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1 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda Mabel Azucea Meda Ecuela de Formacó Báca, Facultad de Ceca Exacta, Igeería y Agrmeura. Coejo de Ivetgacoe. Uverdad Nacoal de Roaro Argeta mmeda@fcea.ur.edu.ar Héctor Eduardo Rubo Scola Ecuela de Electróca. Facultad de Ceca Exacta, Igeería y Agrmeura. Coejo de Ivetgacoe. Uverdad Nacoal de Roaro Argeta erubo@fcea.ur.edu.ar Reume Se dearrolla la expereca de ua udad ddáctca e el marco de la teoría de Broueau y de la Eeñaza para la Compreó. El Tópco Geeratvo e la tegral defda. La Meta de Compreó o la defcó de la tegral defda y la forma de evaluacó de la tegral defda. Lo Deempeño de Compreó o actvdade autóoma de evaluacó de tegrale defda. El propóto de eta actvdad e que lo alumo compreda que puede calcular aproxmadamete ua tegral defda a travé de ua uma de Rema. La actvdade o propueta a travé de materal co oporte formátco y etre ella etá la realzacó de u forme obre la expereca del cálculo umérco de la tegral defda. Poterormete e aalza lo cometaro de lo alumo. Palabra clave: Eeñaza para la compreó educacó, tuacoe ddáctca, cálculo tegral, Sclab, trabajo autóomo. I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.

2 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda Itroduccó La matera Aál Matemátco II e ua agatura del egudo emetre de prmer año, para lo etudate de la e epecaldade de la carrera de Igeería de la Facultad de Igeería de la Uverdad Nacoal de Roaro, Argeta. E la mma e cotúa co el tratameto de cocepto y aplcacoe del Cálculo Dferecal e Itegral para fucoe de ua varable real, complemetado lo preetado e Aál Matemátco I. La Udad e Cálculo Itegral. Se comeza co el problema troductoro de cálculo de área, dode partedo del coocmeto de área elemetale, como la del rectágulo e obtee área debajo de ua curva por el método de exhaucó o método de agotameto (Stewart, 8 y Thoma, 6. Éte e el precuror del cocepto de Suma de Rema que permte defr tegral de ua fucó e u tervalo. Aparece etoce la prmera evaluacó de la tegral defda, medate la cotruccó de la uma de Rema y el pao al límte cuado la orma de la partcó tede a cero. E ete puto el docete dearrolla la clae e forma expotva-dalogada e u ejemplo de cálculo de tegral defda por la defcó. Se poe de mafeto lo laboroo que e el cálculo de la uma ya que e debe recurrr a fórmula de uma de poteca de etero potvo, y el poteror pao al límte. Lo alumo luego trabaja obre otro ejercco e el cálculo de valor de la tegral. Co el Teorema Fudametal del Cálculo aparece la eguda forma del cálculo de la tegral defda medate la obtecó del fucó atdervada del tegrado y evaluado dcha fucó e lo extremo de tegracó. Eta forma de evaluacó e recbda co beeplácto por lo alumo, ya que la compara co la ateror. Supoe ademá que toda la tegrale defda (etédae correctamete defda e puede calcular fáclmete por eta eguda forma. Sguedo co el programa de la matera e trabaja e la obtecó de prmtva a travé de dferete método, y co el uo de tabla de tegracó. Ahora, e tala la preguta: Cómo e reuelve tegrale defda de fucoe cuya prmtva o e puede exprear aalítcamete y por lo tato o e puede aplcar, para el cálculo, la regla de Barrow? Para repoderla e propoe etoce ua actvdad co la utlzacó de u oftware lbre Sclab (Chaceler et al., 7. Eta actvdad e guada a travé de u materal ddáctco autocotedo. Ete actúa como u medo e la teorzacó de Broeau (987, u dpotvo de apoyo al etudo a travé de lo cuale e cotextualza la matemátca a eeñar. E ete trabajo e muetra la jutfcacó de la metodología utlzada, el crtero de eleccó del oftware lbre, el dearrollo de la expereca y aál de reultado y por últmo la cocluoe. Ademá e adjuta u aexo co el materal ddáctco utlzado e la expereca. Jutfcacó de la metodología uada E la últma década, lo teórco del apredzaje ha demotrado que lo alumo o recuerda comprede gra parte de lo que e le eeña. Para compreder dea compleja y forma de vetgacó, lo etudate debe apreder hacedo y debe tercambar actvamete opoe. Para ello, dede el marco coceptual de la Eeñaza para la Compreó (Stoe Wke, 5 e trabaja a travé de: Tópco Geeratvo. So tema, cuetoe, cocepto, dea, etc. que ofrece profuddad, gfcado, coexoe y varedad de perpectva e u grado ufcete como I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.

3 3 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda para apoyar el dearrollo de compreoe poderoa por parte del etudate. Idetfcamo e ete trabajo como tópco geeratvo el cocepto de tegral defda. Meta de Compreó. So lo cocepto, proceo y habldade que deeamo que compreda lo etudate y que cotrbuye a etablecer u puto cetral cuado e ha determado haca dóde ecamare. E el trabajo propueto lo etudate dearrollará compreó e cuato a: la defcó y la forma de evaluacó de la tegral defda. Cuále o la mltude o dfereca má mportate etre la forma de evaluacó? Cuál e la vculacó etre la forma de evaluacó? Deempeño de Compreó. So la actvdade que proporcoa a lo etudate la ocaó de aplcar lo coocmeto a ua dverdad de tuacoe co la guía de u bue etreador. Ayuda a cotrur y a demotrar la compreó de lo etudate, exgr que lo etudate muetre u compreoe de ua forma que pueda er obervada, hacedo que u peameto e tore vble. E el trabajo propueto, eto deempeño de compreó etará dado por: actvdade autóoma de evaluacó de tegrale defda co lápz y papel y la evaluacó a travé de u oftware. El propóto de eta actvdad e que lo alumo compreda que empre puede calcular aproxmadamete ua tegral defda a travé de ua uma de Rema. Evaluacó Cotua. La Evaluacó Cotua e tegrar el deempeño y la retroalmetacó que eceta lo etudate e el dearrollo de la compreó de u tópco o cocepto epecífco, de tal modo que permta mejorar u próxmo deempeño. La Evaluacó Cotua tee do compoete prcpale: etablecer crtero de valoracó y proporcoar retroalmetacó. E mportate que la retroalmetacó recoja dferete perpectva de la reflexoe de lo etudate obre u propo trabajo, de la reflexoe de lo compañero obre el trabajo de lo otro y de lo docete mmo. E ete cao e aalza y trabaja lo forme producdo por lo alumo e la hora de clae preecale. Por qué elegmo el oftware lbre Sclab? Exte do tpo de oftware de cálculo cetífco: lo programa de cálculo mbólco que hace matemátca y lo programa de cálculo umérco, que o prcpalmete cocebdo para la aplcacoe matemátca. E la prmera categoría e ecuetra, etre otro, Maple y Mathematca. Eto oftware o utlzado dede hace varo año e la clae de matemátca báca de la uverdade. E la eguda categoría de programa de cálculo umérco, dode el mercado e má amplo, e ecuetra lo programa comercale como Matlab. Aquí e erta Sclab, co la dfereca que e u oftware lbre (al gual que Octave y FreeMath, dtrbudo co u códgo fuete. Sclab ha do dearrollado prcpalmete por vetgadore del INRIA (Ittuto Nacoal de Ivetgacó e Iformátca y Automátca de Fraca y de la ENPC (Ecuela Nacoal de Puete y Calzada, Fraca co umeroa cotrbucoe exterore, a meudo bajo la forma de toolbox (ver la pága El programa e puede bajar de la pága ateror, tato e veroe ejecutable para dferete cofguracoe como e u códgo fuete. La ayuda e líea (help y la documetacó e ecuetra e glé y fracé. Sclab poee u térprete, objeto y fucoe adaptada al cálculo umérco y a la vualzacó de dato. Ademá de vectore y matrce (que puede coteer úmero reale o complejo, etero, cadea de caractere, polomo, etc., e puede defr e Sclab objeto I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.

4 4 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda má complejo a partr de etructura y cargar la operacoe correpodete. Ademá, el uuaro puede agregar a Sclab fucoe ecrta e leguaje C, C++ o e FORTRAN que e coecta dámcamete a Sclab. Cotee també umeroo útle de vualzacó gráfca, gráfca e D y 3D, líea de vel, curva paramétrca, amacoe, etc (Chaceler et al., 7. Dpobldad y acceo E la Facultad de Ceca Exacta, Igeería y Agrmeura, dode tracurre eta expereca, e dpoe de laboratoro dode hay horaro dtrbudo por cátedra y horaro de lbre uo, ademá de u laboratoro de lbre uo e tempo completo para lo alumo. A pear de eto, lo alumo trabaja geeralmete e u propo ordeadore. Lo alumo que curaro la ecuela meda e ecuela públca, ha recbdo del gobero acoal ua otebook a travé del programa Coectar Igualdad ( E eta otebook e ecuetra talada vara aplcacoe de oftware lbre, e partcular el programa Sclab. Del programa Coectar Igualdad, la Facultad també ha recbdo otebook a dpobldad de lo alumo. Se realza peródcamete la preguta dpoe de ua computadora co coexó a Iteret e u caa y la repueta ha do empre potva. La Facultad dpoe de ua red wf e toda u talacoe, permtedo el acceo cotuo a Iteret. Dearrollo de la expereca y aál de reultado Volvedo al dearrollo del tema de la matera Aál Matemátco II, e ha formulado la preguta: Cómo e reuelve tegrale defda de fucoe cuya prmtva o e puede exprear aalítcamete y por lo tato o e puede aplcar, para el cálculo, la regla de Barrow? Para repoderla e propoe ua actvdad co la utlzacó de u oftware computacoal. Eta actvdad e guada a travé de u materal ddáctco autocotedo (ver Aexo. Lo alumo e orgaza e grupo de hata tre tegrate y lo realza fuera del horaro de clae. La eleccó del oftware lbre Sclab permte la decarga o le dede cualquer computadora. Lo comado del tema o troducdo paulatamete, de maera que el oftware e puede uar como ua calculadora telgete. Lo alumo geeralmete ya poee coocmeto de utlzacó de leguaje computacoale. La expereca e ha realzado durate tre año coecutvo, e u curo de oveta alumo omale de lo cuale partcpa actvamete aproxmadamete eeta alumo. Eto valore e vee mateedo a lo largo e lo últmo año. La matera cota de ete hora emaale de clae ademá de tre hora de coulta a cargo de tre docete, u profeor de teoría y do auxlare multáeo e la hora de práctca. La ete hora de cátedra e reparte gualmete etre teoría y práctca. E la hora de práctca y de coulta e realza ua evaluacó cotua de lo alumo que partcpa actvamete. Lo deempeño de compreó etá dado por la actvdade autóoma de evaluacó de tegrale defda co lápz y papel y la evaluacó a travé de u oftware. Se realza e la clae de teoría, de práctca, de coulta y horaro extracurrcular, ya que todo lo alumo poee la oportudad de trabajar e ordeador co coexó a teret. Del forme que e le pde a lo alumo obre la actvdad, e puede extraer lo guete cometaro: Todo lo alumo ha realzado la tabla comparatva de reultado umérco como la motrada e el ejemplo, que correpode a la tarea (Ver aexo. I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.

5 5 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda Co repecto de la tarea, que e realzar u forme obre el dearrollo del trabajo, u % de lo alumo o realza gú tpo de cometaro, otro % realza cometaro olamete referete a la tabla. Aalzaremo lo cometaro del 6% retate, tracrbedo algua frae de lo má repreetatvo. Se poe de mafeto: Trabajo autóomo Me upe maejar be co el programa Sclab, ya que etá muy be explcado e el archvo como hacerlo para ete trabajo, Icluo yo que o pude atr a la clae obre maejo de Sclab, pude realzar problema el trabajo terpretado lo ejemplo preete e la hoja del trabajo práctco, co la ayuda de la guía y co prueba y error podemo dearrollar be el trabajo. Vculacó co la agatura de formátca o reultó muy famlar el ambete del programa, ya que utlza fucoe mlare a la del leguaje C/C++, el cual o eeña e formátca II, partedo de la expereca de Iformatca I, que be o e utlza lo mmo Software la metodología de reolucó e aemeja batate Facldad e lo cálculo tedoo, faclta coderablemete la obtecó de reultado, obteer el reultado de cálculo tedoo de maera rápda y mple Geeralzacó de lo cálculo y aprecacó de la rapdez e lo cálculo, reolucó era mple y rápda, ua facldad que ecotramo fue que al lograr hacer prueba para u valor de, reultaba ecllo realzar lo cálculo co lo otro valore Compreó del tema aalzamo y compredmo el maejo del tema computacoal el cual o faclto la compreó del tema, Ua vez eteddo lo cocepto teórco, el paaje al oftware para reolver lo ejercco o fue complcado Dfcultade ecotrada La dfcultade que ecotramo fuero e el método del puto medo a la hora de armar la eteca Lo reultado obtedo muetra que lo alumo fuero capace de realzar actvdade autóoma, e grupo de hata tre tegrate. Reolvero el problema plateado de dferete forma, e u deempeño flexble. Falmete e puede decr que la expereca realzada podrá er de utldad para el futuro profeoal y que podría mejorar lo depeño de compreó e ete tópco. Cocluoe E el epaco de la matera Aál Matemátco II, e realza la expereca de Eeñaza para la Compreó, dode el tópco geeratvo e la tegral defda. La meta de compreó o la defcó de la tegral defda y la forma de evaluacó de la tegral defda. Lo Deempeño de Compreó o la actvdade autóoma de evaluacó de tegrale defda co lápz y papel y la evaluacó frete al ordeador. El propóto de eta actvdad e que lo alumo compreda que empre puede calcular aproxmadamete ua tegral defda a travé de ua uma de Rema. E relacó a eto e propoe u trabajo práctco co la utlzacó de u oftware. La evaluacó cotua e preeta e la taca de la hora de práctca, coulta, evaluacó del forme, exámee parcale y coloquo globalzador. I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.

6 6 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda A pear de o er ua actvdad oblgatora, lo alumo repode favorablemete a la realzacó del trabajo práctco e u eteta por ceto de u total de aproxmadamete eeta alumo que partcpa actvamete. Lo reultado obtedo o que lo alumo fuero capace de realzar actvdade autóoma, e grupo de hata tre tegrate. Se favorece aí la cluó e grupo y el trabajo colaboratvo. Reolvero el problema plateado de dferete forma, e u deempeño flexble. Repecto a la autoomía, lo etudate aume la repoabldad del etudo. (Exploracó, formulacó y valdacó de la propueta realzada. Lo alumo ha realzado u trabajo autóomo para geerar de ete modo, u aber que ea utlzable e otra tuacoe y que e demadado e el dearrollo currcular El trabajo co el oftware Sclab, e ete cao, brda u abaco de pobldade metodológca que e geeral o etá cuberta por lo curo regulare, pero lo alumo puede decubrr a travé de la utlzacó de la vetgacó del oftware armado u verdadero laboratoro de expermetacó. Por últmo, Guy Broueau (999 afrma, y ootro peamo como él que: (... La decrpcó temátca de la tuacoe ddáctca e u medo má drecto para dcutr co lo maetro acerca de lo que hace o podría hacer, y para coderar cómo éto podría tomar e cueta lo reultado de la vetgacoe e otro campo. La teoría de la tuacoe aparece etoce como u medo prvlegado, o olamete para compreder lo que hace lo profeore y lo alumo, o també para producr problema o ejercco adaptado a lo abere y a lo alumo y para producr falmete u medo de comucacó etre lo vetgadore y co lo profeore. Agradecmeto Lo autore perteece al proyecto PID SECYT UNR ING38 El deño y aál de lo materale ddáctco para la Matemátca e Igeería. Parte Refereca y bblografía Broueau G. (999: Educacó y Ddáctca de la matemátca, e Educacó Matemátca, Méxco. Broueau, G. (987 Fodemet et méthode de la dídactque. Recherche e Ddactque de Mathématque, vol. 7.. La Peée Sauvage: Greoble. pp Chaceler, J-P, Delebecque, F., Gomez, C, Gourat, M, Nkoukhah, R (7. Itroducto à Sclab, º Ed., Sprger-Verlag Frace. Stewart, Jame. Cálculo de ua varable. Tracedete tempraa. (8 Sexta Edcó. Cegage Learg. Stoe Wke, M (5 Qué e la Eeñaza para la Compreó? La Eeñaza para la Compreó. Vculacó etre la vetgacó y la práctca. Compladora. Stoe Wke, M. B.A. Padó Thoma, George B.(6 Cálculo. Volume.Udécma edcó. Pearo Educacó. I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.

7 7 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda Apédce A Trabajo práctco Ttulo: Cálculo aproxmado de la tegral defda Objetvo: Obteer el valor umérco de la tegral defda medate el uo del oftware Sclab. Dearrollo Veremo prmero como tegrar ua fucó a travé de u ejemplo mple: La fucó elegda e f(x=x y el tervalo de tegracó e el [,] I = x dx Prmer camo: Cálculo de la tegral de acuerdo co la defcó Ya hemo vto que, egú la defcó de tegral defda: I = dode I = b f ( x dx = lm P a = * f ( x Δx x e el puto muetra del tervalo [ x, ] x dx = lm P = ( x * * Δx ; e el cao de f( x = x obteemo: x ( b a Tomado todo lo ub tervalo Δ x guale, Δ x = Δx = e tee: ( b a I = lm f ( x * = ( I = lm ( x * = S aproxmamo el límte de tededo a fto por ua catdad fta de ee I D = Δ x f ( x * = ( x * = * I D = Tomado el valor x correpodete al extremo zquerdo del ub tervalo [ x, x ] guete fórmula de cálculo: D= ( x = ( x = = El valor obtedo por eta fórmula erá tato má cercao al valor de la tegral como ea grade. Programacó de la fórmula e el leguaje Sclab queda la I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.

8 8 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda E egrta ecrbmo lo comado a teclear e la patalla del programa y e letra clada (tálca lo cometaro. Como el Sclab e u oftware de cálculo umérco, vamo a grear lo ubtervalo como la compoete de u vector, dode el prmer elemeto e el extremo zquerdo del tervalo [,] y el últmo el extremo derecho del tervalo [,]. Pero ate greamo el úmero etero =; El puto y coma al fal de la expreó e para que el tema o lo vuelva a motrar, prueba a ecrbr = que paó?, el tema reptó la expreó. Ahora ecrbmo el vector de lo ubtervalo x=[:/:]; S teclea x e el tema verá lo valore del vector, el tema coteta: x = Vamo a llamar co la letra (de uma la uceva uma parcale Pero ate vamo a calzarla e cero =; La fórmula de cálculo la podemo ecrbr como: for =:; =x(**/+; ed La truccó for quere decr repta la operacó artmétca que vee depué del puto y coma y hata la expreó ed, tomado la varable todo lo valore etero dede hata. La expreó =x(**/+ quere decr que va umado la área de lo rectágulo y acumuládola e la varable. x( e la compoete úmero del vector x. Para elevar al cuadrado e utlza lo do aterco. La dvó e dca co la barra clada haca la derecha, la multplcacó e dca co u aterco. Pdamo el valor fal de, tecleado: el tema repode =.85 Ya obtuvmo el prmer valor aproxmado de la tegral, batate alejado del valor exacto, tomemo ahora otro valore de, como por ejemplo: (Para ecrbr meo prueba co la flecha haca arrba y verá que aparece la truccoe que tecleate aterormete. També puede uar la flecha haca abajo te paate. =, =; x=[:/:]; for =:; =x(**/+; ed; repueta del tema =.3835 =, = x=[:/:]; for =:; =x(**/+; ed; repueta del tema = =; =; x=[:/:]; for =:; =x(**/+; ed; repueta del tema = I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.

9 9 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda Segudo camo: Cálculo de la tegral de acuerdo co la defcó co la regla del puto medo * E ete cao utlzamo la defcó, pero tomamo el valor x correpodete al promedo de lo valore etre el extremo zquerdo y el extremo derecho del ub tervalo [ x, x ] quedado la guete fórmula de cálculo: I M dode = Δx = f ( x ( b a Δ x = y x = ( x + x E uetro cao partcular, dode = I x dx, fórmula de M queda: M = ( x = Programacó de la fórmula e el leguaje Sclab =;=; x=[:/:]; for =:+; =(x(-/+x(/**/+; ed; repueta del tema =.335 =;=; x=[:/:]; for =:+; =(x(-/+x(/**/+; ed; repueta del tema = =;=; x=[:/:]; for =:+; =(x(-/+x(/**/+; ed; repueta del tema = =;=; x=[:/:]; for =:+; =(x(-/+x(/**/+; ed; repueta del tema = Tercer camo: Cálculo de la tegral de acuerdo co la regla del trapeco E ete cao e lugar de calcular el área u rectágulo calculamo el área de u trapeco co bae f ( x y f ( x y co altura Δ x quedado la guete fórmula de cálculo: Δx I T = [ f ( xo + f ( x + f ( x f ( x ] ( b a dode Δ x = y x = a + Δx I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.

10 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda E uetro cao partcular, dode T = ( x ( x ( x + + = = I x dx, fórmula de T queda: Programacó de la fórmula e el leguaje Sclab =;=; x=[:/:]; =(/(**(x(**+x(+**; for =:; =(/(**(*x(**+; ed; repueta del tema =.335 =;=; x=[:/:]; =(/(**(x(**+x(+**; for =:; =(/(**(*x(**+; ed; repueta del tema = =;=; x=[:/:]; =(/(**(x(**+x(+**; for =:; =(/(**(*x(**+; ed; repueta del tema = =;=; x=[:/:]; =(/(**(x(**+x(+**; for =:; =(/(**(*x(**+; ed; repueta del tema = Cómo hacerlo mucho má fácl: Cálculo drecto a travé del oftware Medate la eteca tegrate tegrate('x**','x',, a = E ete comado del tema aparece detro del paréte la fucó a tegrar, la varable de tegracó y lo extremo del tervalo. Atecó co la comlla que abre y cerra e la fucó a tegrar y e la varable de tegracó. Tabla reume de reultado: Valor exacto Reultado umérco I = x dx = 3 I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.

11 Uo de oftware lbre para el apredzaje de la tegral defda Método Defcó D Puto Medo M Trapeco T Oberva que por la defcó calculado e el extremo zquerdo empre o acercamo por defecto al valor exacto de la tegral, lo mmo que calculado e el puto medo, pero co má precó. E cambo por el método de lo trapeco o acercamo por exceo. Co ubtervalo llegamo a la máxma aproxmacó que podemo hacer trabajado co eta precó. Tarea Produccó propa x La fucó f ( x = e o poee ua prmtva que e pueda exprear aalítcamete, embargo aparece frecuetemete e cálculo de geería. E por ello que e debe tegrar e forma umérca. Realza el mmo trabajo que hcmo aterormete, co eta ueva fucó, e decr calcula: I = e x dx x abedo que e tax Sclab e e ecrbe exp(x**. Realza la tabla de reultado umérco como la ateror y cometo lo reultado. Tarea Realza u forme por grupo (máxmo de tegrate 3 dode aparece lo reultado obtedo y ua decrpcó del dearrollo de ete trabajo práctco e cuato a facldade o dfcultade ecotrada ANEXO Obtecó del oftware Sclab:.- Bajar el oftware Sclab de la pága Para ello tquear e Dowlod Sclab Vero Italarlo (e tala automátcamete tqueado el ejecutable que bajaro 3.- Llamarlo dede el ícoo CONSULTO MIS DUDAS O PROBLEMAS CON LA DOCENTE A CARGO!!! I CEMACYC, Repúblca Domcaa, 3.