Ecuaciones generales Modelo de Maxwell

Transcripción

1 Ecuaciones generales Modelo de Maxwell Introducción Fuentes de campo: arga eléctrica. orriente eléctrica. Ecuación de continuidad. Definición del campo electromagnético. Ecuaciones de Maxwell. Forma Integral. Forma diferencial. Ecuaciones de estado. Influencia sobre los materiales. lasificación de medios. Ley de Ohm. onstante de relajación. ondiciones en las interfases. Linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Balance energético: Teorema de Poynting. EyM 2a-1 Introducción El modelo de Maxwell se compone de las denominadas ecuaciones de Maxwell junto con las ecuaciones de estado. Es un modelo modelo macroscópico: Los materiales se consideran continuos. En realidad son discretos, cuantificados, pero el elevado número de partículas elementales en los recintos habituales permite considerarlos continuos. Hay dos formas de expresar las ecuaciones de Maxwell: Integral:»Flujos y circulaciones. Diferencial:» Divergencias y rotacionales. Las fuentes del campo son las cargas y las corrientes. e suponen conocidos los conceptos de carga y corriente. e repasan los conceptos de densidades de carga y corriente. EyM 2a-2 Grupo

2 arga eléctrica. e supone conocido el concepto de carga eléctrica. El concepto de carga va unido siempre a un recinto: carácter integral.» Ejemplo: arga contenida dentro de un volumen. Unidad: ulombio ó oulomb () Es una unidad muy grande. La carga de un esfera del tamaño de la tierra puesta a 1 es del orden de 0.7 m e puede considerar que los portadores de carga básicos son los protones, carga positiva, y los electrones, carga negativa. En un cuerpo descargado la carga de unos y otros se cancela. Los átomos no tienen por qué tener carga nula: iones. En los metales existen electrones libres que se pueden desplazar entre una red de iones. En los semiconductores existen huecos y electrones. EyM 2a-3 Densidad de carga eléctrica volumétrica. Magnitud diferencial o puntual asociada: Densidad de carga por unidad de volumen: Definición: r q lim 0 d O r d Unidades: (/m 3 ) Relación con la carga encerrada en un volumen: q d r EyM 2a-4 Grupo

3 Otros tipos de distribuciones de carga arga puntual: Es el modelo simplificado de una carga contenida en un recinto de dimensiones muy pequeñas frente a la distancia de observación. La densidad de carga volumétrica no está definida en el punto en que se encuentra la carga:» Por muy pequeño que sea el volumen siempre habrá una carga q en su interior: q q r lim lim 0 0» u densidad se puede representar por una tridimensional: 3 3 r 0 ; r 0 1 ; r q 3 q r rq d r q 0 ; rq O q ; rq 3 q r d r q r rq 0 ; rq EyM 2a-5 Distribución superficial de carga. Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que una de sus dimensiones es despreciable frente a la distancia de observación. aso típico: carga en la superficie de un conductor. Densidad de carga superficial: q 2 r lim m 0 d Dificultad: la densidad de carga volumétrica no está definida en los puntos de la superficie. d q r lim lim r 0 0 d e puede representar por una.» si la superficie está definida por u i = u : r u u r n EyM 2a-6 O r d Grupo

4 Distribución lineal de carga Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que dos de sus dimensiones son despreciables frente a la distancia al punto de observación. aso típico: carga de un hilo conductor. Densidad de carga lineal: L q lim m l0 l dl r O r dl Dificultad: la densidad de carga volumétrica no está definida en los puntos de la línea. q l r lim lim L r 0 0 e puede representar por una 2 :» si la línea está definida por u i = u l,i y u j = u l,j : r u u u u r i l. i j l. j EyM 2a-7 L orriente Eléctrica La corriente eléctrica es la carga en movimiento. La magnitud utilizada para la caracterización de la corriente eléctrica es la Intensidad de corriente que es la cantidad de carga que atraviesa una superficie en la unidad de tiempo. (Magnitud integral) I A La unidad de intensidad de corriente es el Amperio, Ampère, que equivale a un flujo de 1 oulomb en 1 segundo. En un metal la velocidad de los electrones es variable, pero su velocidad media depende del campo eléctrico existente: Aceleran hasta interactuar (chocar) con la red iónica fija y se frenan. En un electrolito existen dos tipos de portadores, los iones positivos y negativos.» us velocidades medias dependen del campo eléctrico pero no tienen por qué coincidir. Otro tanto se puede decir de los semiconductores. EyM 2a-8 Grupo

5 Densidad de corriente volumétrica aracteriza la corriente eléctrica punto a punto. n Definición: Es un vector: d di» definición por componentes: I di J lim 0 d OjO Unidades: Amperio/metro 2, es decir, A/m 2 Relación con la intensidad de corriente: I di J nd ˆ J d Debería hablarse de densidad superficial de corriente volumétrica. Densidad superficial porque es la densidad de flujo de cargas a través de una superficie en la unidad de tiempo. orriente volumétrica porque las cargas se mueven dentro de un volumen. EyM 2a-9 Densidad de corriente volumétrica (2) uponiendo un único tipo de portadores:» densidad de carga asociada:» elocidad media de desplazamiento: v La carga q que atraviesa una superficie arbitraria en un intervalo t a partir de un instante t 0, es la que en dicho instante está contenida en el volumen : q v nd ˆ J lim lim v 0 t 0 t d Puesto que la superficie es arbitraria: J v En el caso de varios tipos de portadores: J J i v Unidades: A/m 2 i i i i OjO v n t EyM 2a-10 vt v n Grupo

6 Distribuciones de corriente superficial La corriente superficial es una aproximación de una corriente que circula a través de un recinto de espesor despreciable frente al punto de observación. La densidad de corriente superficial di caracteriza este tipo de distribuciones. I di J lim l 0 l dl» l es la intersección de la superficie por la que circula la corriente con di J d J dl la que se utiliza para el cálculo de dl la intensidad.» n está contenido en la superficie por la que circula la corriente y es normal a l Unidades: A/m OjO Amperios/(Unidad de anchura) Relación con la intensidad: I di L EyM 2a-11 J ndl ˆ L di J dl di dl Distribuciones filiformes. on una aproximación de las corrientes que circulan a lo largo de un recinto de dimensiones transversales despreciables frente a la distancia al punto de observación. Ejemplo: corriente que circula por un hilo conductor. e caracterizan por la intensidad de la corriente que circula, I, y el vector unitario lˆ. lˆ I lˆ I I J d s EyM 2a-12 Grupo

7 Ley de conservación de la carga: Ecuación de continuidad Ley de conservación de la carga: La carga no se crea ni se destruye. Ecuación de continuidad en forma integral. I I 0» Para cualquier volumen la disminución de la carga encerrada es igual a la carga que fluye fuera de él, la corriente saliente. Ecuación de continuidad en forma diferencial.»i permanece fijo en el tiempo: q I J d d d Jd d J 0 t EyM 2a-13 O r d I d» Y como la integral debe ser nula para cualquier volumen: d J J d 0 t n Definición del campo electromagnético La definición del campo electromagnético requiere cuatro vectores: E : Intensidad de campo eléctrico (/m) D : Densidad de flujo eléctrico, Inducción eléctrica ó Desplazamiento eléctrico (/m 2 ) B : Densidad de flujo magnético (T=wb/m 2 ) H : Intensidad de campo magnético (A/m) La definición es la expresión conocida como fuerza de Lorentz. i una carga q se mueve a velocidad v en el seno de un campo electromagnético, entonces aparecerá sobre ella una fuerza de valor: F q E v B Fuerzas sobre distribuciones volumétricas: F E v B Q Q Ed v Bd Ed EyM 2a-14 J Bd Grupo

8 Ecuaciones de Maxwell on cuatro. A Maxwell se debe sólo un término de una de ellas. Ecuaciones de Maxwell Ley de Gauss Ley de Faraday Flujo del campo Magnético Ley de Ampère Forma Integral D d q E dl t B d B d 0 H dl I t D d Forma Diferencial D B E t B 0 D H J t EyM 2a-15 Ley de Gauss Enunciado: El flujo del vector de desplazamiento eléctrico, D, a través una superficie cerrada es igual a la carga contenida en su interior. D d q d d D n Es fácil pasar de su forma integral a la diferencial: Para cualquier volumen que contenga únicamente puntos ordinarios: Gauss D d Dd q d Dd d La densidad de carga es la fuente escalar del campo D : las líneas tienen su origen en regiones de carga positiva y su fin en regiones de carga negativa. EyM 2a-16 D Grupo

9 Ley de Faraday Relaciona el campo E con la variación temporal del campo B. La circulación del campo E a lo largo de un contorno es igual a la menos derivada con respecto al tiempo del flujo del campo B a través de una de las superficies limitadas por. n E dl B d d t i se supone que la superficie permanece fija y que sólo contiene puntos ordinarios: tokes E dl E d B B 0 E d d E t B t t B d d t t La variación temporal de B es fuente vectorial del campo E. EyM 2a-17 Ecuación del flujo del campo magnético Las líneas de campo magnético son cerradas: Para toda superficie: B d 0 Y si sólo contiene puntos ordinarios: B d Bd 0 B 0 Equivale a negar la existencia de monopolos o cargas magnéticas. EyM 2a-18 Grupo

10 Ley de Ampère Relaciona el campo H con la variación temporal del campo D y la corriente. La circulación del campo H a lo largo de un contorno es igual a la derivada con respecto al tiempo del flujo del campo D a través de una de las superficies limitadas por más la corriente. n H dl I D d d t i se supone que la superficie permanece fija y que sólo contiene puntos ordinarios: tokes H dl H d 0 t D D D D d d H d J d H J t t t t I J d La variación temporal de D y la densidad de corriente, J,son fuentes vectoriales del campo H. EyM 2a-19 Ley de Ampère (2) El término D t es la contribución de Maxwell. 1 I q + 0 I 0 e puede justificar su necesidad: upongamos que el campo eléctrico es nulo fuera del condensador y escogamos una superficie que corte al conductor: I0 H dl J d 2 1 I q + i con el mismo contorno se escoge una 0 I 0 superficie que que pase entre las armaduras: I0 H dl J d 0 2 onsiderando que la corriente del caso inicial provoca una acumulación de carga en el condensador es fácil obtener un término que conduce al resultado correcto: 1 q 2 I 0 J d D d 0 t t 1 2 J d D d 0 I0 J d D d t t EyM 2a Grupo

11 Ley de Ampère (3) trabajando un poco: J 0 t J D J D 0 D t t resulta que J y D t varían de forma que se compensan sus variaciones desde el punto de vista de cálculo de sus flujos. Así pues es razonable pensar que se puede generalizar la ley de Ampère clásica de esta forma: H J? D D H J J cte t t Está fue la aportación de Maxwell. Esta aportación permitió la predicción de la propagación de ondas electromagnetismo y fue la confirmación experimental de la existencia de éstas (Hertz 1886) lo que confirmó la validez de este término. EyM 2a-21 Redundancia en las ecuaciones de Maxwell Existe un cierto grado de redundancia si se consideran las ecuaciones de Maxwell junto a la ecuación de continuidad: alculando la divergencia de la Ley de Faraday: E B 0 E B B 0 B cte t B t t t alculando la divergencia de la Ley de Ampère: H D 0 Ec H J D. t J J D D t t ont t. D 0 D cte t La experiencia dice que ambas constantes son nulas. EyM 2a-22 Grupo