio es de 4 centímetros. P π r π d Sector circular π r grados de apertura Perímetro 60 o π r n P 60 A π r π radio grados de apertura 60 r n A π 60 o perímetro π ( )( )( 4) perímetro 5.1cm ( π )( 4 ) ( )( 16) π 50.6cm Determina el área de un sector circular cuyo radio es de 5 centímetros y tiene apertura de 0º. ( )( 5 )( 0) π cm Tabla 1. Fórmulas de áreas y perímetros de las principales figuras planas. Poliedros Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. La imagen siguiente muestra un poliedro limitado por 4 triángulos. Un poliedro está formado por: a. Caras b. Aristas (lados del polígono) c. értices Figura 1. Partes de un poliedro.

4 ersión: Septiembre 01 Un poliedro regular es aquel cuyas son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de. Los poliedros regulares fueron estudiados por Platón. Partiendo de la definición antes dada, sólo es posible construir 5 poliedros regulares. Nombre Figura Características Tetraedro regular Cubo Octaedro Dodecaedro Formado por 4 triángulos equiláteros En cada vértice concurren 4 vértices 6 aristas Formado por 6 cuadrados En cada vértice concurren 8 vértices 1 aristas Formado por 8 triángulos equiláteros En cada vértice concurren 4 6 vértices 1 aristas Formado por 1 pentágonos En cada vértice concurren 0 vértices 0 aristas Icosaedro Formado por 0 triángulos equiláteros En cada vértice concurren 5 1 vértices 0 aristas Tabla. Características de los principales poliedros. 4

5 ersión: Septiembre 01 Existen dos tipos de poliedros que son de especial interés: los prismas y las pirámides. Prismas Los prismas son poliedros que tienen dos iguales y paralelas llamadas bases, y sus laterales son paralelogramos. Se pueden clasificar como: a) Rectos y oblicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las laterales y las bases es recto, en caso contrario se dice que el prisma es oblicuo. b) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos regulares, en caso contrario se dice que el prisma es irregular. Figura. Prisma de base cuadrada. c) Por el número de lados de sus bases: Triangulares: si sus bases son triángulos Cuadrangulares: si sus bases son cuadriláteros. Pentagonales: si sus base son pentágonos, etcétera. Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo, que tiene por bases dos paralelogramos, es decir, todas sus (6) son paralelogramos. Dentro de los paralelepípedos podemos encontrar algunos casos importantes como son: Pirámides Una pirámide es un poliedro en la que una de sus llamada base es un polígono y las laterales son triángulos que tienen un vértice común. 5

6 ersión: Septiembre 01 Se pueden clasificar como: a) Rectas y oblicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de su base. En caso contrario tendremos una pirámide oblicua. b) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono regular. En caso contrario será irregular. c) Por el número de lados de su base: Triangular Cuadrangular Pentagonal... Figura 4. Pirámide de base octagonal. Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base, se obtiene lo que se llama tronco de pirámide. Cuerpos redondos o de revolución Un cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano, de modo que cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una vuelta completa. Si un rectángulo gira sobre un lado describe un cilindro. Figura 5. Cilindro. Si un triángulo rectángulo gira sobre un cateto describe un cono. Figura 6. Cono. 6

7 ersión: Septiembre 01 Si un semicírculo gira sobre su diámetro describe una circunferencia. Figura 7. Circunferencia. olúmenes más utilizados Figura olumen área de la base altura Prisma Cilindro área de la base altura π r h área de la base altura Pirámide área de la base altura Cono r h π Esfera 4 r π Tabla. Fórmulas de los volúmenes más utilizados 7

8 ersión: Septiembre 01 En los siguientes ejemplos, se muestra cómo calcular el volumen de distintos poliedros. A continuación te presentaré algunos ejemplos: Ejemplo 1 Un adorno tiene forma de una pirámide pentagonal. Cuál será el volumen que ocupa la pirámide si cada uno de sus lados mide 16 cm, su apotema es de 14 cm y tiene una altura de 7 cm? Para calcular el volumen de una pirámide se utiliza la siguiente fórmula: área de la base altura Como una pirámide pentagonal, su base es un pentágono, por ello, es necesario calcular primero el área de esta figura. El área de un pentágono se calcula como: Figura 8. Pirámide pentagonal. perímetro apotema El pentágono tiene 5 lados iguales, por lo tanto, su perímetro será: De esta forma, el área del pentágono es: ( 5 )(16cm) cm perímetro 5 l 80 ( 80cm)( 14cm) 110cm perímetro apotema Área pentágono 560cm Una vez que calculaste el área de la base y como ya conoces la altura que es igual a 7 cm, ahora aplica la fórmula para calcular el volumen de cualquier pirámide. ( 560cm )( 7cm) 1510cm área de la base altura 5040cm Por lo tanto, el volumen de la pirámide pentagonal de lado igual a 16 cm, apotema 14 cm y altura de 7 cm es de 5040 cm. 8

9 ersión: Septiembre 01 Bibilografía Clemens, S., OʼDaffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría. (Addison- Wesley Iberoamericana, López Mateos, M. Trad.). México: Pearson. Fuenlabrada, S. (007). Geometría y trigonometría (ª. ed.). México: McGraw-Hill. Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría. (ª. ed., illagómez, H. Trad.). México: Thomson. Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (00). Geometría y trigonometría. (ª. ed., illagómez, H. y Romo, J. H. Trad.). México: Thomson. 9

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