FUNCION DE PRODUCCION CUBICA (Función clásica). lorenzo castro gómez 1

Transcripción

1 FUNCION DE PRODUCCION CUBICA (Función clásica). lorenzo castro gómez Esta función es Y = ƒ (X) = b X + b 2 X 2 - b X donde : Y = producto total X i = insumos b i = parámetros Ejemplo: sea la función Y = ƒ (X) = X + 2X 2 -.X PM = Y/X = (X + 2X 2 -.X )/X = + 2X -.X 2 PMg = dy/dx = + 4X -.X 2 E = (dy/dx)(x/y)=(dy/dx)(y - )/(X - )=(dy/dx)(y/x) - =dy/dx/y/x= PMg / PM Para encontrar el nivel del insumo variable que maximiza el producto total es condición necesaria que dy/dx = PMg =, es decir que: + 4x -.X 2 =, o bien -.X 2 + 4X + =, esta estructura se parece a una ecuación cuadrática, por lo que se resuelve con la fórmula general, por lo que se tiene: = -4 ± [6 +.6] / -.6 = - 4 ± 4.42 / -.6 X = -.2 X 2 = 4. X = -4 ± [4 2-4 (-.) ()] / 2(-.) La condición de segundo orden para un máximo exige que d 2 y/dx 2 <, por lo tanto d 2 y/dx 2 = evaluada en X = -.2, será: d 2 y/dx 2 (x = -.2) = (-.2) = 4.4 > lo que garantiza un mínimo. d 2 y/dx 2 (x = 4.4) = (4.4) = < lo que garantiza un máximo. Por lo tanto, tomamos el valor de X 2 = 4.4 como aquel que garantiza un máximo. El producto máximo será: Y = (4.4) + 2 (4.4) 2 -. (4.4) Profesor del departamento de Economía Agrícola, DCSE UAAAN.

2 Y max =.64 Para encontrar el nivel de insumo variable que maximiza el producto medio es condición necesaria que dpm/dx =, es decir 2 -.2X = ó bien, X =, la d 2 PM / dx 2 = -.2 < lo que garantiza el máximo de PM, cuando X = el ; PM max = + 2 () -. () 2 = Para encontrar el nivel del insumo variable que maximiza el producto marginal es condición necesaria que dpmg/dx =, es decir que 4 -.6X =, o bién X = 6.6 el ; PMg max = + 4 (6.6) -. (6.6) 2 = 6. El valor del insumo variable que cumple con PM = PMg es: + 2X - o.x 2 = + 4X -.X 2 2X -.X 2 = 4X -.X X = 4 -.X.2X = 2 X = 2/.2 X = Desde el punto de vista del insumo variable, las tres etapas de la producción quedan definidas como: Etapa I < X < Etapa II < x < 4.4 Etapa III X > 4.4 La ley de los rendimientos marginales decrecientes empieza a operar a partir de X = 6.6, etapa racional o económica será desde el punto de vista de la elasticidad de producción, la etapa II [ < E < ]. LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Y LOS COSTOS ALGUNAS DEFINICIONES DE LA TEORÍA DE LOS COSTOS El costo alternativo o de oportunidad de la producción de una unidad del bien X es la cantidad del bien Y que debe sacrificarse a tal efecto. También se llama costo social. Los costos implícitos en que incurre un empresario al producir un bien especifico consisten en las sumas que podría ganar en el mejor uso alternativo de su tiempo y de su dinero. En la producción de X obtendrá un beneficio económico neto, sólo en el caso de que sus ingresos totales superen la suma de sus costos explícitos e implícitos. La curva de costo total a largo plazo se relaciona directamente con la curva de expansión; en realidad, la curva o función de costo total a largo plazo es 2

3 simplemente el equivalente de la ruta de expanción en terminos del costo y el volumen de producción. El costo fijo total (CFT), es la suma de los costos fijos explícitos a corto plazo y los costos implícitos en que incurre el empresario. El costo variable total (CVT), es la suma de las cantidades gastadas en cada uno de los insumos variables empleados. A corto plazo, el costo total (CT), es la suma del costo fijo total y el costo variable total. El Costo fijo medio (CFM) es el costo total dividido por el número de unidades producidas. El costo variable medio (CVM), es el costo variable total dividido por el número de unidades producidas. El costo medio total (CMT), es igual al costo total dividido por el número de unidades producidas. También se puede calcular mediante la suma del costo fijo medio y el costo variable medio. El costo marginal es la adición al costo total, imputable a una unidad adicional de producción. El ingreso total (IT), es el precio de mercado por la cantidad producida. IT = P y * Y, donde P y = precio de mercado, y Y es la producción. El ingreso marginal es la adición al ingreso marginal, imputable a una unidad adicional al ingreso. Beneficio total (BT), es la diferencia entre el ingreso total y los costos totales. Sea la función de producción Y = f(x) = X +2X 2.X CFT =, Px = y Py = 2, unidades monetarias respectivamente. En el siguiente cuadro se resumen todas las operaciones. (la columna iluminada es la mejor opción para el productor. X Y PM PMg Px VPMg CFT CVT CT CFM CVM CMT CMg Py IT BT

4 DONDE: X = insumo variable Y = Producto total PM = Producto medio PMg = Producto marginal Px = Precio por unidad de X VPMg = Valor del producto marginal CFT = Costo fijo total CVT = Costo variable total CT = Costo total CFM = Costo fijo medio CVM = Costo variable medio CMT = Costo medio total CMg = Costo marginal Py = Precio por unidad de Y IT = Ingreso total BT = Beneficio total (ganancia) ECUACIONES: Y = f(x) = X +2X 2.X PM = Y/X PMg = dy/dx VPMg = (Py) (PMg) CVT = (Px) (X) CT = CFT + CVT CFM = CFT/Y CVM = CVT/Y CMT = CT/Y ; ó CFM + CVM CMg = Px/PMg IT = (Py) (Y) BT = IT CT; IT (CVT + CFT) IT [(Px)(X) + CFT] (Py)(Y) [(Px)(X) +CFT] BT = [(Py)f(x)] [(Px)(X) + CFT] 4

5 GAFICAMENTE SE TIENE: Función de producción cúbica Productos PT

6 Gráfica del PM Y PMg 2 PM - PMg - PM PMg Gráfica del CT, CFT y CVT CT - CFT - CVT 2 2 CFT CVT CT 6

7 Gráfico de CFM, CVM, CMT y CMg CFM-CVM-CMT y CMg 2 2 CFM CVM CMT CMg - Gráfico de la relación del BT, IT y CT 4 BT-IT-CT 2 IT BT CT - -2